Title Compactification theorems in dimens Topology and Related Problems Authors 木村 孝 Citation 数理解析研究所講究録 1996 953 73-92 Issue Date 1996-06 URL http//hdlhandlenet/2433/60394 Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University
$\alpha$ on on Ind 953 1996 73-92 73 Compac $\mathrmt}\overline1}\mathrmf}\overline1}$ cat $\overline1}$ $\overline1}\mathrmv}$ $\mathrmd}\overline1}$ $\overline1}$ mens theorems theory $\mathrmf}\leftrightarrow\leftrightarrow\backslash *$ $-$ REJECT}\Leftrightarrow$ $**\backslash \mathrmj}$ $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ 6 Ind $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ Ind trdim weight Stone- Cech 3 $\text }$ residuality 1 $-$ $\sqrt \mathrmx}_\overlinet\subset}\varpi}\backslash \ovalbox\tt\small REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ 6 1 1 REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ tr $=-1$ $\phi$ tr $=-1\rangle$
$\mathrmx}$ $\exists \mathrmu}$ open $\lrcorner\rceil \mathrmu}$ open $\mathrmf}$ \mathrmf}$ closed \mathrmn}$ \mathrmn}$ th th $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ Ind 74 $\leqq$ $\all \mathrmx}\in \mathrm}$ $\all in $\mathrmw}\mathrmi}$ $\mathrmx}$ $\in$ -F tr $\leqq$ in $\mathrmx}$ $\in \mathrmu}\subset \mathrm}-\mathrmf}$ Bd $\mathrmu}<$ tr Bd $\mathrmu}<$ $\leqq$ $p_\backslash }-\supset$ $\not\leq$ tr tr $\leqq$ $p_\backslash }-\supset$ tr $\not\leq$ $\infty$ tr tr $=\infty$ $\not\equiv$ $\not\leqq$ $\all $\all\alpha$ tr tr $\mathrmx}$ $\leqq \mathrma}$ some $\alpha$ $\neq\infty$ tr $<$ tr tr $=\infty$ $\geqq$ 1-2 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ Ind $=-1$ $\phi$ $\mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}\mathrm} =-1$ Ind $\leqq$ $\all \mathrme}$ closed in $\mathrmw}\mathrmi}$ $\mathrme}$ $\subset$ -F $\leqq$ Ind in $\mathrme}$ $\subset$ $\mathrmu}\subset$ $\mathrm}-\mathrmf}$ Ind Bd $\mathrmu}$ $<$ $\mathrmu}$ Ind Bd $<$ Ind Ind $\leqq \mathrmn}$ Ind Ind $\alpha$ $\leqq$ Ind Ind $\infty$ Ind Ind Ind $\not\leqq$ $\infty$ $\not\leqq$ 4 Ind $\all $\all\alpha$
$\mathrml}$ $\mathrmx}$ $\mathrml}$ ion and and $\mathrme}$ 75 $\mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}\mathrmx}\leqq \mathrma}$ some Ind $\neq\infty$ Ind $<\omega$ Ind $=\mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}\mathrm}$ Ind $=\infty$ $\mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}\mathrm}$ $\geqq\omega$ $\dim$ order 1-3- $\mathfrak}\equiv\ovalbox\tt\small $\mathrmf}$ REJECT}$ 2 parti $<\gg$ $\exists $\mathrme}$ ion in between $\mathrmf}$ \mathrmu}$ $\mathrmv}\mathrm}$ 2 -L UUV $\mathrme}$ $\subset \mathrmu}$ $\mathrmf}$ $\subset$ V 1 4 REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ 2 A $=\\mathrma}_\mathrmi}} \mathrmb}_\mathrmi}}\rangle 0\leqq \mathrmi}\leqq \mathrmn}\}$ A inessential in $\all \mathrmi}--012$ $\ldots$ $]\mathrml}$ part $\mathrmi}\mathrmt}$ $\mathrmi}\mathrmn}$ between A $\mathrmb}_\mathrmi}}$ A essential in A $\cap\\mathrml} 0\leqq \mathrmi}\leqq \mathrmn}\}=$ $\phi$ not inessential 1-5 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\dim$
$\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}=-1$ $\mathrm}=$ $\emptyset$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\mathrml}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\leqq \mathrmn}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $<$ are \mathrmn}$ a ini \mathrma}$ 76 $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\leqq$ $\all$ A a $\\mathrma}_\mathrmi}} \mathrmb}_\mathrmi}} 0\leqq \mathrmi}\leqq \mathrmn}\}$ coll of pairs of disjoint closed sets in $arrow$ A inessent ial in dimmm dimmm $=\infty$ $\leqq$ $\all order $\mathrmb}_\circ\gamma \mathrms}}\mathfrakr}$ $\mathrmb}1$ Borst [Bl trdim 1-6 $\mathfrak}\mathrme}^-}\ovalbox\tt\small $\mathrml}$ REJECT}$ Fin $\mathrml}$ the collection of all non-empty $\mathrmf}$ te subsets of $\mathrml}$ $\mathrmm}\subset$ Fin $\mathrml}$ $\sigma$ $\in$ Fin $\mathrml}\cup\\phi\}$ $\mathrmm}^\sigma}=$ $\tau$ a $\in $\tau\cup\sigma$ $\in \mathrmm}$ and $\tau\cap\sigma=\phi$ } \mathrml}$ $\mathrmm}^\\mathrma}\}}$ $=\mathrmm}$ $\mathrmm}$ $\mathrmm}$ order Ord $\mathrmm}$ Ord $\mathrmm}=$ $0$ $\mathrmm}=$ $\emptyset$ Ord $\mathrmm}\leqq$ Ord $\mathrmm}$ $<$ $\alpha$ $\all$ $\in$ $\mathrml}$ Ord $\mathrmm}=$ Ord $\mathrmm}\leqq$ Ord $\mathrmm}$ $\\alpha$ Ord Ord $\mathrmm}=$ $\infty$ $\mathrmm}\not\equiv$ $\all $\mathrml}\mathrm}=$ $\mathrma}$ $\mathrmb}$ A and $\mathrmb}$ disjoint closed in } $\mathrml}\subset \mathrml}\mathrm}$
$\mathrmm}_\mathrml}}=$ $\mathrmi}\mathrmf}$ $\alpha$ 77 $\sigma$ $\in$ Fin $\mathrml}$ $\sigma$ is essent $\mathrmi}\mathrma}\mathrml}$ } 1 7 $\mathfrak}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ trdim trdim $=-1$ if $\phi$ trdim Ord $\mathrmm}_\mathrml}\mathrm}}$ $\neq$ $\phi$ trdi $\mathrmm}$ trdim $\leqq$ some trdim $\neq\infty$ Bors $\mathrmt}\overline }\mathrmi}\mathrmb}$ $\dim$ trdim ] l 2 1 8 REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[\mathrmB}\rceil$ $\dim \mathrmx}\neq\infty$ trdim $\mathrmx}<\omega$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $=-$ trdim 1 9 REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[\mathrmB}]$ trdim S-w $\mathrmd}$ 2 $-_\overline\mathrmd}}}\mathrmj}_j} +\not\in\i \mathrmf}\mathrmf}\mathrmi}\not\in_=^7}}\zeta\mapsto \mathrmr}=\ovalbox\tt\small REJECT}\infty$ $>l^-}\sim \mathfrak}_\supset}^\sim}\mathrmt}\mathfrak}$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $t$
$\zeta \mathrma}>$ $\overline1}\mathrmn}\mathrmd}$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ \all Ind $\lceil_-}\mathrmk}2\urcorner _\text }}\lrcorner$ Chatyrko Yokoi 78 I $\mathrmn}\mathrmd}$ $\mathrmd}_\overline1}}\mathrmm}$ $l$ $\backslash <$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ Ind 2-1 REJECT}\not\equiv$ $=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ $\subset\rightarrow$ nd Ind $\mathrm}$ 2 2 $\exists\alpha \mathrm}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\alpha \mathrm}$ $=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\mathrm}$ Ind $\alpha \mathrm}--$ Ind $<\mathrmb} $ $\mathrmt}\mathrmr}\overline1}\mathrmn}\mathrmd}$ I $\mathrmn}\mathrmd}$ $\mathrmt};\mathrmr}\mathrmd}\overline1}\mathrmm}$ $\tau_\sim}^-}-\supset\iota$ $\backslash <$ tr trdim Ind Luxemburg [Ll 2 3 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small 1 $\alpha \mathrm}$ REJECT}[_-}\mathrmL}]$ \all $a\mathrm}$ Ind $=\mathrmt}\mathrmr}$ Ind $[\mathrmc}]_\text }}$ trdim $\lceil \mathrmy}arrow- \urcorner$ 2 4 $\text }a\mathrm}$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}_\mathrmL}_-}}\lceil \mathrmk}2-1 [\mathrmc}] \text }\mathrmy}]$ $\all \mathrm}$ trdim trdim $\alpha \mathrm}=$
$\neg$ 79 trdim $\lceil_-}\mathrml}$ tr Luxenburg ] 2-5- $\all\alpha \mathrm}$ REJECT} \mathrmj}[\mathrml}]$ $A \mathrm}$ $\alpha \mathrm}$ tr $>$ tr $\mathrml}$ Luxemburg[ Ind tr 2 6 REJECT}\not\cong\ovalbox\tt\small REJECT} \mathrme}[\mathrml}\underline\rceil}$ $\subset\rightarrow$ Ind ]- $a\mathrmx}_}$ tr $\mathrm}$ tr tr 2 7- REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ tr J- $\Rightarrow$ $\alpha \mathrm}$ $a\mathrm}$ tr tr tr tr tr 2 8 $\mathrmr}_l\mathrmi}}5\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\min$ tr $a\mathrm}-\alpha \mathrm}$ }?
ght REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\all \mathrm}$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ a 80 Luxemburg [L] 2 $9_-}$ $=\mathrmp}_d}\ovalbox\tt\small REJECT}_\backslash \backslash }$ $\mathrml}$ ] tr $\lambda+\mathrmn}$ $\lambda$ $0$ tr $\mathrm}\leqq$ $\lambda+2\mathrmn}+1$ $\alpha \mathrm}$ 3 we $\Leftrightarrow \mathfrakb}\in-\supset-$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ weight $\subset \mathrma}>$ $\overline1}\mathrmn}\mathrmd}$ $\mathrmn}\mathrmd}$ I $\mathrmd}_\tilde1}}\mathrmm}$ $\tau_-}^-}-\supset l\backslash <$ 3 1 $\mathfrak}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\all \mathrm}$ J- $a\mathrm}\mathrmj}\mathrm}$ $1$ $\mathrmw}\alpha \mathrm}=\mathrmw}\mathrm}$ Ind $\mathrm}$ Ind 3 2 $]\alpha \mathrm};\mathrm}$ $\mathrmw}\alpha \mathrm}=\mathrmw}\langle \mathrm}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ $\mathrm}$ $=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ Ind weight 3 3 j-a $\mathrm}\mathrm}$ $0$ $\mathrmw}\langle a\mathrm}=\mathrmw}\mathrm}\rangle$ $\alpha \mathrm}$ $0$ $0$ $\subset$ $\mathrmd}^\mathrmm}}$ $\mathrmd}=\dagger 0$ $1\}$ $\mathrmm}=n\mathrm}\rangle$
I REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[\mathrmP}\urcorner\rfloor$ $\all \mathrm}$ a a 81 $a\mathrm}$ $\mathrmd}^\mathrmm}}$ $0$ weight $\lceil_-}\mathrmv}\bm\mathrmm}}\mathrmp}$ van Mi 11 and Przymusinski ] 3-4 REJECT} \mathrmj}[\mathrmv}\bm\mathrmm}}\mathrmp}]-$ $]$ $=1$ $\all a\mathrm}$ $\subset\rightarrow$ $a\mathrm}$ $=\infty$ $a\mathrm}$ $a\mathrm}$ tr $a\mathrm}$ $=\infty$ $\geqq$ tr $a\mathrm}=\infty$ tr $<\mathrmb}\supset$ $\not\subset \mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ -t $\mathrmr}$ $\mathrmn}\mathrmd}$ $\mathrmt}\mathrmr}\mathrmd}\tilde1}\mathrmm}$ $l$ $-\supset \mathrmc}\backslash -\subset$ Ind trdim weight 3-5 $\rfloor-\alpha \mathrm}\mathrm}$ $\mathrmw}\langle$ $\mathrm}\rangle$ $=N\mathrm}$ $\mathrm}$ $\leqq \mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}\mathrm}$ 3 6- REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}\lceil\kappa 2] \lceil \mathrmc}_-\llcorner}^\urcorner} \overline }\mathrmy}]$ $\all \mathrm}$ 4 $a\mathrm}\mathrm}$ $N\alpha \mathrm}=\mathrmw}\mathrm}\rangle$ trdim $\mathrm}$ $\leqq$ trdim weight tr
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REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ REJECT} \mathrmj}[\mathrmr}]$ \dashv $\mathrmx}$ 84 4 2 $->$ dimmm \mathrm}$ $=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ tr 4- $3_-}>\mathrmm}_\mathrmI}}\mathrmr}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $0$ Ind $\neq$ $0$ $\subset\rightarrow$ \mathrm}$ $\neq$ \mathrm}$ $0$ $\mathrmy}$ $\mathrmy}=$ $0$ Ind $\mathrmy}=0$ Ind \mathrm}=0$ Ind Ind \mathrm}$ Ind $0$ Roy 4 4 $0$ Ind 1 tr Stone-Cech $4_-}$ $5_-}arrow\ovalbox\tt\small REJECT} \mathrmm}\mathrmp}$ $\subset\triangleright$ \mathrm}=$ Ind Ind \mathrm}$ $\geqq$ \mathrm}$ tr \mathrm}$ tr $<\mathrmb}>$ -t $\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ I $\mathrmn}\mathrmd}$ $\mathrmt}\bm1}^-}\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ $l$ $-\supset \mathrmc}\backslash <$
REJECT} \mathrmj}$ $\text }\mathrm}$ $\lfloor_-}$ 85 Stone-Cech Ind trdim 4 6 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ [Pl $\subset\rightarrow$ Ind \mathrm}=\mathrmt}\mathrmr}$ Ind 4-7- REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[]\zeta 2-\rceil$ [ $\mathrmc}\underline\rceil}$ $\mathrmy}$ ]$-\rangle$ $\subset\rightarrow$ trdim \mathrm}$ trdim tr $4_-}8_-}\mathfrak}\in\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\mathcalb}\mathrm}$ tr $\mathrm}\mathrmt}\mathrmr}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ \mathrm}$ tr tr \mathrm}$ \mathrm}$ tr Stone-Cech $=\omega$ \mathrm}$ tr 4-9- $\neq$ $\omega=$ tr tr \mathrm}=\infty$ 4 8 stone-cech tr Ind Ind Stone-Cech 4-1 $\mathrmo}_\sim}\ovalbox\tt\small REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[\mathrmK}4]$ $\mathrmx}_\mathrmt}\mathrmr}}\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$
REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ [K41 $\mathrmb}$ REJECT}$ $\mathrmv}$ $\mathrmu}$ union te te normal in in tar 86 $\Rightarrow$ tr \mathrm}$ tr Roy tr \mathrm}$ tr 4-11- metacompact strongly heredi tari ly normal Ind tr $\geqq$ $\subset\rightarrow$ tr $\omega^2}$ \mathrm}$ tr 4-12- REJECT} \mathrmi}\mathrmf}\ovalbox\tt\small REJECT}$ [K4] metacompact strongly heredi tari ly normal Ind $\subset\rightarrow$ tr \mathrm}$ $\leqq$ $+$ tr 5- me tacompact trong 1 norma 1 Ind $\Rightarrow\neq_>}-\supset=\vee\subseteqq \mathrmf}\ni\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\mathrmy}$ hered $\mathrmi}\mathrml}\mathrmy}$ weight Stone-Cech $1\mathrmy}$ metacompact strongly heredi tari strongly hered tari ly normal 5-1 - ae $\all \mathrma}$ $\rfloor \mathrmu}$ separated strongly heredi tari ly norma l $\mathrme}$ $\cap$ Cl A disjoint open in $\mathrmb}$ $\phi$ A $\cap$ Cl B $\subset A \mathrmu}$ $\mathrmb}$ $\subset$ V of apoint-f $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmi}$ Vunion of apoint-f $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmi}$ coll of open $\mathrmf}_\sigma}$ coll of open $\mathrmf}_\sigma}$
\mathrmf}$ closed th is $\mathrmf}$ $\mathrm}$ S-w 87 G $\mathrmu}$ $\mathrmu}$ $\mathrmu}$ open and Ind $\mathrmu}\leqq$ } $\all \mathrmn} < \omega$ $\mathrms}\mathrm}=$ - $\mathrmu}\\mathrmg}_\mathrmn}}\mathrm} \mathrmn} < \omega\}$ $\mathrmd}$ $\mathrms}\mathrmk}\mathrml}\mathrmy}\mathrma}\mathrmr}e\mathrmn}\mathrmk}\mathrmo}[\mathrms}1_1}$ 2 1 Scompact 2 $\all in $\mathrmw}\mathrmi}$ $\mathrmf}$ $\cap \mathrms}\mathrm}=\phi$ $\mathrmf}$ $\subset \mathrmg}_11}\mathrm}\rangle$ some $\mathrmn}<\omega$ $\mathrmf}$ $\mathrms}\mathrm}$ 2 Ind metacompact strongly heredatari ly normal Ind $\mathrmf}\leqq \mathrmn}$ Ind $\mathrms}\mathrm}$ Ind $\mathrmx}\in\beta$ - tr $\mathcalb}\mathrm}<\omega$ weight 6- $\mathrmh}\mathrmi}\mathrml}$ bert cube $\sim\leftrightarrow t^\backslash }K\overline\mathrmy}}\hat\mathrmL}}\doteqdot\not\in \mathrmf}=\ovalbox\tt\small REJECT} \mathfrakb}_\grave\lambda}}\underline\lambda}$ $\neq\succ\infty$ $;\mathrmr}\mathrme}\mathrms}\tilde1}\mathrmd}\mathrmu}\mathrma}1\overline1}$ty $l$ $\backslash <$ residuality $\mathrmc}\mathrm} 1"$ I Hi lbert cube 1
$\mathrmr}\mathrme}\mathrms}$ idual $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ $\mathrma}$ residual REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT} \mathrme}$ embedding} $\mathrmc}$ Cl Cl dense is 88 $\mathrm}$ $\all \mathrmf}$ $\mathrmg}\in \mathrmc}$ I $\mathrmd}\mathrmf} \mathrmg}=\sup$ $\sigma\mathrmf}\mathrmx}$ $\mathrmg}\mathrm}$ $\mathrmx}\in$ } $\sigma$ I $\mathrmc}\mathrm}$ I $\mathrmo}$ 6 1 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small REJECT}$ $\subset Y A \mathrmy}$ in $\mathrmy}$ ] $\mathrmg}$ $\mathrmg}_\delta}$ -set $\mathrmg}\subset$ A I $\mathrm}$ I residual $\mathrmh}\in $\mathrmd}$ in $\mathrmc}\mathrm}$ $\mathrm}$ \mathrmc}$ I $\mathrmh}$ $\omega\rangle$ I $\mathrmh}\in \mathrmc}$ $\mathrm}$ I $\mathrmd}\langle \mathrmc}\mathrml}\mathrmh}\mathrm}--\mathrmd}\mathrm}$ } $\mathrmr}\mathrme}\mathrms}$ $\mathrm}$ $\mathrmd}\mathrmc}\mathrml}\mathrmh}\mathrm}\rangle=\mathrmd}\mathrm}$ $\mathrmh}\mathrmf}_-}\mathrmc}$ I \mathrmc}$ $\mathrm}$ $\mathrmd}$ I embedding} residual in $\mathrmc}$ $\mathrmh}\in $\mathrmc}$ idual in } $\mathrm}$ $\mathrm}$ $\mathrmh}\mathrm}\rangle=\mathrmd}\mathrm}$ and $\mathrmr}\mathrme}\mathrms}$ I \langle $\mathrmc}$ idual in $\mathrmh}$ $\mathrm}$ an I $ $ I 6 2 $\mathrma}\mathrme}\ovalbox\tt\small $\subset\rightarrow$ $\mathrmh}\in $\mathrm}$ $\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}$ \mathrmc}$ I $\mathrmh}\mathrm}=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ }residual in $\mathrmc}$ $\mathrm}$ I Ind $=\mathrmd}\mathrmi}\mathrmm}\mathrm}$ $\mathrmi}\mathrmn}\mathrmd}$ Ind tr trdim Luxemburg[Ll residual 6 3 REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}[\mathrmL}]$
$\subset\triangleright$ REJECT}\lceil_-}\mathrmL}\rfloor\neg$ REJECT}\ovalbox\tt\small REJECT}$ Cl Ind 89 $\mathrmh}\in \mathrmc}$ $\mathrm}$ I $\mathrmh}\mathrm}=\mathrmt}\mathrmr}$ $\mathrmc}$ Ind }residual in $\mathrm}$ I $a\mathrm}$ tr \sim tr tr $\alpha \mathrm}>$ 6 4 REJECT} \mathrmj}[\mathrml}]$ $]$ $\mathrmh}\in $\mathrm}$ $\mathrmh}\langle \mathrmc}$ I tr Cl \mathrm}=$ tr $\mathrmc}\mathrm}$ $\mathrmr}\mathrme}\mathrms}\mathrmi}$ dual in } I $\phi$ residuali $\mathrmt}\mathrmy}$ tr $\lceil_-}\mathrml}$ Luxemburg ] residuali ty 6 5 $\mathfrak}\in-\ovalbox\tt\small $\subset\rightarrow$ $\mathrmh}\in \mathrmc}$ $\mathrm}$ I tr Cl $\mathrmh}\mathrm}$ tr }residual in $\mathrmc}\langle \mathrm}$ I E Pol [P] 6 6 Ind $\mathrmh}\in \mathrmc}\mathrm}$ $td\rangle$ I tr Cl $\mathrmh}\mathrm}=$ tr } $\mathrmr}\mathrme}\mathrms}$ $\mathrmc}$ idual in $\mathrm}$ I $\lceil_-}\mathrmk}2$ trdim ] 6 7- $\mathfrak}\in\ovalbox\tt\small $\subset\triangleright$ $\mathrmh}\in REJECT}\text }\mathrmk}3$] \mathrmc}\mathrm}$ $\omega\rangle$ I trdim Cl $\mathrmh}\mathrm}$ trdim } $\mathrmr}e\mathrms}$ $\mathrmc}\mathrm}$ idual in I $\omega\rangle$
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