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しなつとべ
5 years ago
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本講義のスコープ都市防災工学後半第回 : イントロダクション千葉大学大学院工学研究科建築都市科学専攻都市環境システムコース岡野創耐震工学の専門家として知っていた方が良いが敷居が高く入り口で挫折しがちな分野をいくつか取り上げて説明ランダム振動論地震波形に対する構造物応答の理論的把握減衰と地震応答エネルギーバランス地震動の各種スペクトルの相互関係震源モデル

1 本講義のスコープ都市防災工学後半第回 : イントロダクション千葉大学大学院工学研究科建築都市科学専攻都市環境システムコース岡野創耐震工学の専門家として知っていた方が良いが敷居が高く入り口で挫折しがちな分野をいくつか取り上げて説明ランダム振動論地震波形に対する構造物応答の理論的把握減衰と地震応答エネルギーバランス地震動の各種スペクトルの相互関係震源モデル近年では震源モデルによる地震動予測が良く行われている確率論的地震動評価 ( 地震危険度解析 ) 確定的な地震予知 (ex. 東海地震 ) 実質的に断念地震調査研究推進本部では年以降確率的な予測 ( 長期評価 ) を行うという立場に変化した講義予定. イントロダクション (+ 確率過程とは?). 確率過程の周波数特性と入出力関係 3. 断層モデルと地震動のスペクトル特性 4. 時間領域の定常非定常ランダム応答 5. エネルギーバランス 6. 最大値分布 ( ピークファクター ) 7. 地震動の特性を表す各種スペクトル間の相互関係 8. 確率的地震評価 ( 地震危険度解析 ) 参考書ランダム振動. 耐震構造解析 6 章, 柴田明徳, 森北出版,4, 円 ( 親切 ). Probbilistic Structurl Dyics, Y K Li ( 難しい ) 地震動 ( 震源モデル ) 3. 地震の物理, 金森博雄, 岩波書店 ( 比較的親切 ): 絶版中 4. 地震動-その合成と波形処理-, 理論地震動研究会, 鹿島出版会,( 比較的親切 ): 絶版中 5. 地震学定量的アプローチ, 安芸敬一, 古今書院,7,8 円 ( 難しい ) 地震危険度解析の5 章の7 章 ( 結果のみ ) 数学公式集数学公式 Ⅰ, Ⅱ, 岩波書店 ( 講義中で引用 ) 3

2 ( アンサンブル平均向ランダム振動論 ( 不規則振動論 ) って何? 地震動を確率過程 ( 後述 ) として構造物の応答を求める理論学部の振動工学で学んだ理論は決定論的応答解析確定的に与えられた入力地震動波形に対して応答を求めている観測記録のような地震波形は調和波などに比べて見かけは不規則 ( ランダム ) であるが厳密には不規則 ( ランダム ) とは呼ばない観測された段階で決定していて予測不能な不規則な振る舞いをするわけではないのでなぜ地震動を確率過程として扱うのか? 地震動は多くの複雑な要因 ( 震源伝播経路 etc) に支配されるランダム現象であるから地震の強さや波形を完全に予測することは不可能だから ( 公式の立場 ) ランダム振動論の特色利点 4 確率過程って何? 確率過程 (rdo processまたはstochstic process) とは時間とともに変化する確率変数ある時刻の状態 ( 変数 ) が確率的に記述される現象 ( 時間依存だから processと呼ばれる ) と言ってもよい例 : ポアソン過程単位時間の発生確率 λが一定 ( 定常到着 ) t 時間に回発生する確率 : ポアソン分布 P t t t! e 確率過程が適用される分野経済の動的変動は確率過程として扱われている株価などの変動 5 地震動を確率過程 (rdo process) として扱う各時刻 t の振幅 X(t) が確率分布として記述される時刻歴は確率過程とみなせる乱数位相を用いて作成される模擬波は確率過程のサンプルと見なすことができる右図のようなサンプル波の確率密度関数が与えられているとする f x ;t X f X x ; t, x; t この確率過程の平均値 μ X は X t x t x t f x tdx X ; サンプル方向の期待値 (.) (.) Guss 過程では X は正規分布になる (.3) 確率過程 Xのサンプル波の集合 =アンサンブル 6 自己相関と相互相関関数自己相関関数 t =t の場合 t, t xt xt xt xt f X x; t, x; t dxdx アンサンブル平均 φ t, t x t 相互相関関数 X, Y t, t xt yt x t y t f X, Y x; t, y; t dxdx y(t) 期y 待値をy 求y(t) めy る方) 確率過程 X( 入力 ) y 確率過程 Y( 出力 ) 7

3 定常確率過程 (sttiory rdo process) 確率的な特性が原点に依存しない確率過程を定常確率過程 (Sttiory rdo process) と呼ぶ定常確率過程 ( 以下定常過程と略記 ) では原点をcだけ移動しても確率分布は変わらないので次式が成り立つ fx x ; t fx x; t c (.4) f x ; t, x ; t f x ; t c, x t c (.5) X X ; 定常過程では原点 t に依存しないので自己相関関数は以下のように書くことができる φ t, t xt xt xt xt τ τ (.6) 8 ( 定常過程の ) 自己相関関数の性質定常過程においては以下に示すように自己相関関数は偶関数となる X t X t X t' X t' また次の性質も成り立つ (.7) 上式が成り立つことは次のように証明できる x t xt X t X t X t X t 上式は常にゼロ以上であることから判別式が負でなければならない直感的には当然 (.8) (.9) (.) 9 ( 定常過程の ) 相互相関関数の性質 () 相互相関 t, t xt yt X, Y 定常過程では x t y t X, Y X,Y を入れ替えると yt xt yt xt Y, X X, Y (.) (.) 相互相関関数の性質 () 以下の期待値を考える XY x t yt x t x t yt yt XY YY YY この期待値は常に以上であることから判別式は負でならなければならないこの期待値は常に以上となるので判別式は負より XY XY ( ) ( ) YY YY, を考慮すると右側の式のように書いても良い YY 式 (.5) は例えばXが入力 Yが出力とすると入出力の自己相関で基準化した相互相関の絶対値はより小さくなることを表している (.3) (.4) (.5)

4 エルゴード過程 (ergodic process) 定常確率過程においてアンサンブル確率密度関数とサンプル波形の時間的確率密度関数が同一となるものをエルゴード過程と呼ぶアンサンブル平均を [ ] 時間軸方向の平均を < > で表すとエルゴード過程では次式が成り立つアンサンブル平均 = 時間平均 x t x t (.6) エルゴード性は検証が難しいので多くの場合は単なる仮定であるが便利なのでしばしば用いられる具体例に確率過程の性質を調べてみよう乱数位相を持つフーリエ級数 x t ( ) cos t 確定確定一様乱数 f このフーリエ級数は確率変数を含んでいるので確率過程であるこの確率過程の性質を調べてみよう振幅の平均 ( 次モーメント ): 次モーメント x f xdx x t cost cos sit si cos cos d si 確率密度 si si d cos X x t 3 自己相関関数 () x t xt cos t cos t 加法定理で展開すると x t xt cos t cos cos cos cos cos cos si si si si cos si cos si si t si の場合 ( 以下しばらくアンサンブル平均のみ ) t cos si t si ψ と ψ は独立なので個別に期待値を取ってよい 4 自己相関 () = の場合 cos si si cos 4 cos 確率密度 cos d d ψ は ~4π に一様に分布する si 4 t cos d si si d 4 5

5 自己相関 (3) 以上をまとめると = の同種の三角関数の積のみが残り x t xt cost cos t sit si t cos 加法定理となり時間差 τ のみの関数となり原点に依存しないことから定常過程であることが分かる時間軸方向の期待値を考えてみるエルゴード性を持つかどうか調べてみる振幅の時間平均 x t li cos ( t ) dt li si ( t ) に比例する項を含まないは時間平均を表す 6 7 時間軸で平均した自己相関 () x t xt li cos t cos t li の場合 cos t cos t dt si t si t dt cos t si t dt cos t cos cos t cos si t si si t si dt 8 dt 時間軸で平均した自己相関 () = の場合 cos t dt cost sit dt cos t dt si t t si si t dt 以上より x cos tdt t si t si si t dt cos 4 t xt li cos cos si si cos アンサンブル平均に等しいエルゴード過程比例の項のみ残る 9

6 まとめランダム振動論では時刻 tの振幅 X(t) が確率分布として記述される確率過程 ( 時刻歴 ) として扱う確率過程の種別定常過程 : 確率的な特性が時間に係わらず変化しない ( 原点に依存しないとも言う ) 確率過程エルゴード過程 : アンサンブルの確率密度関数と時間軸の確率密度関数が等しい確率過程確率過程の統計量平均自己相関相互相関 ( 例えば入力 vs. 出力の相関を表す ) 確率過程の例 : 一様乱数位相を持つフーリエの重ね合わせの性質を調べたところ以下の性質を持つことが示された定常過程エルゴード過程次回は確率過程の周波数特性について

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Microsoft PowerPoint - LectureB1_17woAN.pptx 本講義の範囲都市防災工学後半第回 : 導入確率過程の基礎千葉大学大学院工学研究院都市環境システムコース岡野創 http://oko-lb.tu.chib-u.c.jp/oshibousi/. ランダム振動論地震動を不規則波形 ( 確率過程 ) と捉えて, 構造物の地震応答を評価する理論. 震源モデルによる地震動評価断層の動きを仮定して, 断層から発せられる地震動を評価する方法 ( 運動学的モデル