( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分定義命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数に対して, π()

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はなあきくぼ
5 years ago
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1 伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊数研通信 70 号を読んでチェビシェフの定理の精密化と.5 の間に素数がある伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊さい才の野せ瀬いちろう一郎伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊伊 0. はじめにこのたび, 数研通信数学 No.70 の一松信先生の記事に関しまして, とても興味をもちましたので筆をとりましたチェビシェフの定理との間に素数があるについて, 私自身もエルデーシュの証明等を参考にしながら考えてみたことがありますが, 今回の一松先生の証明は実質わずか 3 ページ分の分量で要点をついたわかりやすいものであり, 大変驚きましたそこで, チェビシェフの定理の条件をもう少しきつくしたものを考えたので, 報告します. 主題素数に関するチェビシェフの定理以上の自然数に対して,<p< を満たす素数が存在するを少し精密化して, 8 以上の自然数に対して,<p<.5 を満たす素数 p が存在することを高校数学 Ⅲ 微分積分の知識を用いて示そうなお, 議論の要点は, スターリングの公式の精度を少し落とした不等式を証明した上で, 命題 8 の数列 A に用いるところにある. 本論定義 p 指数自然数 Mを素因数分解したときの素数 p に関する因数が p であるとき,d をMについての p 指数と呼び,v(p)=d と表すなお,M が p を素因数にもたないときは, v(p)=0 であるこのとき,M の素因数分解が M = p と表せるこれは,M 以下のすべての素数 p にわたる p の積を表す自然対数をとると,logM = v(p) log p と書けるなお, このレポートを通して, 文字 p は必ず素数を表す命題階乗の p 指数自然数を素数 p による p 進展開で =a p +a p + +a p +a p+a ( ただし, 各 j について 0 a p,a ) と表すとき,r= log log p ( p <p ) であるこのとき,M=! についての p 指数は v(p)= p である ( 和の上限は,r 以上であればよい ) ( 証明 ) p <p r log p log <(r+)log p r log log p <r+ r= log log p となる以下の自然数の中で,p 指数が j 以上となるものは,p 進展開したときの ( j ) 次以下の係数がすべて 0 の場合であるから N = p =ap +a p +a p + +a p+a 個あり, 指数がちょうど j となるものは N N 個であるから,! に関する p 指数は j(n N )= jn jn = jn ( j )N = N

2 ( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分定義命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数に対して, π()=( 以下の素数の個数 ) θ()= log p ( p は以下の全ての素数 p を渡る ) とおくなお,θ() θ()>0 ( ) がチェビシェフの定理の十分条件を与え,θ(.5) θ()>0 ( 8) が主題の十分条件を与えることに注意するまた, 次の細かい点を指摘しておくが自然数でのときに (>) は素数ではない同様に, 8 で.5 が自然数となるときは,.5 (>3) は 3 の倍数となり素数ではない命題スターリングの公式 ( 高校版 ) 自然数 ( ) に対して, 不等式 log + log(!) log +log + が成り立つ ( 証明 ) k を任意の自然数とする k <k+ のとき,f ()=log k, g()=log(k+) というつの階段関数 f () と g() を定義すると, において f () log g() となるから, 定積分をとって f ()d log d g()d ここで, f ()d=log +log +log 3 + +log( )=log( )! g()d=log +log 3+log 4 + +log =log(!) logd= log = log + となるから log( )! log + log(!) 左側の不等式の両辺に log を加えると, log( )!+log =log(!) から log(!) log +log + を得る ( 証明 ) 実数の整数部分を m, 小数部分を a とするすなわち,m=[],a= [] であり,=m+a と表せる ⑴ 0 a< のとき =(m) m=0, a< のとき =(m+) (m)= ⑵ 0 a< 6 のとき, =(6m)+(m) (4m) (3m) m=0 6 a< 4 のとき, =(6m+)+(m) (4m) (3m) m= 4 a< 3 のとき, =(6m+)+(m) (4m+) (3m) m=0 3 a< のとき, =(6m+)+(m) (4m+) (3m+) m =0 a< 3 のとき, =(6m+3)+(m+) (4m+) (3m+) m = 3 a< 3 4 のとき, =(6m+4)+(m+) (4m+) (3m+) m = 3 4 a< 5 6 のとき, =(6m+4)+(m+) (4m+3) (3m+) m =0 5 a< のとき, 6 =(6m+5)+(m+) (4m+3) (3m+) m = 3

3 命題 4 を自然数とするとき, N = C= (+)! (+)!! とおくと, 次の不等式が成り立つ ⑴ N ⑵ Π p N ( 左辺は,+<p + を満たす全ての素数 p の積を表す ) ⑶ θ(+) θ() log ⑷ θ() θ() log ⑸ θ() log ( 証明 ) ⑴ C= C と二項定理により = C+ C+ + C+ C + + C N 両辺をで割ると, N を得る ⑵ のとき, + + に注意する +<p + とすると,+<p となるから,N の p 指数は ( 命題で r= の場合 ) v(p)= + p + p p = 0 0= これが結論であった ⑶ ⑴,⑵から, θ(+) θ(+)= log p log N log ⑷ + は素数でない ( ) から,⑶により, θ(+) θ(+)=θ(+) θ(+) log (+) log となり, のときに不等式が成り立つことがわかる = のときも θ() θ()=log<log ⑸ に関する帰納法を用いる =, のとき, θ()=0<log,θ()=log < log から不等式が成り立つ =m 以下の自然数については不等式が成り立つと仮定する =m+,m+ のとき, まず θ(m+)={θ(m+) θ(m+)}+θ(m+) m log +(m+) log =(m+) log ここで, 不等式は⑶と帰納法の仮定による次に, θ(m+)={θ(m+) θ(m+)}+θ(m+) (m+) log +(m+) log =(m+) log ここで不等式は⑷と帰納法の仮定による命題 5 実数 (>0) に対して,θ() log が成り立つ ( 証明 ) ⑴ 0<< のときは ( 左辺 )=0<( 右辺 ) のときは, 命題 4 ⑸により θ()=θ([]) [] log log 命題 6 実数のとき,0 log 9 4 り立つ ( 証明 ) において関数 f ()= log = log とおくと, f ()= 6 log + = 6 (log 6) が成 f () は, e において増加し,e において減少するから,=e のときが最大である f () f (e )= 6 e < 6.7 < 9 4 命題 7 関数 f()= log 5log 5 について, 6 のとき f ()>0 が成り立つ ( 証明 ) 6 のとき f ()>0, かつ f (6 )>0 を示せばよい f ()= log ( 命題 6) = (6 ) (6 ) 5 (6 ) ( 6 ) =09 6 >0 f (6 )= 6 (6 ) log(6 ) 5 log(6 ) 5 4

4 = log 6>0 ( log 6<) 命題 8 A の定義と p 指数自然数 ( ) に対して, A (6)! ()! = (4)! (3)!! とするさらに,p を任意の素数とするとき, r= log 6 log p (p 6<p ) とし, 分子 (6)! ()! の p 指数を u 分母 (4)! (3)!! の p 指数を w とおくと, 次が成り立つ ⑴ 0 u w r ⑵ A は自然数である ⑶ A の p 指数を v とするとき,p 6 すなわち,v log p log 6 特に,A の素因数は 6 より小さい ⑷ 6 <p のとき,A の p 指数は以下 ⑸ 4<p<6 のとき,A の p 指数は ⑹ <p<4 のとき,A の p 指数は 0 ( 証明 ) より, 6 < に注意する ⑴ r= log 6 log p (p 6<p ) とする p を素数とするとき,(6)! の p 指数は 6 p であった ( 命題 ) 同様にして,(6)! ()! の p 指数は, u= 6 p + p (4)! (3)!! の p 指数は, w= 4 p + 3 p + p ここで, 命題 3 ⑵を用いて u w= 6 p + p 4 p 3 p p = (0または ) ゆえに 0 u w r ⑵ すべての素数 p に対して u w より A は自然数となる ⑶ A の p 指数が v=u w r により p p 6 自然対数をとると v log p log 6 ⑷ 6 <p のとき, v= 6 p + p 4 p 3 p p =( 0 または ) ( r=) ⑸ ( 6 <)4<p<6 のとき, 6 < p < 4 から v= 6 p + p 4 p 3 p p = = ⑹ ( 6 <)<p<3 のとき, 3 < p < から v= 6 p + p 4 p 3 p p =+0 0=0 3<p<4 のとき, 4 < p < 3 から v= 6 p + p 4 p 3 p p =+0 0 0=0 命題 9 θ(6) θ(4) の評価自然数に対して, 次の不等式が成り立つ ⑴ のとき, log A θ(6) θ(4)+4 log+ 6 log6 3 log A 3 log 3 3 log 5 θ(6) θ(4) log log 6 3 log 5 6 ⑵ 6 =7776 のとき, θ(6) θ(4)> log 6 ( 証明 ) ⑴ : 自然数 A の素因数 p の p 指数を v(p) と表すと,p<6 から log A = v(p)log p = v(p)log p+ v(p)log p + v(p)log p+ v(p)log p ここで, v(p)log p v(p)log6=π( 6 )log6 6 log 6 また, 命題 8 ⑷ と命題 5 により v(p)log p 4 log log p log p=θ() v(p)log p=0 ( 命題 8 ⑹) さらに, 命題 8 ⑸により v(p)log p= log p=θ(6) θ(4) 5

5 以上から,log A θ(6) θ(4) +4 log + 6 log 6 : 命題のスターリングの公式 ( 高校版 ) より log A =log(6)!+log()! log(4)! log(3)! log(!) {6 log6 6+}+{ log +} {4 log 4 4+log 4+} {3 log 3 3+log 3+} { log +log +} =3 log 3 3 log log >3 log 3 3 log 5 ( log <4) 3:,から θ(6) θ(4)+4 log + 6 log 6 3 log 3 3 log 5 θ(6) θ(4) log 7 6 log log 5 ⑵ ここで,log 7 6 =0.5 > により θ(6) θ(4)> 6 log 6 3 log 5 > 6 6 log 6 3 log 6 5 ( log <log 6) 命題 7 の関数 f () を用いると, = f (6)+ log 6 log 6 命題 0 は自然数とする ⑴ 4 6 =304 のとき,θ(.5) θ()>0 ⑵ 8 <4 6 のとき,θ(.5) θ()>0 ( 証明 ) ⑴ 4m <4(m+) となる自然数 m ( 6 ) をとる 4m<p<6m となる素数 p の中で, <p.5 に属さない可能性があるものは, p=4m+,4m+3 の個だけであるから, 命題 9 ⑵により θ(.5) θ() θ(6m) θ(4m) log(4m+) log(4m+3) > log(6m) log(4m+) log(4m+3)>0 ⑵ <304 のときは, 素数の列 =p <p <p <p で,p <.5p かつ 304<p を満たすものが存在すればよい実際, 次の列がそうである,3,9,3,3,43,6,89,3,93,83, 4,63,94,409,3,369,475,7, 0667,599,398,3 定理主題 8 以上の自然数に対して,<p<.5 を満たす素数 p が少なくとも個存在する ( 証明 ) 命題 0⑴と⑵から,8 以上の自然数に対して θ(.5) θ()>0 したがって,<p<.5 を満たす素数 p が少なくとも個存在する参考文献一松信との間に素数がある数研通信数学 No.70 pp. 5 末綱恕一解析的整数論岩波書店 pp Erdös Bewis eies Satzes vo Tshebyschef Acta.Sci.Math.(Szeged),5,pp 高木貞治解析概論 ( 改訂第三版 ) 岩波書店 pp ( 広島市立基町高等学校 ) 6

( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分 定義 命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数 に対して, π()

( 最初の等号は,N =0, 番目は,j= のとき j =0 による ) j>r のときは p =0 から和の上限は r で十分定義命題 3 ⑵ 実数 ( 0) に対して, ⑴ =[] []=( 0 または ) =[6]+[] [4] [3] [] =( 0 または ) 実数に対して, π()