電 気 電 子 工 学 実 験 III 時 間 領 域 周 波 数 領 域 での 伝 達 関 数 計 測 担 当 三 輪 目 的 サンプリング 定 理 周 波 数 スペクトル 伝 達 関 数 等 の 信 号 処 理 の 基 礎 となる 事 項 を 実 験 的 に 確 認 し より 直 観 的 に 理 解 できること 1 回 目 1-1 サンプリングとは 1-2 ナイキスト 条 件 1-3 離 散 フーリエ 変 換 1-4 実 験 システムの 概 要 2 回 目 2-1 線 形 システムの 伝 達 関 数 2-2 1 次 RCローパスフィルタの 伝 達 関 数 2-3 矩 形 パルスとSINC 関 数 2-4 時 間 領 域 によるフィルタ 特 性 評 価 実 験 は 二 人 1 組 で 実 施 各 回 とも 最 初 に 説 明 を 行 い 実 験 指 導 書 に 従 って 実 験 を 行 う 各 回 とも 実 験 結 果 を 基 にした 考 察 を 行 う 課 題 を 課 す ( 考 察 のみ 目 的 等 は 不 要 ) 考 察 は 実 験 中 に 取 得 した 波 形 をプリンタで 印 刷 し 持 ち 帰 って 行 う 機 器 の 操 作 ソフトウエアの 使 い 方 についてわからない 場 合 は 教 員 TAにすぐ 聞 くこと 2 回 目 終 了 の1 週 間 後 (12:40)までに 結 果 考 察 をレポートとして 提 出 すること 内 容 の 不 十 分 なレポートには 再 提 出 を 求 める
アナログ 信 号 のデジタル 化 5 量 子 化 アナログ 信 号 の 振 幅 を 階 段 状 に 分 割 4 3 12bit2の12 乗 4096 分 割 2 1 0 5 4 3 2 1 0 時 間 離 散 化 アナログ 信 号 をある 周 期 毎 に 区 切 る サンプリング 周 期 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 時 間 アナログ 信 号 のデジタル 化 サンプリング 周 波 数 1
ナイキスト 条 件 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 正 弦 波 の 周 期 >> サンプリング 周 期 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 時 間 正 弦 波 の 周 期 サンプリング 周 期 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts 8Ts 9Ts 10Ts 時 間 デジタル 信 号 では 振 幅 が 量 子 化 されるため 元 の 信 号 を 完 全 には 再 現 でき ないが ほぼ 再 現 可 能 元 の 信 号 を 再 現 できていない (エイリアシング) 2 /2 ナイキスト 条 件 ナイキスト 条 件 を 満 たさないとき 何 が 起 こるか?を 理 解 する 実 験 をしてみよう
実 験 装 置 の 概 要 直 結 or フィルタ アナログ 信 号 ( 実 際 に 測 りたい 信 号 ) ( 矩 形 波 ) AD 変 換 器 波 形 発 生 器 トリガ 信 号 (サンプリング) サンプリング 開 始 のタイミング 信 号 デジタル 信 号 USBケーブル PC 波 形 発 生 器 AD 変 換 器 Main 出 力 周 波 数 振 幅 バイアス 可 変 正 弦 波 三 角 波 矩 形 波 矩 形 波 はデューティ 比 可 変 TTL/CMOS 出 力 矩 形 波 のみ 出 力 (0 5V) 周 波 数 はmain 出 力 と 同 じ トリガー 出 力 として 利 用 量 子 化 bit 12bit サンプリング 周 波 数 max 100kHz 4チャンネル 入 力 限 界 ±10Vまで トリガ 信 号 の 立 ち 上 がりでサン プリング 開 始 サンプリング 周 波 数 取 得 デー タ 点 数 は 取 り 込 みソフトで 設 定 データ 取 得 ソフトウエア 6 波 形 同 時 波 形 表 示 離 散 フーリエ 変 換 波 形 演 算 図 のコピー Microsoft PowerPoint 2013 図 の 貼 り 付 け トリミング 拡 大 縮 小 印 刷
波 形 発 生 器 (FG 274) TTLの 表 示 があること に 注 意 波 形 の 切 り 替 えボタン ( 正 弦 波 三 角 波 矩 形 波 ) 数 値 設 定 ダイアル 数 値 設 定 桁 移 動 TTL 数 値 設 定 ボタン 電 源 ボタン これらのつまみ 類 は 押 し 込 ん でおくこと 出 力 電 圧 つまみ ±5V 程 度 に 設 定 このぐらい TTL/CMOS 出 力 矩 形 波 5V 周 期 はMAIN 出 力 に 同 期 MAIN 出 力 波 形 振 幅 周 波 数 を 変 化
AD 変 換 器 (TUSB 0412ADSM S) 量 子 化 bit 数 12bit チャンネル 数 4ch 最 大 サンプリング 周 波 数 100kHz/ch 外 部 トリガ 内 部 トリガ 10V 以 上 の 電 圧 を 絶 対 にか けないよう 注 意 信 号 入 力 サンプリングしたい 信 号 を 入 力 波 形 発 生 器 の MAIN 出 力 を 接 続 電 源 ランプ USB 端 子 接 続 ポート トリガ 入 力 波 形 のサンプリングを 開 始 するタイミ ングを 決 める 信 号 を 入 力 波 形 発 生 器 のTTL/CMOS 出 力 を 接 続 電 源 はUSBからのバスパワーを 利 用 USBをつなげば 電 源 ランプが 赤 く 点 灯 する
サンプリング 信 号 表 示 プログラム プラットフォームはMicrosoft visual C 2010 Express Edition (フリー)で 作 製 三 輪 研 の 開 発 した 無 料 グラフ 作 成 c 言 語 ライブラリ mlib 3.7 を 使 用 ( Vectorでダウンロード 可 能 ) 描 画 ウイン ドウの 移 動 サンプリングを 実 行 描 画 ウインドウの 数 ( 最 大 6) 全 描 画 ウインドウ のコピー 描 画 ウインドウ ( 最 大 6 番 まで) 1 2 現 在 のウインドウ ( 太 枠 で 表 示 ) 3 現 在 の 描 画 ウイン ドウのクリア 取 り 込 み 時 の 時 間 遅 延 サンプリング 周 波 数 取 得 データ 点 数 の 設 定 時 間 波 形 の 電 圧 軸 の 表 示 設 定 幅 を0 にすれば 自 動 設 定 時 間 波 形 の 時 間 軸 設 定 Rangeを0にすれば 自 動 設 定
周 波 数 スペクトル 表 示 このボタンで 離 散 フーリエ 変 換 を 実 行 し スペクトル 表 示 モードに サンプリング 画 面 に 戻 る 全 描 画 ウインドウ のコピー 周 波 数 スペクトルの 横 軸 を 線 形 にするか 対 数 表 示 にするか パワースペクトルの 表 示 値 を 比 較 値 分 だけ 上 下 に 移 動 させる 比 較 値 10dBとすると データが 10dB 分 大 きく 表 示 される ( 出 力 を 丁 度 0dBに 合 わせる 際 に 使 用 ) スペクトルの 周 波 数 表 示 軸 設 定 左 端 と 幅 を 設 定 対 数 周 波 数 表 示 では 表 示 幅 固 定 パワースペクトル 表 示 の 上 下 限 値 設 定 スペクトル 表 示 画 面 でサンプリングボタンを 押 しても 時 間 波 形 の 画 面 に 戻 るだけで サ ンプリングはされないことに 注 意 時 間 波 形 表 示 画 面 でサンプリングボタンを 押 すこと
0 正 弦 波 と 指 数 関 数 cosの 定 義 振 幅 周 波 数 角 周 波 数 周 期 位 相 1/ 2 2/ 2/ cos sin オイラーの 公 式 より cos sin 正 の 周 波 数 負 の 周 波 数 虚 部 t 虚 部 t cos 2 sin 2
フーリエ 変 換 任 意 の 孤 立 波 形 は 周 波 数 の 異 なる 無 限 個 の 複 素 平 面 での 正 弦 波 exp 2 の 重 ね 合 わせ で 必 ず 表 される 逆 フーリエ 変 換 exp 2 フーリエ 変 換 exp2 は 重 ね 合 わせる 正 弦 波 の 振 幅 や 位 相 を 複 素 振 幅 で 表 す 時 間 波 形 = 振 幅 複 素 振 幅 の 二 乗 周 波 数 f フーリエ 変 換 は 連 続 的 な 波 形 に 対 して 定 義 周 波 数 スペクトル (パワースペクトル)
離 散 信 号 の 連 続 波 表 現 1/ t 0 アナログ 信 号 幅 振 幅 1/ 面 積 1 の 矩 形 パルスを 考 える を0 に 近 づけたとき lim デルタ 関 数 と 呼 ぶ 0 0 0 の 連 続 関 数 デルタ 関 数 のフーリエ 変 換 は1 周 期 でサンプリングした 離 散 データ N 個 の 離 散 データの 連 続 波 表 現 にはデルタ 関 数 を 使 う 間 隔 で0~ 2 のみに 値 を 持 つ 単 発 連 続 波 形 サンプリングした 波 形 を 遅 延 した デルタ 関 数 の 級 数 和 で 表 現 し 連 続 波 形 に
フーリエ 変 換 離 散 信 号 の 周 波 数 スペクトル exp2 単 発 離 散 信 号 exp 2 デルタ 関 数 のフーリエ 変 換 は1より フーリエ 変 換 の 移 動 法 則 exp 2 exp2 exp 2 サンプリングした 信 号 のフーリエ 変 換 表 現 周 波 数 領 域 で1/ を 基 本 周 期 とする 周 期 関 数 1/ 毎 に 同 じスペクトルを 無 限 に 繰 り 返 す 周 波 数 は 連 続 な 関 数 任 意 の 周 波 数 成 分 を 持 つデータはコンピュータで 扱 いづらい
離 散 フーリエ 変 換 単 発 信 号 は 任 意 の 周 波 数 成 分 を 持 つ データはコンピュータで 扱 いづらい 単 発 離 散 信 号 が 周 期 で 無 限 に 繰 り 返 された 周 期 波 形 を 考 える フーリエ 級 数 の 知 識 から 周 期 信 号 の 複 素 スペクトルは 線 スペクトルとなり その 周 波 数 間 隔 は の 整 数 倍 の 周 波 数 に 限 られる また 周 波 数 スペクトルは 周 期 性 を 持 ち その 周 期 は 1/ 区 間 長 の 信 号 を 間 隔 / でサンプリングし た 個 のデータ 列 の 離 散 フーリエ 変 換 exp 2
離 散 フーリエ 変 換 (DFT)の 注 意 点 サンプリング 間 隔 ポイント 数 のデータ 列 の 離 散 フーリエ 変 換 exp 2 周 波 数 スペクトルは 線 スペクトルであり mは 任 意 の 整 数 値 を 持 つ 係 数 mはn 点 毎 に 周 期 性 を 持 ち 負 の 周 波 数 成 分 も 有 している DFTの 周 波 数 スペクトルはサンプリングした 孤 立 信 号 が 無 限 に 繰 り 返 された 周 期 信 号 のフーリエスペクトルと 等 価 区 間 の 両 端 が 連 続 正 弦 波 にみえる 区 間 の 両 端 が 不 連 続 離 散 フーリエ 変 換 し たときの 等 価 波 形 正 弦 波 にみえない
1 回 目 課 題 実 習 1 以 下 の 指 示 に 従 って 波 形 をサンプリングする 実 験 を 行 い 各 波 形 をソフトウエ アからコピーし パワーポイントに 貼 り 付 けて 整 理 せよ その 際 図 から 以 下 の 考 察 ができるよう 波 形 の 表 示 範 囲 等 に 注 意 すること 1サンプリング 周 波 数 を50 khzに 設 定 する データポイント 数 は5000ポイント 2 周 波 数 を10 Hzから 二 倍 ずつ 増 やしながらサンプリングし 波 形 を 計 測 (20480Hzまで) 3 次 に サンプリング 周 波 数 を10 khz ポイント 数 1000に 設 定 し 同 様 の 実 験 をせよ 考 察 1 波 形 から 見 える 両 者 の 違 いについて 述 べ 何 が 起 きているかナイキスト 周 波 数 サンプリング 周 波 数 という 言 葉 を 使 って 説 明 せよ 実 習 2 以 下 の 実 験 を 行 い パワーポイントに 貼 り 付 けた 実 験 結 果 を 整 理 せよ 1 サンプリング 周 波 数 を10 khz サンプリングポイント 数 を1000に 設 定 2 正 弦 波 の 周 波 数 を100 Hzから3.2 khzまで 二 倍 ずつ 変 えながらサンプリングし 時 間 波 形 をパ ワーポイントに 張 り 付 けて 整 理 3 また 時 間 波 形 を 離 散 フーリエ 変 換 し 周 波 数 スペクトルもパワーポイントで 整 理 4 2の 設 定 周 波 数 1 Hz の 正 弦 波 を 発 生 させ サンプリングを 行 い 時 間 波 形 周 波 数 スペクト ルを 同 様 に 整 理 考 察 2 周 波 数 を1Hz 増 やした 場 合 周 波 数 スペクトルに 違 いが 出 る 理 由 について 考 察 せよ
1 回 目 課 題 つづき 実 習 3 実 習 11において が10240 Hzのとき0.1 秒 間 に1024 個 の 波 が 表 れることにな るが 実 習 13では24 個 しか 観 測 できず 偽 の 波 が 発 生 していることになる こ のような 偽 の 周 波 数 の 波 が 表 れる 現 象 をエイリアシングと 呼 ぶ そこで サンプリング 周 波 数 を20 khz ポイント 数 1000に 設 定 し 周 波 数 を2 khz から48 khz 程 度 まで 2 khz 毎 に 増 やしながらサンプリングし 周 波 数 スペクトルを パワーポイントに 貼 り 付 け 整 理 せよ さらに 設 定 周 波 数 とフーリエ 変 換 により 得 られたピーク 周 波 数 の 関 係 を 図 示 せよ サンプリング 波 形 の 周 波 数 [Hz]? 設 定 した 周 波 数 [Hz] 考 察 3 フーリエ 変 換 では 正 と 負 の 周 波 数 スペクトルが 存 在 する 離 散 フーリエ 変 換 で は 負 の 周 波 数 はどこに 現 れることになるか? 設 定 した 周 波 数 とフーリエ 変 換 に より 得 られたピーク 周 波 数 の 関 係 から 考 察 せよ