【補足資料】確率・統計の基礎知識

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1 補足資料確率統計の基礎知識 2011 年 3 月日本銀行金融機構局金融高度化センター 1

2 目次 1. 基本統計量 (1 変量 ) - 平均分散標準偏差パーセント点 2. 基本統計量 (2 変量 ) - 散布図共分散相関係数相関行列 3. 確率変数 - 確率変数確率分布期待値独立 4. 推定と検定 - 記述統計と推測統計推定検定 (2 項検定 ) 5. 線形回帰分析 - 最小 2 乗法 Excel 分析ツール決定係数 P 値 ( 注 ) 本資料はセミナー内容の理解を助けるために作成した補足資料です確率統計理論を体系的に説明するものではありません数学的な厳密さよりも直感的に理解することに重点を置いた記載も含まれています確率統計理論をしっかりと習得したい方は別途初等統計学のテキストをご利用ください 2

3 1. 基本統計量 (1 変量 ) (1) 平均 (2) 分散 (3) 標準偏差 (4) パーセント点 3

4 (1) 平均平均は観測データセットの中心の位置を示す指標の1つ X = データの和データの数 = X 1 +X 2 ++X N N Excelでは関数 AVERAGE(データ範囲 )を使って求める 4

5 (2) 分散分散は観測データセットのバラツキを示す指標の1つ -- データの偏差平方和 ( 平均との差を2 乗して合計 )を求めてデータ数 -1 で割る(ここでは分散を推測統計 < 後述 >の立場で定義 ) -- 分散の単位はデータの持つ単位の2 乗 V =σ 2 = データの偏差平方和データ数 -1 (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 = N-1 Excelでは関数 VARA(データ範囲 )を使って求める 5

6 (3) 標準偏差標準偏差は観測データセットのバラツキを示す指標の1つ分散の平方根 (ルート)をとって定義する -- 標準偏差の単位はデータの持つ単位と同じ σ = = データの偏差平方和データ数 -1 (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N-1 Excelでは関数 STDEVA(データ範囲 )を使って求める 6

7 平均サンプル標準偏差標準偏差サンプル標準偏差標準偏差

8 (4)パーセント点パーセント点とは観測データを小さい順に並べたときにその値よりも小さな値の割合が指定された割合 ( 百分率 ) になるデータの値として定義される例えば 99パーセント点というのはその値より小さなデータの割合が99%となるデータの値のことを指す - 50パーセント点のことを中央値 (メジアン)と呼ぶ - 25パーセント点を第 1 四分位点 75パーセント点を第 3 四分位点と呼ぶ Excelでは関数 PERCENTILE(データ範囲, 率 )を使って求める 8

9 ( 例 ) 1000 個の損失データが観測されている場合 99% 点というのは損失額を小さい順に並べて 990 番目になるデータ値のこと順位百分位損失額 985 番目 98.5% 番目 98.6% 番目 98.7% 番目 98.8% 番目 98.9% 番目 99.0% 番目 99.1% 番目 99.2% 番目 99.3% 番目 99.4% 番目 99.5% 番目 99.6% 番目 99.7% 番目 99.8% 番目 99.9% 番目 100.0% % 点 9

10 ヒストグラムで表したときの99パーセント点 99% 小大損失額 99パーセント点 10

11 ( 参考 1) 対数変化率 VaRの計測にあたり観測データセットとしてリスクファクターの変化率をみることがあるこのとき統計的に扱い易い対数変化率を採用することが多い対数変化率の定義は? どんな特徴があるのか? 11

12 対数変化率の定義日次対数変化率 log Xt X t-1 10 日間対数変化率 X t - X t-1 Xt = -1 X t-1 X t-1 log Xt X t-10 X t - X t-10 Xt = -1 X t-10 X t-10 対数変化率は通常の変化率と近似的に等しいことが知られている log( 自然対数 )は Excelでは関数 LN()で与えられる 12

13 対数変化率の特徴対数変化率は同率の低下上昇により元の値に戻る 10 日間対数変化率は日次対数変化率 (10 日分 )の和となる変化率 ( 日次 ) 対数変化率 ( 日次 ) 対数変化率 ( 日次 ) X X X X X X X X X X X Σlog(X t /X t-1 ) 対数変化率 (10 日間 ) 100 log(x10/x0)

14 ( 参考 2) 対数変化率と T 倍法の適用 10 日間対数変化率は日次対数変化率 (10 日間 )の和となる 0 日目 X 0 1 日目 X 1 2 日目 X 2 10 日目 X 10 数式で表すと log(x 10 /X 0 ) = log {(X 10 /X 9 )(X 9 /X 8 ) (X 1 /X 0 )} = log(x 10 /X 9 )+log(x 9 /X 8 )++log(x 1 /X 0 ) 日次変化率が互いに独立な確率変数でありその分散がσ 2 ( 標準偏差がσ)のとき 10 日間対数変化率の分散は 10σ 2 ( 標準偏差は 10σ) となることが知られているリスクファクターの日次対数変化率が互いに独立で分散 ( 標準偏差 )の等しい確率変数であるとすれば T 倍法を適用可能となる 14

15 T 倍法による保有期間調整 (イメージ図 ) 現在価値 PV ΔX ΔPV Δ=ΔPV/ΔX 感応度 (デルタ) は一定と仮定 VaR=Δ σ 99% 正規分布 X 1 +X 2 ++X 10 の確率分布正規分布 Xの確率分布正規分布 PVの確率分布 99% 保有期間調整 99% 10 日間変化率幅 X 1 +X 2 ++X σ 日次変化率幅 X 2.33 σ 15

16 2. 基本統計量 (2 変量 ) (1) 散布図 (2) 共分散 (3) 相関係数 (4) 相関行列 16

17 (1) 散布図以下のような2 変量の関係を調べるためには散布図を書くのが直感的に理解しやすい東証 TOPIX 10 年割引国債 10 日間変化率 10 日間変化率 (X) (Y) 2006/9/ /9/ /9/ /9/ /9/ /9/ /9/ /9/ /9/ /9/

18 国債と株価の相関関係 Ⅱ Ⅳのエリアに分布が多く負の相関が観察される Ⅱ Ⅰ 国債 10 日間変化率 Ⅲ 東証 TOPIX 10 日間変化率 Ⅳ 18

19 偏差積和 = (X 1 -X)(Y 1 -Y)+ (X 2 -X)(Y 2 -Y)++(X N -X)(Y N -Y) Ⅰ Ⅲのエリアに多く分布偏差積和 > 0 : 正の相関 Ⅱ Ⅳのエリアに多く分布偏差積和 < 0 : 負の相関 (X i -X)(Y i -Y)<0 Ⅱ Ⅰ (X i -X)(Y i -Y)>0 Y (X i -X)(Y i -Y)>0 Ⅲ Ⅳ (X i -X)(Y i -Y)<0 X 19

20 (2) 共分散共分散は 2つの変量 (X Y)の間の直線的な比例関係の強さを示す指標 -- データの偏差積和を求めてデータ数 -1 で割る -- 共分散の単位は Xの持つ単位掛ける Yの持つ単位 COV(X Y) = データの偏差積和データ数 -1 = (X 1 -X)(Y 1 -Y)+(X 2 -X)(Y 2 -Y)++(X N -X)(Y N -Y) N-1 Excelでは関数 COVAR(データ範囲 (X) データ範囲 (Y)) を使って求める ( 注 )Excelではデータの偏差積和をN-1ではなく Nで割って共分散を定義しているため調整を行う必要がある 20

21 (3) 相関係数相関係数は 2つの変量 (X Y) 間の直線的な比例関係の強さを示す指標共分散をそれぞれの標準偏差の積で割って定義する -- 相関係数は -1~ +1 までの値をとる -- 相関係数は単位を持たない無名数 ρ(x Y) = = COV(X Y) σ(x) σ(y) (X 1 -X)(Y 1 -Y)+ +(X N -X)(Y N -Y) (X 1 -X) 2 ++(X N -X) 2 (Y 1 -Y) 2 ++(Y N -Y) 2 Excelでは関数 CORELL(データ範囲 (X) データ範囲 (Y)) を使って求める 21

22 相関係数と散布図 ρ=1.0 ( 正の完全相関 ) ρ=-1.0 ( 負の完全相関 ) ρ= ρ= 相関係数の定義 ρxy= COV(X,Y)/σxσy COV(X,Y) : X,Yの共分散 =(1/N-1)*Σ(Xt-EX)(Yt-EY) σx : Xの標準偏差 EX : Xの平均値 σy : Yの標準偏差 EY : Yの平均値 ρ=0 ( 無相関 ) 22

23 (4) 相関行列と分散共分散行列相関行列 X 1 X 2 X 3 X N X 1 1 ρ(x 1 X 2 ) ρ(x 1 X 3 ) ρ(x 1 X N ) X 2 ρ(x 2 X 1 ) 1 ρ(x 2 X 3 ) ρ(x 2 X N ) X 3 X N ρ(x 3 X 1 ) ρ(x N X 1 ) ρ(x 3 X 2 ) ρ(x N X 2 ) 1 ρ(x N X 3 ) ρ(x 1 X 2 ) 1 ρ(x i X i )=1 : 同じ変量 (X ii ) 同士の相関は1 ρ(x i X j )=ρ(x j X i ) : 2つの変量 (X i X j )の順序を変えて計算しても相関係数の値は同じ 23

24 分散共分散行列 X 1 X 2 X 3 X N X 1 V X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X 3 ) COV(X 1 X N ) X 2 COV(X 2 X 1 ) V X2 COV(X 2 X 3 ) COV(X 2 X N ) X 3 X N COV(X 3 X 1 ) COV(X N X 1 ) COV(X 3 X 2 ) COV(X N X 2 ) V X3 COV(X N X 3 ) COV(X 1 X 2 ) V XN 24

25 相関考慮後のVaR 計算式 1( 分散共分散法 ) 相関考慮後のポートフォリオVaR = ( 単独 VaR) ( 相関行列 ) ( 単独 VaR) VaR(X 1 ) VaR(X 2 ) VaR(X N ) 1 ρ(x 1 X 2 ) ρ(x 1 X N ) VaR(X 1 ) ρ(x 1 X 2 ) 1 ρ(x 2 X N ) VaR(X 2 ) ρ(x 1 X N ) ρ(x N X 2 ) 1 VaR(X N ) 25

26 相関考慮後のVaR 計算式 2( 分散共分散法 ) ポートフォリオ現在価値の標準偏差 (σ p ) = (デルタ) ( 分散共分散行列 ) (デルタ) Δ X1 Δ X2 Δ XN V X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X N ) Δ X1 COV(X 1 X 2 ) COV(X 1 X N ) V X2 COV(X N X 2 ) COV(X 2 X N ) V XN Δ X2 Δ XN 相関考慮後のポートフォリオVaR = 信頼係数 σ p 26

27 ( 参考 ) 行列計算式 ( 基本型 ) 行ベクトル(1 行 N 列 )と列ベクトル(N 行 1 列 )の掛け算は Excelでは MMULT 関数を利用して行う行列計算式の基本型 ( 行ベクトルx) ( 列ベクトルy) x1 x2 xn y1 y2 yn MMULT 関数 x1*y1+x2*y2++xn*yn 27

28 ( 参考 ) 行列計算式 ( 相関考慮後のVaR) 行列の掛け算は MMULT 関数を利用した基本型の繰り返しで計算できる相関考慮後 VaRの行列計算式 VaR1 VaR2 VaRN ρ11 ρ12 ρ1n VaR1 ρ21 ρ22 ρ2n VaR2 ρn1 ρn2 ρnn VaRN MMULT MMULT MMULT VaR1 VaR2 MMULT VaRN VaR 2 VaR 28

29 3. 確率変数と確率分布 (1) 確率変数 (2) 確率分布 - 確率密度関数分布関数 (3) 様々な確率分布 - 一様分布正規分布 2 項分布 (4) 確率変数の期待値 (5) 確率変数の独立 29

30 (1) 確率変数予め定まった確率にしたがって値が変動する数のことを確率変数という 1/6 ( 例 )サイコロを振ったときに出る目の数サイコロの目 (X) 確率確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/ X 30

31 株価金利為替等のリスクファクターの変化率について確率変数として捉えることもできる ( 例 )TOPIXの変化率 (X) 確率下落 (-) X X X X X 3 X 2 X 0 ( 現在値 ) X 1 上昇 (+) X 31

32 リスクファクターの変化率の分布は正規分布 ( 後述 )にしたがうと想定されることが多いしかし実際の分布をみると歪み偏りやファットテールが観察されることも少なくない ( 注 ) ( 注 ) 両端部分の裾野の分布が厚くなることをいう東証 TOPIX 日次変化率の分布実分布正規分布 32

33 (2) 確率分布確率分布を表わすとき 2 種類の関数がある 1 確率密度関数確率変数 (X)がある値をとる確率 ( 確率密度 ) を表わす関数 2 分布関数 ( 累積確率密度関数 ) 確率変数 (X)がある値以下になる確率を表わす関数 33

34 確率密度関数 f(x) 斜線部の面積積分分布関数 ( 累積確率密度関数 ) F(X) 100% 縦軸上の点 P% P% X X 0 となる確率 X=X 0 となる確率 ( 確率密度 ) 0% X 0 X X X 0 34

35 (2) 様々な確率分布一様分布 : ある区間の中の値が同じ確率で生起する分布 1/(b-a) f(x) 確率密度関数 1.2 F(X) 分布関数 ( 累積確率密度関数 ) a b X X 一様分布にしたがう乱数 ( 一様乱数 )は Excel 関数 RAND() を使って生成することができる 35

36 正規分布 : 左右対称の釣鐘型をした確率分布平均 (μ) 標準偏差 (σ)を与えると分布の形状が決まるため N(μ,σ 2 )と表す f(x) 確率密度関数 F(X) 分布関数 ( 累積確率密度関数 ) 1 σ= σ=0.5 σ=1 σ= σ=2 σ=1 μ X 平均 (μ)=0 標準偏差 (σ)=1の正規分布を標準正規分布と言い N(0,1)と表す 0 μ 36 X

37 正規分布の特徴平均からどれだけ離れているか( 標準偏差の何倍か)という情報から X 以下の値をとる確率が分かる例えば XがN(0,σ 2 )の正規分布にしたがって生起するとき X σとなる確率は 84.1% X 2σとなる確率は 97.7% X 2.33σとなる確率は 99.0% X 3σとなる確率は 99.9% 99% となることが知られている σ 2σ 99% 点 X 2.33σ 37

38 正規乱数の生成方法 ( 一様乱数から作る方法 ) (ⅰ) 一様乱数を作る( 右図 ) Rand() : 0 以上で1より小さい乱数を発生させる (ⅱ) 一様乱数を標準正規乱数に変換する( 下図 ) 0 1 Normsinv(Rand()) : 一様乱数の値を標準正規分布の分布関数の逆関数に代入すると標準正規乱数に変換される標準正規分布確率密度関数 (ⅲ) 標準正規乱数を(ⅱ) σ+μにより正規乱数 ~N(μ σ 2 ) に変換する (ⅳ) 正規乱数の生成方法には様々なものがありどの方法が優れているか研究の対象となっている上記方法は一例に過ぎない分布関数一様分布

39 2 項分布 : 結果が2 通りある試行 ( 実験 )をN 回繰り返したとき 2 通りの結果のうち一方が起こる回数の確率分布 ( 例 )サイコロを10 回振って 1の目が出る回数 (K) 0 回 f(0)= 10 C 0 (1/6) 0 (5/6) 10 1 回 f(1)= 10 C 1 (1/6) 1 (5/6) 9 2 回 f(2)= 10 C 2 (1/6) 2 (5/6) 8 10 回 f(10)= 10 C 10 (1/6) 10 (5/6) 0 f(k) 確率 F(K) 分布関数 ( 累積確率 ) N=10,p=1/ N=10,p=1/ K K 1の目が出る回数 1の目が出る回数 39

40 ( 例 ) VaRを超過する損失が発生する回数 (K) VaRを超過する確率 p = 1 % VaRを超過しない確率 1-p = 99%( 信頼水準 ) VaRの計測個数 N=250 発生確率 f(k) = 250 C K (0.01) K (0.99) 250-K f(k) 確率 F(K) 分布関数 ( 累積確率 ) N=250,p=1% N=250,p=1% K VaR 超過損失の発生回数 VaR 超過損失の発生回数 0 K 40

41 (4) 確率変数の期待値確率変数 (X)は平均的にみてどんな値をとるのか? ( 例 )サイコロを振ったときに出る目の数確率 P(X) 1/ X サイコロを振ったときに出る目の数の期待値 6 ΣX=1 XP(X) = 1 (1/6) + 2 (1/6) + 3 (1/6) + 4 (1/6) + 5 (1/6) + 6 (1/6) =

42 ( 例 ) TOPIXの変化率 (X) 確率密度関数 f(x) X X 3 X X 2 X X X 0 ( 現在値 ) X 1 X 下落 (-) 上昇 (+) TOPIXの変化率 (X)の期待値 X f(x)dx

43 (5) 確率変数の独立定義確率変数 X Y が互いに影響されずそれぞれの確率分布にしたがって値をとるとき確率変数 X Yは互いに独立であるという数式で表すと P(X=a Y=b)=P(X=a)P(Y=b) 定理確率変数 X Y が互いに独立のとき以下のことが成り立つ 1 確立変数 XY の期待値はそれぞれの確率変数の期待値の積になる E(XY)=E(X)E(Y) 2 確率変数 X+Y の分散はそれぞれの確率変数の分散の和に等しい V(X+Y)=V(X)+V(Y) 3 確率変数 X と Y は無相関である ρ(x Y)=0 ( 証明省略 ) 43

44 ( 例 )サイコロを振ったときに出る目の数 1 回目 : X 1 = 1 2 回目 : X 2 = 1 3 回目 : X 3 =? サイコロの目 (X 3 ) 確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2 回続けて1の目が出ても 3 回目の結果には影響を及ぼさない 3 回目はいずれの目が出る確率も1/6 44

45 ( 例 ) 株価金利為替等リスクファクターの変化率過去の変化率 ( 実績 )が将来の変化率 ( 予想 )に影響を及ぼすことはないと考えて互いに独立な確率変数として捉えることが多いリスクファクター(X)の推移とその確率分布 X Xs X X X 0? Xt X t 0 過去現在将来 ( 注 ) 山下智志 ( 市場リスクの計量化とVaR 2000)を参考に日本銀行が作成 45

46 しかしリスクファクターの変化率が時点間で独立とは限らず相関関係が認められることも少なくないので注意を要する - 下図は TOPIX 日次対数変化率 1 期前の変化率との相関をみたもの独立の判定には様々なタイムラグを置いて相関の有無をみる必要 1 期前当期 -2 相関係数 ρ=

47 4. 推定と検定 (1) 記述統計と推測統計 (2) 推定 (3) 検定 47

48 (1) 記述統計と推測統計記述統計 : 基本統計量の算定や図表グラフを利用して観測データが持つ特性を分析記述する ( 例 ) 特定の集団 (N 人 )の身長の平均と分散を計算する平均 X 分散 Vp = = X 1 +X 2 ++X N N (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N 48

49 推測統計 : 標本として集めた一部の観測データに基づき母集団の特性について推測し検証する ( 例 ) 任意に抽出したN 人 ( 標本 )の身長を計測して日本人全体 ( 母集団 )の身長の平均と分散を推定する平均 X = 分散 ( 不偏標本分散 ) Va = X 1 +X 2 ++X N N (X 1 -X) 2 +(X 2 -X) 2 ++(X N -X) 2 N-1 ( 注 ) 上記定義 ( 偏差平方和をN-1で割る)による標本分散 Vaについては理論上その期待値が母集団の分散となることが知られている Vaは母集団の分散を偏りなく推定する統計量となるため不偏標本分散と言う 49

50 (2) 推定母集団の確率分布特性値は誰にも分からない標本の特性値から母集団の特性値を統計的に推測する母集団確率分布特性値平均 μ 標準偏差 σ VaR など. 特性値平均 μ * 標準偏差 σ * VaR * など母集団標本 ( 実現値 ) 推定 50

51 (3) 検定一定の確率分布を前提にして推定した値についてその値をとる確率 ( 有意水準 α%)が十分に低いとき偶然珍しいことが起きたと考えるのではなく推定の際に置いた前提 ( 帰無仮説 ) が誤っていたと結論付ける推定に利用した確率分布真の確率分布 2 推定の前提 ( 確率分布 )が誤っていたと結論付ける有意水準 α% 実現値 1 実現する確率が十分に低いと考えられることが起きた 51

52 VaRを超過する損失が発生する回数 (K)とその確率 VaRを超過する確率 p = 1 % VaRを超過しない確率 1-p = 99%( 信頼水準 ) VaRの計測個数 N=250 発生確率 f(k) = 250 C K (0.01) K (0.99) 250-K 項分布 N=250,p=1% K:VaR 超過損失の発生回数 52

53 バックテスト(2 項検定 ) 観測データ数 250 N 回 N 回の観測で K 回 VaRを超過する確率信頼水準 99% 1- 信頼水準 1% p% 2 項分布 N C K p K (1-p) N-K VaR 超過回数 (K 回 ) 確率確率 VaR 超過回数 (K 回以上 ) % % 0 回以上 % 91.89% 1 回以上 % 71.42% 2 回以上 % 45.68% 3 回以上 % 24.19% 4 回以上 % 10.78% 5 回以上 % 4.12% 6 回以上 % 1.37% 7 回以上 % 0.40% 8 回以上 % 0.11% 9 回以上 % 0.03% 10 回以上 % 0.01% 11 回以上 % 0.00% 12 回以上 % 0.00% 13 回以上 % 0.00% 14 回以上 % 0.00% 15 回以上 53

54 バックテストは検定の考え方にしたがって行う VaR 計測モデルは正しい( 帰無仮説 ) VaR 超過損失の発生が 250 回中 10 回以上発生した VaR 超過損失の発生が 250 回中 10 回以上発生する確率は0.03%と極めて低い VaR 計測モデルは誤っている( 結論 ) 54

55 2 種類の過誤検定では次の2 通りの過誤 (エラー)が起きる可能性があるしたがってバックテストの結果も過誤 (エラー) を伴っている可能性がある点注意を要する第 1 種の過誤 (エラー) 本当は帰無仮説 (VaR 計測モデル)が正しいのに検定の結果帰無仮説 (VaR 計測モデル)が誤っていると結論付けてしまう第 2 種の過誤 (エラー) 本当は帰無仮説 (VaR 計測モデル)が正しくないのに検定の結果帰無仮説 (VaR 計測モデル)が正しいと結論付けてしまう 55

56 推定に利用した確率分布 = 真の確率分布第 1 種の過誤実現値推定に利用した確率分布 = 真の確率分布第 2 種の過誤実現値 56

57 5. 線形回帰分析 (1) 線形回帰分析とは (2)Excel 分析ツールの利用 (3)チェック項目 ( 決定係数 P 値 ) 57

58 (1) 線形回帰分析とは X i とY i の間に直線的な比例関係があることを前提にして X i とY i の散布図の中の各点のなるべく近くに直線を描く Y i = ax i +b+e i 変数 Y を変数 X で説明する Y i : 被説明変数 ( 目的変数 ) X i : 説明変数 a : 回帰係数 b : 定数項 ( 切片 ) e i : 残差 ( 注 ) 本例のように説明変数が1つの場合単回帰分析という説明変数が2つ以上の場合重回帰分析という 58

59 最小 2 乗法残差 e i = Y i -ax i -b の2 乗和を最小にするように a bを推定するそれぞれの推定値を a bと ^ ^ 表記する Y i Y 実測値 Y^ b a e i 理論値 Y i =a^ X i +b^ X i X 59

60 (2)Excel 分析ツールを利用した回帰分析手順 1 ツールメニューから分析ツールを起動 2ボックスの中の回帰分析を選択してOKをクリック 3 入力 Y 範囲入力 X 範囲にそれぞれデータ範囲を入力チェックを入れると観測値残差のグラフ等をを表示 ( 注 )PCによっては分析ツールのアドインが必要です 60

61 ( 例 )Excel 分析ツール回帰分析の出力結果概要回帰統計重相関 R 重決定 R 補正 R 標準誤差観測数 16 分散分析表自由度変動分散観測された分散比有意 F 回帰 E-09 残差合計 Y X 値 1 観測値グラフ X 値 1 Y 予測値 : Y 係数標準誤差 t P- 値下限 95% 上限 95% 下限 95.0% 上限 95.0% 切片 X 値 E 残差出力観測値予測値 : Y 残差標準残差残差 X 値 1 残差グラフ X 値 1 61

62 回帰分析を行うときのチェック項目 ( 必要最低限度 ) 概要回帰統計重相関 R 重決定 R 補正 R 標準誤差観測数 16 定数項 ( 切片 ) (bの推定値 ) 回帰係数 (aの推定値 ) 分散分析表自由度変動分散観測された分散比有意 F 回帰 E-09 残差合計係数標準誤差 t P- 値下限 95% 上限 95% 下限 95.0% 上限 95.0% 切片 X 値 E 決定係数 (R 2 ):モデルの当てはまりの良さを示す指標 (1に近いほど良い) - Yの偏差平方和 ( 全変動 )に占める ax+bの ^ ^ 偏差平方和 (モデルで説明できる変動 ) の割合として定義される( 重回帰分析の場合は自由度補正後の補正 R 2 をみる) P- 値 : 回帰係数定数項の有意性を示す指標 (ゼロに近いほど良い) - 回帰係数定数項がゼロであると仮定した( 帰無仮説 )ときにそれぞれの推定値が実現する確率ゼロに近ければ検定の考え方にしたがって帰無仮説を棄却できる回帰係数定数項はゼロではない回帰係数定数項は Yを説明するのに有効 62

63 本資料に関する照会先日本銀行金融機構局金融高度化センター企画役碓井茂樹 Tel 03(3277)1886 本資料の内容について商用目的での転載複製を行う場合は予め日本銀行金融機構局金融高度化センターまでご相談ください転載複製を行う場合は出所を明記してください本資料に掲載されている情報の正確性については万全を期しておりますが日本銀行は利用者が本資料の情報を用いて行う一切の行為について何ら責任を負うものではありません 63

Box-Jenkinsの方法

Box-Jenkinsの方法 Box-Jeks の方法自己回帰 AR 任意の時系列を過程 ARと呼ぶで表すこれが AR または AR m m m 個の過去の値に依存する時これを次数の自己回帰ここでは時間の経過に対して不変な分布を持つ系列相関のない撹乱誤差項である期待値一定の分散 σ