交 互 作 用 - 要 因 実 験 (factorial experiment) - 主 効 果 (main effect) - 交 互 作 用 (interaction effect) pg. 1
例 ) 小 麦 栽 培 農 家 が 2 品 種 の 小 麦 のうちどちらの 収 穫 量 が 多 いか またどれくらいの 播 種 密 度 で 最 大 の 収 穫 量 が 得 られるかを 知 りたがっている 実 験 区 画 は 24 ある どちらの 実 験 計 画 が 良 いか pg. 2
要 因 実 験 (factorial experiment) 処 理 をくみあわせる 実 験 - 説 明 変 数 間 の 交 互 作 用 を 検 出 できる - 交 互 作 用 が 認 められなくても 効 率 的 に 多 くの 反 復 数 を 達 成 できる pg. 3
例 ) 小 麦 栽 培 交 互 作 用 図 (interaction plot):2つのカテゴリー 型 説 明 変 数 の 交 互 作 用 を 視 覚 化 す るのに 大 変 便 利 wheat <- read.csv("wheat.csv") str(wheat) head(wheat) interaction.plot(wheat$sowrate, wheat$variety, wheat$yield) 交 互 作 用 はありそうか? pg. 4
例 ) 小 麦 栽 培 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(yield ~ factor(block) + factor(sowrate) + factor(variety) + factor(sowrate):factor(variety), data=wheat) 主 効 果 と 交 互 作 用 factor(block):ブロックの 主 効 果 factor(sowrate): 播 種 密 度 の 主 効 果 factor(variety): 品 種 の 主 効 果 factor(sowrate):factor(variety): 播 種 密 度 と 品 種 の 交 互 作 用 上 のモデル 式 はもっと 簡 略 化 して 書 ける model01 <- lm(yield ~ factor(block) + factor(sowrate)*factor(variety), data=wheat) R のモデル 式 では X1 + X2 + X1:X2 を X1*X2 と 簡 略 に 書 ける pg. 5
例 ) 小 麦 栽 培 summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 8.51458 0.39742 21.425 4.22e-12 *** factor(block)2 0.26575 0.30784 0.863 0.4025 factor(block)3-0.01150 0.30784-0.037 0.9707 factor(sowrate)2-0.16067 0.50270-0.320 0.7540 factor(sowrate)3 0.06933 0.50270 0.138 0.8923 factor(sowrate)4 1.03600 0.50270 2.061 0.0584. factor(variety)2-0.68667 0.50270-1.366 0.1935 factor(sowrate)2:factor(variety)2-0.01167 0.71093-0.016 0.9871 factor(sowrate)3:factor(variety)2 0.21533 0.71093 0.303 0.7664 factor(sowrate)4:factor(variety)2 0.15000 0.71093 0.211 0.8359 交 互 作 用 は 有 意 な 効 果 がなさそう pg. 6
例 ) 小 麦 栽 培 交 互 作 用 項 を 除 く model02 <- update(model01,.~.-factor(sowrate):factor(variety)) anova(model02, model01) Analysis of Variance Table Response: YIELD Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(block) 2 0.3937 0.19683 0.6239 0.547695 factor(sowrate) 3 5.8736 1.95786 6.2056 0.004832 ** factor(variety) 1 2.1474 2.14742 6.8064 0.018339 * Residuals 17 5.3635 0.31550 --- 交 互 作 用 項 を 除 いても 説 明 力 には 有 意 な 違 いがない pg. 7
例 ) 小 麦 栽 培 summary(model02) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 8.4704 0.3034 27.923 1.21e-15 *** factor(block)2 0.2657 0.2808 0.946 0.35728 factor(block)3-0.0115 0.2808-0.041 0.96781 factor(sowrate)2-0.1665 0.3243-0.513 0.61426 factor(sowrate)3 0.1770 0.3243 0.546 0.59229 factor(sowrate)4 1.1110 0.3243 3.426 0.00322 ** factor(variety)2-0.5982 0.2293-2.609 0.01834 * --- BLOCK の 効 果 が 検 出 されていない 除 去 すべきか? pg. 8
例 ) 小 麦 栽 培 有 意 な 交 互 作 用 がないので 結 果 を 図 示 する 場 合 には 箱 ひげ 図 (あるいは 棒 グラフ) を2つ 描 けばよい boxplot(yield ~ SOWRATE, xlab=" 播 種 密 度 ", ylab=" 収 穫 量 ", data=wheat) boxplot(yield ~ VARIETY, xlab=" 品 種 ", data=wheat) pg. 9
交 互 作 用 とは 何 か pg. 10
例 )チューリップ 栽 培 チューリップ 栽 培 に 最 適 な 条 件 を 調 べる 実 験 花 の 数 (BLOOM)が 応 答 変 数 遮 光 量 (3 水 準 SHADE)と 散 水 量 (3 水 準 WATER)が 実 験 処 理 3 つの 花 壇 (BLOCK)を 用 意 し 各 花 壇 に 9 つの 区 画 を 設 けた 9 つの 処 理 の 組 み 合 わせがそれぞれ 1 つずつ 各 ブロックに 配 置 されるようにした 処 理 番 号 遮 光 量 1 遮 光 量 2 遮 光 量 3 散 水 量 1 1 4 7 散 水 量 2 2 5 8 散 水 量 3 3 6 9 実 験 計 画 ( 例 ) ブロック 1 9 5 6 8 7 3 4 2 1 ブロック 2 3 5 6 7 4 9 1 2 8 ブロック 3 6 8 3 1 4 9 2 5 7 pg. 11
例 )チューリップ 栽 培 tulips <- read.csv("tulips.csv") str(tulips) head(tulips) interaction.plot(tulips$water, tulips$shade, tulips$blooms) 交 互 作 用 は ありそうか? pg. 12
例 )チューリップ 栽 培 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(blooms ~ factor(bed) + factor(water)*factor(shade), data=tulips) summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -1.83 26.93-0.068 0.946649 factor(bed)2 45.46 19.89 2.286 0.036242 * factor(bed)3 50.15 19.89 2.522 0.022657 * factor(water)2 184.16 34.45 5.346 6.55e-05 *** factor(water)3 267.01 34.45 7.752 8.33e-07 *** factor(shade)2 14.51 34.45 0.421 0.679255 factor(shade)3 49.18 34.45 1.428 0.172595 factor(water)2:factor(shade)2-122.02 48.71-2.505 0.023449 * factor(water)3:factor(shade)2-134.81 48.71-2.767 0.013733 * factor(water)2:factor(shade)3-185.75 48.71-3.813 0.001530 ** factor(water)3:factor(shade)3-211.41 48.71-4.340 0.000507 *** --- 交 互 作 用 の 有 意 性 は 主 効 果 の 重 要 性 を 含 む SHADE の 係 数 が 有 意 とはなっていないが これは SHADE の 主 効 果 が 有 意 でないことを 意 味 しない pg. 13
例 )チューリップ 栽 培 anova(model01) Analysis of Variance Table Response: BLOOMS Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(bed) 2 13811 6906 3.8800 0.042285 * factor(water) 2 103626 51813 29.1116 4.663e-06 *** factor(shade) 2 36376 18188 10.2191 0.001382 ** factor(water):factor(shade) 4 41058 10265 5.7672 0.004529 ** Residuals 16 28477 1780 --- pg. 14
例 )ハンセン 病 治 療 - ハンセン 病 は 桿 菌 が 原 因 で 発 病 する - 桿 菌 指 数 を 減 らすための3つの 治 療 法 を 比 較 し 最 も 有 効 な 治 療 法 を 見 つけたい - それぞれの 治 療 群 に 10 人 の 患 者 を 配 置 し 治 療 後 の 桿 菌 指 数 を 3 群 間 で 比 較 する - 桿 菌 指 数 は 治 療 前 の 病 気 の 進 行 具 合 にもよるであろうから 初 期 病 状 の 違 いも 考 慮 して 比 較 する つまり 桿 菌 指 数 の 初 期 の 違 いを 考 慮 したうえで 最 終 の 桿 菌 指 数 は 治 療 法 の 違 いに よってどのように 異 なるか? データ:Leprocy.csv BACAFTER: 治 療 後 の 桿 菌 指 数 ( 連 続 型 応 答 変 数 ) BACBEF: 治 療 前 の 桿 菌 指 数 ( 連 続 型 説 明 変 数 ) TREATMT: 治 療 法 (カテゴリカル 型 説 明 変 数 ) pg. 15
例 )ハンセン 病 治 療 交 互 作 用 を 考 える 説 明 変 数 の 一 方 が 連 続 型 なので interaction.plot は 用 いない #subset(x, 条 件 )はデータフレーム X から 条 件 を 満 たす 行 だけを 抜 き 出 したデータフレームを 作 成 する plot(bacafter ~ BACBEF, type="n", data=leprosy) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==1)) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==1))) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==2), pch=2) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==2)), lty=2) points(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==3), pch=16) abline(lm(bacafter ~ BACBEF, data=subset(leprosy, TREATMT==3)), lty=3) legend("bottomright", legend=c("1", "2", "3"), pch=c(1, 2, 16), lty=c(1, 2, 3)) pg. 16
例 )ハンセン 病 治 療 相 互 作 用 はありそうか? pg. 17
例 )ハンセン 病 治 療 まず 最 大 モデルを 当 てはめる model01 <- lm(bacafter ~ factor(treatmt)*bacbef, data=leprosy) summary(model01) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -1.07221 2.75581-0.389 0.70065 factor(treatmt)2 0.05011 4.24544 0.012 0.99068 factor(treatmt)3 2.78869 4.89497 0.570 0.57417 BACBEF 0.82832 0.25318 3.272 0.00323 ** factor(treatmt)2:bacbef 0.07774 0.34967 0.222 0.82593 factor(treatmt)3:bacbef 0.10551 0.41799 0.252 0.80287 --- 交 互 作 用 項 が 有 意 でない pg. 18
例 )ハンセン 病 治 療 交 互 作 用 項 を 除 く model02 <- update(model01,.~.-factor(treatmt):bacbef) anova(model02, model01) Analysis of Variance Table Model 1: BACAFTER ~ factor(treatmt) + BACBEF Model 2: BACAFTER ~ factor(treatmt) * BACBEF Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 26 380.15 2 24 378.90 2 1.2495 0.0396 0.9613 summary(model02) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -1.6026 1.8815-0.852 0.4021 factor(treatmt)2 0.8641 1.7548 0.492 0.6265 factor(treatmt)3 3.9060 1.7326 2.254 0.0328 * BACBEF 0.8831 0.1488 5.935 2.91e-06 *** --- pg. 19