() () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, =

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1 図形の性質演習題 解法例 //F,F// より, 四角形 F は平行四辺形である よって,=F は の中点だから,= ~ より, 四角形 F は平行四辺形である したがって, 平行四辺形 F の対角線の交点を P とすると, 平行四辺形の性質より,P=P P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 また, 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7 より, は, 中線 P を : に内分する点だから, F の重心である 解法例 P と PF において,F//,= より,P=P P= FP( 対頂角 ) //F より, P= PF ~ より, 辺の長さととその両端の角の大きさがそれぞれ等しいから, P PF よって,P=P P=P すなわち P= 5 より,P は F の頂点 から辺 F に引いた中線である 6 条件より,= であることと 5 より,:P=: 7 よって,6,7 より, は, 中線 P を : に内分する点だから, F の重心である F P

2 () () () F において, チェバの定理より, = F 5 F F 7 これと条件より, = よって, = すなわち F:F=7:0 F 7 F 0 FO F と直線 について, メネラウスの定理より, = F O 5 7 FO これと条件および () より, = 0 O FO よって, = すなわち O:OF=7: O 7 解法 の面積を S とすると, O ΔO = ΔF F O F = S F 7 7 = S = S OF ΔO = S F = S 7 + = S ΔO = S - æ = S - ç è 0 = S ( ΔO + ΔO) 7 S + ö S ø よって, O: O: O=7::0

3 解法 の面積を S とすると, O ΔO = S O ここで, と直線 について, メネラウスの定理より, = O 7 O すなわち = よって,O:O=: 7 O ゆえに, ΔO = S = + OF ΔO = S F = S 7 + = S ΔO = S - æ = S - ç è 0 = S 7 ( ΔO + ΔO) 7 S + ö S ø よって, O: O: O=7::0 S O F

4 5 つの中線の交点を G とすると, 三角形の存在条件より, G において, G + G > G において, G + G > G において, G + G > よって,++より, ( G + G + G) > すなわち G G + G > ( + + ) また,G は の重心だから, G = GL, G = GM, G = GN + 5 これらをに代入し, 整理すると, GL GM + GN > ( + + ) +5より, ( G + GL) + ( G + GM) + ( G + GN) > ( + + ) すなわち L + M + N > ( + + ) N G M L

5 6 解法 直線 と直線 の交点を とする と O において, が共通 //O より, 同位角が等しいから, = O, より, 対応する角の大きさがそれぞれ等しいから, O よって, O = = O これと =, O =, = より, = O = 6 \ = - = と O において, 四角形 は円に内接するから, 内接四角形の性質より, = O これと より, 対応する角の大きさがそれぞれ等しいから, O よって, = O これと, =, O =, = () より, = = = 5 O,5より, = - = - = 7 O 5

6 解法 O と の交点を とする 直径の円周角より, =0 これと //O より, O= =0 よって, 直角三角形 O および直角三角形 において, 三平方の定理より, それぞれ æ ö 8 = O - O = ç - O = - O è ø æ ö 8 = - = - - è ø ( O - O) = - ç - O = - + O O だから, - O = - + O - O より, O = 直角三角形 と直角三角形 O において, 直角でない角 と O が等しいから, O よって, = O O 7 これと = およびより, = O = = 7 O O O 6

7 8 () KH において, FH//K かつ FH 直線 H より,K 直線 H H は の垂心だから, 直線 H 直線 すなわち KH 直線, および は直線 H と直線 の交点であることから, は KH の垂心である よって, 直線 K 直線 H また,H は の垂心だから, 直線 直線 H ゆえに,,より,K// すなわち K// () K// より,H:H=H:HK 5 FH//K より,H:HK=F:F 6 5,6より,H:H=F:F K H F 7

8 補足 : 超有名問題 F //F//,=p,=q,F=x とする x を p と q を用いて表わせ 略解 // より, よって,:=:=p:q ゆえに,:=p:p+q F// より, F よって,F:=: すなわち x:q=: これと より,x:q=p:p+q \ x = pq p + q 8

9 ÐI = a, ÐI = b とおくと,I,I はそれぞれ, の 等分線だから, ÐI = ÐI = a, ÐI = ÐI = b よって, Ð = 80 - ( Ð + Ð) ( a b ) = I の外接円において, 弧 I の中心角と円周角の関係より, Ð I = ÐI = b 弧 I の中心角と円周角の関係より, Ð I = ÐI = a よって, Ð = ÐI + ÐI = b + a,より, Ð + Ð = 80 対角の和が 80 だから, 四角形 は円に内接する すなわち,,,, は つの円周上にある I

10 0 () () 5 辺の長さが æ ç 5 è 解説 ö ø 50 = 7 の立方体 立体の各頂点を下図のように P,Q,R,S,T,U,V,W とする S P R Q W T V U F 0

11 まず, 正八面体の を頂点, を底面とする正四角錐の部分について考える 条件より,P,Q,R,S は合同な正三角形,,, のそれぞれの頂点 からの中線を : に内分する点である したがって, 正四角錐 を平面 PR で切断した断面は下図のようになる ただし,M,N はそれぞれ中線 P,R と辺, の交点である R P N M P R M 5 N

12 M,N はそれぞれ正方形 の辺, の中点だから, MN は辺 の長さすなわち正八面体の 辺の長さと等しい よって,MN=5 また,P:PM=R:RN=: より, PR と MN の相似比は : だから, 0 PR = MN = 0 同様にして, RS = よって, 四角形 PQRS は対角線の長さが等しい 0 これと対角線が直交することから, 四角形 PQRS は対角線の長さがの正方形である 0 5 ゆえに, 正方形 PQRS は 辺の長さが = の正方形である S P 0 R 正四角錐の部分の頂点を点 以外にとって, 同様にすると, 立体の各面はすべて正方形 PQRS と合同となる よって, 立体 PQRSTUVW は立方体である Q

13 () 多面体を構成している f 個の三角形の辺の総数は f である f これと多面体の 辺は つの三角形が 辺を共有していることから, e = これをオイラーの多面体定理 v - e + f = に代入し, 整理すると, v = f + 多面体の 辺 () 多面体を構成している e 本の線分の両端の数は e また, 多面体の つの頂点に集まる辺の数を n とすると, 多面体を, それを構成している e 本の線分に分解したとき, その両端の数は nv e よって, nv = e すなわち v = n f f これと e = より, v = n f これを v = f + に代入すると, = f + n 両辺を n 倍すると, 6 f nf + n よって, f n = 6 - n ここで, n の値の範囲について, = より, ( 6 - n) f = n f > 0 より, 6 - n > 0 これと n は自然数であることから, n < 5 また, 多面体の つの頂点に少なくとも つの面が集まるから, n ³ よって, n 5

14 ゆえに, n = のとき f = すなわち四面体 n = のとき f = 8 すなわち八面体 n = 5 のとき f = 0 すなわち二十面体