2010年度 筑波大・理系数学

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1 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ f( x) x ax とおく ただしa>0 とする () f( ) f() となるa の範囲を求めよ () f(x) の極小値が f ( ) 以下になる a の範囲を求めよ () x における f(x) の最小値をa を用いて表せ --

2 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ つの曲線 C : y six ( 0 x <π ), C : y cosx について, 以下の問いに答えよ ( 0 <π ) x, C : y tax ( 0 x <π ) () C とC の交点, C とC の交点, C とC の交点のそれぞれについてy 座標を求 めよ () C, C, C によって囲まれる図形の面積を求めよ --

3 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を自然数とし, から までの自然数の積を! で表す このとき以下の問いに答 えよ k k () 単調に増加する連続関数 f(x) に対して, 不等式 f( x) dx f( k) () 不等式 logxdx log! を示し, 不等式 e! を導け x () x 0 に対して, 不等式 x e! を示せ を示せ --

4 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 点 O を原点とする座標平面上に, 点 A (, 0), B( cosθ, siθ) ( 90 <θ <80 ) をとり, 以下の条件を満たす 点 C, D を考える OA OC, OA OD 0, OB OC 0, OB OD また, OAB の面積をS, OCD の面積をS とおく () ベクトル OC, OD の成分を求めよ () S S が成り立つとき, θ とS の値を求めよ () S 4S + S を最小にするθ と, そのときのS の値を求めよ -4-

5 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a a を実数とし, A とする 点 P( x, y), Q( X, Y) について X x A Y y が成り立つとき, P は A により Q に移るという () 原点以外の点で, A によりそれ自身に移るものが存在するとき, a を求めよ () 次の条件 (*) を満たす a, k を求めよ (*) 直線 l : ykx+ 上のすべての点は, A によりl 上の点に移る () (*) を満たす a, k に対し, 直線 l 上の点で, A によりそれ自身に移るものを求め よ --

6 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題 6 解答解説のページへ 直線 l: mx+y が, 楕円 : y C x + ( a>b>0) に接しながら動くとする a b () 点 ( m, ) の軌跡は楕円になることを示せ () C の焦点 F( a b, 0) と l との距離をd とし, もう つの焦点 F( a b, 0) とl との距離をd とする このときd d b を示せ -6-

7 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f( x) x ax より, f ( ) a, f ( ) 9 9 a f( ) f() から, a 9 9a となり, a 7 a>0 と合わせて, 0<a 7 () f ( x) x ax x( x a) f(x) の増減は右表のようになり, 条件よ り, 極小値 f( a) a が f ( ) 以下であ 6 ることから, a a, a a 0, ( a + ) ( a ) 0 6 a>0 より, a () (i) 0<a< のとき x における f(x) の増 減は右表のようになり, () の結果 から, 最小値は, (i-i) 0<a< のとき (i-ii) a< のとき (ii) a のとき x における f(x) f ( ) f ( a) a 6 うになり,() の結果から, 最小値は, f ( ) 9 9a a の増減は右表のよ x 0 a f (x) f (x) 0 a x 0 a f (x) f (x) 0 a 6 x 0 f (x) f (x) 0 6 [ 解説 ] () と () の誘導によって, () は計算が不要となっています -- 電送数学舎 00

8 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () C : y six, C : y cosx, C : y tax に対し, まず, C とC の交点は, から, 0 x<π より, x π, 4 y また, C とC の交点は, から, cos x six, si x + six 0 0 x<π における解をx α とおくと, y cosα siα + さらに, C とC の交点は, から, 0 x<π より, x 0, y 0 si x cosx より, si( x π ) 0 4 cos x tax より, siα + () C, C, C によって囲まれる図形の面積 S は, S α π 4 4 taxdx+ cosxdx 0 si α 0 α π [ log cosx ] [ ] six α + [ cosx ] 0 4 log( cosα ) + log+ siα + log log + + π ta x six より, si x ( cosx ) 0 xdx π y O C α C π 4 C π x [ 解説 ] 基本的な求積問題です まったく同じ問題を解いたという記憶はあるものの, 出典 は思い浮かびません -- 電送数学舎 00

9 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () f(x) は単調増加する連続関数なので, k x k において, f( x) f( k) k k k f ( x) dx f( k) dx f( k) dx k k k f( k) () x>0 で f( x) logx とおくと, f(x) は単調増加する連続関数なので,() から, k k logxdx logk のとき, の両辺を, k からk まで和をとると, k k k logxdx k logk logxdx log+ log+ + log log( ) log! なお, は のときも成立している さて, の左辺は, log xdx [ xlogx x ] log + log + loge log e これより, は, e! となる x () x 0 において, g( x) x e! とおくと, x x g ( x) x e x e x e ( x) x g(x) の増減は右表のようになり,() より, g ( ) e! 0 x よって, x 0 において, g( x) 0 すなわち x e! である x 0 g (x) g (x) [ 解説 ] 至れり尽くせりというぐらい, 誘導が非常に細かくついている微分法の不等式への 応用問題です -- 電送数学舎 00

10 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ () OA (, 0), OB ( cosθ, siθ) ( 90 <θ <80 ) に 対し, OC ( p, q), OD ( r, s) とおく まず, OA OC, OB OC 0 より, p, p cos θ + qsiθ 0 より, q cosθ となり, OC (, cosθ ) siθ siθ また, OA OD 0, OB OD より, r 0, r cos θ + ssiθ 4 4より, s となり, OD ( 0, ) siθ siθ () OAB の面積をS, OCD の面積をS は, S siθ siθ, S + 0 cosθ siθ siθ S S より, siθ siθ, si θ 90 <θ <80 より, si θ から, θ siθ このとき, S となる 4 () () より, S 4S + S siθ + となり, siθ >0 から, siθ 等号は, siθ + siθ siθ siθ siθ すなわちsi θ ( θ 0 ) のとき成立する siθ よって, θ 0 のとき, S は最小値 をとる B y O θ A x [ 解説 ] ベクトルの成分計算についての基本問題です -4- 電送数学舎 00

11 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () E を単位行列とすると, 条件より, x x x 0 A, ( A E) (*) y y y 0 x 0 a a より, A E は逆行列が存在しないので, y 0 det ( A E) a( ) a 0, a a 0 よって, a0, である () 直線 l : ykx+ 上の任意の点を ( t, kt+ ) とおく X Y a t kt+ 条件より, Y kx + なので, ( + ak) t+ a (+ ak+ k) t+ {( + ak) t+ } ( + ak + k) t+ k a + 任意の t に対して成立することより, + ak + k k( + ak), a + ak+ より, ak k 0 より, a ( k ), a ( k ) 4 k 4より, k k 0 k, k ( k + k ) 0, すると, 4より, a () () より, l: y x+ となり, A である 4 直線 l 上の点を ( p, p+ ) とおくと,(*) から, p 0 p+ 0 よって, p+ ( p+ ) 0 から k p となり, l 上の不動点は, (, ) である [ 解説 ] 不動点と不変直線に関する基本事項の確認です () は, 不動点の集合である直線 x+y0 とl: y x+ との交点として求めることもできます -- 電送数学舎 00

12 00 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 6 問題のページへ () 楕円 : y C x + 上の接点を ( acosθ, bsiθ) とおくと, 接線の方程式は, a b acos θ x+ bsiθ y a b, cosθ x+ siθ y a b が直線 l: mx+y に一致することより, m cosθ, a siθ b これより, a m + b となり, 点 ( m, ) の軌跡は楕円になる b b () C の焦点 F( a, 0), F ( a, 0) とl: mx+y 0 との距離を, それぞれd, d とすると, d すると, m a b, m + dd を代入すると, d m ( a b ) + m + m a m a b + m m + b m + + b + b m b ( + m ) d d b m + m + [ 解説 ] () では, 接線の公式を利用しました 重解条件の利用によっても を導けますが, 計算量はかなり増加します -6- 電送数学舎 00