H BioS t (i) treat treat data d; input patno treat treat; cards; 3 8 7 4 8 8 5 5 6 3 ; run; (i) treat treat
data d; input group patno period treat y; label group patno period ; cards; 3 8 3 7 4 8 4 8 5 5 5 6 6 3 run; t (i) proc gplot data d; plot y * period patno; by group; run; symbol y
(ii) t proc ttest data d; paired treat * treat; run; 3
paired-t:proc ttest TTEST N treat - treat 6 -.686 3.3333 7.354.395 3.897 9.398.5635-8 t t Pr > t treat - treat 5.3.86 4
(iii) : dif i 8 3 7 8 4 8 8 5 5 5 6 3 7 i dif i dif i N(µ, σ ) H : µ H : µ t t (ii) µ ( + 8 + + 5 + 7) 3.333 6 σ { ( 3.333) + (8 3.333) + ( 3.333) + ( 3.333) + (5 3.333) + (7 3.333) } 5 4.667 (ii) σ σ 4.667 3.898 (ii) 95 t [ ] [ ] σ σ 4.667 4.667 µ + t(5,.5), µ + t(5,.975) 3.333.57, 3.333 +.57 6 6 6 6 [.686, 7.353] σ 4.667 V[ µ] 6.563 6 H : µ (t ) t µ bσ 6 3.333 4.667 6.3 5
p SAS data p value; p * ( - cdf( t,.3, 5)); run; p.86 (i) proc glm proc glm data d; class treat patano; model y treat patno/ ss3 solution p; run; paierd-t : proc glm GLM : y F Pr > F Model 6 3..5.8.396 Error 5 36.6666667 7.3333333 Corrected Total 59.6666667 Type III F Pr > F treat 33.33333333 33.33333333 4.55.86 patno 5 89.66666667 7.93333333.45.744 6
t Pr > t Intercept 8.6666667 B.687894 8.78.3 treat -3.33333333 B.563479 -.3.86 treat. B... patno -6. B.788 -..776 patno -.5 B.788 -.8.868 patno 3. B.788.37.77 patno 4.5 B.788.55.635 patno 5-4. B.788 -.48.997 patno 6. B... Note X X B paierd-t : proc glm GLM. 8.83333333.6666667..6666667 -.6666667 3. 4.33333333 -.33333333 4. 7.66666667.33333333 5 8. 5.83333333.6666667 6 7. 9.6666667 -.6666667 7 8. 9.66666667 -.66666667 8 8. 6.33333333.66666667 9 5. 4.6666667.83333333..83333333 -.83333333. 8.6666667.83333333 3. 4.83333333 -.83333333 (ii) d i (i : i : ) p j (j,, 3, 4, 5, 6) y ij µ + d i + p j + ɛ ij (ɛ ij N(, σ )) () 7
y µ + d + p + ɛ y µ + d + p + ɛ y µ + d + p + ɛ y µ + d + p + ɛ y 3 µ + d + p 3 + ɛ 3 y 3 µ + d + p 3 + ɛ 3 y 4 µ + d + p 4 + ɛ 4 () y 4 µ + d + p 4 + ɛ 4 y 5 µ + d + p 5 + ɛ 5 y 5 µ + d + p 5 + ɛ 5 y 6 µ + d + p 6 + ɛ 6 y 6 µ + d + p 6 + ɛ 6 y y y y y 3 8 y 3 7 y, X y 4 8 y 4 8 y 5 5 y 5 y 6 3 y 6, β µ d d p p p 3 p 4 p 5 p 6, ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ 3 ɛ 3 ɛ 4 ɛ 4 ɛ 5 ɛ 5 ɛ 6 ɛ 6 y X β + ɛ (ɛ N(, σ I )) (3) SAS d, p 6 () y µ + d +p +ɛ y µ +p +ɛ y µ + d +p +ɛ y µ +p +ɛ y 3 µ + d +p 3 +ɛ 3 y 3 µ +p 3 +ɛ 3 y 4 µ +p 4 +ɛ 4 (4) y 4 µ + d +p 4 +ɛ 4 y 5 µ +p 5 +ɛ 5 y 5 µ + d +p 5 +ɛ 5 y 6 µ +ɛ 6 y 6 µ + d +ɛ 6 8
X, β µ d p p p 3 p 4 p 5 (3) y + X β + ɛ (ɛ N(, σi )) (5) (iii) SAS SAS β β (X X ) X y (6) X X 6 6 6 9
6 6 6 (X X ) 7 6 6 3 8 X y 7 8 8 5 3 + + + + 8 + 7 + 8 + 8 + 5 + + + 3 + + 8 + 8 + + 3 + + 8 + 7 8 + 8 5 + 8 8 3 35 36 5
(6) β (X X ) X y 7 6 6 3 8 8 3 35 36 5 7 8 6 8 3 35 36 5 6 8 + 3 8 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8.667 3.3333 6.5.5 4 β µ 8.667 d 3.3333 p 6, p.5, p 3, p 4.5, p 5 4 d, p 5 µ 8.667 Intercept d 3.3333 treat d treat p 6 patno p.5 patno p 3 patno3 p 4.5 patno4 p 5 4 patno5 p 6 patno6 SAS β ŷ ŷ X β
µ d d p p p 3 p 4 p 5 p 6 8.667 3.3333 6.5.5 4 8.667 3.3333 6 8.667 + 6 8.667 3.3333.5 8.667 +.5 8.667 3.3333 + 8.667 + + 8.667 + +.5 8.667 3.3333 +.5 8.667 + 4 8.667 3.3333 4 8.667 + + 8.667 3.3333 +
8.8334.667 4.3334 7.6667 5.8334 9.667 9.6667 6.3334 4.667.8334 8.667 4.8334 e 8.8334, 6666.667.667 4.3334.3334 7.6667.3333 8 5.8334.666 7 9.667.667 e y ŷ 8 9.6667.6667 8 6.3334.6666 5 4.667.8333.8334.8334 8.667.8333 3 4.8334.8334 (iv) H : d d p p p 3 p 4 p 5 p 6 H : () d i p j y ij µ + ɛ ij 3
y µ + ɛ y µ + ɛ y µ + ɛ y µ + ɛ y 3 µ + ɛ 3 y 3 µ + ɛ 33 y 4 µ + ɛ 4 y 4 µ + ɛ 4 y 5 µ + ɛ 5 y 5 µ + ɛ 5 y 6 µ + ɛ 6 y 6 µ + ɛ 6 y µ + ɛ (ɛ N(, σ I )) µ µ µ ( ) y (7) ( ) ( ) ( y ) 8 7 8 8 5 3 4
+ + + + 8 + 7 + 8 + 8 + 5 + + + 3 8 (7) µ ( ) y 8 5.667 ŷ, e 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 ŷ µ 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 (8) e y ŷ 8 7 8 8 5 3 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 4.667 3.667 4.8333.8333.8333.8333.8333.667 5.667 4.8333.333 (9) * y ŷ }{{} Corrected Total y ŷ }{{} Error + ŷ ŷ }{{} Model y : ŷ : µ ŷ : µ, d, p,, p 5 7 * Corrected Total H Error H Model H H e e + by by 5
(CorrectedTotal) y ŷ : (Error) y ŷ : 7 5 (Model) ŷ ŷ : 7 6 (CorrectedTotal) y ŷ e ( 5.667) + ( 4.667) + ( 3.667) + 4.8333 +.8333 +.8333 +.8333 +.8333 + (.667) + ( 5.667) + 4.8333 + (.333) 59.53 (Error) y ŷ e.666 + (.667) + (.3334) +.3333 +.666 + (.667) +(.6667) +.6666 +.8333 + (.8334) +.8333 + (.8334) 36.6667 (Model) ŷ ŷ 8.8334.667 4.3334 7.6667 5.8334 9.667 9.6667 6.3334 4.667.8334 8.667 4.8334 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 6.3333 3.8333.5.6667 4 4.5.333 4.333 3.3333 ( 6.3333) + ( 3) + (.8333) +.5 +.6667 + 4 +4.5 +.333 + ( ) + ( 4.333) + 3 + (.3333).999 (Error) 5 y ŷ 5 36.6667 7.3334 (Model) 6 ŷ ŷ 6.999.4867 F F Model Error.4867 7.3334.7936 Error σ σ Error e 5 36.6667 7.3334 () 6
* *3 p 6 5 data p value; p - cdf( F,.7936, 6, 5); run; p.397 (v) H d : d d H d : d d H d () d i y ij µ + p j + ɛ ij (ɛ ij N(, σ )) y µ + p + ɛ y µ + p + ɛ y µ + p + ɛ y µ + p + ɛ y 3 µ + p 3 + ɛ 3 y 3 µ + p 3 + ɛ 3 y 4 µ + p 4 + ɛ 4 y 4 µ + p 4 + ɛ 4 y 5 µ + p 5 + ɛ 5 y 5 µ + p 5 + ɛ 5 y 6 µ + p 6 + ɛ 6 y 6 µ + p 6 + ɛ 6 * bσ σ bσ *3 F 5 by by bσ 7
X d, β d µ p p p 3 p 4 p 5 p 6 y X d β d + ɛ (ɛ N(, σ I )) () SAS p 6 X d, β d () y X d β d + ɛ (ɛ N(, σ I )) µ p p p 3 p 4 p 5 β d β d (X dx d ) X dy () 8
X dx d (X dx d ) 9
X dy 8 7 8 8 5 3 + + + + 8 + 7 + 8 + 8 + 5 + + + 3 + + 8 + 7 8 + 8 5 + 8 3 35 36 5 () β d (X dx d ) X dy 8 3 35 36 8 3 35 36 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 5
6.5 6.5.5 4 β d µ p p p 3 p 4 p 5 p 6 µ 6.5 p 6 p.5 p 3 p 4.5 p 5 4 p 6 β d ŷ d ŷ d X d βd 6.5 6.5.5 4
6.5 6 6.5 6 6.5.5 6.5.5 6.5 + 6.5 + 6.5 +.5 6.5 +.5 6.5 4 6.5 4 6.5 + 6.5 +.5.5 6 6 7.5 7.5 8 8.5.5 6.5 6.5 *4 TypeIII treat H d H d H ŷ ŷ d *4 SAS proc glm data d; class patno; model y patno / solution ss3 p; run;
ŷ ŷ d 8.8334.667 4.3334 7.6667 5.8334 9.667 9.6667 6.3334 4.667.8334 8.667 4.8334.5.5 6 6 7.5 7.5 8 8.5.5 6.5 6.5.6666.6667.6666.6667.6666.6667.6666.6667.6666.6667.6666.6667 (.6666) + (.6667) + (.6666) + (.6667) + (.6666) + (.6667) +(.6666) + (.6667) + (.6666) + (.6667) + (.6666) + (.6667) 33.337 ŷ : µ, d, p,, p 5 7 ŷ d : µ, p,, p 5 6 ŷ ŷ d : 7 6 ŷ ŷ d 33.337 F σ Error F ŷ ŷ d σ 33.337 7.3334 4.55 p σ 5 data p value; p - cdf( F, 4.55,, 5); run; p.86 TypeIII Treat p (vi) (v) p p.86.86 t p t t TypeIII treat F (t ).3 4.55 (F ) 3
t.5635 ( t ).5365 4.6666 () σ Error e 36.6667 7.3334 5 t t j y j, y j σ dif j y j y j V [dif j ] V [y j ] + V [y j ] σ + σ σ t 3.3333 Treat Treat treat: 3.3333 treat: treat treat3.3333 (i) proc glm data d; class treat patno period; model y treat patno period / run; solution p ss3; patno(fixed) + period GLM : y F Pr > F Model 7 4.3333333 7.76948..66 Error 4 35.3333333 8.8333333 Corrected Total 59.6666667 4
Type III F Pr > F treat 33.33333333 33.33333333 3.77.4 patno 5 89.66666667 7.93333333.3.56 period.33333333.33333333.5.774 t Pr > t Intercept 7.83333333 B.46733 7.35.8 treat -3.33333333 B.7593836 -.94.4 treat. B... patno -6. B.9794 -..37 patno -.5 B.9794 -.7.8746 patno 3. B.9794.34.7534 patno 4.5 B.9794.5.643 patno 5-4. B.9794 -.35.496 patno 6. B... period.66666667 B.7593836.39.774 period. B... Note:X X B 5
patno(fixed) + period GLM. 9.6666667.83333333..83333333 -.83333333 3. 4.66666667 -.66666667 4. 7.33333333.66666667 5 8. 6.6666667.83333333 6 7. 8.83333333 -.83333333 7 8.. -. 8 8. 6.. 9 5. 4.5.5..5 -.5. 8.5.5 3. 4.5 -.5 (ii) d i (i : i : ) p j (j,, 3, 4, 5, 6) t k (k, ) y ijk µ + d i + p j + t k + ɛ ijk (ɛ ij N(, σ )) (3) y µ + d + p + t + ɛ y µ + d + p + t + ɛ y µ + d + p + t + ɛ y µ + d + p + t + ɛ y 3 µ + d + p 3 + t + ɛ 3 y 3 µ + d + p 3 + t + ɛ 3 y 4 µ + d + p 4 + t + ɛ 4 (4) y 4 µ + d + p 4 + t + ɛ 4 y 5 µ + d + p 5 + t + ɛ 5 y 5 µ + d + p 5 + t + ɛ 5 y 6 µ + d + p 6 + t + ɛ 6 y 6 µ + d + p 6 + t + ɛ 6 6
y y y y y y 3 y 3 y 4 y 4 y 5 y 5 y 6 y 6 8 7 8 8 5 3, X, β µ d d p p p 3 p 4 p 5 p 6 t t, ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ 3 ɛ 3 ɛ 4 ɛ 4 ɛ 5 ɛ 5 ɛ 6 ɛ 6 y X β + ɛ (ɛ N(, σ I )) (5) SAS d, p 6, t y µ +d +p +t +ɛ y µ +p +ɛ y µ +d +p +t +ɛ y µ +p +ɛ y 3 µ +d +p 3 +t +ɛ 3 y 3 µ +p 3 +ɛ 3 y 4 µ +p 4 +t +ɛ 4 (6) y 4 µ +d +p 4 +ɛ 4 y 5 µ +p 5 +t +ɛ 5 y 5 µ +d +p 5 +ɛ 5 y 6 µ +t +ɛ 6 y 6 µ +d +ɛ 6 X, β µ d p p p 3 p 4 p 5 t 7
(5) y X β + ɛ (ɛ N(, σ I )) (iii) β β (X X ) X y (7) X X 6 6 6 6 3 6 3 6 (X X ) 6 6 6 6 3 6 3 6 8
3 6 6 6 3 6 3 X y 8 7 8 8 5 3 + + + + 8 + 7 + 8 + 8 + 5 + + + 3 + + 8 + 8 + + 3 + + 8 + 7 8 + 8 5 + + + 8 + 8 + 5 + 8 8 3 35 36 5 93 β (7) β (X X ) X y 9
3 6 6 6 3 6 3 8 8 3 35 36 5 3 8 6 8 3 35 36 5 6 93 6 8 + 3 8 7.8333 3.3333 6.5.5 4.6667 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 6 8 + 3 93 93 β µ d p p p 3 p 4 p 5 t µ 7.8333, d 3.3333, p 6, p.5, p 3, p 4.5, p 5 4, t.6667 3
d, p 6, t β µ d d p p p 3 p 4 p 5 p 6 t t µ 7.8333 Intercept d 3.3333 treat d treat p 6 patno p.5 patno p 3 patno3 p 4.5 patno4 p 5 4 patno5 p 6 patno6 t.6667 period t period ŷ ŷ X β 7.8333 3.3333 6.5.5 4.6667 3
7.8333 3.3333 6 +.6667 7.8333 6 7.8333 3.3333.5 +.6667 7.8333.5 7.8333 3.3333 + +.6667 7.8333 + 7.8333 +.5 +.6667 7.8333 3.3333 +.5 7.8333 4 +.6667 7.8333 3.3333 4 7.8333 +.6667 7.8333 3.3333 9.667.8333 4.6667 7.3333 6.667 8.8333 6. 4.5.5 8.5 4.5 e e y ŷ 8 7 8 8 5 3 9.667.8333 4.6667 7.3333 6.667 8.8333 6. 4.5.5 8.5 4.5.8333.8333.6667.6667.8333.8333.5.5.5.5 (iv) H : d d p p p 3 p 4 p 5 p 6 t t H : (3) d i, p j, t k y ijk µ + ɛ ijk 3
y µ + ɛ y µ + ɛ y µ + ɛ y µ + ɛ y 3 µ + ɛ 3 y 3 µ + ɛ 33 y 4 µ + ɛ 4 y 4 µ + ɛ 4 y 5 µ + ɛ 5 y 5 µ + ɛ 5 y 6 µ + ɛ 6 y 6 µ + ɛ 6 (8) (9) ŷ e 5.667 5.667 5.667 4.667 5.667 3.667 5.667 4.8333 5.667.8333 5.667.8333 ŷ, e 5.667.8333 5.667.8333 5.667.667 5.667 5.667 5.667 4.8333 5.667.333 y ŷ y ŷ + ŷ ŷ y : ŷ : µ ŷ : µ, d, p,, p 5, t 8 (CorrectedTotal) y ŷ : (Error) y ŷ : 8 4 (Model) ŷ ŷ : 8 7 (CorrectedTotal) y ŷ e ( 5.667) + ( 4.667) + ( 3.667) + 4.8333 +.8333 +.8333 +.8333 +.8333 + (.667) + ( 5.667) + 4.8333 + (.333) 33
59.53 (Error) y ŷ e.8333 + (.8333) + (.6667) +.6667 +.8333 + (.8333) +( ) + +.5 + (.5) +.5 + (.5) 35.3333 (Model) ŷ ŷ 9.667.8333 4.6667 7.3333 6.667 8.8333 6. 4.5.5 8.5 4.5 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 5.667 6 3.3334.5.666 3.6666 4.8333.8333.6667 4.6667 3.3333.6667 ( 6) + ( 3.3334) + (.5) +.666 + + 3.6666 4.8333 +.8333 + (.6667) + ( 4.6667) + 3.3333 + (.6667) 4.33 (Error) 4 y ŷ 4 35.3333 8.8333 (Model) 7 ŷ ŷ 7 4.33 7.766 F F Model Error 7.766 8.8333.8 Error σ σ Error e 4 35.3333 8.8333 (8) F F 7 by by bσ p 7 4 data p value; p - cdf( F,.8, 7, 4); run; p.66 34
(v) H d : d d H d : d d H d H d (3) d i y ijk µ + p j + t k + ɛ ijk y µ + p + t + ɛ y µ + p + t + ɛ y µ + p + t + ɛ y µ + p + t + ɛ y 3 µ + p 3 + t + ɛ 3 y 3 µ + p 3 + t + ɛ 3 y 4 µ + p 4 + t + ɛ 4 y 4 µ + p 4 + t + ɛ 4 y 5 µ + p 5 + t + ɛ 5 y 5 µ + p 5 + t + ɛ 5 y 6 µ + p 6 + t + ɛ 6 y 6 µ + p 6 + t + ɛ 6 X d, β d µ p p p 3 p 4 p 5 p 6 t t y X d β d + ɛ (ɛ N(, σ I )) (9) 35
SAS p 6, t X d, β d (9) y X d β d + ɛ (ɛ N(, σ I )) µ p p p 3 p 4 p 5 t β d β d (X dx d ) X dy () X dx d 6 6 6 36
(X dx d ) 6 6 6 7 6 6 3 X dy 8 7 8 8 5 3 + + + + 8 + 7 + 8 + 8 + 5 + + + 3 + + 8 + 7 8 + 8 5 + + + 8 + 8 + 5 + 8 3 35 36 5 93 37
() β d 7 6 8 3 35 36 5 6 3 93 7 8 3 35 36 5 6 93 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 8 + + 3 + 35 + 36 + 5 6 8 + 3 93 6.667 6.5.5 4.6667 β d µ p p p 3 p 4 p 5 t p 6, t µ 6.667 p 6 p.5 p 3 p 4.5 p 5 4 p 6 t.6667 t β d 38
ŷ d ŷ d X d βd 6.667 6.5.5 4.6667 6.667 6 +.6667 6.667 6 6.667.5 +.6667 6.667.5 6.667 + +.6667 6.667 + 6.667 +.5 +.6667 6.667 +.5 6.667 4 +.6667 6.667 4 6.667 +.6667 6.667.8334.667 6.3334 5.6667 7.8333 7.667 8.3334 7.6667.8334.667 6.8334 6.667 39
e d e d y ŷ d 8 7 8 8 5 3.8334.667 6.3334 5.6667 7.8333 7.667 8.3334 7.6667.8334.667 6.8334 6.667.8334.8333 4.3334 4.3333.667.667.3334.3333.666.667 3.666 3.667 H d H d ŷ ŷ d 9.667.8333 4.6667 7.3333 6.667 8.8333 6. 4.5.5 8.5 4.5.8334.667 6.3334 5.6667 7.8333 7.667 8.3334 7.6667.8334.667 6.8334 6.667.6667.6666.6667.6666.6666.6666.6666.6667.6666.6667.6666.6667 (.6667) +.6666 + (.6667) +.6666 + (.6666) +.6666 +.6666 + (.6667) +.6666 + (.6667) +.6666 + (.6667) 33.333 TypeIII ŷ : µ, d, p,, p 5, t 8 ŷ d : µ, p,, p 5, t 7 ŷ ŷ d : 8 7 ŷ ŷ d 33.333 (8) σ 8.8333 F F ŷ ŷ d σ 33.333 8.8333 3.7735 4
4 p data p value; p - cdf( F, 3.7735,, 4); run; p.4 4