09 年 6 月 4 日演習問題 I α, β > 0, A > 0 を定数として Cobb-Douglas 型関数 Y = F K, L) = AK α L β 5) と定義します. ) F KK, F KL, F LK, F LL を求めましょう. ) 第 象限のすべての点 K, L) R ++ に対して F KK K, L) < 0, かつ dethf )K, L) > 0 6) を満たす α, β の条件を求めましょう. F K K, L) = α AK α L β, F L K, L) = β AK α L β F KK K, L) = αα ) AK α L β F KL K, L) = αβ AK α L β F LK K, L) = αβ AK α L β F LL K, L) = ββ ) AK α L β 一般論で成立することが分かっていますが,F KL = F LK に注意しましょう. ) α AK α L β > 0 F KK K, L) < 0 α < が分かります. 次に dethf )K, L)) = F KK K, L) F LL K, L) F KL K, L) = αα ) AK α L β ββ ) AK α L β αβ AK α L β ) = A K α L β { αβα )β ) α β } = A K α L β αβ α β) = A K α L β > 0, αβ > 0 dethf )K, L)) α + β < が分かります. 以上で求める条件は α <, α + β < であることが分かります. この条件は と必要十分であることにも注意しましょう. α <, β <, α + β < 49
II 生産関数 fx, y) = x α y β α, β > 0) を考えます. ) dethf)), f xx を計算しましょう. ) α + β のとき, 利潤関数 πx, y) := fx, y) qx y の停留点を求めましょう. ここでは, q, > 0 とします. ) α + β < のとき利潤を最大化する x, y) がただ一つ存在することを示しましょう. f αx α y β f y = βx α y β f x αα )x α y β f xy = f y αβx α y β f yy = ββ )x α y β x = q α β q β αβ β β = α q ) β α q β ) β β ) β ) β ) が分かります. これ det Hf) = αα )xα y β αβx α y β αβx α y β ββ )x α y β = x α y β αα )ββ ) α β ) = x α y β αβ α )β ) αβ) x α y β αβ α β) ) π π y = 0 すなわち { αx α y β q = 0...... ) βx α y β = 0...... ) を解きます. これは { x α y β = q α...... ) x α y β = β...... ) と必要十分です.) /) x y = q β α 従って y = q β α x となりますが, これを ) に代入すると 同様に q α y = α) β ) α ) ) α + β < のとき α, β > 0 α, β < が従い ます π x f xx f x αα )x α y β < 0 が常に成立します. さらに dethπ)) = f xx f yx f xy f yy = dethf)) = αβ α β)x α y β > 0 従って ) で求めた停留点を x 0, y 0 ) と すると πx, y) < πx 0, y 0 ) x, y) R ++, x, y) x 0, y 0 )) q x α β ) β x β = q α α 50 が成立します.
III 生産関数 fx, y) = x y に対する利潤関数 πx, y) = fx, y) qx y を最大化して生産要素需要関数 x, q, ) = 7q, y, q, ) = 7q を求めました. 利潤関数 生産物供給関数 Π, q, ) = πx, q, ), y, q, )) z, q, ) = fx, q, ), y, q, )) を定義すると z, q, ) =, x, q, ) = q, y, q, ) = が成立することを 具体的に両辺を計算することで示しましょう. 解答 ) ) Π, q, ) = 7q 7q q 7q 7q = 9q = 79 7q 7q ) ) z, q, ) = 7q 7q = 9q これ と Hotelling の補題が成立することが分かります. = 7q = = z, q, ) 9q q = 7q = x, q, ) q = = y, q, ) 7q 5
IV α, β > 0, ρ > 0 を定数として CES 関数を Y = F K, L) = αk ρ + βl ρ ) ρ 7) と定義します. ) log F K, L) を K, L で微分して F K K, L), F L K, L) を求めましょう. ) F K, L) が Eule の等式 K F K K, L) + L F L K, L) = F K, L) 8) を満たすことを示しましょう. log F K, L) = σ log αkσ + βl σ ) の両辺を K, L で偏微分すると F K K, L) F K, L) = σ F L K, L) F K, L) = σ σαk σ αk σ + βl σ = σβl σ αk σ + βl σ = αkσ αk σ + βl σ αlσ αk σ + βl σ これ F K K, L) = F L K, L) = αkσ αk σ F K, L) + βlσ βlσ αk σ F K, L) + βlσ )) の最後の 式にそれぞれ K と L を掛けて加えると K F K K, L) + L F L K, L) = αkσ + βl σ αk σ F K, L) = F K, L) + βlσ F K, L) が Eule の等式を満たすことが分かります. V, q, > 0 とします. 生産関数 fx, y) = x y に対して利潤関数 πx, y) = fx, y) x qy を考えます.πx, y) の停留点を求めましょう. 解答 を偏微分すると πx, y) = x y x qy π x y = 0, πy = x y q = 0 5
これは整理すると x y = x y q = ) ) ) ) さらに y = x = q 従って y = 6 44 q 4 x = 6q 従って 6 q VI 曲線 x + xy + y x + y = 0 が回転座標変換 で表されるか考えましょう. ) x y = ) ) によっていかなる式 Y 解答 { Y ) y = + Y ) x + y =, xy = Y ) これ x + xy + y x + y = Y ) Y ) + + Y ) = + Y + + VII 曲線 x + xy + y = 0 が回転座標変換 されるか考えましょう. ) x y = ) ) によっていかなる式で表 Y 解答 { Y ) y = + Y ) x + y =, xy = Y ) これ x + xy + y = + Y ) = 5 Y 5