データ解析

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きみおだいほうじ
5 years ago
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1 データ解析 ( 前期 ) 最小二乗法向井厚志 005 年度テキスト 0

2 データ解析 - 最小二乗法 - 目次第回 Σ の計算第回ヒストグラム第 3 回平均と標準偏差 6 第回誤差の伝播 8 第 5 回正規分布 0 第 6 回最尤性原理第 7 回正規分布の分布の幅第 8 回最小二乗法 6 第 9 回最小二乗法の練習 8 第 0 回最小二乗法の推定誤差 0 第回推定誤差の計算第回試験 -

3 第回 Σ の計算. 個のデータの足し算データセット,,,, 3 K データの表記データ番号データの種類足し算の表記データ番号終了番号開始番号 3 L データ番号がずつ加算 Σ の基本的な規則 ( : 定数 ). 平方根の計算 : X X X Y Y Y Y Y Y Y

4 課題 Σ の計算得点 /5 次の式を足し算に展開しなさい ( 各 0.5 点 ) 次の式を Σ でまとめなさい ( 各 0.5 点 ) の平方根を求める空欄に適切な桁の整数を記入しなさい ( 全点 )

5 第回ヒストグラムヒストグラムある範囲内の測定値が何回現れたかを示す度数分布表に基づいて作成された棒グラフ測定されやすい値 ( 平均 ) や測定値のばらつき ( 標準偏差 ) を大まかに視認できるヒストグラムの作成手順最大値と最小値を調べる区間を設定する 3 度数分布表を作成するヒストグラム ( 棒グラフ ) を描く例題組 A 班の 00m 走のタイム [ 秒 ] 番号タイム [ 秒 ] 度数分布表の作成最小値 =.7 秒最大値 = 7.5 秒.8 秒の差秒間隔で区間を設定最小値以下最大値以上タイム [ 秒 ] 計度数 3 0 ヒストグラムの作成以上 3 未満 3 以上未満 3 度数タイム [ 秒 ]

6 課題ヒストグラム得点 /5 ある樹木の葉の横幅を測定し, 表のような計 30 個の測定値を得た ( 単位 :mm) 最小値と最大値を調べ, 空欄に記入しなさい ( 各 0. 点 ) 最小値 = 最大値 = mm mm mm 間隔で区間を設定し, 度数分布表を作成しなさい ( 各 0. 点 ) 葉幅 [mm] 計度数 30 3 問の度数分布表をもとに, ヒストグラムを作成しなさい ( 全点 ) 度数葉幅 [mm] 5

7 第 3 回平均と標準偏差ある実験で音速を測定したところ, 下記の結果が得られた測定番号 3 5 音速 [m/s] 測定値の合計. 平均測定値の個数測定値 [m/s] 代表値測定値 - 代表値計 ) 測定値代表値の合計平均代表値 [m/s] 測定値の個数 5. 標準偏差測定値平均の合計測定値の個数測定値 [m/s] 平均測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 計 ).80.8 標準偏差 L m/s 5 3. 測定結果の表記平均 ± 標準偏差単位 6

8 課題 3 平均と標準偏差得点 /5 バネに様々な重さのおもりをつるし, バネの伸びを測ったその測定結果からバネ定数を計算したとき, 以下の結果が得られたバネ定数の推定値を求めよ測定番号バネ定数 [/m] 測定値代表値測定値 - 代表値平均測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 計計計 ( 各 0. 点 ) 7 平均 /m ( 各 0. 点 ) 0 標準偏差 /m ( 小数点以下桁まで表示 ) ( 各 0.5 点 ) バネ定数の推定値 85 /m ( 小数点以下桁まで表示 ) ( 各 0.5 点 ) 7

9 第回誤差の伝播つの測定値, が存在するとき, 測定値の和の誤差を求めるを測定したとき, 次のつの測定値が等しい確率で得られたとする,,, その標準偏差はである 3 を測定したとき, 次のつの測定値が等しい確率で得られたとする,,, その標準偏差はである 3 を測定したとき, 次のつの測定値が等しい確率で得られることが期待される,,,, その標準偏差は, 測定値 [m/s] 平均測定値 - 平均 ( 測定値 - 平均 ) 計計より, よって, 測定値とであるの和は一般に,,, 3 3,, の和は, L L 3 3 8

10 課題誤差の伝播得点 /5 3 個のおもり A,B,C があるおもりの重さをそれぞれ 5 回ずつ測定したところ, 次表の結果が得られたおもり A 測定番号 3 5 重さ [kg] おもり B 測定番号 3 5 重さ [kg] おもり C 測定番号 3 5 重さ [kg] おもり A,B,C の重さの平均値および標準偏差を求めよただし, 平均および標準偏差は, 小数点以下桁目を四捨五入し, 小数点以下桁まで表示せよ ( 各 0.5 点 ) 平均 [kg] 標準偏差 [kg] おもり A おもり B おもり C おもり A,B,C の重さの合計およびその測定誤差を求めよただし, 合計の測定誤差は, 小数点以下桁目を四捨五入し, 小数点以下桁まで表示せよ ( 各点 ) ± kg 9

11 第 5 回正規分布正規分布 f() = 自然界で測定された値が満たす確率密度分布 f e α : 真値 β : 分布の幅 α=.5,β= の場合 0.5 α 山のピーク最も測定されやすい値 0. 確率密度 β 山のそでの広がり測定値のばらつきの大きさ測定値の測定値が得られる確率 = ~ の範囲で確率密度関数を積分した値確率密度確率 p f d 測定値の測定値が得られる確率 (68%) 0.95 (95%) 0.99 (99%) 測定値測定値測定値 0

12 課題 5 正規分布得点 /5 表は, 次式で表される正規分布 f()(α=0,β=) の値を示す f e f f t dt f の値を用いて, 正規分布のグラフを描け ( 点 ) 確率密度 f() 数値積分によって, 表の f t dt の値を求めよ 3 f t dt のグラフを描け確率 f()d ( 各 0. 点 ) ( 点 ) 0 3

13 第 6 回最尤性原理 ( さいゆうせいげんり ) 最尤性原理個の測定値,,, があるとき, これらの測定値が得られる確率を最大とする α および β が真値および分布の幅の最良推定値である測定値が真値 α, 分布の幅 β の正規分布に従うとき, 測定値が k k となる確率 k P は, 近似的に次式で表される k k k k e d e P 測定値,,, が同時に得られる確率 P は, e P P P P L 確率 P を最大にする α と β が, 真値および分布の幅の最良推定値となる真値 α の最良推定値確率 P が α のみの関数であるとすると, 定数とを用いて,P は次式のように表される g e e P ここで,,, g とが定数の場合, 確率 P が最大となるには g が最小となればよい g であるから, g はのとき, 最小値をもつすなわち, 真値 α の最良推定値は平均値である

14 課題 6 最尤性原理得点 /5 最尤性原理について説明せよ ( 点 ) 次の 0 個の測定値がある () g の式を求めよ ( 各 0.5 点 ) g () g(α) を最小とする α の値を求めよ (0.5 点 ) (3) g(α) のグラフを描け ( 点 ) g(α) α 3

15 第 7 回正規分布の分布の幅分布の幅 β の最良推定値確率 P が β のみの関数であるとすると, とを用いて P は次式のように表される P e e ここで,,, 最尤性原理に従い,P が最大となる γ の値を求める P dp e は下図のようなグラフであり,Pが最大となるγでは 0 d となる P P e 0, 3, γ k dp d e 0 現実的な測定値では, 分布の幅 β は 0 を満たすことから, 0 かつであるよって, このとき, となり, 分布の幅 βの最良推定値は, 測定値の標準偏差に相当する

16 課題 7 正規分布の分布の幅得点 /5 次式の微分を求めよ ( 各 0.5 点 ) () () (3) 3 d d d d e d d e e d () d e (5) d d 次の式について, 以下の問いに答えよ 3 3 () 式の微分を求めよ (0.5 点 ) d d () 式の極大値, 極小値, および, そのときのの値を求めよ (0.5 点 ) 極大値となる極大値極小値となる極小値 5

17 6 第 8 回最小二乗法最小二乗法測定値との差の乗和が最小となる関数の式を求める方法測定値,,,,,, に最もよく当てはまる直線の式を求める仮定 : () 測定値は正規分布に従う () 測定値の真値は, 分布の幅はである最尤性原理により, 測定値が得られる確率を最大とするおよびを求める測定値,,, が同時に得られる確率 P は, e P であり, 分布の幅 σ を定数とみなす場合, 確率 P が最大となるには, g, が最小となればよい g, が最小となる点では, 0 d dg かつ 0 d dg となることから, との連立一次方程式およびを解いて,

18 課題 8 最小二乗法得点 /5 最小二乗法を用いて, 個の測定値る指数関数の式 e,,,,,, を求める以下の空欄に適切な式を記入せよに最もよく当てはま測定値の真値をe, 分布の幅をとするとき, 測定値が得られる確率 P は, P (0.5 点 ) となる測定値,,, が同時に得られる確率 Pは, (0.5 点 ) P であり, 確率 P が最大となるには, g, ( 点 ) が最小となればよいよって, dg d dg d (0.5 点 ) (0.5 点 ) 0 0 式と式を, とについて解く ( 点 ) ( 点 ) 7

19 第 9 回最小二乗法の練習個の測定値,,,,, Det, を表す最適な直線の式 : Det Det 練習問題 : エアトラック上を滑る台車の位置を測定した台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ時刻 [ 秒 ] 3 台車の位置 [cm] ( 解 ) 時刻台車の位置計 Det cm/ 秒 0 台車の速さ cm 0 時刻 0 秒における台車の位置 8

20 課題 9 最小二乗法の練習得点 /5 エアトラック上を滑る台車の位置を測定した時刻 [ 秒 ] 3 5 台車の位置 [cm] () 横軸を時刻, 縦軸を台車の位置としてグラフを描け ( 点 ) () 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ時刻台車の位置各 0. 点計各 0.3 点台車の速さ cm/ 秒 ( 小数点以下桁まで表示 ) 時刻 0 秒における台車の位置 cm ( 小数点以下桁まで表示 ) 9

21 0 第 0 回最小二乗法の推定誤差最小二乗法で求めた直線の式の傾きおよび切片の推定誤差を求める第回誤差の伝播の復習測定値,,, の和は ( : 測定値, : 測定誤差 ), L L 測定値の誤差がすべて同じ値 ( ) であると仮定すると, の誤差 = の誤差 = であることから, Det Det Det Det のとき, であることから,

22 課題 0 最小二乗法の推定誤差得点 /5 のとき, であることを証明する以下の空欄に適切な式を記入せよ ( 各点 ) 0 K K K のとき, K が成り立つと仮定する K のとき, K K K K K K K K K K K 同上 K 0 となり, の任意のに対して, が成立する一般に, のとき, 式の値は無限大に発散するそのため, のとき, となる

23 第回推定誤差の計算練習問題 : エアトラック上を滑る台車の位置を測定した台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ時刻 [ 秒 ] 3 台車の位置 [cm] ( 解 ) 計 Det cm/ 秒 cm L 0.9L L cm/ 秒 L L cm よって, 台車の速さ =.07±0.03 cm/ 秒時刻 0 秒における台車の位置 = 0.00±0.07 cm

24 課題推定誤差の計算得点 /5 エアトラック上を滑る台車の位置を測定した時刻 [ 秒 ] 3 5 台車の位置 [cm] () 横軸を時刻, 縦軸を台車の位置としてグラフを描け ( 点 ) 5 台車の位置 [cm] 時刻 [ 秒 ] () 台車の速さの最良推定値, および, 時刻 0 秒における台車の位置の最良推定値を求めよ各 0. 点計各 0. 点台車の速さ ± cm/ 秒 ( 小数点以下桁まで表示 ) 時刻 0 秒における台車の位置 ± cm ( 小数点以下桁まで表示 ) 直線の当てはめ誤差 σ cm cm ( 小数点以下桁まで表示 ) 3

学習指導要領

学習指導要領 (1) 数と式ア数と集合 ( ア ) 実数数を実数まで拡張する意義を理解し簡単な無理数の四則計算をすること絶対値の意味を理解し適切な処理することができる例題 1-3 の絶対値をはずせ展開公式 ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 を利用して根号を含む分数の分母を有理化することができる例題 5 5 + 2 の分母を有理化せよ実数の整数部分と小数部分の表し方を理解している