宮川.pwd

人 気 と 行 列 の 経 済 学 モデル 宮 川 栄 一 はじめに 大 学 を 選 択 するときのように, 選 ばないといけないが 各 選 択 肢 の 価 値 がよく 分 からない,という 場 合 がよくあります 神 戸 大 学 への 入 学 を 決 めたとき, この 大 学 にどれだけの 価 値 があるか,よく 分 からなかったのではないでしょう か 旅 行 先 の 見 知 らぬ 場 所 で 食 事 をする 場 合 もそうです 情 報 が 不 足 してい てどのレストランがいいのか 分 かりませんよね そういう 場 合 に 参 考 になる のが 他 人 の 選 択 結 果 です 混 んでいるレストランは 悪 くないだろうと 推 測 でき ますし,ガラガラの 店 は 良 くない 可 能 性 が 高 いと 考 えられます みなさんが 神 戸 大 学 を 選 んだときも, 偏 差 値 などの 人 気 度 の 情 報 を 参 考 にしたことと 思 いま す 一 方 で, 人 びとは 必 ずしも 人 気 が 高 いものに 飛 びつくとは 限 りません 他 人 に 振 り 回 されないで 自 分 で 決 めるべきだと 考 える 場 合 もあります 人 気 がある ものはわざと 選 ばないという 場 合 もあります ベストセラーはあえて 読 まない という 人 は 結 構 多 いようです こうなると, 人 気 度 と 選 択 の 関 係 は 一 概 にはな んとも 言 えないことになります プラスの 関 係 ( 人 気 があるものは 選 ばれがち という 関 係 )があるかもしれないし,マイナスの 関 係 もあるかもしれないし, ゼロ( 中 立 )の 場 合 もあり 得 ます これでは 人 と 場 合 による という 結 論 に なってしまいます 議 論 がこのように 混 沌 としてきたときに 役 立 つのが 経 済 学 モデルです 経 済 学 モデルはごちゃごちゃした 頭 の 中 を 整 理 してくれます そ こで, 今 回 は 人 気 度 と 選 択 の 関 係 を 議 論 するための 経 済 学 モデルを 紹 介 したい と 思 います 1)

64 平 成 21 年 度 後 期 号 モデル ある 店 の 前 に 消 費 者 が 一 列 に 並 んでいる 状 況 を 考 えます 先 頭 の 人 から 順 番 にその 店 に 入 るかどうかを 決 めます その 決 定 は 後 ろの 人 全 員 に 見 えるとしま す お 店 は 良 か 悪 の 2つの 可 能 性 があります 何 も 情 報 がなければどち らの 可 能 性 も 五 分 五 分 だと 消 費 者 は 考 えるとします 良 い 店 に 入 ったら+1の 利 得 ( 効 用 )を 獲 得 し, 悪 い 店 に 入 ったら-1の 利 得 を 得 ます 店 に 入 らなかっ た 場 合 の 利 得 は 0とします 店 の 良 し 悪 しは 店 に 入 って( 利 用 して)みないと 分 かりませんので, 消 費 者 は 利 得 の 期 待 値 を 予 想 して,それが 高 い 方 の 選 択 肢 ( 入 るか 入 らないか)を 選 ぶと 考 えます 今 の 状 況 だと, 良 い 店 の 可 能 性 が 1/2 を 超 えていると 思 えば 入 りますし,1/2を 下 回 っていると 思 えば 入 りません ちょうど 1/2ずつの 可 能 性 と 思 えば, 入 っても 入 らなくても 利 得 の 期 待 値 は 0 ですので,どちらでもいいということになります こういう 消 費 者 は 入 るか 入 らないかを 1/2ずつの 確 率 で 選 ぶと 仮 定 します 消 費 者 が 決 定 を 下 すときの 判 断 材 料 には 2つあります 一 つは, 自 分 より 前 の 人 たちの 選 択 です 自 分 より 前 の 人 たちが 店 に 入 ったかどうかはすべて 見 え ますので,それでその 店 の 人 気 度 が 分 かります もう 一 つの 判 断 材 料 は,その 店 に 関 して 個 人 的 に 持 っている 情 報 です これ をどうやって 数 学 的 に 表 現 するかというと, 各 消 費 者 が 持 っている 情 報 は 良 か 悪 のどちらかで,それは 真 実 と 正 の 相 関 があるとします 正 の 相 関 があ るので 情 報 はデタラメではありません しかし, 相 関 は 完 全 ではないと 仮 定 し 1) 以 下 のモデルは Bikhchandani,S.,Hirshleifer,D.,andWelch,I., ATheoryof Fads,Fashion,Custom,andCulturalChangeinInformationalCascades, JournalofPoliticalEconomy,vol.100,1992,pp992 1026によるものです 類 似 のモデ ルは Chamley,C.P.,RationalHerds:EconomicModelsofSocialLearning,CambridgeUniversityPress,2003で 解 説 されています

人 気 と 行 列 の 経 済 学 モデル 65 ますので, 情 報 は 間 違 っている 可 能 性 があります 話 を 具 体 的 にするために, 消 費 者 が 正 しい 情 報 を 受 け 取 る 確 率 を 2/3とし ます つまり, 真 実 が 良 の 場 合,2/3の 確 率 で 良 という 正 しい 情 報 を 得 ますが, 残 りの 1/3の 確 率 で 悪 という 間 違 った 情 報 を 得 ます 真 実 が 悪 の 場 合 も 同 じで,2/3の 確 率 で 悪 という 正 しい 情 報 を 得 て, 残 りの 1/3の 確 率 で 良 という 間 違 った 情 報 を 得 ます 正 しい 情 報 を 得 る 確 率 が 1/2を 超 えていますので, 情 報 にはある 程 度 の 信 頼 性 があります 良 とい う 情 報 を 得 ると, 真 実 はもはや 五 分 五 分 ではなく, 良 の 可 能 性 のほうが 高 くなります 今 の 例 で 言 えば, 良 という 情 報 を 得 た 消 費 者 にとって, 真 実 が 良 の 確 率 は 2/3です この 2/3という 数 字 は 話 を 具 体 的 にするための もので, 以 下 の 議 論 はこの 確 率 が 1/2<p<1を 満 たす pであれば 成 立 します もし 自 分 1 人 しかいないのであれば 話 はこれで 終 わりです 良 という 情 報 を 持 っていれば 店 に 入 るのが 最 適 な 選 択 ですし, 悪 という 情 報 を 持 って いれば 入 らないのが 最 適 です しかし, 我 々は 社 会 に 生 きています 自 分 が 持 っ ている 情 報 だけでなく, 他 人 の 情 報 を 活 用 することができます いまの 状 況 だ と, 他 人 が 持 っている 情 報 を 直 接 見 ることはできませんが, 他 人 の 選 択 を 観 察 することによって,その 人 が 持 っている 情 報 を 推 測 することができます どの ように 推 測 するのか 考 えてみましょう まずは 先 頭 に 並 んでいる 消 費 者 を 考 えます 以 後, 先 頭 の 消 費 者 を 消 費 者 1 と 呼 びます この 消 費 者 は 自 分 の 前 に 誰 もいませんから, 他 人 から 学 ぶことは できません 頼 れるのは 自 分 の 情 報 だけです したがって, 先 ほど 議 論 した 通 り, 自 分 の 情 報 が 良 であれば 入 り, 悪 であれば 入 りません 2 人 目 次 に 2 人 目 の 消 費 者 である 消 費 者 2を 考 えましょう この 消 費 者 は 自 分 より 先 に 決 めた 消 費 者 1の 選 択 から 学 ぶことができます 消 費 者 1は 自 分 の 情 報 に

66 平 成 21 年 度 後 期 号 素 直 に 従 いますので, 彼 の 選 択 を 見 れば 彼 が 持 っていた 情 報 を 逆 算 することが できます つまり, 消 費 者 1が 店 に 入 れば 彼 の 情 報 は 良 だと 推 測 できます し, 店 に 入 らなければ 悪 という 情 報 を 持 っていたはずです したがって 消 費 者 2は 自 分 の 情 報 と, 消 費 者 1が 持 っていたと 思 われる 情 報 の 2つを 合 算 し て 判 断 します もし 両 方 とも 良 なら 店 に 入 るべきですし, 両 方 とも 悪 なら 入 るべきではありません 良 と 悪 が 1つずつの 場 合 は,2つの 情 報 が 相 殺 しますので, 真 実 の 確 率 は 五 分 五 分 に 戻 ります 先 ほどの 仮 定 より, この 状 況 では 入 るか 入 らないかを 等 確 率 で 選 びます この 最 後 のケースがあるので, 消 費 者 2の 選 択 は 彼 自 身 の 情 報 を 必 ずしも 反 映 しません 消 費 者 2が 店 に 入 ったからといって, 彼 の 情 報 が 良 とは 限 りません 悪 という 情 報 を 持 っていた 場 合 でも, 先 頭 の 人 が 店 に 入 った ために,2つの 情 報 が 相 殺 して, 結 果 としてランダムに 選 んだのかもしれませ ん 3 人 目 ぐっと 面 白 くなるのは 3 人 目 の 消 費 者 です この 人 は 自 分 の 情 報 と 前 の 2 人 の 選 択 を 総 合 して 判 断 します 2 種 類 の 状 況 があって, 前 の 2 人 の 選 択 が 揃 っ ている 場 合 と, 食 い 違 っている 場 合 です まずは, 前 の 2 人 の 選 択 が 食 い 違 っている 場 合 を 考 えましょう この 場 合, 消 費 者 2の 情 報 を 逆 算 することができます あえて 先 頭 の 消 費 者 と 違 う 選 択 を したのですから, 消 費 者 2は 自 分 の 情 報 に 従 ったはずです 例 えば, 消 費 者 1 が 店 に 入 ったのに 消 費 者 2が 入 らなかったとすれば, 消 費 者 2の 情 報 は 悪 だったはずです 良 であれば 店 に 入 るはずですから すると, 消 費 者 1と 2が 持 っていた 情 報 は 良 と 悪 が 1つずつということになります これ らはお 互 いに 相 殺 しますので, 消 費 者 3はもう 1つの 情 報 である 自 分 の 情 報 に 従 います つまり, 前 の 2 人 が 食 い 違 った 選 択 をすることによって, 状 況 があ

人 気 と 行 列 の 経 済 学 モデル 67 る 意 味 リセットされるのです したがって, 消 費 者 3はあたかも 自 分 が 先 頭 に いるかのように 行 動 します 前 の 2 人 の 選 択 が 揃 っている 場 合 はどうでしょうか 例 えば, 前 の 2 人 が 両 方 とも 店 に 入 った 場 合 を 考 えましょう もし 消 費 者 3の 情 報 が 良 なら 文 句 なしに 入 るべきです なので, 彼 の 情 報 が 悪 の 場 合 を 考 えることにしましょ う このとき, 消 費 者 3は 自 分 が 持 っている 否 定 的 な 情 報 を 信 じるべきか, 前 の 2 人 が 入 ったという 事 実 を 重 くみるべきかの 選 択 に 迫 られます 問 題 は, 真 実 が 良 の 確 率 が 1/2を 超 えるかどうかです これは 直 感 的 に 考 えるだけで 分 かります 消 費 者 3が 持 っている 悪 とい う 情 報 は, 消 費 者 1の 良 という 情 報 と 相 殺 します したがって, 問 題 は 消 費 者 2がどっちの 情 報 をもっていたかです 先 ほども 議 論 した 通 り, 消 費 者 2 が 店 に 入 ったという 事 実 から 彼 の 情 報 を 完 全 に 逆 算 することはできません 消 費 者 2が 悪 という 情 報 を 持 っていた 可 能 性 もあります 問 題 はその 確 率 が 1/2を 超 えるかどうかです 消 費 者 2の 情 報 が 悪 の 場 合, 彼 は 1/2の 確 率 でしか 店 に 入 りません(ランダムに 決 めますので) 一 方, 消 費 者 2の 情 報 が 良 の 場 合, 彼 は 確 率 1で 店 に 入 ります したがって, 消 費 者 2が 店 に 入 っ たのであれば, 彼 の 情 報 が 良 の 確 率 は 1/2を 超 えます 例 えば,お 茶 かジュースを 選 ぶ 場 面 を 考 えてみて 下 さい 子 供 は 確 率 1でジュー スを 選 ぶが, 大 人 はお 茶 とジュースを 等 確 率 で 選 ぶとします そうすると, 大 人 と 子 供 の 数 が 半 々としても,ジュースを 選 んでいる 人 がいたらその 人 が 子 供 の 確 率 は 1/2を 超 えます これと 同 じで, 消 費 者 2が 店 に 入 ったのであれば, 彼 の 情 報 が 良 の 確 率 は 1/2を 超 えます 正 確 な 値 を 計 算 するには 統 計 学 で 習 うベイズの 定 理 を 使 います それには, 真 実 が 良 の 場 合 と 悪 の 場 合 のそれぞれについて, 消 費 者 3が 観 察 した すべてのことが 起 こる 確 率 を 計 算 します 観 察 したことというのは, 前 の 2 人 の 選 択 結 果 と 自 分 の 情 報 です まず 真 実 が 良 の 場 合 を 考 えてみましょう 消 費 者 3が 観 察 したことが 起 こる 確 率 は

68 平 成 21 年 度 後 期 号 真 実 が 良 のときに 消 費 者 3が 観 察 したことが 起 こる 確 率 = 消 費 者 1が 店 に 入 る 確 率 (2/3) 2 消 費 者 2が 店 に 入 る 確 率 3 1 3 1 2 消 費 者 3の 情 報 が 悪 の 確 率 (1/3) = 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 5 27 となります 第 1 項 の 2/3は 消 費 者 1が 良 の 情 報 を 受 け 取 る 確 率 です 第 2 項 がやや 複 雑 なのは, 消 費 者 2が 店 に 入 るシナリオが 2 種 類 あるからです 一 つは 彼 の 情 報 が 良 の 場 合 です(これは 2/3の 確 率 で 起 こります) もう 一 つは 彼 の 情 報 が 悪 で,ランダムに 決 めた 結 果 店 に 入 る 場 合 です(これは 1/3 1/2の 確 率 で 起 こります) 真 実 が 悪 の 場 合, 上 の 計 算 式 の 2/3と 1/3が 入 れ 替 わります つまり, 真 実 が 悪 の 場 合, 消 費 者 3が 観 察 したことが 起 こる 確 率 は 1 3 1 3 2 3 1 2 2 3 4 27 となります よって, 消 費 者 3が 観 察 したことを 所 与 とすると, 真 実 が 良 の 確 率 は 0.5 5 27 0.5 5 27 0.5 4 27 5 9 となります(ベイズの 定 理 ) 3カ 所 に 0.5が 出 てきますが,これは 情 報 を 受 け 取 る 以 前 では 真 実 が 五 分 五 分 だからです この 5/9という 確 率 は 1/2を 超 えていますので, 消 費 者 3にとっては 店 に 入 ることが 最 適 な 選 択 ということに なります 彼 自 身 の 情 報 は 悪 なのにです 消 費 者 3は 自 分 の 情 報 と 前 の 2 人 の 選 択 を 天 秤 にかけるのですが, 前 の 2 人 が 店 に 入 っていれば,そちらの 方 が 自 分 の 情 報 よりも 重 いと 判 断 するわけです 大 雑 把 に 言 えば, 自 分 の 情 報 は 1つだけなのに 対 して, 前 の 2 人 の 行 動 は 2つの 情 報 を 反 映 していますので,

人 気 と 行 列 の 経 済 学 モデル 69 前 の 2 人 の 行 動 のほうが 多 くの 情 報 を 含 んでいます その 結 果, 前 の 2 人 の 行 動 と 自 分 の 情 報 が 食 い 違 っている 場 合,どちらかと 言 えば 前 の 2 人 の 行 動 を 信 用 することが 正 しい 判 断 になるわけです 上 の 議 論 では 先 頭 の 2 人 が 店 に 入 った 場 合 を 考 えましたが,2 人 とも 入 らな かった 場 合 も 同 じです 消 費 者 3は 前 の 2 人 をコピーします 4 人 目 以 降 4 人 目 以 降 については 何 も 新 たに 計 算 する 必 要 はありません まずは 先 頭 の 2 人 の 選 択 が 揃 っている 場 合 を 考 えてみましょう この 場 合, 消 費 者 3は 前 の 2 人 をコピーしますので,それを 見 たところで 消 費 者 3が 持 っている 情 報 は 推 測 できません コピーしているだけの 消 費 者 3の 行 動 は 消 費 者 4にとって 何 の 参 考 にもならないわけです 消 費 者 4は 先 頭 2 人 の 選 択 結 果 と 自 分 の 情 報 から 判 断 しなければなりません ということは, 消 費 者 4にとっての 問 題 は, 消 費 者 3の 場 合 と 全 く 同 じものになります 直 前 にいる 消 費 者 3の 行 動 が 参 考 にな らないので, 参 考 になる 情 報 量 は 消 費 者 4も 消 費 者 3も 同 じなのです という ことは, 全 く 同 じ 議 論 が 成 立 して, 消 費 者 4も 先 頭 の 2 人 の 選 択 をコピーする ことになります 自 分 の 情 報 と 先 頭 の 2 人 の 選 択 を 天 秤 に 掛 けると,1 対 2な ので, 先 頭 の 2 人 の 選 択 を 重 く 見 ることになります 5 人 目 以 降 も 議 論 は 全 く 同 じなので,ドミノ 倒 しのようになります 先 頭 の 2 人 が 同 じ 選 択 をすると, それ 以 降 の 人 はみんな 自 分 の 情 報 を 無 視 して, 前 の 人 たちと 同 じ 選 択 をします 一 方, 消 費 者 1と 2の 選 択 が 食 い 違 っている 場 合 はそこで 問 題 が 一 度 リセッ トされます 振 り 出 しに 戻 る 感 じです 消 費 者 3はあたかも 自 分 が 先 頭 にいる かのように 行 動 し, 消 費 者 4はあたかも 自 分 が 2 番 目 の 消 費 者 であるかのよう に 行 動 します したがって, 上 で 議 論 した 消 費 者 1と 2の 分 析 がそのまま 消 費 者 3と 4に 再 利 用 できます もし 消 費 者 3と 4の 選 択 が 食 い 違 えば,そこでま た 問 題 がリセットされます 一 方,もし 3と 4の 選 択 が 揃 えば,そこからドミ

70 平 成 21 年 度 後 期 号 ノ 倒 しが 始 まります 以 下, 同 じ 議 論 を 続 けることができます 結 局, 消 費 者 kと k+1(ただし k は 奇 数 )の 選 択 が 食 い 違 っている 限 り,そこで 問 題 がリセットされ 続 けますが, いったん kと k+1の 選 択 が 揃 うと,そこからドミノ 倒 しが 始 まります 永 遠 にリセットが 続 く 確 率 はゼロなので, 遅 かれ 早 かれドミノ 倒 しは 始 まります ドミノ 倒 しが 起 こった 場 合, 彼 らの 選 択 が 正 しいという 保 証 はありません みんな 同 じ 選 択 をしているのですが,それはドミノ 連 鎖 の 先 頭 にいた 2 人 の 選 択 が 引 き 起 こしたもので, 間 違 っている 可 能 性 は 大 いにあります 悪 い 店 なの に 長 い 行 列 ができることも 可 能 なわけです みんな 自 分 の 情 報 を 使 わずに 他 人 頼 みで 判 断 しますので, 先 頭 にいる 少 数 の 人 たちが 間 違 うと, 後 ろの 人 たちは その 間 違 いを 繰 り 返 してしまいます おわりに これでモデルの 説 明 を 終 了 しますが,いかがでしたか 人 気 度 と 選 択 の 関 係 についての 理 解 は 深 まったでしょうか 自 分 の 情 報 と 他 人 の 情 報 を 天 秤 に 掛 け て, 自 分 の 情 報 を 捨 ててしまう 仕 組 みが 少 しは 見 えたのではないでしょうか しかし,このモデルはいろんな 点 で 現 実 を 単 純 化 しています 現 実 とのズレ が 大 いにあります みなさんもモデルの 説 明 を 読 んでいて 違 う と 感 じた 点 がいろいろあったと 思 います 数 学 モデルのいい 所 は, 自 分 でいろいろ 変 えて みることができることです このモデルは 面 白 いけど 何 か 違 う と 感 じた 人 は,モデルを 自 分 なりに 改 造 して 分 析 をやり 直 してみてください 何 か 新 しい 発 見 があるかもしれません どういう 結 果 が 得 られるかはやってみないと 分 か らないことが 多 いです そこがまた 数 学 モデルのいいところです 面 白 そうだ と 感 じたら 先 のことは 考 え 過 ぎずに 計 算 を 始 めてみてください 意 外 な 結 果 が 出 るとゾクゾクしますよ あまり 大 きく 変 えると 手 に 負 えなくなりますので, 修 正 は 少 しずつするのがコツです