最小2乗法，最尤法 線形モデル，非線形モデル

Transcription

1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 (1) 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 (3) LINEST : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 (4) Excel : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 (5) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 (3) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19

2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 (3) c : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 (4) c : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 (2) Excel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 (3) c : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 (4) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 (2) 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ô : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 (3) : 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 (1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 (2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 (3) c : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 (4) D50 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41

3 Excel Excel fig1_1,... Excel

4 y x 1 ; x 2 ;... y = å 0 + å 1 x 1 + å 2 x " x y = å 0 + å 1 x 1 + å 11 x 2 1 +å 2x 2 +å 12 x 1 x 2 + " y = å 0 + å 1 ln(x 1 ) + å 2 exp(x 2 ) x 2 1 ;x 1x 2 ; ln(x 1 );exp(x 1 ) å y å y = ã 0 ã x1 1 ãx2 2 y = ã 0 x ã1 1 xã2 2 ã ln(y) = ln(ã 0 ) + ln(ã 1 )x 1 +ln(ã 2 )x 2 = å 0 + å 1 x 1 + å 2 x 2 ln(y) = ln(ã 0 ) + ã 1 ln(x 1 ) + ã 2 ln(x 2 ) = å 0 + ã 1 X 1 +ã 2 X 2

5 0.2 3 ô= 1 1 +exp(ä(å 0 + å 1 x)) (0.1) í ì ô z = ln = å 0 +å 1 x (0.2) 1Äô (0.2) z ô p = r=n r = 0 n p = 0 1 z Ü1 í ì r +0:5 z = ln när+ 0:5 ô= 0:5 x ( x 0:5 å 0 ; å 1 b 0 ; b 1 x 0:5 =Äb 0 =b 1 å 0 ; å 1 bx 0:5 å; " b

6 (1) 2 x i a nx Q = (x i Ä a) 2 ) min i=1 2 a Q 2 nx nx Q = (x i Ä a) 2 = f(x i Ä x)ä(xäa)g 2 i=0 i=0 nx nx nx = (x i Ä x) 2 Ä 2 (x i Äx) (xä a)+ (xä a) 2 i=0 i=0 {z } =0 i=0 nx = (x i Ä x) 2 + n(xäa) 2 (1.1) i=0 nx 2 x Q S = (x i Ä x) 2 i=0 n = 6; x = 5) 1.1: a Q a x {1 {2 {3 {4 {5 {6 {7 { {1 {2 {3 {4 {5 { {1 {2 {3 {4 { {1 {2 {3 { {1 { Q

7 1.1 5 Q a = 5(= x) S e = 50 a Q 2 Q = 200Ä60a +6a 2 = 50 +6(25Ä10a +a 2 ) = 50+ 6(aÄ5) 2 (1.1) 2 6 n (2) x (Standard Error) se(x) se(x) = õ p n (1.2) õ S e f e = nä1 V e s s = p s r S e 50 V e = nä1 = 5 =p 10 (1.2) õ s r V e 10 se(x) = n = 6 = 1:291 a = xüse(x) = 5Ü 1:291 Q Q = S e +n(aäx) 2 = S e +nçse(x) 2 = S e +V e = = a 3.709, Q = S e + V e a x ñ 0.05 xä t(f e ;0:05)se(x) < ñ< x +t(f e ; 0:05)se(x) 5Ä 2:571Ç 1:291 < ñ< 5 +2:571Ç1:291 1:681 < ñ< 8:319

8 6 1 2 Q = S e +F(1;f e ; 0:05)V = 50+ 6:608Ç 10 = 116:08 a t(f e ; 0:05) 2 = F(1;f e ; 0:05) a Q

9 : x y Excel LINEST (1) y = a +bx a;b nx Q = (y i Ä (a + bx i)) 2 i=1 Q a; = 2(y i Ä(a +bx i (y iä(a +bx i )) = 2(y i Ä (a +bx i ))(Ä1) = X 2(y i Ä(a +bx (y iä (a + bx i )) = i=1 i=1 nx i=1 2(y i Ä (a + bx i ))(Äx i ) (1.3) =0 a; b nx nx na + x i b = nx x i a + i=1 i=1 nx i=1 x 2 ib = y i i=1 nx i=1 x i y i iä(a +bx i (y iä(a + bx i )) Ä1; Äx i a; b a; b

10 8 1 2 (2) 6a + 30b = 42 30a + 200b = 241 a; b 1.3 P y i ; P x i y i ; P y 2 i A 1.3: a b 1 a b A (I) A (II) A (III) A B (I) B = (I) A = (II) B = (II) A Ä 30(I) B { (III) B = (III) A Ä 42(I) B { C (I) C = (I) B Ä 5(II) C {0.100 (II) C = (II) B = { (III) C = (III) B Ä 31(II) C {3.900 {0.620 A 6 B (I) B x = 5; y = 7 (II) B ; (III) B S xx = 50; S xy = 31; S yy = 22 B 50 C C 1 a = 3:90; b = 0:62 S e = 2:78 í ì í ì 0:667 Ä0: C Ä0:100 0: Excel 1.4

11 : 1.4 x; y 1 XY XY XY T XY MMULT 1.4 Ctrl Enter XY T B XY XT X X T Y C Y T X Y T A Y Shift X T X (X T X) Ä1 MINVERSE a; b B (X T X) Ä1 X T Y S e Y T Y B 1.3 n a;b 2 1 MMULT Ctrl Shift Enter MINVERSE LINEST. fg

12 f e = nä2 = 6Ä 2 = 4 V e = S e =f e = 2:78=4 = 0:695 a; b V e se(a) = p 0:695Ç 0:667 = 0:6807 se(b) = p 0:695Ç 0:020 = 0:1179 (1.5) y = 3: :620x (0:681) (0:118) (3) LINEST Excel LINEST 5 2 =LINEST(y x,, TRUE) Ctrl Shift Enter : LINEST x const b se(b) R s e F f e S R S e 1,2 S e = 2:780 LINEST

13 (4) Excel a; b x; y C by C2, C3 a; b 2.0, 1.0 C4 =$C$2 +$C$3 * A4 by 1 C10 Q = P (y i Äby i ) 2 =SUMSQ($B$4:$B$9-C4:C9) Ctrl Shift Enter 2 1.6: x y by 1.6 a;b by;q Q a; b 2 Excel by = y i Äby i SUMSQ( ) SUMSQ MMULT LINEST Ctrl Shift Enter

14 : Q b; c a = 3:90; b = 0:62; Q = 2:78 (5) a; b 3 9 Q : a; b Q F G H I 2 bna Q F3 =SUMSQ($B$4:$B$9-(G$2+$F3*$A$4:$A$9) Ctrl Shift Enter 1.8 a; b a b Q = 5:560

15 S e +V e = 2:780+0:695 = 3:475 a+se(a); bäse(b) Q = 3: : é Q 3 2 a 6 b Q a; b JMP ) Q = 3;4; 5 Q = 3:475 2 Q = 3:475 b +se(b) Q a Q S e +V e se(b) b é(=ü1; Ü2 Q a

16 : Q 1.11: b Q 1.12 b é b bäé a Q : é Q é {0.20 { b a Q a b VBA Solv-Min Solv-Min 1.12

17 é Q Q = 2:78 +50é 2 (1.6) 2 se(b) Q = S e +V e = 2:78 +0:695 = 3:475 é s QÄ2:78 é= 50 s = se(b) = V e 2 = r 0: = 0:118 (1.7) (1.6) 2.78 S e é 2 50 (1.7) (1.5) x = 0 x=s x a; b a;b a; b Q a; b Q

18 (1) 2 A, B x y : 2 A, B y = 17:071+ 1:2251x; (A) = 12:071+ 1:4891x; (B) a a 0 0 A, B 0 2 A, B (2) B y = a + b Ax (A) A (1.8) b B x (B) (1.8)

19 y = a +b A x A + b B x B (1.9) x A A x B 0 x B A 0 B x : LINEST x A ; x B LINEST 1.14 y = 14: :2474x 1 + 1:4669x 2 (0:0475) (0:0475) A B b 1 ; b 2 LINEST 2 b 1 ; b 2 q SE(b B Äb A ) = SE(b B ) 2 + SE(b A ) 2 = 0:

20 : b A ; b B 4.317E{05 V e (52.297) 2.258E b B Äb A b A b B (2.54E{05) V e (1.328E{03) b B Äb A b B ; b A 2 se(b B Ä b A ) = p 2:54EÄ05+ 2:54EÄ 05Ä2Ç1:328EÄ 03 = p 1:859EÄ 03 = 0:0431 (3) (1.8) y = a +bx +(b A Äb B )x B = a +bx +cx B (1.10) c = b A Ä b B (1.11) x; x A LINEST 1.14 y = 14: :4669x Ä 0:2196x A (0:0457) (0:0431)

21 c c Ä2:196Ät(0:05; 9)Ç0:0431 < c <Ä2:196 +t(0:05;9)ç 0:0431 Ä0:3171 < c <Ä0:1220 t = Ä2:196 0:0431 =Ä5:092 9 jtj p y i = ã+ åx i +" i " i N(0; õ 2 i ) i 2 2 2

22 y = a +bx = 3:900+ 0:620x y = 8 x x = yäa b = 8Ä 3:900 0:620 = 6:613 x (1) by s í1 ì (xä x)2 se(by) = + õ n S 2 xx x y ñ õ 2 V e by se(by) t(f e ; 0:05) = 2:78 s í1 ì ñò a +bxüt(f e ; 0:05) n + (xäx)2 V S e (2.1) xx 2.1: y x by y L y U x

23 : y y = 8 x (2.1) ñ= y = 8 x (2.1) 8 x Excel y 6, 7, 8, 9 x : x y x L bx x U bxä x L x U Äbx x

24 22 2 (2) y = 8+ b(xä c) (2.2) xä c 0 y = 8 c y = 8 x (2.2) x1.2 nx Q = (y i Ä (8 +b(x i Ä c))) 2 i=1 b; c Q b; = = i=1 nx i=1 2(y i Ä(8+ bx i Ä cx (y iä (8 +bx i Äcx i )) 2(y i Ä(a +bx i Äcx i ))(Äx i = X 2(y i Ä(8+ bx i Ä cx (y iä(a +bx i )) = i=1 nx i=1 2(y i Ä(8+ bx i Ä cx i ))(Äb) =0 x1 2 b; c y =Äb LINEST Excel 2.4 x; y y by b; c b = 0:6; c = 6)

25 : K L M N 1 b c x y by by Q by =8+N$1*($L4-N$2) Q P e 2 i Q b; c 2.4 b = 0:620; c = 6:613 y = 8+ 0:620(xÄ6:613) = 3:900+ 0:620x JMP : JMP

26 24 2 (3) c JMP b; c c c é Q b Solv-min é 2 c 3 b 2 4 Q 2.6: c Q é {2 { c b Q b Q Solv-min 2.6 é Q Q = 2:8774Ä 0:2116é+ 1:5656é 2 Ä0:286é 3 (2.3)

27 x1.4 (2.3) Q = S e +V e = 2:780+ 2:780 4 = 2:780 +0:695 = 3:475 é c se(c) é=ä0:531; 0:748 jéj c se(c) = 0:531+ 0:748 2 = 0:640; = p 0:531Ç 0:748 = 0:630 JMP s V e se(c) = 1:5656 = 0:666 (4) c (2.3) Q = S e +F(1;f e ; 0:05)V e = 2:780 +7:709Ç0:695 = 8:138 é c = 6:613 c t(f e ; 0:05) 2 = F(1;f e ; 0:05) é=ä1:565; 2:724 cò (5:048; 9:337) (5:088; 9:383) JMP (5.308, 8.736)

28 x B y = a b A C (A) Ax; b B (B) (2.4) 2 c b x1.3 c = b A b B = 1:2474 1:4669 = 0:8503 (2.4) B y = a + Bc C Ax = a + BÇ c Ax; (A) b B Ç1 (B) b B (2.5) (2.5) b; c 2 A c B 1 A 1, B c; 1Äc by a; b; c by J6 =J$2+J$3*(J$4*$G6+$H6)*$F6 Q =SUMSQ($I6:$I17-J6:J17) Q a; b; c B y = 1:57 1:467Ç0:850 C Ax; 1:467 (A) (B)

29 : 2 Q Q e V 52.3 c 0.05 Q = S e +F(1;f e ; 0:05)V e = :117Ç 52:3 = = 738 c c 2.7 c 0.04 c Q a; b c é Q

30 (1) ñm p 10 (mm) : 2.8 Excel x y y = y min + y maxäy min 1+ e Ä(a+bx) (2.6) a x = 0 lnf yäymin ymaxäy g y min = 0 y max y max =2 x y max =2 x (2.6) y = y max 1 1 +e Äb(xÄc) (2.7) c x 3 3 x = c e Äb(xÄc) = 1 2

31 (2) Excel Excel : A B x C y y max ' 175; c' 0:3 b 2 D2:D4 by 1 D6 =D$2/(1+EXP(-D$3*($B6-D$4))) S e D16 =SUMSQ($C$6:$C$15-D6:D15) Q y max ; b; c E y = y max =2 10 c = 10 0:201 = 1:59 (3) c JMP 2.10 c

32 : JMP c é 2 c 3,4 y max ; b 5 Q 2.11: Q y max ; b Solv-min é Q 2 3

33 Q = 121:11Ä 0:0067é é 2 Ä3195:5é 3 Q = S e +V e = 121:10+17:30 = 138:40 é { JMP Q = S e +F(1;7; 0:05)V e = 217:84 é {0.0722, c 95% (0.1288, ) JMP , ) q q se(c) = V e = = 17:30=18315 = 0:0307 cò 0:201t(7;0:05)Ç0:0307 = (0:128;0:278) (4) y 2.12 y max = y = 50 x; D D50 D50 Q D50 D50

34 : : D50 Q 2.13 D50 3 4

35 (1) 2 prob(r) = n C r ô r (1Ä ô) när (3.1) n = 10 ô r (3.1) : (3.1) ô; n; r n; ô r prob(r) r ô= 0: ô 3.2 n; r ô (3.1) L(ô) L(ô) = n C r ô r (1Ä ô) när (3.2)

36 : (3.1) r ô r ô ô Likelihood 3.2 r ô (2) 2 õ 2 n = 11 S ü 2 = S õ 2 f = nä1 = 10 2 õ 2 = 1:6; 1:8; 2:0; 2:2 S 3.3 S 2 õ 2 1=õ 2 S = 20 S = 20 4 S = 20 õ

37 3.2 ô : S 3.2 ô (1) n; r ô bô= r=n ô lnl = ln(ncr) + rlnô+(när)ln(1äô) ô ô ô = r ô Ä när 1Ä ô = (1Äô)rÄô(nÄr) ô(1ä ô) ô= r n = räôn ô(1ä ô) = ô= 0:3 n = 60; r = 15 ô= 0:1ò

38 : ô =LN(BINOMDIST($C$5,$B$5,D5,FALSE)) BINOMDIST r; n; bô FALSE 2 (2) bô ô ô ( 1 2 5% = 1:96 2 5% ô 0:152î ôî 0:369 2

39 3.2 ô 37 2 ô= 0:24; 0:25; 0: , {2.135, {2.151 Ä2:135Ä(Ä2:151Ä2:151)=2 (0:25Ä 0:24) 2 = 160 ô q ô=bôü 3:841=(2Ç 160) =bôü1:96= p 2Ç160 0:140î ôî 0: ô 0:147î ôî 0: (3) : 2 2

40 (1) : x n r p = r=n p x2.2 S (2.7) y max = 1 p = 1 1+ e Äb(xÄc) (3.3) x2.2 (2.7) 2 p p

41 (2) x3.2 p ô 6 p i b; c b; c bp i b; c Excel : Excel A B C D E F G 2 x r n p bp L { { { { { { b c P 11 L {5.539 F9:F10 b; c F3 =1/(1+exp(-F$9*($B3-F$10)) bp 1 G3 =LN(BINOMDIST($C3,$D3,F3,FALSE)) p 1 L 1 G11 b; c 3.6 p = 0:5 x c e 5:238 = 188

42 40 3 (3) c c 95% c Ü0:1; Ü0:2 5 L b : c I J K L M N 2 {0.200 { c L {8.35 {6.32 {5.54 {6.34 { F bp b;c é c é L bp =SUM(LN(BINOMDIST($C$3:$C$8,$D$3:$D$8,J3:J8,FALSE))) Ctrl Shift Enter J é=ä0:200 1 L b c L =Ä5:5836Ä0:4287éÄ 71:848é 2 =Ä5: :0130éÄ 71:848é 2 Ä12:99é 3

43 : c 3 L Ä5:539Äü 2 (1; 0:05)=2 =Ä7:460 é : c { { c 1 é é 2 é 3 L { {0.004 { { :074î cî5:397 (4) D50 x3.3 (1)

44 : 2 p = 1 1+e b(xäc) (A) 1 1+e b(xä (c+d)) (B) A B D50 c; c +d d D50 d bp =1/(1+EXP(-G$15*($C3-(G$16+G$17*B3)))) (3.4) B A 0 B 1 L Ä10:52 D50 Ä11:50 2 2Ç (Ä10:52Ä (Ä11:50)) = 1: