情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report Vol.2015-GI-34 No /7/4 大貧民プログラムにおけるヒューリスティック戦略の評価 田頭幸三 但馬康宏 菊井玄一郎 コンピュータによるゲームの思考アルゴリズムの研究は囲碁, 将棋などのボードゲームに
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- しょうこ よしくに
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1 大貧民プログラムにおけるヒューリスティック戦略の評価 田頭幸三 但馬康宏 菊井玄一郎 コンピュータによるゲームの思考アルゴリズムの研究は囲碁, 将棋などのボードゲームに限らず, トランプゲームに対しても行われている. 特に大貧民については, 毎年, 電気通信大学が UEC コンピュータ大貧民大会を開催している. この大会は, 大貧民をプレイするクライアントプログラム同士を対戦させ, 最も強いクライアントを決める大会であり, 機械学習を用いた無別級とヒューリスティックな戦略を用いたライト級の 2 つの部門がある. 本研究では, コンピュータ大貧民大会ライト級のヒューリスティック部門に向けて製作し, 優勝したプログラムから, 戦略の一部分を変更した場合の強さの変化を比較することで, 勝利するのに有効な戦略について分析を行った. その結果, 勝利するには, しばりを発生させる場合は強いカードを持っている場合に優先する戦略, 同じ枚数の組が多いカードを提出し, 次の自分の番にカードを減らしやすくする戦略, 勝てる可能性が高ければ強いカードから出す戦略の有効性が高いと判断できた. Evaluation of heuristic strategy in daihinmin program KOUZOU TAGASHIRA YASUHIRO TAJIMA GENICHIRO KIKUI Daihinmin is a famous Japanese multiplayer game with Standard 52-card deck with Joker. UECda is the annual competition of computer Daihinmin held by the University of Electro-Communications. There are two classes of competitions. One is called Unlimited class on which any algorithms can be used, and the other is called Light class whose player program is made by heuristics. We won the light class last year. In this paper, we evaluate the strength of each heuristics used in our program. The heuristics to evaluate are following four types. 1.Shibari strategy. 2.probability to become the leader. 3.card selection on the leading. 4.balancing of hands. 1. はじめに コンピュータによるゲームの思考アルゴリズムの研究は 囲碁, 将棋などのボードゲームに限らず, トランプゲーム に対しても行われている. 特に大貧民については, 相手の持っている手札の推定に関 する研究 [1], 相手の提出するカードによる相手の性質を解 析する研究 [2], 相手のプレイスタイルによる影響に関する 研究 [3][4] などの研究がされている. また, 毎年, 電気通信 大学が UEC コンピュータ大貧民大会を開催している. この 大会は, 大貧民をプレイするクライアントプログラム同士 を対戦させ, 最も強いクライアントを決める大会であり, 機械学習を用いた無別級とヒューリスティックな戦略を 用いたライト級の 2 つの部門がある. 本研究では, コンピュータ大貧民大会ライト級のヒューリ スティック部門に向けて製作し, 優勝したプログラムから, 戦略の一部分を変更した場合の強さの変化を比較すること で, 勝利するのに有効な戦略について分析を行った. その結果, 勝利するには, しばりを発生させる場合は強い カードを持っている場合に優先する戦略, 同じ枚数の組が 多いカードを提出し, 次の自分の番にカードを減らしやす くする戦略, 勝てる可能性が高ければ強いカードから出す 戦略の有効性が高いと判断できた. 岡山県立大学 Okayama Prefectural University. 2. コンピュータ大貧民大会について UEC コンピュータ大貧民大会では, カードの配布から試合進行を自動で行う対戦サーバに, 参加者が製作したクライアントプログラムが通信し, 対戦を行う. コンピュータ大貧民大会での大貧民のルールを示す. (1) ゲームの基礎ゲームは 5 人で行われ, ジョーカー 1 枚を含む 53 枚のカードを使用する. ゲーム開始時にカードが配布され, 配られたカードを早く出すことを競う. カードの強さは 3 が一番弱く, 数字が大きくなるほど強いカードとなり,2 が最も強い. 1 試合終了時に, カードをすべて出し終えた順に 5,4, 3,2,1 点が与えられ, 一定数の試合で得た得点の合計が一番高いプレイヤが勝者となる. (2) ゲームの流れゲームはダイヤの 3 を持つプレイヤが最初の親となり, 親が最初にカードを出すプレイヤとなる. 自分の順番が回ってきたとき, 場にカードがないとき, つまり自分が親のときは, どの強さのカードでも出せる. 場にカードがあるときは, 場のカードと同じ形式かつ同じ枚数で, 場のどのカードよりも強いカードのみ出せる. c2015 Information Processing Society of Japan 1
2 カードを出す形式には, 以下の 3 つがある. 1 枚のみで出す ( 単体 ) 同じ数字のカードを 2 枚以上出す ( ペア ) 同じマークで強さが順番に並んでいる 3 枚以上のカ ードを出す ( 階段 ) 出すカードがない場合やカードを温存したい場合はパ スをすることができる. パスをした場合, 場が流れるまで 場にカードを出すことができなくなる. すべてのプレイヤがパスをすると場が流れ, 場のカード が何もない状態となり, 最後にカードを出したプレイヤが 親となる. このとき, 親となったプレイヤがカードを出し 終えている場合, 次の席のカードを持っているプレイヤが 親となり, カードを出せる. 1 試合ごとに, 手札をすべて場に出し, あがった順番に よって大富豪, 富豪, 平民, 貧民といった階級が与えられ, 最後までカードが残ったプレイヤは大貧民となる. この階 級によって, 次回のゲームのカード配布後, 大貧民は大富 豪に 2 枚, 貧民は富豪に 1 枚強いカードを渡し, 大富豪, 富豪は大貧民, 貧民から受け取った枚数と同じ数だけカー ドを選択して返す. (3) その他のルール しばり : 同じマークのカードが続いて場に出たときは し ばり の状態となり, 場が流れるまで場と同じマークのカ ードしか出せなくなる. 革命 :4 枚以上のペアまたは 5 枚以上の階段が場に出た場 合, そのゲームの間 革命 の状態となる. 革命の状態の ときはカードの強さが反転し,2 が一番弱く,3 が一番強く なる. 革命の状態で再び革命を発生させた場合, カードの 強さは元に戻る. 8 切り :8 のカードを含むカードを場に出すとその時点で場 が流れる. ジョーカー : ジョーカーは単体として使う場合どのカード よりも強いカードとして使うことができる. 他のカードと 組み合わせて使う場合, どんなカードとしても使うことが でき, この場合ジョーカーの強さは代わりに出したカード の強さとなる. スペードの 3: 場にジョーカーが単体として出ている場合, ジョーカーよりも強いカードとしてスペードの 3 を場に出 し, 場を流すことができる. 3. ヒューリスティック戦略 3.1 製作したプログラムの概要 製作したプログラムの重要な点を示す. まず, 配られた 手札に対し, 手札から 1 度に出すことのできるカードを 1 組とし, この組の数が少なくなるようにペア 階段を作る. ペア 階段の生成は以下の順番で行う. 1. ジョーカーと 2 のカードを含めない階段を探し, 階 段がみつかった場合, 階段に使用しているカードのう ち, ペアの構成要素でないカードがあれば, 階段を生 成する のカードを含めない階段を探し, 階段がみつかっ た場合, ジョーカー以外で階段に使用しているカード がすべてペアの構成要素でなければ, 階段を生成する. 3. 階段を生成しなかったカードのうち, 同じ数字のカ ードが 2 枚以上あれば, その数字のペアを生成する. ただし, 関連研究 [5] によると,8 や 2 のカードは単体 としたほうが効果的とされており, 単体とした場合に 評価値が良くなるよう設定したため,8 のカードと場 で一番強いカード ( 最初は 2 のカード ) は単体として いる. 4. 残ったカードは単体となる. カードの提出は, 手札の組の数が少なくなり, 自分が次 の番で出せるカードが多くなるカード, または提出するこ とで場を流せる可能性が高いカードを提出する. そのために, 本研究では手札の着手方法について, 評価 値を用いることによる評価と着手を行った. 評価値は生成 した組の強さによる強さ評価値, 場にカードがない場合の 着手の基準となる優先評価値, 手札全体の強さによる手札 評価値の 3 つを設定した. 3.2 評価値の決定 生成した組それぞれに, 強さ評価値を決定し, この評価 値の値が大きければ場を流せる組と判断する. 関連研究 [6][7] によると, 相手手札推定が強さにとって決定的な意味 をもっているとはわけではないとされているため, 自分の 手札と場に出ていないカードから強さ評価値を決定した. 強さ評価値は 100 を基準とし, 相手が提出できる可能性が あるごとに評価値を減算する. 計算した結果, 強さ評価値 の値が 95 以上の組を, 場を流せる組と判断し, 強さ評価値 の一番小さい値と二番目に小さい値をみて, 二番目に小さ い値が場を流せる組の場合, あがり手札と判断する. この強さ評価値の値をもとに, 優先評価値と手札評価値を 決定する. c2015 Information Processing Society of Japan 2
3 手札評価値は,3 枚以下の組の強さ評価値により決定し た値の合計によって決定する. 強さ評価値が低い組があれ ば加算し, 高い組があれば減算する. つまり, 強い組が多 ければ手札評価値が小さくなる. 優先評価値は, 場にカードがないときにどのカードを提 出するかを示した値であり, この値が一番高くなる組を提 出する. この値はあがり手札と判断している場合は場を流 せる組が高くなるように設定し, そうでない場合は数字の 強さが弱く, 同じ枚数の組の数が多いほど値が高くなるよ うに設定した. ただし, 一番弱いカード ( 通常時は 3, 革 命時は 2) は 2~4 番目の強さのカードよりも評価値が低く なるように設定した. 3.3 ルールによる変化 前項で決定した評価値は, 革命を発生できる組が手札に ある場合もしくはしばりを発生できる組がある場合に, 以 下のように変更が加えられる. 革命を発生できる組が手札にある場合 自分が親のときに提出するカードを選ぶときに, 革 命が発生できる組がある場合,2 枚以下の組の中で強 さ評価値が最大の値と, 革命が発生した場合の手札評 価値の変化により, 革命の組と場を流せる組の優先評 価値を変更する. 例えば, 場を流せる組がなく, 革命 時の手札評価値が革命前の手札評価値よりも小さい 場合, 革命の組の優先評価値を高くする. しばりを発生できる組がある場合 場に単体またはペアのカードが出ているとき, しば りの状態にできる組がある場合, その組の提出を優先 するかどうか判断し, 強さ評価値を変更する. 2 枚以上のペアかつ相手が 2 人以上であれば場 を流せる組と判断する. そうでない場合, しばりにした場合にいずれか のプレイヤがジョーカーを使用した場合を除 き提出可能な組み合わせの中で, 自分が一番強 い組を提出できる場合は優先し, 相手が一番強 い組を提出できる場合は優先しない. すでにしばりの状態になっている場合は, 自分 が一番強い組を提出できる場合は優先して提 出する. つまり, しばりを発生させた場合に一番強い組み合 わせを自分が所持している場合は優先してしばりを 発生するようにしている. 3.4 カード提出方法 自分が親のときは, 生成した組の中から優先評価値の値 が一番高い組を提出する. 同じ値の組がある場合, 階段 > ペア > 単体の順に提出する. ただし, 場で一番強いカード の単体を選択した場合, 階段に含まれていないカードとジ ョーカーも同時に提出する. 場にカードがある場合は, 場のカードが階段の場合, 生 成した階段の中から枚数が同じかつ場に出せる階段があれ ば提出する. 出せる階段が複数ある場合は, 一番弱い階段 を提出し, 出せる階段がない場合はパスとする. 場のカードが階段でない場合, 手札から出せるカードの 組み合わせをすべて調べ, 組み合わせ 1 つごとに出すべき 組であるかどうかについて強さ評価値と提出後の手札評価 値を計算する. 計算した値によって提出するべきであるか どうか判断する. 提出するべきと判断したカードが複数ある場合は, 全体 評価値が一番良い組を提出し, ない場合はパスとする. ジョーカー 1 枚の場合はスペードの 3 が他のプレイヤの手 札にないことが判明している場合で, 場のカードが一番強 い数字かつ提出する前後で手札の組の数が減らない場合, もしくはジョーカーを出した場合にあがり手札となる場合 のみ提出する. また, 他のプレイヤ全員がパスをしている場合 ( 場が流 れた場合, 自分が親となる場合 ), 一番強いカードを提出し ようとしている場合はパスをする. 3.5 カード交換 大富豪または富豪のときのカード交換では, カードを交 換した場合の手札評価値の変化と交換するカードの強さを みて, 手札評価値が小さくなるカードの中で強さが弱いカ ードを交換する. 4. 評価方法 本研究では, ヒューリスティック戦略の有効性を, 調査 する戦略の部分を変更または削除したときの強さの変化で 戦略の有効性を判断する. 調査する戦略ともとの client プログラムに実装したヒュー リスティック戦略を以下に示す. しばりに関する戦略 単体でしばりを発生させる場合, しばりを発生させ るマークで自分が一番強い数字を持っている場合は 優先して提出し, 持っていない場合は他に提出手の候 補があれば提出しない戦略とした. この戦略は, しばりを発生させる場合は自分が次 の番に親をとれるようにし, カードの消費をしやすく するためである. c2015 Information Processing Society of Japan 3
4 場を流せる組の判断 選択した組が場を流せるかどうかについて, 強さ評 価値が 95 以上の値となる組を ( ジョーカーを考慮し ない場合は場を流せる場合, ペアまたは階段の組でよ り強い組の数が非常に少ない場合など ), 場を流せる 組と判断する. つまり, 相手がより強い組を持ってい る可能性が低ければ場を流せる組と判断し, この判断 によりあがり手札であるかどうか判断する. 自分が親のときの着手選択 あがり手札と判断していない場合, 自分が親の時に 提出する組は, 計算を簡略化すると場を流せる組を除 き,(14- カードの数字の強さによる値 + 同じ枚数の 組の数 2) の値が一番高い組を提出するようになっ ている. 例として, 手札が 6,6,7,K,2 となっている場 合は, 以下のように値を計算する. 6 のペア :(14-4)+1 2=12 7 の単体 :(14-5)+3 2=15 K の単体 :(14-11)+3 2=9 2 の単体 : 場を流せる組なので計算しない 以上のようになり, この場合 7 の単体を提出する. この戦略は, 次の自分の番のときに提出できるカード を多くし, パスをする回数をなるべく減らすためであ る. 強いカードの温存 通常の提出手選択では, 手札が良くなると判断した 場合は提出, 悪くなると判断した場合はパスとしてい る. ただし, 選択した組が場を流せる組または,K や A などの強いカードだった場合, 提出後の手札に弱い カードが多い場合, 手札の変化にかかわらず強いカー ドを温存し, 先に弱いカードを提出する戦略とした. これらの戦略について, 一部分を変更したプログラムの強 さをもとのプログラムと比較する. 変更を加えたプログラ ムを以下に示す. lock- lock+ しばりのルールによる評価値の変化を行わない. しばりを発生できる場合, 一番強いカードを持って いるかいないかにかかわらず, どの場合でも優先して 提出する. w100 る. 確実に場を流せる場合のみ場を流せる組と判断す w90,w80 場を流せる組と判断する値を 95 から 90 または 80 に変更し, あがり手札と判断する範囲を広くする. weak 自分が親の時, 同じ組の数にかかわらず, 弱いカー ドを優先して提出する. single 自分が親の時, 強さが 5 つまでのであれば複数枚 よりも単体を優先する. 例えば 5 の 2 枚組と 10 の単 体であれば 10 の単体を優先する. use_2 2 のカードなど, 場を流せる組を選択した場合, 手 札が弱い場合であっても温存しない. use_a 2 番目または 3 番目に強い数字の単体, または場を 流せる組を選択した場合, 手札が弱い場合であっても, 手札評価値が悪くならない場合は温存せず提出する. 強さの比較は, UEC コンピュータ大貧民大会のサイトで 配布されている default プログラム,UEC コンピュータ大 貧民大会ライト級部門の昨年, 一昨年の優勝者が製作した プログラムと対戦した場合のを比較する. 以下に, のプログラムについて記述する. default default プログラムは UEC コンピュータ大貧民大会 のサイトで配布されているプログラムである. 以下に プログラムの特徴を示す. 階段組は作れる場合は必ず作る. カードを出す場合, 生成したペア 階段の組は 崩さない. 場にカードがあるとき, 生成した組から出せる 組の中で一番弱い組を提出する. 場にカードがない場合, 階段組があれば枚数の 多い階段組を提出する. 階段がなければ, 一番枚数の多い組の中で弱い 組を提出する. カード交換では, 一番弱いカードを提出する. Party 複数枚ある場合はスペード > ハート > ダイヤ > クラブのマークの順に提出する. Party プログラムは 2012 年の UEC コンピュータ大 貧民大会で第 1 回となったライト級部門で優勝した プログラムである. 以下にプログラムの特徴を示す. 組の数が少なく, 場を流せる組の数が多くなる ようにペア 階段を作る. 階段のカードを優先して提出している. 8 のカードは,8 より弱いカードが残らない場合 は提出する. ジョーカーを弱いカードの処理のために早く提 出することが多い. c2015 Information Processing Society of Japan 4
5 階級, 場の状況, 場に出ていないカードから相 手の手札をある程度予測している. 手札の枚数が少なくなると, ペア 階段を提出 することが多い. ペア 階段で場を流せる可能性が高ければ ( ま だ誰もあがっていない場面で提出される組が 1 通りのみである場合など ), 場を流せる組と判断 している. しばりについては, 確実に勝てる場合のみ提出 chibihana するカードを変更している. chibihana プログラムは 2013 年の UEC コンピュータ 5. 実験 大貧民大会のライト級部門の優勝者が当時の優勝プ ログラムである Kishimen_2013 を C 言語に移植したプ ログラムである. 以下にプログラムの特徴を示す. 組の数が最小となるようにペア 階段を作る 弱いカードを優先して提出する. ただし, 数字 の強さが近ければ, 枚数の少ない組を優先して いる. 確実に勝てる場合のみ, あがり手札と判断して いる. 中間の強さのカードでしばりを発生させる場合, 同じマークの A または 2 のカード, もしくは提 出手よりも強さが 5 つ以上離れているカードが あれば優先する. 相手が 1 人となった場合, 残ったカードから勝 5.1 実験方法 てるかどうか探索している. 調査するプログラム 1 つと, となるプログラム 4 つとの対戦を行ったときのを, 変更前のプログラ ムのと比較し, 戦略の有効性を評価する. 試合数は 1000 試合の対戦を 1 セットとし,10 セット行った. 5.2 実験結果 のプログラムとそれぞれ 試合行った場合 の client のと調査する戦略のプログラムのと client プログラムとのを以下に示す. 表 1 client プログラムの対戦結果 chibihana Party default 表 2 lock-,lock+ プログラムの対戦結果と lock- lock+ chibihana Party default 表 3 w100 プログラムの対戦結果と w100 chibihana Party default 表 4 w90,w80 プログラムの対戦結果と w90 w80 chibihana Party default 表 5 weak,single プログラムの対戦結果と weak single chibihana Party default 表 6 use_2,use_a プログラムの対戦結果と use_2 use_a chibihana Party default 上記の結果によると, しばりに関する戦略と場にカード がないときの着手選択に関する戦略は変更した戦略だとス コアが下がっているため, もとの戦略の有効性が高いと判 断できた. 場を流せるカードの判断に関する戦略は, 判断する範囲 を広げた場合にが上がり, 確実な場合のみ判断する 場合は大きくが下がったため, ある程度の確率であ れば勝負に出る戦略の有効性が高いと判断できた. c2015 Information Processing Society of Japan 5
6 強いカードの温存に関する戦略は,が小さい ため, 有効性は高くないと判断できた. 6. おわりに 6.1 まとめ本研究では, ヒューリスティック戦略のプログラムから一部分を変更した場合の強さの変化を比較することで, 勝利するのに有効な戦略について分析を行った. その結果, しばりを発生させる場合は自分が強いカードを持っている場合に優先する戦略, 自分が親の時, 同じ枚数の組が多いカードを提出し, 次の自分の番にカードを減らしやすくする戦略, 勝てる可能性が高ければ強いカードから出す戦略の 3 つが勝利するために有効な戦略だと判断できた. 6.2 今後の課題本研究では自分の手札と場に出ていないカード, あがっていない相手の数に対して評価を行っているが, 相手の手札の状況やなど, 相手の状況による評価が少ないため, 評価要素の追加と精度の向上が考えられる. 参考文献 1) 吉原大夢, 大久保誠也 : コンピュータ大貧民における手札推定の有効性について, ゲーム情報学 (GI),2013-GI-30(4),1-6 ( ) 2) 吉原大夢, 阿部野なつみ, 渡邉佑介, 大久保誠也 : 提出手比較による大貧民プレイスタイル解析, ゲーム情報学 (GI),2012-GI-28(7),1-6 ( ) 3) 森田茂彦, 松崎公紀 : 大貧民において他プレイヤのプレイアルゴリズムより受けるプレイヤの強さへの影響, ゲーム情報学 (GI),2013-GI-29(4),1-6 ( ) 4) 佐藤裕紀, 伊藤毅志 : 大貧民におけるプレースタイルの相性に関する研究,. GI, [ ゲーム情報学 ] 2008(59), 37-43, ) 坂田浩平, 大橋健 : 大富豪におけるペア温存戦略基準の獲得, ゲームプログラミングワークショップ 2008 論文集,2008(11), ( ) 6) 西野順二, 西野哲朗 : 大貧民における相手手札推定, 数理モデル化と問題解決 (MPS),2011-MPS-85(9),1-6 ( ) 7) 西野順二, 西野哲朗 : コンピュータ大貧民における最良手の推定について, 数理モデル化と問題解決 (MPS), 2012-MPS-90(4),1-6 ( ) c2015 Information Processing Society of Japan 6
2016 年度 ハーツにおけるシュート ザ ムーンの検証 坂本 将吾 研究室 グリムベルゲン
[ 卒業論文 ] ハーツにおけるシュート ザ ムーンの検証 指導教員 Reijer Grimbergen コンピュータサイエンス学部グリムベルゲン研究室 学籍番号 C0113217 氏名坂本将吾 [ 2016 年度 ] 2016 年度 ハーツにおけるシュート ザ ムーンの検証 坂本 将吾 研究室 グリムベルゲン 内表紙 東京工科大学 卒業論文 ハーツにおけるシュート ザ ムーンの検証 指導教員 Reijer
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25 Study on Rating System in Multi-player Games with Imperfect Information 1165069 2014 2 28 2 ( ) i ii Abstract Study on Rating System in Multi-player Games with Imperfect Information Shigehiko MORITA
p1=.5+α/2 (1) の関係より 敗者の勝率 p 2 =.5--α/2 (2) の関係より それぞれ求める さらに ゲーム結果の確かさξは 次の関係から求められる ξ= α ( η 1) = 1 (η=1) (3) 以上のデータ分析方法の詳細については Iida et al(212) を参照さ
情報力学に基づくコンピュータ ゲーム 大貧民 に関する研究 森近泰匡 1 飯田弘之 1 中川武夫 1 はじめに フォン ノイマン ( Neumann J. von 1926) により提唱されたゲーム理論は 経済学などへの応用により一定の成果を人類にもたらしたことはその議論の余地のないところである しかしながら 彼の理論から私たちが得た果実は その味の良し悪しを提示したにすぎない これに対する顕著な改良を実現した新しい理論が著者ら
Taro-レス・パブリカ
様々な民族が, 新たな定住地を求めてヨーロッパじゅうを移動しています 民族は, 交易によって集まり村を作り 文明の発達を促進します すぐに都市ができ, 文化の発展の中心となります より早いほどよいのです ゲームの内容物 65 枚の民族カード : アングロサクソン族, フン族, ヴァイキング, ゴート族, ランゴバルト族 各 12 枚, モンクが 5 枚 65 枚の文明カード : 錬金術, 建築, 貿易,
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ECJ-PX50 0.9L This appliance is designed for domestic use in Japan only and cannot be used in any other country. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 7 8 1 2 3 4 5 1 2 1 9 3 4 10 1 2 3 11 4 2 4 12 1 2 3 13 1 14 A B B A 15
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IH NJ-KH10 NJ-KH18 This appliance is designed for use in Japan only and can not be used in any other country. No servicing is available outside of Japan. a 12 13 23 a 180150 170147 1011 10 21 124 1 0
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SG79F095HO2
MSZ-J227-W MSZ-J257J287-W This appliance is designed for use in Japan only and can not be used in any other country. No servicing is available outside of Japan. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 0120-56-8634
取扱説明書
ER-LD530 STEP 1 STEP 2 STEP 3 STEP 4 STEP 5 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 22 23 1 2 24 25 26 27 1 2 3 28 29 30 31 32 33 34 1 2 3 35 1 2 3 36 37 1 2 3 4 38 39 1 2 3 4 40
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数理計画法 ( 数理最適化 ) 第 7 回 ネットワーク最適化 最大流問題と増加路アルゴリズム 担当 : 塩浦昭義 ( 情報科学研究科准教授 ) hiour@di.i.ohoku.c.jp ネットワーク最適化問題 ( 無向, 有向 ) グラフ 頂点 (verex, 接点, 点 ) が枝 (edge, 辺, 線 ) で結ばれたもの ネットワーク 頂点や枝に数値データ ( 距離, コストなど ) が付加されたもの
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Eigo Ganbare!! Class ( ) No. ( ) Name ( ) 全員参加で楽しくガンバロウ The Pen Pal Exchange Project 2nd year This will be your first time to write a pen pal letter. There are schools from abroad and these students are
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32 2008 pp. 121 133 1 Received November 4, 2008 The aim of this paper is to clarify some profound changes in the language used in the visual media, especially in TV news programs in Japan, and show what
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1 2 1 3 Experimental Evaluation of Convenient Strain Measurement Using a Magnet for Digital Public Art Junghyun Kim, 1 Makoto Iida, 2 Takeshi Naemura 1 and Hiroyuki Ota 3 We present a basic technology
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On the Statistical Bias Found in the Horse Racing Data (1) Akio NODA Mathematics Abstract: The purpose of the present paper is to report what type of statistical bias the author has found in the horse
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L1 What Can You Blood Type Tell Us? Part 1 Can you guess/ my blood type? 当ててみて / 私の血液型を Well,/ you re very serious person/ so/ I think/ your blood type is A. えーと / あなたはとっても真面目な人 / だから / 私は ~ と思います / あなたの血液型は
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東邦大学理学部情報科学科 2014 年度 卒業研究論文 コラッツ予想の変形について 提出日 2015 年 1 月 30 日 ( 金 ) 指導教員白柳潔 提出者 山中陽子 2014 年度東邦大学理学部情報科学科卒業研究 コラッツ予想の変形について 学籍番号 5511104 氏名山中陽子 要旨 コラッツ予想というのは 任意の 0 でない自然数 n をとり n が偶数の場合 n を 2 で割り n が奇数の場合
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