講義のーと : データ解析のための統計モデリング. 第3回
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1 Title 講義のーと : データ解析のための統計モデリング Author(s) 久保, 拓弥 Issue Date 2008 Doc URL Type learningobject Note この講義資料は, 著者のホームページ ードできます Note(URL) Additional There Information are other files related to this item in HUSCAP File Information kubostat2008c.pdf ( 第 3 回 ) Instructions for use Hokkaido University Collection of Scholarly and Aca
2 ( :11 ) 1 ( ) 5 (+2) 3 ( ) (GLM) 1 kubo@ees.hokudai.ac.jp (GLM)? 1 2. GLM : link 4 3. GLM : 5 4. : glm(..., family = poisson) Deviance? λ λ λ = ( β 1 + β 2 ( 1) + β 3 ( 2) + ) {β j } = {β 1, β 2, }
3 ( :11 ) 2 1. (GLM)? 1 1 Bayes Bayes MCMC random effects (GLMM) (GLM) +, fixed effects / 8 1: ( ) (general linear model) ANOVA ANCOVA = 2 2.? general linear model
4 ( :11 ) 3 ( ) ? 0, 1, 2, 3,... (1) ( )? (2)? 2: ( ) ( 3) (generalized linear model; GLM) 4 : 5 link ( : ) GLM 6 6.
5 ( :11 ) 4 3: ( ) () 7 logistic GLM : link GLM (probablistic distribution) link (link function) (linear predictor) GLM R glm() logistic 9.? ( ) rbinom() glm(family = binomial) rbinom() glm(family = binomial) rpois() glm(family = poisson) rnbinom() glm.nb() ( ) rgamma() glm(family = gamma) rnorm() glm(family = gaussian)
6 ( :11 ) 5 link (link function) ( ) µ µ = β 1 + β 2 ( 1) + β 3 ( 2) + {β j } (explanatory variable) β j (1 ) j z = j β j (1 ) z GLM link (response variable) µ = z 12 log link log µ = z µ = exp ( β 1 + β 2 ( 1) + β 3 ( 2) + ) ( ) 12. R glm() identity link link GLM link canonical link function (R glm() family ) canonical ( ) 14 link glm() family link (m ) 14. ( ) binomial logit µ(1 µ) ( ): Np(1 p) N binomial logit µ(1 µ) ( ) p poisson log µ ( ) gamma log? µ 2 gaussian identity
7 ( :11 ) 6 3. GLM : 4 GLM f i i C: T: y i x i 4: i (i = 1, 2,, 100) ( ) i (i = 1, 2, 3,, 100, 100 ) y i ; 15 x i ; 50 (i = 1, 2,, 50) (C ) 50 (i = 51, 52,, 100) (T ) spread sheet 16 CSV (comma separated values) 17 data3a.csv 18 R 19 > d <- read.csv("data3a.csv") data.frame d 20 data.frame table R? d ENTER ( ) 17. CSV 18. web page 19. R... R setwd() data3a.csv 20.
8 y x f C C C... ( ) T T ( :11 ) head(d) data.frame head(d, 10) y x f 10 R d x y > d$x [1] [9] ( )... [97] > d$y [1] [17] ( )... [97] f > d$f [1] C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C [26] C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C [51] T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T [76] T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Levels: C T (factor) R read.csv() CSV table C T 23 factor f C T (levels) () factor C, T read.csv() 24 R class() ( 24.
9 ( :11 ) 8 ) 25 > class(d) # d data.frame [1] "data.frame" > class(d$y) # y integer [1] "integer" > class(d$x) # x numeric [1] "numeric" > class(d$f) # f factor [1] "factor" R summary() d data.frame > summary(d) y x f Min. : 2.00 Min. : C:50 1st Qu.: st Qu.: T:50 Median : 8.00 Median : Mean : 7.83 Mean : rd Qu.: rd Qu.: Max. :15.00 Max. : R # data.frame summary f C 50 T 50 summary plot() factor vector summary() x y! (scatter plot) > plot(d$x, d$y, pch = c(21, 19)[d$f]) > legend("topleft", legend = c("c", "T"), pch = c(21, 19)) d$y C T d$x f
10 ( :11 ) 9 > plot(d$f, d$y) C T R plot() 27 (box-whisker %, 50%, 25% plot) ( ) 2.5% ( ) 95% R plot() summary() : glm(..., family = poisson) d y x f ( ) i y i 0, 1, 2 ( ) i λ i = exp(β 1 + β 2 x i ) x i f i f i
11 ( :11 ) 10 log λ i = β 1 + β 2 x i link log link z = β 1 + β 2 x i log link? λ i λ i > 0 λ i = exp(z i ) z (= β 1 + β 2 x i ) exp() z λ i λ i β 1, β 2, x i > xi <- seq(-4, 5, 0.1) λ i 0 > plot(xi, exp( * xi), type = "l", ylab = "lambda", lwd = 2) > lines(xi, exp( * xi), lwd = 2, lty = 2) # > abline(v = 0, lwd = 2, lty = 3) lambda xi λ i = exp(β 1 + β 2 x i ) i y i p(y i {β j }, {x i }) = λy i i exp( λ i ) y i! L({β j } {y i }, {x i }) = 100 i=1 λ y i i exp( λ i ) y i! 100 log L({β j } {y i }, {x i }) = i=1 { λ y i log i exp( λ i ) y i! }
12 ( :11 ) 11 ˆβ 1 ˆβ 2 (GLM) R GLM > fit <- glm(y ~ x, data = d, family = poisson) (fitting) 31 ( 31. ) fit names(fit) 5: glm() 5 family = poisson log link fit > fit # print(fit) Call: glm(formula = y ~ x, family = poisson, data = d) Coefficients: (Intercept) x family = poisson(link = "log") link poisson family default link function 32 "log" 32. canonical link function ( link ) Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 98 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: 474.8
13 ( :11 ) 12 summary() > summary(fit) Call: glm(formula = y ~ x, family = poisson, data = d) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) *** x * --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: on 99 degrees of freedom Residual deviance: on 98 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 Deviance summary() (coefficient) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) *** x * Coefficients ( ) (Intercept) ( ) ( ) β 1 x β 2 Estimate ˆβ ˆβ Std. Errror?
14 ( :11 ) 13 ˆβ 1 ˆβ 2 ˆβ ? (SE) z value 34 ( ) / SE (Wald ) 6 ˆβ ˆβ 1 SE ˆβ 2 SE ˆβ 2 ˆβ :? 34. z Wald 35 Pr(> z ) z value 35. (Neyman- ˆβ Pearson ) 36 ( ) Wald R summary(glm(...)) 37 (prediction) R
15 ( :11 ) 14 > plot(d$x, d$y, pch = c(21, 19)[d$f]) > xx <- seq(min(d$x), max(d$x), length = 100) > lines(xx, exp( * xx), lwd = 2) d$y d$x lines(xx, exp( * xx), lwd = 2) λ > yy <- predict(fit, newdata = data.frame(x = xx), type = "response") > lines(xx, yy, lwd = 2) predict() log L({β j } ) { ˆβ i } { ˆβ i } log L({β j } ) loglik(fit) > loglik(fit) # fit <- glm(y ~ x,...) log Lik (df=2) (df=2) β 1 β x i f i
16 ( :11 ) 15 f (factor) > d$f [1] C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C [26] C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C [51] T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T [76] T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Levels: C T R glm() numeric, integer, factor > fit.f <- glm(y ~ f, data = d, family = poisson) > fit.f Call: glm(formula = y ~ f, family = poisson, data = d) Coefficients: (Intercept) ft Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 98 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: glm(y ~ f,...) Coefficients (Intercept) ( ) f ft f C ( ) T ( ) 2 ( ) 1 C 2 39 i f C T λ i exp( ) = exp(2.05) λ i exp( ) = exp(2.0628) 39. 2
17 ( :11 ) 16 > loglik(fit.f) # fit.f <- glm(y ~ f,...) log Lik (df=2) 6. + f glm() x > fit.full <- glm(y ~ x + f, data = d, family = poisson) > fit.full Call: glm(formula = y ~ x + f, family = poisson, data = d) Coefficients: (Intercept) x ft Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 97 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: ft log link i x i C λ i exp( x i ) T λ i exp( x i 0.032) exp( x i 0.032) = exp( x i ) exp( 0.032) = () ( ) glm(y ~ x + f,...)
18 ( :11 ) 17 exp( 0.032) > loglik(fit.full) # fit.full <- glm(y ~ x + f,...) log Lik (df=3) 7. Deviance?? loglik() deviance 41 log L({β j } ) log L { ˆβ i } log L log L summary(glm(y...)) log L 42 deviance deviance D = 2 log L 41. deviance 42. loglik() log L ? x i λ i = exp(β 1 + β 2 x i )
19 ( :11 ) 18 log L deviance (D = 2 log L ) glm()... ( )... Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Null Deviance Residual Deviance AIC Residual Deviance 44 Residual deviance deviance D 44. Residual D ( D) 45 ( D) 45. Deviance residual deviance? full model (!) deviance 46 data.frame d > d$y [1] ( )... x i λ i d$y full model 46. β 1 β 2 2 1, 2, 3 y y y () ?
20 ( :11 ) > sum(dpois(d$y, lambda = d$y, log = TRUE)) [1] log L deviance D = 2 log L ( D) residual deviance D ( D) = 85.0 glm() Residual Deviance: AIC: residual deviance residual deviance residual deviance? Residual deviance full model () λ i = exp(β 1 ) 1 R null model 50 null model > fit.null <- glm(formula = y ~ 1, family = poisson, data = d) > fit.null Call: glm(formula = y ~ 1, family = poisson, data = d) Coefficients: (Intercept) Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 99 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: residual deviance 89.5 null model 50. Null (null hypothesis) null model
21 ( :11 ) 20 > loglik(fit.null) # fit.null <- glm(y ~ 1,...) log Lik (df=1) null model residual deviance glm()... ( )... Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 98 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Null Deviance residual deviance 85.0 residual deviance 89.5 x i residual deviance ( ) degree of freedom () 51. Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 98 Residual Null model () 99 ( 100-1) 98 (100-2) (k) (log L ) deviance (D = 2 log L ) residual deviance ( 2 log L D) Model k log L Deviance Residual 2 log L deviance NULL f x x + f FULL
22 ( :11 ) 21 table residual deviance 8. (= deviance ) full model R 2 (model selection) AIC (Akaike s information criterion) AIC = 2( ) + 2() = 2 log L + 2k AIC Model k log L Deviance Residual 2 log L AIC deviance NULL f x x + f FULL (Model x) R stepaic() AIC glm()
23 ( :11 ) 22 > library(mass) # stepaic MASS package > stepaic(fit.full) # Start: AIC= y ~ x + f Df Deviance AIC - f <none> x Step: y ~ x AIC= Df Deviance AIC <none> x Call: glm(formula = y ~ x, family = poisson, data = d) Coefficients: (Intercept) x Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null); 98 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: & 9. (GLM) ( ) ANOVA R glm() GLM : link = (poisson) link = log glm() GLM
24 ( :11 ) 23 (prediction) Deviance -2 AIC = Deviance + 2 ( ) logit link GLM
k2 ( :35 ) ( k2) (GLM) web web 1 :
2012 11 01 k2 (2012-10-26 16:35 ) 1 6 2 (2012 11 01 k2) (GLM) kubo@ees.hokudai.ac.jp web http://goo.gl/wijx2 web http://goo.gl/ufq2 1 : 2 2 4 3 7 4 9 5 : 11 5.1................... 13 6 14 6.1......................
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