今日は具体的な事象を式で表すことについて考えてみましょうあっそうか縦の長さ 2 つと横の長さ 2 つを合わせるとひもの長さになるんだ長さ16cmのひもを使っていろいろな形の長方形を作ります長方形の縦の長さを変えると横の長さがどのように変わるかを調べます 1cm 7cm 2cm 6c

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えつとさどひら
5 years ago
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1 縦と横を 2 回ずつたすと a+a++=2a+2 になるわよ今日は文字式の表す意味をよみとる問題について考えましょう次の図のような, 縦の長さが a, 横の長さがの長方形がありますこのとき, 2( a + ) は, 何を表していますか下のアからオの中から1つ選びなさいア長方形の面積イ長方形の面積の2 倍ウ長方形の周の長さ a エ長方形の周の長さの2 倍オ長方形の対角線の長さあっそうか! 2a+2=2(a+) になるから答えはウの長方形の周の長さだ! エの長方形の周の長さの2 倍はどうなるのかな長方形の周の長さを2 倍するから 2(a+) 2=4(a+) になるわねそうですねア~エまで文字を使って表すことができましたオの長方形の対角線の長さを求めるのは 3 年生で学習する三平方の定理を使います面積や周の長さなどの具体的な事象を文字で表すことで文字式が何を表しているのかをよみとることが大切ですのワンポイントアドバイス 2( a + ) は何かの2 倍だから答えはイかエかな三角形の 3 つの辺には面積や周の長さがどう表されるかも 2つの辺の長さの和は残りの1つの辺の長さより大きいという関係があります覚えておきましょう考える必要があるんじゃない? この関係を使えばまずア ~ オまでの中で自分で文字を使って表せるものを見てみましょう長方形の面積は分かるよ長方形の面積 = 縦横だから a = a だよということはアは違うねイの長方形の面積の 2 倍も a の 2 倍だから a 2 = 2a になるのでイも違うわね長方形の対角線の長さ < 長方形の縦の長さと横の長さの和 (a+) となることが分かるのでオの長方形の対角線の長さは答えでないことが分かります a じゃあエの長方形の周の長さの 2 倍が答えじゃないかなそうかしら? 長方形の周の長さがどう表されるかも考えてみましょうよ長方形の図を使って考えてみましょう出題本問は平成 19 年度全国学力学習状況調査数学 A2(3) を参考にしました a は長方形の縦の長さは横の長さ学習指導要領の領域 = 数と式を表しているよ評価の観点 = 数学的な表現処理縦と横を 2 回ずつたせば長方形 a 平均正答率 = 全国 ( 公立 ) 奈良県 ( 公立 ) 主な誤答例イと解答している 62.6% 66.3% 14.8% の周の長さになるわね

2 今日は具体的な事象を式で表すことについて考えてみましょうあっそうか縦の長さ 2 つと横の長さ 2 つを合わせるとひもの長さになるんだ長さ16cmのひもを使っていろいろな形の長方形を作ります長方形の縦の長さを変えると横の長さがどのように変わるかを調べます 1cm 7cm 2cm 6cm 長方形の縦の長さを cm 横の長さを y cmとするとき y をの式で表しなさい cm y cm あやさん ( 縦の長さ ) 2+( 横の長さ ) 2=( ひもの長さ ) になるわね式で表すと 2+ y 2=16 1 ですあやさん問題には y をの式で表しなさいと書いてあるわよ 1の式の両辺を2でわると + y =8 ですだから y をの式で表すと y =- +8 です 2 人ともよく考えましたと y の2つの数量の変化や特徴をもとにその関係を式で表すことが大切ですねのワンポイントアドバイス表やグラフを用いて 2つの数量の変化や対応を調べることもできます表縦の長さ (cm) 横の長さ (cm) この表から ( 縦の長さ )+( 横の長さ )=8 の関係があることが分かるので式で表すと + y =8 です y をの式で表すと y =- +8 となりますあやさんあやさん長方形の縦の長さが増えると横の長さは減るねわかったぞひもの長さは 16cm だから長方形の縦の長さと横の長さを合わせると 16cm になるよだから式で表すと + y =16 ですちょっとまってよ問題の最初にかいてある長方形は縦が 1cm で横が 7cm だから長方形の縦の長さと横の長さを合わせると 8cm になるわよひもの長さと長方形の縦と横の長さにはどんな関係があるのかな問題にかいてある 2 つめの長方形は縦が 2cm で横が 6cm だからこの長方形も縦の長さと横の長さを合わせると 8cm だね長方形の縦の辺と横の辺の数はそれぞれいくつあるかを考えてみましょう長方形は縦の辺も横の辺もそれぞれ 2 つありますあやさんグラフ表をもとに横軸に縦の長さ ( cm) を縦軸に横の長さ (y cm) をとるとグラフは次のような直線になるので y はの1 次関数ですグラフの変域にも注意しましょうも y も長さなので負の数はとれませんグラフの傾きは-1 y 軸上の切片は8 だから求める式は y =- +8となります y ψ 10 5 Ο 5 10 出題本問は平成 22 年度全国学力学習状況調査問題数学 A11(3) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数量関係評価の観点 = 数学的な表現処理平均正答率 = 全国 ( 公立 )22.9% 奈良県 ( 公立 )25.7% 主な誤答例 y = % 無解答 26.6% ξ

3 (2+7y)-2(-3y) を計算しましょう ( ) をはずせばい -2(-3y) のかっこいんだねをはずすのがむずかしそうだね分配法則を使ってかっこをはずすのよね分配法則は ( + )= + =2+7y-2+6y だよそうですねそれではかっこははずせました最後まで解いてみましょうあとは同類項をまとめるだけだよ 2+7y-2+6y =2-2+7y+6y =+13y ですちょっと待って! 答えは 13y だよあっそうか! 2-2=0になるんだ!! 同じ文字式どうしのひき算は 0になるよね答えは13yですそうです答えは13y ですそれでは計算の結果を確認しましょうどうして確認したらいいのかな? 与えられた式と計算したあとの式に具体的な数を代入したらどうでしょうか ( + ) = + だったね分配法則の意味についても理解しておこう下の図のように考えられたね (2+5y) 2 5y 2 5y 3 = (2+5y) = y とういうことは (2+7y)-2(-3y) =2+7y-2-6y だねそうじゃないよかっこをはずすとき注意しないといけないことがあったよねそうか! かっこをはずすときは符号に注意しないといけないんだ符号そうですねでは符号符号に注意して丁寧に途中式を書きながらもう一度かっこをはずしてみましょう (2+7y)-2(-3y) =2+7y-2-2 (-3y) そうか! 与えられた式と計算したあとの式に具体的な数を代入し値を比較して計算結果が一緒になるか調べたらいいんだたとえば =2 y=1を代入することにすると与えられた式は (2+7y)-2(-3y)=( )-2(2-3 1) =11+2 =13 そして計算したあとの式は 13y=13 1 =13 同じ値になりましたよくできました今日学習した分配法則を使った計算や同類項の整理は文字式の四則計算を正しく解いたり連立二元一次方程式を解いたり式を展開したりするときに必要になります出題本問は平成 19 年度全国学力学習状況調査数学 A2(1) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数と式評価の観点 = 数学的な表現処理平均正答率 = 全国 ( 公立 )72.9% 奈良県 ( 公立 )74.4% 主な誤答例 -2(-3y) の計算を誤っていると考えられる解答 6.4%

4 今日は連立方程式を解いてみましょうそうだったどちらかの文字を消去するんだったねどちらの文字を消去するのがいいのかな 1 の式は左辺が y だけの式になっているわよわかったぞ! 2 の式の y を 3-1 におきかえればいいんだ連立方程式 y =3-1 y の 2 つの文字があるよ y = の 3-1 を 2 の y に代入すると =16 になりますちょっとまって y を 3-1 におきかえるからを解きなさい文字がどちらか 1 つだけの式にすればいいわね代入した式は 3 +2(3-1)=16 になるんじゃない? ほかに解き方はありますか 1の式の右辺にある3 を左辺に移項すると -3 + y =-1 3となりますね 3の式と2の式をたせばを消去することができますそうですね次のような解き方になります 1の式の右辺にある3 を左辺に移項すると y = を計算すると y =-1 3 +) 3 +2 y = y =15 3 y =5 y =5を3に代入すると -3 +5=-1-3 =-6 =2 答 3 =2 y =5 どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ左辺どうし右辺どうしを加えたりひいたりしてその文字を消去して解く方法を加減法といいます問題によって解きやすい方法を選びましょうあっそうか 3-1 のような多項式を代入するときは ( ) をつけて代入するんだねそうですね次のように考えましょう y =3-1 1 ( 両辺を 2 倍 ) 2 y =2(3-1) 全体を 2 倍するので ( ) をつける連立方程式の解をグラフを使って求めることができます y = y =16 2 のワンポイントアドバイスについて方程式 1 2 のグラフは右の図の直線ですこの 2 つの直線の交点の座標は (2,5) で連立方程式の解になっています 2 のグラフ 1 のグラフ 3 +2(3-1)=16 のかっこをはずして整理すると = = =18 もうわかったよ答えは =2です y の値はどうなるのかな 1の式に =2を代入すればすぐに y の値がわかるわよ y =3 2-1を計算して y =5です =2 そのとおりです連立方程式の解はのようにまとめてかきます y =5 このように一方の式を他方の式に代入することによって 1つの文字を消去して解く方法を代入法といいます出題本問は平成 20 年度全国学力学習状況調査問題数学 A 3( 4) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数と式評価の観点 = 数学的な表現処理平均正答率 = 全国 ( 公立 ) 76.7% 奈良県 ( 公立 )79.2% 無解答率 10.7%

5 右のようになります y ψ 今日は次の問題を考えましょう Ο ξ (3) 二元一次方程式 -y=1 の解である y の値の組について下のアからエの中から正しいものを 1 つ選びなさいア解である y の値の組はないイ解である y の値の組は 1 つだけあるウ解である y の値の組は 2 つだけあるエ解である y の値の組は無数にある yの値は整数だけじゃなくって例えば =1.2 y=0.2も解になるわね yの値の組を座標とする点をどんどん多くとってグラフをかくと右のような直線になりそうね 4 5 ψ y Ο ξ 1 2 =2 y=1のとき成り立つのでイだと思いますそうかな他にも yの値の組がありそうよ =3 y=2のときも成り立ちますそうだね他にもありそうだね? そうね =4 y=3のときも =5 y=4のときも成り立ちますあっそうかからyを引いたとき 1になればいいんだ表にまとめてみましょう y そうだった直線は点の集まりだから y の値の組は無数にあることになるね直線上にあるすべての点が -y=1 の解なので y の値の組は無数にありますだから答えはエですよく考えました二元一次方程式 -y=1 を y について解くと y=-1 となるので上のグラフは 1 次関数のグラフになっており傾き 1 y 切片が -1 の直線であることが分かります二元一次方程式 -y=1 をグラフに表すことで解である y の値の組は無数にあることが分かりやすくなりましたねと y の値が負の数のときも考えられるんじゃないかな上の表の y の値の組を座標とする点をとってグラフをかいてみましょう出題本文は平成 20 年度全国学力学習状況調査数学 A3(3) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数と式評価の観点 = 数量図形などについての知識理解平均正答率 = 全国 ( 公立 )58.0% 奈良県 ( 公立 )65.7% 主な誤答例イと解答している 21.3%

6 今日は 2 けたの自然数について予想されたことがらが成り立つ理由を説明する方法を学習しましょう : いいことに気がついたねこの問題は 21+12= = = 自然数 82+28= =11 ( 自然数 ) 式を 11 ( 自然数 ) の形にすれば 11 の倍数であることが説明できますたくまさん : そうか!!11 の倍数であることを説明するには式の形が 11 と自然数の積になることをいえばいいんだあやさん : 式を 11 ( 自然数 ) の形にして結論とその根拠を文字式を用いて表さないといたくまさん : けないよ (10+y)+(10y+)=11+11y =11(+y) +y は自然数だから 11(+y) は 11 の倍数である根拠結論 21+12=33 のように 2 けたの自然数とその数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は 11 の倍数になるんだねどんな 2 けたの自然数でもそうなるのか? となればいいのかなあやさん : そうだねこの問題は (10+y)+(10y+)=11+11y 11 11yが11の倍数で11の倍数の和は11の倍数だから 11+11yは11の倍数であるたくまさん例えば2けたの自然数が54だと54+45=99になって 99は11 9だから11の倍数になるよあやさんたくまさん : 本当だ! それでは (1) に当てはまる式はどうなるでしょう 82の十の位の数と一の位の数を入れかえた数は28だからたくまさん (1) には 82+28=110 とかけばいいねあやさんそうだね 82+28のままで和を求めていなかったり和の110だけでは不十分になりますよ : そうですねでは (2) を考えましょうたくまさん :(2) は説明を完成させる問題だねの中の=の後には 11+11y とかけばいいのかなあやさん : それだけだと文字式の計算をしただけで説明したことになるのかしら? としてもいいね : 二人ともよくできましたね文字式の計算をするだけでなくどうして 11(+y) や11+11yが11の倍数を表しているのかをだからと根拠をあげて説明しないといけないね次の問題にもチャレンジしてみよう 2けたの自然数とその数の十の位と一の位を入れかえた数の差はどんな数になるかを考えその予想が正しいことを説明してみよう出題本問は, 平成 20 年度全国学力学習状況調査数学 B2(1)(2) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数と式評価の観点 = 数学的な見方や考え方平均正答率 =(1) 全国 ( 公立 )76.9% 奈良県 ( 公立 )76.2% (2) 全国 ( 公立 ) 44.6% 奈良県 ( 公立 ) 38.6% 主な誤答例 (1)82+28のみを解答しているもの 7.9% (2) 無解答 26.8%

7 今日は一次関数の表からと y の関係を式に表すことについて考えてみましょう下の表はある一次関数についての値と y の値の関係を示したものです y をの式で表しなさいある人が時速 3km で一本道を東から西へ歩いています一本道には A 地点とB 地点があり B 地点はA 地点から西へ 5km のところにありますその人が B 地点を通過してから時間後に A 地点から西の方向に y km の位置にいるとします時速 3km 東 A 5km B 西 y km y まさきくん : たとえば表の =1 のとき y=8 はある人が B 地点を通過して 1 時間後に A 地点より西の方向に 8km の位置にいたということだねはるかさん : 表の =-2 のとき y=-1 はある人が B 地点を通過する 2 時間前に A 地点まさきくん一次関数の表の特徴は何だったかな? の値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるよはるかさんより東の方向に 1km の位置にいたことを表しているのね : その通りですある人は 1 時間ごとに ( の値が1 ずつ増える ) 西へ 3km ずつ移動している ( y の値が3 ずつ増える ) ことになります次にある人の A 地点からの位置を言葉の式で表しましょう : 一次関数の表の特徴はの値が 1 ずつ増えるとき y の値が一定の値だけ増えたり減はるかさん : 言葉の式で表すと下のようになるねったりすることだったねそれでは一次関数はどのような式で表されますかはるかさん : 一次関数は y がの 1 次式で表されます A 地点からの = 時速 3km 位置ある人が B 地点を通過してからの時間 + A 地点から B 地点までの距離まさきくん : それじゃの値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるから答えは y=3 だはるかさん : そうかしら y=3 の式だと確かにの値が 1 ずつ増えると y の値が 3 ずつ増えるけまさきくん : A 地点からの位置は y 時速 3km は 3 ある人が B 地点を通過してからの時間は A 地点から B 地点までの距離は 5 だから言葉の式にあてはめると y=3+5 れど表を見るとの値が 0 のとき y の値が 5 になっているわよまさきくん : 本当だ y=3 の式だとの値が 0 のとき y の値は 0 になってしまうねになるよのワンポイントアドバイス :1 次式は 1 次の項と数の項の和で表されるので一次関数を表す式は次のようになります a を定数としたとき一次関数は次のように表される y = a + 1 次の項数の項一次関数の表と式の関係は次のようにまとめられます具体的な例を通して一次関数の特徴を理解しましょう y = a + の値が 1 ずつ増えるときの y の増減の値 =0 のときの y の値まさきくん : そうかの値が 0 のとき y の値が 5 になっているからの値は 5 だねはるかさん :y=3+5 が答えになります : そうですねそれでは具体的な例を通して一次関数の特徴を見てみましょう出題本問は平成 20 年度全国学力学習状況調査数学 A12(2) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数量関係平均正答率 = 全国 ( 公立 ) 36.6% 奈良県 ( 公立 ) 37.1% 主な誤答例正答 3+5 以外の一次関数の式 a+ を解答している 3 と解答している

今日は 1 次関数について学習しましょうゆいさん : 分かったわ 1 次関数の式は,y=a+ と表すことができて変化の割合は a の値に一致するはずだわだから a の値は -3 ですとしさん : 変化の割合が -3 だからの増加量が 1 のとき y の増加量は -3 ということになるんだよだから問題の表は下のようになるね 1 2-3 ゆいさん :

としさん : 変化の割合が -3 であるとかいてあるよ変化の割合とは何だったかな答はウだと思うよそれは表を見ると y の値が -2 と -5 とかいてあるからだよこの表だけでは式は分からないよだって y=-5 のときのの値が分からないんだから : 変化の割合とはの増加量に対する y の増加量の割合のことです y の増加量 1 次関数では変化の割合は一定ですね変化の割合 =

8 今日は 1 次関数について学習しましょうゆいさん : 分かったわ 1 次関数の式は,y=a+ と表すことができて変化の割合は a の値に一致するはずだわだから a の値は -3 ですとしさん : 変化の割合が -3 だからの増加量が 1 のとき y の増加量は -3 ということになるんだよだから問題の表は下のようになるねゆいさん : いろいろな方法で求めることができそうねとしさんの考えゆいさんの考え変化の割合が -3 変化の割合が -3 としさんでもウの式に =1 y=-2 を代入したら等式は成り立たないよ -2= =-7 ゆいさん : そうだねこの表からは,=1 のとき,y=-2 になることしか分からないね表以外から他に分かることはないかな? としさん : 変化の割合が -3 であるとかいてあるよ変化の割合とは何だったかな答はウだと思うよそれは表を見ると y の値が -2 と -5 とかいてあるからだよこの表だけでは式は分からないよだって y=-5 のときのの値が分からないんだから : 変化の割合とはの増加量に対する y の増加量の割合のことです y の増加量 1 次関数では変化の割合は一定ですね変化の割合 = の増加量の増加量が 1 のとき y の増加量は -3 y=a+ の a= y=-3+ に = y=-2 を代入する y 切片 -3-3 =1 1 次関数 y=a+ の変化の割合 a a=-3 =1 y=-3+1 y=-3+1 : そうですね 1 次関数の式は y=-3+1 です答はオです 1 次関数の式を求めるためには, 求める 1 次関数を y=a+ として a との値を求めればよいのです a は変化の割合この 1 次関数のグラフの傾きを表しは =0 のときの y の値と等しくこの 1 次関数のグラフの y 軸上の切片といいます表 =0 のときの y の値式定数項切片 y= y グラフ変化の割合の係数傾き出題本問は, 平成 21 年度全国学力学習状況調査問題学習指導要領の領域 = 数量関係評価の観点 = 数量図形などについての知識理解平均正答率 = 全国 ( 公立 )52.3% 奈良県 ( 公立 )54.9% 数学 A11(3) を参考にしました

9 今日は 1 次関数の式とグラフについて学習しましょうウエオのグラフの違いは何かな? あやさんあやさんまさきさんまさきさんグラフがy 軸と交わっているところが違いますグラフとy 軸との交点のy 座標をこのグラフのy 軸上の切片切片というんだ切片ねこの問題の式は y=-3+2だから切片は 2 ですグラフとy 軸との交点は (0,2) ということだから y=-3+2のグラフはエですそうですね y=-3+2のグラフはエですでは今日学習したことをまとめておきましょう y= a +のグラフ切片 y= a + 傾き y グラフ y アだと思います右上がりの直線になるのかな 0 0 a >0のとき a <0のときグラフは右上がりグラフは右下がり二人ともよくできたね式とグラフを関連付けて理解することが大切ですまさきさんあやさん 1 次関数 y=-3+2 の式で -3 と 2 は何を表しているのかな? あやさんあやさんまさきさん -3 は傾きを表しています傾きはの増加量増加量が 1 のときの yの増加量増加量を表していますしていますそうか! 傾きが -3 ということはの増加量が 1 のときの y の増加量は -3 だよだからが 1 増えると y は 3 減るんだということは y=-3+2 のグラフは右下がりの直線になるからウエオの中のどれかになります出題本問は平成 19 年度全国学力学習状況調査数学 A11(2) を参考にしました学習指導要領の領域 = 数量関係評価の観点 = 数量図形などについての知識理解平均正答率 = 全国 ( 公立 )59.7% 奈良県 ( 公立 )59.5% 主な誤答例アと解答している 12.7%

【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(連立方程式計算/加減法/代入法/係数決定)

【FdData中間期末過去問題】中学数学2年(連立方程式計算/加減法/代入法/係数決定) FdData 中間期末 : 中学数学年 : 連立方程式計算 [ 元 1 次方程式 / 加減法 / 代入法 / 加減法と代入法 / 分数などのある連立方程式 / A=B=C, 元連立方程式 / 係数の決定 ] [ 数学年 pdf ファイル一覧 ] 元 1 次方程式次の方程式ア~カの中から, 元 1 次方程式をすべて選べア y = 6 イ x y = 5 ウ xy = 1 エ x + 5 = 9