デリバティブ 再 入 門 特 別 寄 稿 ( 第 1 回 ) デリバティブの 基 礎 石 村 直 之 目 次 1.はじめに 2.ブラウン 運 動 をめぐって 3. 株 価 変 動 モデル 4. 身 近 なデリバティブの 考 え 方 5. 終 わりに このシリーズ( 全 5 回 )では 昨 今 の 金

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1 Titleデリバティブの 基 礎 (デリバティブ 再 入 門 ( 第 1 回 )) Author(s) 石 村, 直 之 Citation 証 券 アナリストジャーナル, 47(6): Issue Date Type Journal Article Text Version publisher URL 本 稿 は 証 券 アナリストジャーナル 平 成 21 年 6 月 号 に 掲 載 された 論 文 を 同 誌 の 許 可 を 得 て 複 製 したものです Right 本 論 文 の 著 作 権 は 日 本 証 券 アナリスト 協 会 に 属 し 無 断 複 製 転 載 を 禁 じます Hitotsubashi University Repository

2 デリバティブ 再 入 門 特 別 寄 稿 ( 第 1 回 ) デリバティブの 基 礎 石 村 直 之 目 次 1.はじめに 2.ブラウン 運 動 をめぐって 3. 株 価 変 動 モデル 4. 身 近 なデリバティブの 考 え 方 5. 終 わりに このシリーズ( 全 5 回 )では 昨 今 の 金 融 危 機 を 激 甚 化 させた 一 因 であったと 非 難 されるデリバティブあるい は 金 融 工 学 に 関 して 再 考 する 数 理 モデリングの 観 点 からの 解 説 を 中 心 とする すなわちまず ブラウン 運 動 価 格 変 動 モデル さらには 他 の 各 種 モデルについて 数 理 モデリングの 側 面 を 重 視 しつつ 考 察 する その 上 で 金 融 工 学 の 有 用 点 あるいは 欠 点 やその 限 界 を 今 一 度 考 察 したい 第 1 回 は 基 本 の 確 率 過 程 として 用 いられているブラウン 運 動 について その 意 味 する 現 象 から 振 り 返 る 拡 散 現 象 を 導 くことを 示 し 株 価 変 動 モデルに 応 用 されている 理 由 を 考 える 最 後 に この 変 動 モデルが 適 用 され るデリバティブの 考 え 方 そのものは 金 融 市 場 に 特 有 なものではなく むしろ 身 近 な 知 恵 であることを 再 確 認 する 1.はじめに デリバティブ 再 入 門 2008 年 9 月 以 降 の 急 激 な 金 融 危 機 により 金 融 工 学 そのものに 対 する 漠 然 とした 疑 いの 目 が 強 められたことは 確 かであろう それは 大 学 に 所 属 し 実 務 上 必 須 の 道 具 として 使 用 しているわけで はなく 半 分 以 上 は 純 粋 な 学 問 として 数 理 ファイ ナンスを 研 究 する 者 にとっても 感 じざるを 得 ない 事 実 である 一 般 論 説 のうちには 時 によれば 金 融 工 学 すなわちすべて 拒 否 との 極 端 な 姿 勢 も 見 受 けられる 金 融 市 場 に 大 小 さまざまな 混 乱 は 付 き 物 であるが 今 回 ほど 危 機 が 深 まったのはそ もそも 金 融 工 学 なるえたいの 知 れない 奇 術 が 考 案 されたからだ と 糾 弾 する 論 説 も 見 受 けられる もちろんそのような 嫌 悪 感 や 不 信 感 には 単 なる 誤 解 に 基 づくことも 多 いし 全 く 的 外 れと 判 断 で きる 場 合 もある とはいえ 金 融 工 学 が 難 しい 数 学 を 駆 使 して 通 常 の 理 解 の 範 囲 をはるかに 飛 び 越 すための 衒 学 的 な 手 法 として 用 いられても そ 石 村 直 之 (いしむら なおゆき) 一 橋 大 学 大 学 院 経 済 学 研 究 科 教 授 1989 年 東 京 大 学 大 学 院 理 学 系 研 究 科 修 士 課 程 修 了 同 年 4 月 東 京 大 学 理 学 部 数 学 教 室 助 手 東 京 大 学 大 学 院 数 理 科 学 研 究 科 助 手 一 橋 大 学 経 済 学 部 助 教 授 を 経 て 2005 年 4 月 より 現 職 主 な 著 書 に 経 済 数 学 ( 新 世 社 2003 年 武 隈 愼 一 教 授 と 共 著 )がある 124 証 券 アナリストジャーナル 本 稿 は 証 券 アナリストジャーナル 平 成 21 年 6 月 号 に 掲 載 された 論 文 を 同 誌 の 許 可 を 得 て 複 製 したものです 本 論 文 の 著 作 権 は 日 本 証 券 アナリスト 協 会 に 属 し 無 断 複 製 転 載 を 禁 じます

3 れはそれで 戸 惑 うのも 当 然 である もしかすると 単 に 理 解 しにくくするために 金 融 工 学 の 仮 面 をか ぶせたのかもしれない というわけである この ような 状 況 では ここは 少 なくとも 基 本 に 立 ち 返 り そもそも 金 融 工 学 あるいは 数 理 ファイナン スの 基 礎 はどのようなものか 再 確 認 する 作 業 は 意 味 あることになるだろう そこでデリバティブ 再 入 門 であるが 意 識 の 高 い 入 門 書 も 世 の 中 には 既 に 多 く 存 在 する 中 で 何 をよりどころに 述 べようとするのかをまず 明 らか にしたい それは 数 理 科 学 としての 視 点 を 重 視 す ることである ええ? デリバティブは 存 在 その ものが 数 学 であり いまさらそのような 数 理 科 学 風 の 論 説 はごめんこうむりたい と 反 論 される 方 がいらっしゃるであろう リスク 中 立 確 率 を 用 い て 期 待 値 を 計 算 して と 聞 いただけでもうやめて ください と 拒 否 する 方 もいらっしゃるであろう しかしブラウン 運 動 からして それがそもそもど のような 現 象 を 意 味 するのか はっきりした 概 念 をもって 用 いているのだろうか 日 本 の 工 学 部 や 理 学 部 の 各 自 然 科 学 系 学 部 においても 確 率 論 は 手 順 を 踏 んで 勉 強 しようと 思 えばなかなか 困 難 な 部 分 があり 確 率 微 分 方 程 式 はむしろ 大 学 院 での 内 容 としているところも 多 いだろう 数 理 の 立 場 での 読 み 物 風 の 解 説 は まだまだ 有 用 なのでは ないだろうか これがあえて 再 入 門 を 試 みる 理 由 の 一 つである とは 述 べつつも 数 式 を 羅 列 することはこの 雑 誌 の 編 集 方 針 とは 異 なる そこで 本 文 中 には 簡 単 な 数 式 のみに 収 め しかもその 数 式 の 意 味 は 逐 一 言 葉 で 説 明 することとしたい さらに より 複 雑 な 数 式 は 脚 注 に 回 し それは 飛 ばしても 後 には 差 し 支 えがないよう 配 慮 する 予 定 である おこがましくも いささか 意 識 している 書 物 は 名 著 の 誉 れが 高 い 高 橋 誠 新 井 富 雄 共 著 ビジネ ス ゼミナール デリバティブ 入 門 ( 日 本 経 済 新 聞 社 1996 年 )である と 述 べれば 苦 笑 され るであろうか 経 営 的 視 点 を 重 視 したデリバテ ィブ 入 門 を 掲 げるこの 著 のような 実 務 に 精 通 した 内 容 はもちろん 筆 者 に 望 むべくもない この 名 著 の モデリングの 基 礎 の 部 分 を 補 う 手 軽 な 解 説 とお 考 えいただきたい 数 理 ファイナンスの 研 究 に 取 り 組 むまで 以 上 半 業 界 通 のような 言 辞 を 弄 したものの おそらく 証 券 アナリストの 大 多 数 の 方 にとって 筆 者 は 無 名 であろう そこで 略 歴 はあるものの 簡 単 に 自 己 紹 介 させていただく これは 自 己 宣 伝 のた めではなく 現 在 はこのような 端 くれの 学 者 まで 金 融 工 学 あるいは 数 理 ファイナンスに 取 り 組 んで いるのか と 認 識 してもらうためである 大 学 の 学 部 は 理 学 部 物 理 学 科 卒 業 で そのまま 大 学 院 に 進 む これは 日 本 の 自 然 科 学 系 では 通 常 のよくある 進 路 である ただ 途 中 で 物 理 学 専 攻 か ら 数 学 専 攻 に 鞍 替 えした 幸 いにも 修 士 課 程 修 了 後 に 助 手 に 採 用 され それ 以 降 特 に 日 々の 糧 を 心 配 することなく 数 理 科 学 詳 しくは 非 線 形 偏 微 分 方 程 式 の 研 究 に 取 り 組 んできた どのような 時 期 かといえば 大 学 院 修 士 課 程 の 時 に 例 の 小 柴 先 生 の1986 年 2 月 の 超 新 星 が 爆 発 し その 時 の 現 場 の 高 揚 感 を 末 端 の 理 学 系 院 生 ながら 体 験 した さらには 助 手 の 時 に H. M. Markowitz 教 授 の90 年 のスウェーデン 銀 行 賞 受 賞 いわゆるノーベル 経 済 学 賞 受 賞 に 僥 倖 する これは 筆 者 がその 当 時 所 属 していた 東 京 大 学 理 学 部 数 学 教 室 には 保 険 協 会 からの 寄 付 講 座 があったが そこの 客 員 教 授 としてMarkowitz 教 授 が 来 日 されていた 折 のこと である このこともあってか この 期 間 は 日 本 の 金 融 機 関 がいわゆる 理 系 学 生 を 大 量 に 採 用 した 最 初 の 時 期 におおむね 該 当 する ちなみに この 保 日 本 証 券 アナリスト 協 会

4 険 協 会 の 寄 付 講 座 にはMarkowitz 教 授 以 外 にも 著 名 な 諸 教 授 が 来 日 されたのだが その 当 時 は 全 く 関 心 がなく お 会 いしておけばよかったのにと 今 になって 少 し 後 悔 している 数 理 ファイナンスとの 出 会 いは 96 年 に 一 橋 大 学 に 異 動 してからである 当 時 一 橋 大 学 商 学 部 に 所 属 されていた 三 浦 良 造 教 授 ( 現 在 一 橋 大 学 大 学 院 国 際 企 業 戦 略 研 究 科 教 授 )の 教 示 を 得 たことによる 講 義 の 前 のお 茶 の 機 会 に 三 浦 教 授 は 非 線 形 偏 微 分 方 程 式 論 がご 専 門 ならばこ のような 方 程 式 はご 存 じですか とBlack-Scholes 方 程 式 を 示 された Black-Scholes 方 程 式 に 関 して はこのシリーズでより 詳 しく 述 べる 機 会 があろ う その 時 の 筆 者 の 反 応 は 社 会 科 学 にも 偏 微 分 方 程 式 が 現 れるのか との 程 度 の 低 い 認 識 であ った さらに 三 浦 教 授 は Paul Wilmottたちの 著 書 [1993,1995]を 教 えてくれた これは 当 時 全 くの 初 学 者 であった 筆 者 にも 読 み 解 きやすい 専 門 書 であった というのはWilmott 教 授 は 論 文 [2000] に and then(paul Wilmott)went on to research in fluid mechanics for his doctorate. In the early 1990s his field of interest changed dramatically to finance and he hasn t looked back since ( 注 1).( 以 下 略 ) ( 括 弧 内 筆 者 補 い)と 元 は 流 体 力 学 の 研 究 者 だったからである よってその 著 書 にも 流 体 科 学 の あるいは 物 理 学 の 訓 練 を 受 けている 者 に は 比 較 的 に 入 りやすかったのである ちなみに 流 体 科 学 とは 気 体 や 液 体 の 運 動 力 学 的 な 性 質 を 考 察 する 学 問 であり 天 気 予 報 航 空 機 の 設 計 など 実 用 上 工 学 上 も 大 切 な 基 礎 分 野 である Wilmott 教 授 の 出 身 の 英 国 は この 流 体 科 学 研 究 が 盛 んな 国 の 一 つである 金 融 工 学 の 研 究 者 には 現 在 でもほかの 分 野 から 例 えば 統 計 学 OR(Operations Research) 数 学 の 確 率 論 その 他 最 初 は 別 の 分 野 の 研 究 から 始 めた 者 が 多 い その 中 でも 流 体 科 学 出 身 は 珍 し い 部 類 に 属 するが その 人 物 の 書 いた 著 書 は 最 も なじみやすかったのである 付 言 するが 最 初 か ら 金 融 工 学 あるいは 数 理 ファイナンス 専 攻 である 研 究 者 は 各 大 学 での 課 程 が 整 備 されてきたこと もあり 最 近 になって 増 加 している その 後 は 一 橋 大 学 という 金 融 の 数 学 を 研 究 す ることに 対 してむしろ 歓 迎 するような 環 境 である ことも 影 響 してか 数 理 ファイナンスの 分 野 を 大 変 面 白 く 感 じながら 取 り 組 んでいる 当 初 は 講 義 でファイナンスの 数 理 を 取 り 上 げても 学 生 さ んの 方 が 詳 しいのではないかと 半 ば 恐 る 恐 るであ った 今 では 少 なくとも 学 部 学 生 さん 相 手 には そこまで 緊 張 することはなく 平 常 心 で 臨 むことが できる 09 年 3 月 21 日 ( 土 ) 午 前 の 経 済 危 機 克 服 のための 有 識 者 会 議 で 麻 生 太 郎 首 相 が 株 価 対 策 に 関 連 して 株 屋 ってのは 信 用 されていない 株 をやっているといったら 田 舎 じゃなんとなく 怪 しいよ と 語 った 旨 報 道 されたが( 日 本 経 済 新 聞 2009 年 3 月 21 日 夕 刊 ) 思 えば 一 橋 に 異 動 する 前 の 感 覚 はまさにこの 通 りであった それが 現 在 で は 理 論 の 検 証 と 称 して 小 額 投 資 を 実 践 しており 理 論 通 りにうまい 儲 け 話 は 存 在 しないことを 身 に 染 みて 感 じている むしろそれより 株 という 極 めて 巧 妙 な 仕 組 みが 発 明 されたことに 対 して 驚 き をさえ 覚 えている 以 上 が 筆 者 が 数 理 ファイナンスに 取 り 組 むよ うになった 恥 ずかしながらもその 経 緯 である このような 背 景 なので 論 説 が 数 理 に 傾 くことは ( 注 1) その 後 (ポール ウィルモットは) 博 士 号 のため 流 体 力 学 の 研 究 に 進 んだ 90 年 代 初 め 彼 の 興 味 の 対 象 はファイナンスへと 劇 的 に 変 化 し それ 以 降 振 り 返 らなかった ( 筆 者 訳 ) 126 証 券 アナリストジャーナル

5 お 許 しいただきたい 金 融 工 学 あるいは 数 理 ファ イナンスには 数 理 モデリングとしての 側 面 も 確 かにあるので この 方 面 からの 理 解 の 一 助 となれ ば 幸 いである それでは まずはブラウン 運 動 にまつわる 事 柄 から 述 べよう 2.ブラウン 運 動 をめぐって ブラウン 運 動 金 融 工 学 で 基 本 となるモデルの 多 くにはブラウ ン 運 動 (Brownian motion)が 用 いられている と 述 べておそらく 異 論 はないであろう それは も しかすると 数 理 系 が 苦 手 な 初 心 者 を 混 乱 させてい る 確 率 微 分 方 程 式 その 方 程 式 の 核 心 を 成 してい ることからも 窺 える もちろん すぐ 後 で 導 出 す るがブラウン 運 動 は 拡 散 現 象 を 導 き 拡 散 現 象 は 本 質 的 に 連 続 な 過 程 であるため 金 融 危 機 で 観 察 されるような 株 価 の 頻 繁 かつ 急 激 な 変 動 はあり 得 ない よって 株 価 変 動 のモデルとして ブラウ ン 運 動 だけを 考 慮 しても 正 当 なモデルとは 言 えな い 現 在 の 数 理 ファイナンス 理 論 では 連 続 な 過 程 のうちに とび (jump)を 許 すレビ 過 程 (Lévy Process)がむしろ 基 本 的 だと 考 えられている し かし そうはいっても その 簡 便 さもありブラウ ン 運 動 が 金 融 工 学 理 論 の 中 心 であることは 疑 いな い ではそもそもブラウン 運 動 はどのようなもの であろうか ブラウン 運 動 について 歴 史 上 のことから 詳 細 に 解 説 されている 良 書 に 江 沢 洋 著 だれが 原 子 を みたか ( 岩 波 書 店 1976 年 )がある 書 物 その ものは 物 質 を 構 成 する 原 子 がどのように 認 識 さ れるようになってきたのか ゆっくりと 一 つ 一 つ 論 理 を 進 めながら 解 説 されている 冒 頭 および 前 半 の 部 分 と 最 後 半 の 部 分 がブラウン 運 動 にかかわ る 中 学 生 高 校 生 向 けに 書 かれた とあるがどう してなかなか 骨 のある 書 物 である 以 下 この 江 沢 先 生 の 本 を 参 照 しながらブラウン 運 動 について 考 察 したい ブラウン 運 動 を 最 初 の 発 見 者 イギリスの 植 物 学 者 ロバート ブラウン(R. Brown ) 博 士 にならって 言 葉 で 記 述 すると 次 のようになろ う ブラウン 運 動 水 面 に 浮 かぶ 花 粉 が 水 を 吸 って 破 裂 し たくさ んの 微 粒 子 が 出 てくる その 微 粒 子 を 簡 単 な 顕 微 鏡 で 見 てみると 微 粒 子 はたえず 小 さく 震 え ていて ほぼ 同 じ 場 所 で 小 刻 みに 振 動 していた かと 思 うと 急 に 少 し 左 に 動 いたり はたまた 大 きく 右 に 動 いたり 絶 えず 落 ち 着 かない 挙 動 を 示 すのが 観 察 される このような 乱 雑 な 動 き をする 微 粒 子 は 花 粉 からでなくとも 植 物 の 葉 でもその 他 の 部 分 からでも 同 じである さらに は 石 炭 を 細 かく 砕 いて 水 面 に 浮 かべても 粉 粒 の 中 に 活 発 にちょこまか 動 くものがある 最 初 は 水 面 にたゆたう 花 粉 に 由 来 する 微 粒 子 の 不 思 議 な 微 小 運 動 を 偶 然 にも 発 見 したわけであ るが その 現 象 が 広 くさまざまな 状 況 において 観 察 される 普 遍 的 な 法 則 であることまで 探 索 を 怠 ら なかった よって 歴 史 に 名 前 が 残 る 業 績 となった のである ブラウン 運 動 の 解 釈 さて ではこのブラウン 運 動 の 原 因 は 何 なので あろうか ブラウン 博 士 は 当 時 一 つ 一 つの 微 粒 子 に 生 命 の 原 子 が 含 まれており その 原 子 が 活 動 することでブラウン 運 動 となる というようなこ とまで 考 えられたようだ 現 在 でのブラウン 運 動 の 解 釈 は 熱 分 子 運 動 論 による すなわち 水 は 日 本 証 券 アナリスト 協 会

6 極 めて 微 小 なH 2 O 分 子 からできており その 一 つ 一 つの 分 子 は 激 しく 熱 運 動 している これを 熱 分 子 運 動 という それらの 速 度 分 布 は 正 規 分 布 に 近 く 平 均 の 速 度 は 温 度 の 増 加 関 数 である ここに 水 の 中 に 水 の 分 子 よりははるかに 大 きい 花 粉 か らの 微 粒 子 が 浮 かべば 水 分 子 はこの 微 粒 子 に 激 しく 衝 突 する その 衝 撃 は 乱 雑 なものであり あ る 瞬 間 に 微 粒 子 が 右 から 受 ける 衝 撃 の 強 さと 左 から 受 ける 衝 撃 の 強 さは 大 体 において 釣 り 合 う ことはない よって 次 の 瞬 間 には 微 粒 子 はどち らかに 動 くこととなる このようにブラウン 運 動 を 解 釈 するならば 水 面 に 浮 かぶ 微 粒 子 は 必 ずし も 花 粉 由 来 である 必 要 はなく 確 かにさまざまな 物 質 でもよい あまり 大 き 過 ぎず 小 さ 過 ぎず 適 度 な 微 小 さならば 十 分 なのである 以 上 が ブラウン 運 動 がそもそもどのような 現 象 を 意 味 するのか おぼろげながらもその 描 像 で ある 次 に このブラウン 運 動 を 簡 単 なモデルで 考 えてみよう 拡 散 現 象 ブラウン 運 動 は 拡 散 現 象 を 導 く この 事 実 を 空 間 一 次 元 のモデルで 見 てみよう 一 次 元 ブラウン 運 動 モデル 一 次 元 直 線 を 粒 子 が 次 の 規 則 に 従 って 移 動 す る 時 刻 t に 位 置 x にある 粒 子 は 次 の 時 刻 t +Δtには 確 率 2 分 の1で 位 置 x+δxに 確 率 2 分 の1で 位 置 x-δxに 移 動 する ここでΔは 微 小 な 量 を 意 味 する 記 号 である つまりΔxとは 微 小 な 位 置 の 変 化 を 表 す 同 じように 微 小 量 を 表 す 記 号 にdxがあるが そ れはむしろ 微 分 記 号 としての 用 途 が 主 流 である よって 変 動 させたりしたい 微 小 量 を 表 す 場 合 は このΔxという 記 法 を 用 いることが 多 いようだ このモデルでは 粒 子 が 花 粉 由 来 の 微 粒 子 に 対 応 している 粒 子 に 衝 突 する 水 分 子 の 結 果 として 粒 子 は 特 に 左 右 のみに 等 確 率 で 動 くのである さてこの 粒 子 は 一 次 元 直 線 に 確 率 的 に 分 布 し ていると 考 えよう すなわち 粒 子 の 存 在 確 率 が 確 定 するとしよう そこで 時 刻 t 位 置 x に 粒 子 が 存 在 する 確 率 をu(x,t)と 表 そう このとき u(x,t+δt)= 1 {u(x+δx,t)+ u(x-δx,t)} 2 が 成 り 立 つ この 式 の 意 味 は 次 の 通 りである 左 辺 は 時 刻 t+δtに 位 置 x に 粒 子 が 存 在 する 確 率 を 表 すが その 位 置 x に 粒 子 が 来 るのは 一 つ 前 の 時 刻 t には 左 隣 のx-Δxにあるか 右 隣 のx+Δxにあ るかどちらかである それぞれの 確 率 は2 分 の1 なので 足 し 合 わせて 上 の 等 式 となるのである 今 この 式 を 次 のように 変 形 しよう u(x,t+δt)-u(x,t) Δt = (Δx)2 u(x+δx,t)-2u(x,t)+ u(x-δx,t) 2Δt (Δx) 2 これは⑴の 両 辺 からu(x,t)を 引 き 去 りΔtで 割 る さらに 右 辺 を 整 理 した 単 なる 変 形 であるが 少 し 異 なる 意 味 が 出 てくる すなわち 左 辺 は もしu (x,t)が 微 分 可 能 であるならば u の 時 間 t による 偏 u 微 分 (=ut ) の 近 似 である また 右 辺 は u の 位 t 置 x による2 階 偏 微 分 2 u (=uxx ) の 近 似 である x 2 正 確 には 差 分 近 似 と 呼 ぶ 数 値 計 算 の 分 野 では 偏 導 関 数 の 近 似 として 逆 に⑵ 式 が 現 れる すなわ ち⑵ 式 は 拡 散 方 程 式 ( 熱 方 程 式 )と 呼 ばれる 偏 微 分 方 程 式 u ν (x,t)= 2 u (x,t) t 2 x 2 に 対 す る 陽 的 差 分 近 似 式 (explicit difference scheme)を 表 す ここで ν は 拡 散 係 数 と 呼 ばれる 正 の 定 数 である なぜ⑵ 式 あるいはその 元 の⑴ 式 が 拡 散 方 程 式 ⑴ ⑵ ⑶ 128 証 券 アナリストジャーナル

7 と 呼 ばれるのかは 以 下 の 理 由 による この 一 次 元 モデルでは 粒 子 は 時 間 とともに 左 右 に 移 動 して いく これは 例 えば 砂 糖 が 水 に 溶 けていくような 現 象 のモデルと 考 えることができる すなわち 粒 子 を 砂 糖 分 子 と 思 えば 時 間 とともにそれが 左 右 に 拡 散 してくと 解 釈 するのである そこで その 方 程 式 ⑴ 式 を 拡 散 方 程 式 と 呼 ぶ 単 位 時 間 当 たりの 移 動 分 散 = 1 { (Δx-0)2 + (-Δx-0)2 }= (Δx)2 Δt 2 2 Δt よって⑷ 式 と 比 較 すれば この 粒 子 移 動 の 分 散 は 拡 散 係 数 の 意 味 があることが 分 かる 確 率 過 程 論 では 標 準 ブラウン 運 動 と 呼 ばれる dw t に 対 して さて⑵ 式 と⑶ 式 を 見 比 べてみれば (dw t ) 2 =dt ⑸ ν= (Δx)2 Δt ⑷ をItoの 補 題 と 呼 んでいる ⑷ 式 との 雑 な 対 応 を 試 みれば が 対 応 する 式 となる より 詳 しい 計 算 は 脚 注 に 回 すが ( 注 2) この 対 応 について 次 に 考 える dw t Δx, dt Δt ということであり またこのときν=1である 標 準 とは 値 がこのように1に 正 規 化 されている 意 Itoの 補 題 との 対 応 ブラウン 運 動 から 拡 散 方 程 式 が 導 かれること 逆 に 述 べれば ブラウン 運 動 は 拡 散 現 象 の 原 因 で あることが 分 かった このモデルではさらに 金 融 工 学 で 基 本 となるIto( 伊 藤 )の 補 題 との 類 推 も 導 かれる これを 見 るため 先 の 一 次 元 ブラウン 運 動 モデ ルにおいて⑵ 式 の 係 数 の 意 味 を 考 える 単 位 時 間 あたりの 粒 子 移 動 の 平 均 と 分 散 を 計 算 してみよ う 単 位 時 間 当 たりの 移 動 平 均 = 1 { Δx + -Δx }=0 Δt 2 2 この 式 の 意 味 は 単 位 時 間 当 たりの 粒 子 が 左 右 に 移 動 する 距 離 の 期 待 値 がゼロということである 味 である それよりむしろ 重 要 なのは 拡 散 係 数 がゼロでない 有 限 の 値 となること すなわちΔx が Δtと 同 程 度 であるということである さらに 注 意 として 数 値 計 算 分 野 でよく 知 られ ている 事 実 を 述 べておこう それは ⑵ 式 を 用 い て 実 際 に 計 算 機 を 動 かしたとき 場 合 によっては 得 られる 数 値 が 大 きく 振 動 する これを 不 安 定 現 象 という ⑵ 式 による 数 値 計 算 が このような 不 安 定 さを 示 さないためには (Δx)2 >2 Δt となると きそのときに 限 ることが 知 られている これは 拡 散 係 数 が ゼロではなくある 程 度 大 きい 値 をとる という 条 件 である これもΔxが Δtと 同 程 度 であ るというItoの 補 題 に 対 応 していると 考 えること ができる 筋 の 良 い 理 論 は このように 形 を 変 え ていろいろな 場 面 で 重 要 な 事 実 として 現 れる ( 注 2) ⑴ 式 の 両 辺 をテイラー 展 開 する 左 辺 =u(x,t)+ u (x,t)δt=o(( Δt) 2 ) t 右 辺 = 1 {u(x,t)+ u (x,t)δx+ 1 2 u (x,t)(δx)2 +u(x,t)- u (x,t)δx 2 x 2 x 2 x よって 整 理 すると u (Δx) (x,t)= 2 2 u (x,t)+ O( Δt+ t 2Δt x (Δx)3 ) 2 Δt (Δx) 2 /Δt νを 保 ちながらΔt,Δx 0とすれば⑶ 式 を 得 る u (x,t)(δx)2 +O(( Δx) 3 )} 2 x 2 日 本 証 券 アナリスト 協 会

8 Itoの 補 題 および 公 式 については 次 回 により 詳 しく 考 える 予 定 である 拡 散 係 数 の 実 測 値 から 逆 にNの 値 が 求 められるの である アインシュタインの 理 論 以 上 の 議 論 は 実 は 相 対 性 理 論 で 著 名 なアル バート アインシュタイン(A. Einstein )によるものである 奇 跡 の 年 と 呼 ばれる 1905 年 に アインシュタインはどれも 著 名 かつ 重 要 な 三 つの 論 文 を 公 表 している 一 つは 特 殊 相 対 論 に 関 して 一 つは 光 量 子 仮 説 に 関 して そし てもう 一 つがこのブラウン 運 動 の 理 論 に 関 するも のである そのブラウン 運 動 についての 論 文 では アインシュタインはアヴォガドロ 数 Nの 測 定 に 用 いることができるとも 書 いている アヴォガドロ 数 とは 1molで 表 される 量 の 中 の 分 子 数 であり 各 分 子 同 じ 値 となり N= =mol -1 である アインシュタインの 考 えをより 詳 しく 述 べる と 拡 散 方 程 式 ⑶ 式 は 熱 や 温 度 や 濃 度 が 拡 散 す る 現 象 そのものから 導 出 することができる ( 注 3) そのとき 拡 散 係 数 ν の 値 は 実 験 によって 測 定 され る 一 方 ブラウン 運 動 に 基 づいて 上 のように 拡 散 方 程 式 ⑶ 式 を 導 出 すると ここで 詳 しくは 述 べ ないが 拡 散 係 数 ν はアヴォガドロ 数 その 他 幾 つ かの 物 理 定 数 を 用 いて 表 すことができる よって 3. 株 価 変 動 モデル 株 価 変 動 モデル ブラウン 運 動 を 株 価 変 動 のモデル 化 に 用 いよう という 考 え 方 は ルイ バシュリエ(L. Bachelier )に 始 まるとされている 彼 は1900 年 に 公 表 された 博 士 学 位 論 文 において 先 にア インシュタインによると 述 べたブラウン 運 動 の 理 論 を 構 成 し それを 株 価 変 動 のモデルとして 提 出 していた バシュリエの 方 がアインシュタ インより5 年 も 早 いので こちらを 先 に 言 及 す るのが 当 然 なのではあるが 何 分 アインシュタ インの 業 績 はその 後 の 展 開 からも 圧 倒 的 であり そこまで 大 胆 な 記 述 をするには 気 が 引 けた と もあれ 不 幸 なことに このバシュリエの 仕 事 は その 後 長 らく 忘 れられたように 取 り 扱 われる 1960 年 代 になって 再 発 見 され 現 在 では 確 率 過 程 論 およびそのファイナンス 理 論 への 適 用 に 関 する 先 駆 者 として 正 当 な 評 価 を 得 ることにな った P. A. Samuelsonの 概 説 論 文 (1973)によれ ば when I compared the two texts, I formed the judgement(which I have not checked back on)that Bachelier s methods dominated Einstein s in every ( 注 3) u(x,t)を 位 置 x 時 刻 t における 温 度 とする 他 の 例 では 例 えば 食 塩 水 の 食 塩 濃 度 とする その 場 合 でも 以 下 の 考 察 は 同 様 である 温 度 の 時 間 変 化 率 (u(x,t+δt)- u(x,t))/δtは 温 度 勾 配 u/ xの 変 化 率 1 Δt { u (x+δx,t)- u x x (x,t)} に 比 例 する この 意 味 は 例 えば80 の 湯 の 中 の20 の 金 属 球 と 40 の 湯 の 中 の20 の 金 属 球 とでは 前 者 の 方 が 金 属 球 の 温 度 は 早 く 上 昇 することからも 窺 える 比 例 定 数 をν/2とし Δt,Δx 0とすれば(2-3) 式 を 得 る ブラウン 運 動 のような 微 視 的 な 運 動 法 則 を 用 いずに 単 なる 現 象 論 から 拡 散 方 程 式 が 導 出 され るのである ( 注 4) 二 つの 論 文 を 比 較 したとき (その 後 再 確 認 していないが)バシュリエの 方 法 がアインシュタインの より すべての 方 向 において 卓 越 しているとの 判 断 になった ( 筆 者 訳 ) 130 証 券 アナリストジャーナル

9 element of the vector ( 注 4). と 高 い 評 価 が 与 えら れている さて ブラウン 運 動 を 株 価 変 動 のモデル 化 に 用 いる 根 拠 は 大 ざっぱに 述 べれば 次 のような 描 像 である すなわち 株 価 というあたかも 水 面 に 浮 かぶ 微 粒 子 に 対 して さまざまな 性 向 をもった 投 資 家 の 投 資 行 動 という 熱 分 子 運 動 が 働 いている ここで 水 面 は 株 価 の 値 の 範 囲 であり さまざまな 性 向 とは ある 投 資 家 は 危 険 な 賭 けを 好 み 大 胆 な 注 文 を 出 すが 別 の 投 資 家 は 安 全 運 転 を 好 み 落 ち 着 いた 注 文 を 出 す といったものである その 結 果 として 株 価 はちょこまかと 極 めて 落 ち 着 かな い 動 きをする と 考 えるのである 以 上 は 本 当 に 雑 な 類 推 であり 寄 り 付 くときの 板 寄 せ 方 式 とその 後 のざら 場 方 式 との 差 異 に 関 し て あるいは 成 行 注 文 と 指 し 値 注 文 はモデル 化 に おいてどのように 区 別 されているのかに 関 してな ど 何 も 考 察 していない ただ 単 にブラウン 運 動 を 用 いる 理 由 について 基 本 の 考 えを 示 したのみで ある さらに 正 確 に 事 実 を 述 べれば バシュリエの 理 論 がそうであるが 株 価 そのものがブラウン 運 動 すると 考 えれば 不 都 合 な 状 況 が 起 こる そ れは 株 価 が 負 の 値 を 取 り 得 ることである そこ でSamuelsonは 株 価 の 対 数 値 がブラウン 運 動 に 比 例 すると 拡 張 した 比 例 定 数 がボラティリティ である これが 対 数 正 規 過 程 であり 後 のBlack- Scholes 方 程 式 の 基 本 変 動 過 程 となる これに 関 しては 次 回 以 降 にもう 一 度 触 れる 予 定 である 株 価 変 動 のモデル 化 としてブラウン 運 動 を 用 い る 利 点 はほかにもある それは 時 間 の 向 きに 関 す る 性 質 である 次 にこの 拡 散 現 象 と 時 間 の 向 きに ついて 考 える ブラウン 運 動 と 時 間 の 向 き 拡 散 現 象 あるいはブラウン 運 動 は 時 間 に 将 来 と 過 去 の 向 きを 定 めていることに 注 意 しておく すなわち 例 えば コーヒーカップの 中 に 角 砂 糖 を 一 つ 入 れて かき 回 さずに 放 置 する すると 時 間 が 経 過 すれば 角 砂 糖 は 溶 けてコーヒー 全 体 に 行 き 渡 っているはずである これは 角 砂 糖 を 構 成 する 砂 糖 の 微 粒 子 に 水 分 子 が 激 しく 衝 突 し 砂 糖 の 微 粒 子 をはぎ 取 って 水 の 中 に 混 ぜていく その 結 果 として だんだんと 砂 糖 がコーヒー 全 体 に 溶 け 出 る 拡 散 現 象 である 注 意 すべきことは 確 か に 角 砂 糖 はコーヒー 全 体 に 溶 け 出 るが 逆 に 一 様 に 溶 けた 砂 糖 が 自 然 に 集 まって 角 砂 糖 となる このようなことはあり 得 ない つまりそのような 確 率 はゼロであるという 事 実 である これはいう なれば 時 間 が 進 むにつれて 角 砂 糖 は 溶 けていく のみ という 時 間 の 一 方 向 を 示 していると 解 釈 す ることができる 以 上 の 事 実 を 方 程 式 の 立 場 で 解 釈 すると 次 のよ うになる 拡 散 方 程 式 ⑶ 式 は 初 期 状 態 例 えば t =0における u の 値 u(x)を 0 指 定 して 初 期 条 件 u(x,t=0)=u(x)を 0 満 たすように 解 くが それ は 時 間 が 正 の 方 向 将 来 の 方 向 に 対 して 解 くので ある 時 間 が 負 の 方 向 過 去 の 方 向 に 対 しては 一 般 には 解 けない それはあたかも 砂 糖 水 から 蒸 発 なしに 角 砂 糖 が 自 然 に 固 まるような 状 況 を 考 えることができないのと 同 様 である 一 方 Black- Scholes 方 程 式 あるいはほかの 数 理 ファイナン スのモデル 方 程 式 では 満 期 条 件 を 指 定 して 時 間 の 負 の 方 向 に すなわち 将 来 から 現 在 に 向 かって 解 くことが 多 い それは 単 に 時 間 微 分 の 係 数 が 逆 なだけである ⑶ 式 ならば 左 辺 にマイナスがつい ている 状 況 である よってもし 拡 散 方 程 式 ⑶ 式 が 一 般 に 時 間 の 負 の 方 向 に 解 くことが 可 能 ならば 数 理 ファイナンスにおいては それはあたかも 将 日 本 証 券 アナリスト 協 会

10 来 が 見 通 せることに 対 応 して 不 合 理 である よっ て 株 価 変 動 のモデル 化 に 拡 散 現 象 が 用 いられるの は 将 来 は 予 測 できないという 意 味 で 自 然 なこと である とび(jump)の 過 程 が 株 価 変 動 のモデ ル 化 に 必 要 であると 述 べたが その 場 合 でもブラ ウン 運 動 拡 散 現 象 の 部 分 はやはり 必 要 性 を 失 わな いのである 4. 身 近 なデリバティブの 考 え 方 身 近 なデリバティブ 金 融 工 学 数 理 ファイナンスの 特 徴 の 一 つに 上 に 述 べた 株 価 変 動 モデル さらには 他 の 変 動 モ デルを 基 にして さまざまなデリバティブ 派 生 金 融 商 品 の 価 格 付 けを 理 論 的 に 行 うことがある 市 井 で 金 融 工 学 として 意 識 される 内 容 は ともす れば 複 雑 なデリバティブを 考 案 し そこによく 分 からない 数 学 を 駆 使 して 価 格 付 けを 行 う という ところかもしれない しかしこのうち デリバテ ィブ 取 引 の 基 本 となる 考 え 方 は 金 融 取 引 の 世 界 に 特 有 のものではなく 実 は 身 近 にある いわば 生 活 の 知 恵 とも 言 える 仕 組 みである この 事 実 を 以 下 に 手 短 に 確 認 してみよう まず そもそもデリバティブ 取 引 を 行 う 主 な 目 的 は そのリスク 移 転 機 能 のためである と 述 べ て 恐 らく 大 きな 誤 りはないだろう 取 引 対 象 は 株 式 のみならず 金 利 為 替 各 種 指 数 金 や 原 油 などの 商 品 まで 幅 広 い ここでリスクとは 変 動 する 不 確 定 な 対 象 という 程 度 のもの あるいは 第 3 章 で 触 れた 確 率 変 動 モデルを 含 むものと 考 えて おく この 意 味 ではリスクとリターンは 表 裏 一 体 であり リスクあるところリターンあり リター ンあるところリスクあり となる なぜならとも に 変 動 する 対 象 であり 一 方 のリスクはもう 一 方 のリターンとなるからである このような 意 味 で もデリバティブ 取 引 は そうとは 認 識 することな く 日 常 でも 頻 繁 に 用 いられている 一 つの 例 は 手 付 金 である 今 手 元 にある 旅 行 会 社 の 企 画 旅 行 の 案 内 を 見 ると 申 込 金 として 一 人 当 たりの 旅 行 代 金 が3 万 円 未 満 のときは6 千 円 が 6 万 円 未 満 のときは1 万 2 千 円 が 9 万 円 未 満 のときは1 万 8 千 円 が 9 万 円 以 上 のときは 旅 行 代 金 の20パーセントがそれぞれ 必 要 とある 急 に 突 発 的 な 仕 事 が 入 る 可 能 性 はあるものの 人 気 のツアーに 参 加 したいと 考 えている 人 にとり 申 込 金 を 支 払 っておけば 出 発 直 前 までそのツアー に 参 加 する 権 利 を 確 保 できる というのは 魅 力 で あろう 急 に 参 加 できなくなるリスクを 比 較 的 小 額 の 申 込 金 で 主 催 旅 行 会 社 に 移 転 しておくの は まさにデリバティブの 考 え 方 である この 手 付 金 についてはどのような 額 が 合 理 的 か などとは 通 常 考 えない それは 単 に 手 付 金 は 最 終 的 な 支 払 いに 含 まれるため 手 付 金 の 水 準 を 前 もって 細 かく 考 慮 しないだけのことである 他 の 例 では 婚 約 に 伴 う 結 納 金 がある この 場 合 のリスクは 破 談 ということになるが これはあま り 想 像 したくない しかし 金 銭 を 介 在 させること で 別 に 決 定 的 な 修 羅 場 になるかもしれないリス クをヘッジ(hedge)していると 言 える 意 思 決 定 の 問 題 H 大 学 の 学 部 生 Aさんは 現 在 4 学 年 で 就 職 活 動 の 真 最 中 である ところが 昨 今 の 金 融 危 機 の 影 響 で 多 くの 業 種 で 新 規 採 用 者 数 が 減 らされてお り Aさんも 苦 戦 中 である そこで 指 導 教 員 に 本 年 度 の 就 職 先 決 定 はあきらめ その 代 わり 大 学 院 に 進 学 し2 年 後 に 情 勢 が 好 転 するのを 待 つ さ らには 修 士 課 程 を 修 了 することにより 自 らのキャ リアアップを 果 たしたい と 相 談 しに 来 た いきなりどこかにありそうな 話 を 書 いたが こ 132 証 券 アナリストジャーナル

11 のような 意 思 決 定 を 行 わなければならない 局 面 は 生 きていく 上 でしばしば 現 れる 学 生 のAさんが 考 えているのは 就 職 に 対 する 延 期 の 選 択 (オプ ション)を 行 使 するかどうかである この 場 合 の 不 確 実 な 変 動 は 就 職 状 況 であるが この 選 択 を 行 ってしまえば 後 戻 りはできない その 意 味 で 金 融 に 現 れるリスク 商 品 の 取 引 に 似 てはいるが 根 本 的 に 異 なる 部 分 もある このような 意 思 決 定 を 含 む 問 題 を 扱 う 理 論 にリアルオプションの 分 野 が 発 展 してきている これに 関 しては 以 後 触 れる 場 合 もあるだろう を 基 に 実 際 に 取 引 したら 効 率 的 に 働 かない あ るいは 上 手 に 危 機 を 乗 り 切 ることができない か かる 場 合 にはそのモデルは 捨 て 去 られる という 意 味 で 科 学 と 考 えている 他 の 自 然 科 学 でも モ デルは 次 々に 考 案 されるが 実 験 そのほかで 実 証 されなければ 消 え 去 るのみである ともあれ 金 融 工 学 は 日 本 で 通 常 行 われている 理 系 文 系 の 区 別 からは 漏 れることが 多 い より 強 く 述 べれば 現 代 の 社 会 で 理 系 文 系 の 区 別 は 混 乱 の 原 因 を 成 すことの 方 が 多 い いささかとっぴであるが 金 融 工 学 を 語 るに 際 しては 理 系 文 系 の 思 考 の 枠 を 取 り 去 るべきことを 強 調 して 今 回 のまとめとした 5. 終 わりに い デリバティブ 再 入 門 と 大 きな 題 目 を 掲 げてみた が 今 回 はブラウン 運 動 の 考 察 が 中 心 となり む しろ 自 然 科 学 の 分 野 での 読 み 物 のようだったかも しれない とはいえ 新 書 でも 刈 屋 [2000] 今 野 [2000]の 大 家 の 著 作 をはじめとし ほかに も 良 書 が 多 い 入 門 解 説 書 の 世 界 である あえて 奇 をてらうつもりはないが 著 者 の 得 意 領 域 を 基 礎 にすれば このように 自 然 科 学 の 側 面 をどうして も 重 視 することになる ご 寛 恕 を 請 うところであ る もう 少 し 弁 明 を 続 けさせてもらうならば 金 融 工 学 は 社 会 科 学 の 一 分 野 すなわち 科 学 の 範 ちゅ うである そして 科 学 の 基 本 言 語 は 数 学 と 考 えて いるので 数 理 の 側 面 はやはり 避 けて 通 ることは できないと 思 う いかがであろうか ところで 金 融 工 学 は 科 学 の 一 つである と 述 べ たとき 実 験 により 理 論 を 直 接 検 証 する という 参 考 文 献 江 沢 洋 [1976] だれが 原 子 をみたか 岩 波 書 店. 刈 屋 武 昭 [2000] 金 融 工 学 とは 何 か 岩 波 新 書. 今 野 浩 [2000] 金 融 工 学 の 挑 戦 中 公 新 書. 高 橋 誠 新 井 富 雄 [1996] デリバティブ 入 門 日 本 経 済 新 聞 出 版 社. Bachelier, M. L.[1900] Théorie de la spéculation, Annales Scientific Ecole Normal Superiore 17, pp Einstein, A.[1956]Investigations on the Theory of the Brownian Movement, Dover Publications. Samuelson, P. A.[1973] Mathematics of speculative price, SIAM Review 15, pp Wilmott, P., Dewynne, J. and Howison, S. [1993]Option Pricing, Oxford Financial Press. Wilmott, P., Howison, S. and Dewynne, J. [1995]The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press. Wilmott, P. [2000] The use, misuse and abuse of mathematics in finance, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A358, pp 意 味 ではもちろんない 何 かモデルを 考 案 しそれ 日 本 証 券 アナリスト 協 会

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