統計学入門　練習問題解答集

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1 統計学入門練習問題解答集 この解答集は 995 年度ゼミ生椎野英樹 ( 回生 ) 奥井亮(3 回生 ) 北川宣治(3 回生 ) による学習の成果の一部です. ワープロ入力はもちろん井戸温子さんのおかげです. 利用される方々のご意見を待ちます.(996 年 3 月 6 日 ) 趙君が 7 章 8 章の解答を書き上げました.(996 年 7 月 ) 線型回帰に関する性質の追加. (996 年 8 月 ) ホーム頁に入れるため 999 年 7 月に再度編集しました. 改訂にあたり 久保拓也 (D3) 鍵原理人(D) 奥井亮(D) 三好祐輔(D) 金谷太郎 (M) の諸氏にお世話になりました.(000 年 5 月 ) 森棟公夫 京都市左京区吉田本町京都大学経済研究所電話 e-mal mormue@ker.koto-u.ac.jp

2 第 章追加説明 Tschebchv (8-89) の不等式 [ 離散ケース ] 命題 : よりも大きな k について 観測値の少なくとも ( (/ k )) の割合は ( 平均値 k標本標準偏差 ) から ( 平均値 + k 標本標準偏差 ) の区間に含まれる. 例え 3 ば シグマ区間の場合は ( (/ )) 75% 以上.3シグマ区間の場合は 8 5 ( (/ 3 )) 以上.シグマ区間の場合は ( (/ )) 93.75% 以上. 9 6 証明 : 観測個数を 変数を 平均値を & 標本分散を ˆσ とおくと 定義より σˆ ( ) () ここで k > の条件の下で kσˆ となる を ( ), L, (a), kσˆ となる を ( a + ), L, () とおく. この分割から () の右辺は a σ ˆ ((a+ ) ) ( a)(kσˆ ) () となる. だから a < k. あるいは a > ( k ) となる. ジニ係数の計算 (-k)/ R (-k+)/ ジニ係数 ローレンツ曲線下の面積三角形の面積

3 ローレンツ曲線下の図形を右のように台形に分割する. 両端は三角形となる. 原データが利用可能であるとして 各人の相対所得を R から R までとしよう. この 場合 下かから k 段目の台形は下底が ( k + ) / 上底が ( k) / である. ( 相対順位の差は/ だから この差だけ上底が短い.) 台形の高さは R k だから 台形の面積は R k ( k + ) /() となる.( k では台形は三角形になってい るが 式は成立する.) 台形と三角形の面積を足し合わせると ローレンツ曲線 下の面積 R k ( k + ) /() となる. したがってこの面積と三角形の面積 の比は k + k k R k ( k + ) / である. 相対所得の総和は であるから この比は k R 標本相関係数の性質 γ k 共分散. から引くと ジニ係数は kr k ( + ) となる. k の分散 の分散 S S, S S S S r r ベクトル (, L, ) と (, L, ) を用いれば S は r の大き さ ( ノルム ) S は r の大きさ S は r と r の内積である. 標本相関係数は ベ クトル r と r の間の正弦 cosθ に他ならない. 従って 標本相関係数の絶対値は より小になる. 変量を標準化して u, L, u, v, L, v, S S S S と定義する.u と v の標本共分散 u v は γ S S SS S {( )( )} S S. これは と の標本相関係数である. ところで Σ(u ± v ) Σu ± Σu v + Σv ± γ + ( ± γ ) 3

4 であるが 乗したものの合計は負になることはないから ± γ 0 である. だ から γ でなければならない. 他の証明方法 : Σ{( ) ± ρ ( )} Σ ( ) ± ρ Σ ( )( ) + ρ Σ( ) が常に正であるから ρ に関する 次式の判別式が負になることを利用する. これはコーシー シュワルツと同じ証明方法である. 表現上の注意 ( )( ) ( ) ( ) と表記されることがある. 右端の等号は と の積の平均から の平均と の平均の積を引く という意味である. と が同じ場合は 次の表現もある. ( ) ( ) () (). 問題解答 ( 章 ). 平均値は -8. 分散は 73.7 だから標準偏差 従って シグマ区間は から シグマ区間の度数は 0 全体の度数は 9 で ( 0 /9) > (3/ ) なので チェビシェフの不等式は妥当である.. 単純 ( 算術 ) 平均は ( ) / 5 7. だから 7.% となる. 次に平均成長率を幾何平均で求めるため 与えられた経済成長率に を加えたものを相乗する 求めたい平均成長率を R とおくと ( + R) の 5 乗根を求めて %. 後期については 3. と 所得の変化だけを見ると 9080/ だから 8 乗根を取り.05 となり 5.%. ( 3. 標本平均を とおく. / ) だから

5 ( ) ( + ) の平均を の平均を とおく (. )( ) ( + ) + + なぜなら, ) ( 式 (.)) ( + 5. データの数は 75. 階級数の 目安 を知る為に Starjes の公式に数値をあ 平均 0. テ ータ区間 頻度 標準誤差 中央値 ( メシ アン ) 最頻値 ( モート ) 標準偏差 分散 範囲 50 0 最小 79 5 最大 9 0 合計 最大値 () 9 30 最小値 () 79 次の級 0 てはめる log とりあえず階級数を 0 にして知能指数の度数分布表を作成してみよう. 頻度

6 7. ジニ係数の公式は この問題に関して以下の様に変形できる. 6 ジニ係数 Σ{(a 0.) (b 0.0)} ( ) Σ ab. 従って 日本の場合 Σ ab だから. ジニ係数 となる 表を基に相関係数を計算する 集中度曲線 累積シェアー L( )/( )0.9. P( )/( ) (0.9/0.909) 年平均成長率の解を R とおくと 企業順位 ()880 年から 90 にかけては ( + R) より,R.93% () 90 年から 955 年にかけては ( + R) より,R-0.63% () 955 年から 990 年にかけては ( + R) より,R5.59% 6

7 3. 表.9 より 相対所得の絶対差の表は次のようになる. 総和を取り で 割ると.8 になる. 四人の場合について証明する / / 3/ 番号 3 相対所得 3 累積相対所得 図中 3 かつ ローレンツ曲線下の面積 三角形 + 台形が 3 個 ( いずれも底面は /) 8 { + ( + ) + ( + + ) + ( + + )} { } 3 多角形 ジニ係数 三角形 ジニ係数 { } 他方 問 3 で与えられる式は { } 3 j j j { } 3 7

8 となり一致する ただし左辺の和は下の表の要素の和である 問題解答 ( 章 ). 全事象の数は 3 5. 実際引いたカードがハートまたは絵札である事 象 ( A B) の数は である. よって確率 P( A B)/5. さて 引いたカードがハートである (A) 事象の数は 3. 絵札である (B) 事象 の数は. ハートでかつ絵札である (A B) 事象の数は 3. 加法定理 P( A B)P(A)+P(B)-P(A B)3/5+/5-3/5/5 より先に求めた 確率と等しい.. 全事象の数は 目の和が 以下になる事象の数は (,,) (, ) (,,) (,,) の. よって求める確率は /6/5. 3. 点数の組合せは (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (5,5,0) (5,0,5)(0,5,5) の 6 通り. 各々の点数に応じて 8 通りの組 合せがある. よって求める組合せの数は 全事象の数は ( 枚目が 枚目より大きな値をとる場合 ) 枚目に引いたカードが の場合 枚目は から 30 までであればよいので事象の数は 0. 枚目に引いたカー ドが の場合 枚目は から 30 までであればよいから 事象の数は 9. 同様 に 枚目に引いたカードの値が増えると条件を満たす事象の数は減る. 事象の 数は L+ 0. 8

9 ( 枚目が 枚目より小さい値をとる場合.) 枚目に引いたカードが のとき 枚目は であればよいので 事象の数は. 一枚目に引いたカードが のとき 枚目は か であればよいから 事象の数は. 同様にして 枚目のカードが 0 の場合 0 である. 事象の総数は 両方合わせると 確率は 65/ 目の和が6である事象の数. それは ( 赤 青 緑 ) が (,,3)(,,) (,,) の各組み合わせの中における3つの数の順列の総数 この条件下で 3 個のサイの目が等しくなるのは (,,) の時だけなのでその事象の数は. よって求める条件つき確率は /0. 目の和が 9 である事象の数 : それは ( 赤 青 緑 ) が (,6)(,3,5) (,,) (,,5)(,3,)(3,3,3) の各組み合わせの中における3 つの数の順列の総数 この条件下で 3 個のサイの目が等しくなるのは (3,3,3) の時だけなのでその事象の数は. よって求める条件つき確率は /5. 6. a) 全事象の数 : ( 男子学生の数 )+( 女子学生の数 )( ) +( ) 年生である事象の数は であるから 求める確率は 75/8350. b) 全事象の数は 女子学生でかつ 年生である事象の数は 950. よって求める確率は 950/ c) 男子学生である事象の総数は 575. 男子学生でかつ 年生である事象の数は 00 よって求める条件付確率は 00/575. d) 独立性の条件から女子学生である条件のもとの 歳以上である確率と 一般に 歳以上である確率と等しい. このことから 女子学生でありかつ 歳以上である確率は女子学生である確率と 歳以上である確率の積に等しい. 9

10 よって求める確率は (3775/8350) ( )/8350(3775/8350) (0/8350) つまりおよそ 7.6% である. 7. a): P( X P ) P(X P) P(P) : P( Y P )P(Y P) P(P)(-P(X P)) P(P)(-0.) b) ベイズの定理によるべきだが ここでは の計算を先にする.a と同様にして : : (-0.8) : : (-0.7) P(Q X) は /(,,3 の総和 ) だから P(Q X) 0./( )/3. また P( X P ) は,,3, の確率の 総和だから P(X P) c) 独立でない. たとえば P( X P ) はの確率だから 独立ならばこれ は P(X) と P(P) の積に等しくなるが P(X)P(P) (P(X) は,, 3 の確率の総和 ; ) 等しくないので独立でない. 独立でな いことを示すには 等号が成立しないことを一つのセルについて示せばよい の場合では 一つのセルで等号が成立すれば 個の全てのセルについて 等号が成立する 次の表では と 3 のセルは行和が 列和が q になることか ら容易に求めることができる のセルについても同様である Q R X q P(X) Y 3 P(Y) P(Q)q P(R)r ベイズ定理により P(A B)0.7,P(A B C )0.8. ベイズの定理により /( )