経済数学演習問題 8 年 月 9 日 I a, b, c R n に対して a + b + c a + b + c + a, b + b, c + a, c が成立することを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.7 II a R n がすべての x R n に対して垂直, すなわち a, x x R n が成立するとします. このとき a となることを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.9 III f, f, f R n が f i, f j { i j i j を満たすとします. x f + f x + x f + f + z f x + + z を示しましょう. g R n に対して g x f f g + x + x g, f g, f が成立することを示しましょう. IV a に対して a t b を最小にする t を求めましょう. V とします. a, b であることを示しましょう. a, b, g g x a b を最小にする x, を求めましょう. α VI a とします w を v R の a 方向の直交射影とします このとき β q v + w v w v に対して q Q v 6
を満たす行列 Q を求めましょう さらに a cos θ sin θ のとき Q を求めましょう VII R, R M R を直交行列であるとします. このとき R R と t R が直交であることを証明しましょう. VIII 次の a, b R n に対して L {x a + b; x, R} を考えます. 条件 p q, p, q を満たす p, q L を求めましょう. a a a a, b IXVIII の続き I の p, q を用いて以下の c の L への直交射影 v を求めましょう. そして v x a + b を満たす x, を求めましょう. c c c c X 次の a, b R n に対して 列の行列 X a b を定めます. t XX と det t XX を求めましょう. a, a, a 7
I a, b, c R n に対して 経済数学演習問題 8 年 月 9 日 a + b + c a + b + c + a, b + b, c + a, c が成立することを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.7 a + b + c a + b + + a + b, c + c a + a, b + b + a, c + b, c + c a + b + c + a, b + b, c + a, c II a R n がすべての x R n に対して垂直, すなわち a, x x R n が成立するとします. このとき a となることを示しましょう. 線型代数学 教科書 ページ 演習.9 x a とすると a a, a a が従います. 注意 a R n に対して が成立します. a a 8
III f, f, f R n が を満たすとします. f i, f j { i j i j x f + f x + x f + f + z f x + + z を示しましょう. g R n に対して g x f f g + x + x g, f g, f が成立することを示しましょう. xf + f xf + xf, f + f x f + x f, f + f x + x + x + xf + f + zf xf + f + xf + f, zf + zf x + + xz f, f + z f, f + z f x + + xz + z + z x + + z IV g x f f g x f + f, g + x f + f g x f + f, g f, g + x + g + x + x g, f g, f a に対して a t b を最小にする t を求めましょう. a + + 9 + 6 a, b + + + 6 b + + + 9
a t b a t a, b + b t t + t + となります. 従って t のとき最小値 を取ります. V a, b, g とします. a, b であることを示しましょう. g x a b を最小にする x, を求めましょう. a, b + + g x a b g g, x a + b + x a + b x, 6 のとき最小値 g x g, a g, b + x a + x a, b + b g x g, a g, b + x a + x a, b + b x + x + x + 6 x x + 6 + + x + 6 + + 6 6 x + 6 + + 6 を取ります.
α VI a とします w を v R の a β 方向の直交射影とします このとき q v + w v w v に対して q Q v x を満たす行列 Q を求めましょう さらに cos θ a sin θ のとき Q を求めましょう とすると w a, v a αx + β α + β α β v α + β x α x + αβ αβx + β α + β α αβ αβ β x q w v α + β α αβ x αβ β I α β αβ x α + β αβ α + β となります Q cos θ となります. 特に a のとき sin θ となります. α β αβ α + β αβ α + β cos θ sin θ Q sin θ cos θ VII R, R M R を直交行列であるとします. このとき R R と t R が直交であることを証明しま しょう. t R R R R t R t R R R t R I R t R R I R R t R R R R t R t R R I t R R t R I
R R が直交であることが分かります. 他方 t t R t R R t R I t R t t R t R R I t R が直交であることが分かります. VIII 教科書 p. 演習.. の拡張 次の a, b R n に対して L {x a + b; x, R} を考えます. 条件 p q, p, q を満たす p, q L を求めましょう. a a a a b の a 方向への直交射影 w は w a, b a a と求められます. このとき a の垂直なベクトルとして b w が求まります. このとき a と b w を正規化した p a a, q b w b w が L の正規直交基底となります. b の a 方向への直交射影 w は w a, b a a と求められます. このとき a の垂直なベクトルとして b w
が求まります. このとき a と b w を正規化した p a a, q b w b w が L の正規直交基底となります. b の a 方向への直交射影 w は と求められます. このとき a の垂直なベクトルとして b w w a, b a a + が求まります. このとき a と b w を正規化した p a a, q b w b w が L の正規直交基底となります. b の a 方向への直交射影 w は w a, b a a a と求められます. このとき a の垂直なベクトルとして b w が求まります. このとき a と b w を正規化した p a a, q b w b w が L の正規直交基底となります. IXVIII の続き I の p, q を用いて c x a b を最小にする x, R を求めましょう. c c c c
解説 p, q と a, b の間に関係 があることに注意しましょう. 従って p a a q b w p q a b a, b b a a a a, b b w a b w が成立します. この等式の右辺に現れる行列を S とすると S は正則となります. ξ ξ p + η q p q a η ξ bs η a x b ξ x S η 従って x S ξ η x ξ が成立します. 以上任意の R に対して一意的に R が存在して η x a + b ξ p + η q が成立します. ここで c v を最小とする v x a + b ξ p + η q L を求めます. c x a b c ξ p η q c + ξ p + η q ξ c, p η c, q c + ξ ξ c, p + +η q η c, q ξ c, p + η c, q + c c, p c, q ξ c, p, η c, q のとき x ξ p η q は最小となります. こここで求めた v v c, p p + c, q q が v L, c v L を満たす c の L への直交射影となります.
p, q であることが I で示されています. これ c, p,, c, q となります. このとき求める直交射影は, v x a + b c, p p + c, q q となります. この式を直接 x と について解くと 8 であることが分かります. 注意 S を用いて x 6 7, x 7 とも計算ができます. p, q であることが I で示されています. これ c, p,, c, q, となります. このとき求める直交射影は v x a + b c, p p + c, q q + 6 7
となります. この式を直接 x と について解くと 7 7 6 7 7 であることが分かります. 注意 S を用いて 6 7 9 7 x x 7, 7 7 7 9 7 7 7 7 7 とも計算ができます. p, q であることが I で示されています. これ c, p,, c, q, となります. このとき求める直交射影は v x a + b c, p p + c, q q + となります. この式を直接 x と について解くと 9 であることが分かります. 注意 S x x, を用いて 6 9
とも計算ができます. p, q であることが I で示されています. これ c, p,, c, q, のとき最小値をとります. このとき求める直交射影は v x a + b c, p p + c, q q + 7 となります. この式を直接 x と について解くと 7 6 x, であることが分かります. 注意 S を用いて x とも計算ができます. X 次の a, b R n に対して 列の行列 X a b を定めます. t XX と det t XX を求めましょう. a, a, a 7
X a b に対して t t a XX t a b t a a b t b a t a b a t a, b b b b, a b となることに注意しましょう. ここで a, b R n に対して t a b a, b であることを用いました. ここで計算する t XX を X の Gram 行列と呼びます. t XX, det t XX 6 6 t 6 XX, det t XX 6 t XX, det t XX 6 6 注意 上の X a b に対して t XX が正則 a b が成立します.det t XX の値に注意しましょう. 8