３章 度数分布とヒストグラム

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1 度数分布とヒストグラム データとは 複雑な確率ゲームから生まれたと考えてよい データ分析の第一歩として データの持つ基本的特性を把握することが重要である

2 分析の流れ データの分布 ( 散らばり ) を 度数分布表にまとめ グラフ化する グラフに 平均値や分散など 分布の特徴を示す客観的な数値を加える データが母集団からのランダムサンプルならば 母集団についての推測を行う

3 度数分布とヒストグラムの作成 データを昇 ( 降 ) 順に並べ替える 階級を設定し 各階級に属するデータの個数をカウントする 各階級の相対度数 累積度数 及び 累積相対度数を計算する 度数分布表をもとに ヒストグラムを作成する 3

4 もとのデータと並べ替え もとのデータを x x, x, x,,, 3 4 x n とする それを昇順に並べ替えたものを x, x, x, x,, x ( ) () (3) (4) ( n) であらわす データが与えられたら, それを昇順に並べ替えると都合がよい. 43,0,8,38,3,33,9,9,,6,4,53,5,65, 9,37,36,43,33,57 9,,8,0,5,6,9, 3,33,33,36,37,38,4,43,43,53,57,65,9 4

5 エクセルを用いた並べ替え 昇順 降順 5

6 女子学生の身長の例 並べ替えにより 最大値 最小値 メディアン ( 中位数 ) が分かる 最大値 最小値 7 50 メディアン x (5) x (6) 58 6

7 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

8 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

9 身長の度数分布表を完成させよう 級の区間代表値度数累積度数相対度数累積相対度数 合計

10 練習〆次の表を完成させよ 表 3- サイコロを 00 回投げたときに出た目の度数分布表 合計 サイコロの目度数相対度数累積度数累積相対度数 注〆度数は各目が出る確率が等しいという条件で Excel の乱数の関数を用いて擬似的に発生させた 0

11 練習の解答 表 3- サイコロを 00 回投げたときに出た目の度数分布表 サイコロの目度数相対度数累積度数累積相対度数 合計 注〆度数は各目が出る確率が等しいという条件で Excel の乱数の関数を用いて擬似的に発生させた

12 グラフの作成 身長の度数 人数を見たいなら 身長の相対度数 割合を見たいなら 0.00

13 累積相対度数のグラフ 約 80% 累積相対度数のグラフ 64cm 以下の割合を知りたいなら 約 44% cm 以下の割合を知りたいなら

14 ヒストグラムを作るとき. 階級を決める. 各階級の度数をカウントする 3. 相対度数 累積度数 累積相対度数を計算する 4. グラフ化する階級を決めることは 意外に難しい ( 教科書に一般論はあるが グラフで何を示したいか を考えるとよい ) 4

15 年間収入の場合 経済データは 度数分布の形で提供される場合が多い 収入データは 他の経済データと同様に 高額データの取り扱いが難しい 身長データや試験の点数データでは さほど極端な値がないので 取り扱いが比較的楽である 5

16 006 年度年間収入 ( 農林漁家を除く全世帯 ) 年間収入階級階級値度数 ( 世帯数 ) 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ 々々々々々々々々々々々々々々々々 39 世帯の平均が 57 万円 階級幅が一定ではない 700 ~ ~ ~ ~ ~ 50, ~ 500, 万円以上, 合計 0,000 年収 500 万円超の世帯が数多く存在していることが分かる最高額は不明 6

17 階級幅の差を考慮せずにグラフ にすれば々々, 度数 ( 世帯数 ) 階級幅が異なっている 7

18 x x 4 最低収入が不明 表 3 4 の作成 / 年間収入以上未満 階級値 世帯数 階級幅 度数階級幅 50 x ~ ~ これをヒストグラムの棒の高さとする : 級幅の違いを考慮に入れてやる 階級幅が広いほど, 棒は低くなる 8

19 x x 470 表 3 4 の作成 / 年間収入以上未満 階級値 世帯数 50~ 階級幅世帯数 階級幅 50= 棒の高さ x 500~ 最高収入が不明 棒の面積と世帯数とが比例する 9

20 階級幅を変えてグラフ化すると 度数 ( 世帯数 ) 図 3-5 年間収入のヒストグラム 柱の面積が世帯数と比例する 年間収入 ( 万円 ) 表 3-4より作成 0

21 参考〆階級数と階級幅の決め方 階級数は データの数に応じて決める log n + に近い数で データの性質を加味して決める 階級の幅は 最初と最後を除いて 同じ幅にする 階級の端点は出来るだけ簡単な数字にする

22 累積相対度数分布とローレンツ曲線 累積相対度数の応用例として 格差を表すローレンツ曲線とジニ係数について学ぶ 000 年において 世界人口の貧しい方から 50% の収入は 世界全体の富の % に過ぎない ( 国連調査 ) といった表現を より充実させるものである

23 遺産相続の例 ( 分配 ) 相続者 相続額 長男 000 次男 男 男 400 左表では 明らかに 相続額が不平等である 最も平等な配分は? 最も不平等な配分は? 5 男 00 3

24 遺産相続の例 ( 分配 ) 並べ替えー貧しい方から金持ちへ 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 800 長男 男 00 Σ ーー 4

25 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ

26 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 長男 男 Σ ーー 6

27 ローレンツ曲線 遺産相続の例 ( 分配 ) 累積比率 人数 金額 金額の累積比率 図 3-7 遺産配分の例のローレンツ曲線 4 男 男 次男 長男 男 Σ ーー 人数の累積比率 7

28 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 金額の累積比率 図 3-8 つの分配方法のローレンツ曲線 4 男 3 男 分配 分配 次男 長男 5 男 Σ ーー 人数の累積比率 8

29 P 4 p p p 3 p 4 P 3 p 4 遺産相続の例 ( 分配 ) ( 数式 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 次男 x 長男 x 5 男 n n x 3 Σ 5 5 x 5 5 i i 4000 p 5 n i i i.0.00 ーー i i 9 n 3 n 4 n 5 x 4 x 5 p p p 3 p 4 p 5 q q q 3 q 4 q 5 qi P P P 3 P 4 P 5 Q Q Q 3 Q 4 Q 5

30 遺産相続の例 ( 均等分布 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 金額の累積比率 図 3-8 つの分配方法のローレンツ曲線 4 男 男 分配 均等分布線 分配 次男 長男 男 Σ ーー 人数の累積比率 30

31 ジニ係数とは? 右の図の 緑の線で囲まれた面積の 倍を ジニ係数と呼ぶ ジニ係数は 0 と の間の数で に近いとき不平等度が高くなります

32 ジニ係数とは? 右の線で囲まれた面積のことをジニ係数と呼ぶ

33 ジニ係数〆実際の計算方法 人数 累積比率 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 男 ジニ係数 0. 33

34 ジニ係数の求め方 順位 累積人数比 累積金額比 P Q P Q Q 5 3 P 3 Q 3 Q 3 Q 4 4 P 4 Q 4 Q 5 5 P 5 Q P P P Q P3 P P4 P 3 P5 P 4 34

35 累積人数比 ジニ係数の求め方 ( 式 ) 累積金額比 三角形か台形の面積 ジニ係数は () P Q P Q P 3 Q 3 P 4 Q 4 P 5 Q 5 P Q (P P )(Q Q ) (P 3 P )(Q 3 Q ) (P 4 P 3 )(Q 4 Q 3 ) (P 5 P 4 )(Q 5 Q 4 ) ()

36 36 ジニ係数の公式を求める )} )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( { Q Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P PQ ジニ係数 )} { P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q PQ P Q PQ PQ P Q P Q PQ

37 ジニ係数の求め方 ( 公式 ) 累積人数比 累積金額比 三角形か楕円の面積 ( PQ ( P Q ( P Q ジニ係数 P Q 3 5 PQ P Q ) 4 ) ) ( PQ 3 4 P Q 4 3 ) P Q P Q P 3 Q 3 P Q P Q P Q 3 P 3 Q P 4 Q 4 P 3 Q 4 P 4 Q 3 P 5 Q 5 P 4 Q 5 P 5 Q 4 ジニ係数 37

38 ジニ係数計算法の意味 累積比率 人数 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 男.0.00 ジニ係数 38

39 ジニ係数計算法の意味 累積比率 人数 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 男.0.00 ジニ係数

40 ジニ係数計算法の意味 B B A x C B x A C ジニ係数 B A ( B C) ( AC) ジニ係数

41 表 世帯と年間収入の累積比率等 (006 年 農林漁家世帯を除く全世帯 ) 年間収入階級 階級値 度数 ( 世帯数 ) = 総収入 ( 階級値 度数 ) 比率 累積比率 世帯収入世帯収入 00 万円未満 , 万円以上 ~ 50 万円未満 = 8, ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ 50, , ~ 500, , 万円以上, , 合計 0,000 6,396,

42 ローレンツ曲線と均等分布線 年間収入階級 累積比率世帯収入 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 万円以上 合計 年間収入の累積比率 図 3-9 年間収入のローレンツ曲線 ローレンツ曲線均等分布線 表 3-7 より作成 世帯の累積比率 4

43 ジニ係数の計算 年間収入階級 世帯 累積比率 収入 ジニ係数計算欄 00 万円未満 万円以上 ~ 50 万円未満 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 万円以上 合計 計算不要 ジニ係数 43

44 遺産相続の例 ( 分配 ) 並べ替えー貧しい方から金持ちへ 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 600 次男 800 長男 男 00 Σ ーー 44

45 遺産相続の例 金額の累積比率 図 3-7 遺産配分の例のローレンツ曲線 人数の累積比率 45

46 遺産相続の例 ( 分配 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 700 次男 800 長男 男 000 Σ

47 遺産相続の例 ( 均等分布 ) 人数 金額 比率 累積比率 人数金額人数金額 4 男 男 800 次男 800 長男 男 800 Σ

48 ジニ係数〆実際の計算方法 人数 累積比率 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 男.0.00 ジニ係数 48

49 ジニ係数の求め方 順位 累積人数比 累積金額比 P Q P Q 3 P 3 Q 3 4 P 4 Q 4 5 P 5 Q 5 49

50 累積人数比 ジニ係数の求め方 ( 式 ) 累積金額比 三角形か台形の面積 ジニ係数は () P Q P Q P 3 Q 3 P 4 Q P 5 Q 5 ()

51 5 ジニ係数の公式を求める )} )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( { Q Q P P Q Q P P Q Q P P Q Q P P PQ ジニ係数

52 ジニ係数計算法の意味 累積比率 人数 金額 ジニ係数計算欄 4 男 男 次男 長男 男.0.00 ジニ係数 5

53 ジニ係数計算法の意味 B A xc B x A C