Microsoft Word - PSEWS2014原稿（松本正己）.doc

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word - PSEWS2014原稿（松本正己）.doc"

かねろうおとべ
5 years ago
Views:

1 The 17th PSE Workshop 14 コンピュータ工学教育における必要精度の検討 A Study of Required Precision for Education in Computer Engineering 松本正己 Masami Matsumoto 博士 ( 工学 ) 米子工業高等専門学校電気情報工学科 ( 鳥取県米子市彦名町 4448, matsu@yonago-k.ac.jp.ac.jp) This study considers an effective method of the computer engineering education. Various error factors are inherent in the computer. However, the engineer can evade a trouble by learning it. It is demanded now that a developer and a user consider a complex element of virtualized hardware and complicated software. This report is discussed about a problem using a practice program. Key Words: Engineering Education, Precision Prescribed, Computer Engineering 1. はじめにコンピュータに関する教育は,1970 年代から情報処理の名称でソフトウェア開発教育を優先に実施されてきた. 当時の内容は主として FORTRAN や BASIC によるプログラミング教育 1) を指し, ハードウェアに関する講義は電気電子工学系学科の専門教育の中で, ディジタル回路や電子工学の応用分野として行われていた. 初期のパーソナルコンピュータやワンボードマイコンはメモリも少なく, ユーザがCPUや浮動小数点演算のためのコプロセッサLSIの増設を行うなど, 演算処理のためのハードウェアを意識することも多く, 数値と演算における限界を見極めることも難しくはない環境であった. しかし, 今日では仮想化によるハードウェアの抽象化が進み, 高度に発達した携帯端末をクライアントとして使用するクラウド時代を迎えている. このような背景を踏まえ, 本研究では現在行われている情報処理教育を調査し, コンピュータを用いた問題解 Application source code Compiler Web Browser Internet Web API Interpreter Browse Engine 決手法において, 多種多様な現在のソフトウェアとハードウェアが関与する誤差要因を検証する. さらに, どのようなコンピュータエンジニアリング教育を行っていくべきかについて考察する. 2. 情報処理教育と計算精度 2.1 一般教育に必要とされる計算精度著者の記憶にある中で, 誤差や計算精度について最も社会的関心が高かったのは,1998 年 ( 平成 10 年 )12 月公示,2002 年度実施の学習指導要領において議論された円周率 =3 である. ゆとり世代 (1987 年 4 月 2 日 ~2004 年 4 月 1 日生まれ ) は円周率 =3 と教わるという作り話である. 学習指導要領の改訂によって, 生徒が小数点による乗除算を習っていない段階で幾何学の学習を導入したため, 円の周の長さや面積の手計算には円周率の概数として3.14ではなく3を授業で使用せざるを得なくなった年度からの学習指導要領以降, 文部省 ( 現, 文部科学省 ) は円周率を計算で使う場合の一般の概算は3.14であると教えた上で, 円周率を計算に用いる場合に3.14を掛ける際には電卓を使い, 手計算の際には円周率は3として概算できればよいと示されていた. この問題は, マスコミにセンセーショナルに利用され物議を醸した 2). Middleware VM (Java,.NET) API LIB Output Device OS OS(Guest) OS Emulator Hypervisor OS(Host) Firmware Hardware Architecture IF Measuring Instrument (a) 円と正六角形 (b)100 分割した三角形による円の描画 ( 円周率を 3 とした場合 ) 誤差図 1. 複雑化するコンピュータシステム図 2. 円を描く課題 (HTML5+JavaScript)

2 図 2にπを 3 とした場合の影響を視覚的にとらえるための課題 ( 多角形を用いて近似的に円を描画する JavaScriptとHTML5) プログラムの実行結果を示す. 図 2 (a) は数学関数の定数値 Math.PI(= ) を用いている. 正六角形のそれぞれの外周部分の面積が π 3による差である. 図 2(b) はPI 3として,π/100 を中心角とした値を用いた三角形で近似円を描画している. 扇状に残った部分が近似による差となって現れている. プログラムと視覚的なツールを用いることで, 実数と整数による演算の差レベルであれば, より視覚的その違いをとらえることが可能であると云える. 2.2 情報処理技術者に必要とされる技術要素独立行政法人情報処理推進機構 ( 以下 IPA) では, 学校教育, 職業教育, 企業内教育等における教育の水準の確保に資することを目的に, 情報処理技術者として備えるべき能力についての水準を示している. この内容は, 2007 年に大きく変更されて以降, 様々な情報系エンジニアが備えるべき技術要素の指針として今日まで用いられている 3). この中で, キーワード演算精度はテクノロジ系の基礎理論中の離散数学の項目で 2 進数, 基数, 数値表現, 集合, ベン図, 論理演算, 命題などと同じカテゴリーで扱われている. 同様に, 誤差のキーワードも, プログラムのデータ構造及びアルゴリズムに関することの中で, 配列, リスト構造, 木構造, グラフ, 整列, 探索, 数値計算, 文字列処理, 図形処理, ファイル処理, 計算量, 誤差などと共に, 主としてソフトウェアの問題としてまとめられている. 特にIPAの試験では, 以下の4つの演算誤差について学習すべき項目として取り上げている. 1 桁落ち値のほぼ等しい二つの数値の差を求めたとき, 有効桁数が減ることによって発生する誤差 2 丸め誤差指定された有効桁数で演算結果を表すために, 切捨て, 切上げ, 四捨五入などで下位の桁を削除することによって発生する誤差 3 情報落ち絶対値の非常に大きな数値と小さな数値の加算や減算を行ったとき, 小さい数値が計算結果に反映されないことによって発生する誤差 4 打ち切り誤差無限級数で表される数値の計算処理を有限項で打ち切ったことによって発生する誤差上記の誤差要因に関する出題は, 基本情報技術者 (H16 春,H22 秋期 ), ソフトウェア開発技術者 (H17 秋期, H20 秋期 ), 応用情報技術者 ( 平成 25 年秋期 ) に関連問題がそれぞれ出題されている. Round off Error Canceling Error (Digit Drop) Truncation Error Loss of Trailing Digits 図 3. 情報処理技術者に必要とされる技術要素 ( 2.3 高等学校学習指導要領高等学校の情報教育では, 文部科学省の平成 21 年 1 月の高等学校学習指導要領解説 4) の第 6 節アルゴリズムとプログラムに示される教育目標に従っている. 数値計算の基礎項目の中で,( ア ) 基本的な数値計算 : 分散や標準偏差を取り上げ, 基礎的な数値計算のアルゴリズムとプログラムについて扱うことになっている. 例としては, 統計処理の基本となる合計, 平均, 分散及び標準偏差などを取り上げ, 数値計算のアルゴリズムとプログラムの基礎的な知識と技術を学習する. さらに, ( イ ) 実践的な数値計算 : コンピュータを利用した数値計算において計算結果に誤差が生じることやアルゴリズムを工夫して誤差を減らす方法について扱うことを目的とし, 数値計算におけるアルゴリズムとプログラムに関する基礎的な知識と技術を学んでいく. 特徴として, コンピュータを利用した数値計算で生じる誤差の種類や特徴について理解させるとともに, 有効桁数や計算順序を工夫するなど, アルゴリズムについても考えるという構成になっていることが上げられる. 2.4 国立高等専門学校機構コアカリキュラム国立高等専門学校機構では, 学習内容水準の維持のために, ベースとなるコアカリキュラム 5) を提案している. その中の, 各分野に共通したリテラシー教育では, 実験データの分析, 誤差解析, 有効桁数の評価, 整理の仕方, 考察の進め方について理解し, 実践できることが目標とされている. 一方専門分野では, 機械系 : 計測の基礎として, 測定誤差の原因と種類, 精度と不確かさ, 合成誤差を説明できる. 電気電子系 : 精度と誤差を理解し, 有効数字誤差の伝搬を考慮した計測値の処理が行える. 建設系 : 各種測量における誤差の種類と取り扱いができる. 誤差の伝搬について理解している. 物理化学系 : 実験において, 測定と誤差についての理解により, 有効数字の取り扱いができる. さらに, 数値の取り扱い温度, 圧力, 容積, 質量等を例にとり, 測定誤差 ( 個人差器差 ), 実験精度, 再現性,

3 信頼性, 有効数字の概念を説明できる. などが求められている. このように, 基幹学科である電気電子, 機械, 建設, 化学では実験の中で誤差についてのみ考慮されている. 情報系 : コンピュータを中心に扱う情報数学情報理論の数値処理分野で, コンピュータ上で数値を表現したり計算したりする際に, 発生する誤差が処理結果に悪影響を与えることを理解することが上げられている. 数値計算などの教科では数値処理と誤差について, 以下の2 項目がある. コンピュータ上での数値の表現方法が誤差に関係することを理解している. コンピュータ上で数値計算を行う際に発生する誤差の影響を理解している. しかし, ソフトウェアに関して, アルゴリズムと誤差精度を関連付けた目標は上げられていない. 具体的には, 同一の問題に対し, それを解決できる複数のアルゴリズムが存在しうることを理解している. 時間計算量や領域計算量などによってアルゴリズムを比較評価できることを理解している. の2つの項目が上げられているのみである. 高専では, 誤差は実験で得られた実データの中にあり, ソフトウェアアルゴリズムと関連付けて教育することは目標とされていない. しかし, 演算処理による誤差の伝播についても, 工学的に重要な要素である. プログラミング教育を行う側が, 専門として数値計算や数値シミュレーション分野からの工学的アプローチのみならず数理やソフトウェアシステム系の発展応用も視野に入れるべきであると考察される. 3. 数値計算と演算精度 3.1 浮動小数点表記法と演算精度コンピュータを含めた様々な演算機能を実装したマイクロプロセッサの多くは, 浮動小数点の表現として IEEE754( 浮動小数点数演算標準 :IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic,ANSI/IEEE Std ) の表記方法に準拠している 6). 1bit 8bit 23bit S 指数部 (e) 仮数部 (m) 小数点の位置符号ビット指数部 e:+127したゲタばき表現浮動小数点で表される値 :(-1) s 2 e-127 (1+m) 図 4.IEEE754 による単精度実数表現形式 3.2 CPU アーキテクチャと演算精度 CPUアーキテクチャは演算性能を考える上で重要な要素の一つである.IEEE754 規格を採用している場合の大きな問題点として, ハードウェアの実装は内部で異なる表現を使用してもよいという拡張精度 (extended precision) が存在することが問題を複雑化している. 規格とその実装は精度に対して大きく作用する. 演算器の実装には様々なアルゴリズムが用いられており, 1994 年に起こったIntel Pentium プロセッサの浮動小数点除算バグは,SRT 除算のルックアップテーブルの間違いが原因であった. 現在のCPUは書き換え可能なマイクロコード ( ファームウェア ) を修正することで,CPUの交換なしにエラーを修正する方法が採られている. すなわち, 厳密にCPUアーキテクチャが演算精度に与える影響を検討するには, ファームウェアまで考慮することが必要といえる. また, 浮動小数点演算ユニット (FPU) が無いCPUやマイクロプロセッサでは, ソフトウェアライブラリを用いて対応している. a) Intel 系プロセッサ特に, 浮動小数点演算用のIntel 8087プロセッサでは, 内部演算精度として80bitの拡張形式を用いていた 7). 実際に,CPUによってその実装が異なるため, 演算結果もその影響を受ける場合がある. ネイティブコードの生成には, コンパイラオプションによって明示的に精度指定を行うことが可能である.IEEE754に厳密(strict) に従う場合, 拡張精度を用いた場合に比べ, 精度が落ちるので注意が必要である. b) ARM 系プロセッサ近年, スマートフォンや組込み機器に用いられている ARMプロセッサは,CPUアークテクチャがライセンス化され, プロセッサのアーキテクチャと実装は別で同一の命令コードを実行できるものが複数存在している 8). ARM 浮動小数点アーキテクチャ ( 以下,VFP) は, 半精度 / 単精度 / 倍精度の浮動小数点演算をハードウェアによって支援するもので, ソフトウェアラィブラリのサポートによってIEEE 754に完全準拠する. さらに, コンパイラオプションによってVFPの実装の有無にかかわらず, ライブラリの使用を切り替えることが可能である. また,GPUが取り扱う浮動小数点数演算もIEEE754に準拠している. しかし,GPUには独自に拡張された演算や,IEEE754に従わない, 非正規化数の取扱いなどの違いによりCPUと演算結果が異なる場合がある. 3.3 演算精度の検証 CPU や MPU を用いたプログラム開発でハードウェアの演算性能を十分に発揮するには, アセンブラや C/C++ における開発が有効である.ANSI や JIS の言語仕様に従った教育指針では, 単精度実数型と倍精度実数型の違いや, キャスト演算などの整数と実数を考慮した演

4 習が実施されている. しかし, 実際の数値シミュレーションなどの科学技術計算では, 個々のハードウェアに適合する細かい記述をソースやコンパイルオプションに対して記述することが行われる. コンパイラでは, 型の劣化や精度の劣る変数への代入については, デフォールトで Warring が表示される. さらに, 数学ライブラリにおける引数の扱いをヘッダファイルでは倍精度型変数を用いることが推奨される. 同一のソースコードであっても, コンパイラが自動的に浮動小数点演算機能をサポートする. この場合の切り替えは, コンパイラオプションで選択指定できる. コンパイラオプションを適切に設定することで, 浮動小数点演算の精度に影響する最適化処理を無効にし, 演算結果が一致するかどうかを判定する浮動小数点テストの一貫性を向上させることができる 9). 表 1. アーキテクチャによる内部精度の違いアーキテクチャ内部処理 32bit/64bit/80bit Intel x86 系内部では拡張されている 16bit/32bit/64bit ARM Cortex-A シリーズ IEEE754 に ( ハードウェアで (VPFv3) は準適合 ) サポートソフトウェアでは完全準拠 IEEE 標準では 5 種類の丸めアルゴリズムが定義されている. 浮動小数点数の丸めのうち,2 種類は最近接な値に丸める方法であり, 残り 3 種類は方向丸めと呼ばれる.PCで用いられている Intel のプロセッサでは最近接丸め ( 偶数 ) が採用されている. この丸めについて, コンパイラオプションを変更することで, 内部での処理の影響を検証する. 内部演算の精度を高めているプロセッサでは,IEEE754 に厳密に従った場合には精度が落ちていることが確認できる. されているが, 実際には処理速度を上げるためにネイティブの実行オプションが存在する.Java による浮動小数点数演算のコンパイラのデフォールト値は,CPU 固有の浮動小数点数演算回路に依存する設定である. ただし, strictfp 修飾子を用いることで, 常に IEEE754 に従った結果を得ることも可能である. 近年は,Scala 10) や Groovy 11), 既存言語を JavaVM 上で動作するようにした JRuby 12) など, プラットホームとして JavaVM を利用した様々なスクリプト言語が登場している. スクリプト系言語では, 例えば国家予算のような精度を必要とする大きな整数に対して, 後述する JavaScript と同様に精度重視で実行速度を犠牲にし,10 進数を文字列として扱うことで演算精度を保つことができる.Groovy ではデフォールトが BigDecimal 型である. b) C# と.NET C# は Microsoft 社が提唱するアプリケーション実行基盤である.NET Framework で動作する, アプリケーションを開発するためのプログラミング言語である. この.NET 対応のアプリケーションは.NET の仮想マシン ( 共通言語ランタイム :Common Language Runtime/CLR) 上で動作する 9).Microsoft のシステムではこの中間コードへの変換を行う形式を採用しているので, 様々な言語間でのバイナリコードの移植性と,OS の API の共有化が図れている. 同様な仕組みに MONO 13) があり,Linux などの環境でも C# プログラムのコンパイルと実行が可能になっている. 実際には Microsoft の C# コンパイラは, 中間言語ではない executable な機械語の実行ファイルを生成し, その.EXE ファイルの内部にリソースとしてコードを書き込んでいる. 実行ファイルを実行すると CLR が Just-In-Time ( JIT ) コンパイラで共通中間言語 (Common Intermediate Language:CIL) をコンパイルし, JIT がネイティブな機械語に翻訳後にメモリへキャッシュする. これによって, インタプリタのような逐次翻訳を行わない, 高速な実行処理が可能である. 4. ソフトウェアと演算精度 4.1 プログラム言語と演算精度現在はハードウェアによる浮動小数点演算機能を持たない CPU であっても, ソフトウェアライブラリによって処理を行うことが可能となった. また,Java や C# など, 言語仕様として IEEE 754 を必須としている. 4.2 仮想マシン (VM:Virtual Machine) と演算精度近年のプログラム実行環境の特徴として, 仮想マシン ( 以下 VM) をベースにしたものが多く提供されている. a) Java と JavaVM 代表的な仮想マシンには JavaVM がある.Java 言語は, コンパイルによってバイトコード ( 中間言語 ) を生成し, JavaVM はこのバイトコードを受けとって実行する.VM を利用することで, ハードウェア環境に依存しないと図 5. 仮想環境による演算精度の検証

5 これらの仮想マシンによる演算処理は, ネイティブとソフトウェア処理をコンパイルか実行時に切り替える設定となっており, 動作結果に影響を及ぼすことがわかる. また, クラウドシステム上に構築した仮想マシンも, ネイティブの演算機能を使用しており,VM による実行速度のオーバヘッドはあるが, 演算精度は使用しているプラットホームのマシンのハードウェアに依存する. 5. アプリケーションリテラシー 5.1 MS-Excel における精度検証 MS-Excel は代表的なスプレッドシートのアプリケーションである. マクロとして用いられる Visual Basic for Applications(VBA) の演算精度も含め,IEEE754 に準拠した演算精度を持ち, 浮動動小数点数は符号 1bit, 指数 11bit, 暗黙 1bit, 仮数 52bit の 65bit で構成される 14). 図 6に示すように, セルの小数点以下の最大表示桁は 30 桁で, 演算数値や円周率などの数学関数の数値は 15 桁の精度の範囲内でのみ表現される. セルにおける表示桁を上げた後, 表示桁による演算を指定することで演算精度を上げることができる. しかし, 実数計算で誤差が発生するのは Excel (2007 以降 ) の仕様といえる. =1/ =PI() 主なJavaScriptエンジンには,IEのJScript 9),Firefoxの IonMonkey 15),ChromeのV8 16) などがある. これらのScript エンジンの実装の違いが, 演算結果に影響を及ぼす. WebブラウザのScriptエンジンとJavaScriptは, 仮想マシンとプログラム言語の関係にあてはめて考えることができる. ベースとして文字列を基本に考えることや, 厳密な型定義を行わない言語仕様であることから, その特性を理解したプログラミング教育が必要である. ブラウザによる浮動小数点演算については, 加減算や演算順序の変更による差異はなくなっている. それぞれ IEEE754の演算精度に完全準拠しているためと考えられる. しかし, 図 7の結果に示すように数学関数によっては異なる結果が見られた. (a)internetexplorer Ver PI= sin(2*pi)=> e 16 (b)firefox Ver.31.0 PI= sin(2*pi)=> e 16 (c)chrome Ver m PI= sin(2*pi)=> e 16 <JavaScript Code> document.writeln("pi="); document.write(math.pi); // 用意されたπの値 document.writeln("<br />"); document.writeln("sin(2*pi)=>"); document.writeln( Math.sin(2*Math.PI) ); // sin(2π) の計算実行環境 :Win7 Pro 64bit ブラウザによって違いが出る図 7. ブラウザによる出力の差図 6.MS-Excel による演算精度 5.2 Web プログラムと演算精度次に,Networkアプリケーションにおいて,Webブラウザ上で動作するクライアントサイド言語である JavaScriptについて考察する. 表 2. ブラウザによる JavaScript 演算の違い Web ブラウザ演算結果 (Script エンジン ) IE (JScript).NET Framework に従う Firefox (IonMonky) IEEE754 に従う Ver.31.0 Chrome (V8) バージョ IEEE754 に従うン m 実数計算は, 主として科学技術計算のために使われてきた. グラフィックなどの描画系などは, 多少の誤差が生じても高速に演算をすることを主眼としていることからGPUは単精度を中心にサポートされている. 描画中心のWebブラウザのシステムでは, 演算精度と表示精度とのトレードオフを考慮しなければならない. そのためには, 許容できる誤差を設定してプログラミングを行うことが効果的である. 対策として, 数値の比較に幅を持たせる数値をMath.Round() メソッドなどで丸めてから演算子で比較する演算をできるかぎり整数型で行い, 浮動小数点型による演算を行わない. 数学的な式変形を行い, なるべく整数の演算で済むようにして, 出来る限り最後にdouble 型に変換する. 等が上げられる. 例えば, 一貫して小数点以下 3 桁が必要である場合は, あらかじめ1000を掛けることで整数の演算とするなど, このようなノウハウの積み重ねが, 言語仕様の特殊化を生んでいる.WebサーバのCGIスクリプト言語として使用されているRubyでは,4 桁単位で10 進数を扱う特殊な仕様となっている 12).

6 7. まとめ演算精度に関わる問題は,1970 年代に制定された 0.1 すら正しく表現することができない浮動小数点表記方法をベースにしているという根本的な問題が解消されていない. 浮動小数点型には誤差がつきものである. 旧来は,CPUアーキテクチャの実装方法などのコンピュータ工学に関連した情報を知ることで, プログラミングに工夫し, 演算精度と演算速度の向上を図ることができた. しかし, 近年は仮想化環境やソフトウェアの実装による様々な精度と演算に関する情報を知ることが必要になってきた. アプリケーションの実行環境のプロファイルをデータとして提供し, それに合わせてソフトウェア的にアジャストすることが提案される. 今後は, ハードウェアを重視したコンピュータ工学的視点から, 十分に高速化されたCPUの能力を生かした, ハードウェアを抽象化した仮想化環境を考慮した演算精度向上のためのアプローチが必要である. 参考文献 1) 米子工業高等専門学校情報処理教育研究会 : 高専の情報処理入門 ( 改訂版 ), ) 文部科学省 FAQ : shotou/gakuryoku/faq/001.htm 3) IPA : 4) 文部科学省高等学校学習指導要領解説情報編 : o_detail/ icsfiles/afieldfile/2012/01/26/ _11.pdf ( 平成 21 年 1 月 ) 5) 独立行政法人国立高等専門学校機構モデルコアカリキュラム ( 試案 ) mcc pdf( 平成 23 年 3 月 23 日 ) 6) IEEE 754, 7) Intel, jp/ja/documents/developer/w_fp_precision_j.pdf 8) ARM Processor 関連 Webサイト ector-floating-point.php 9) Microsoft Developer Network, 10)Scala, 11)Groovy, 12)Ruby, 13)MONO, 14)Microsoft サポート, Excelで浮動小数点演算の結果が正しくない場合がある, 15)JavaScript, 16)V8 JavaScript Engine,

プログラミング実習I

プログラミング実習I プログラミング実習 I 03 変数と式人間システム工学科井村誠孝 m.imura@kwansei.ac.jp 3.1 変数と型変数とは p.60 C 言語のプログラム中で, 入力あるいは計算された数や文字を保持するには, 変数を使用する. 名前がついていて値を入れられる箱, というイメージ. 変数定義 : 変数は変数定義 ( 宣言 ) してからでないと使うことはできない. 代入 : 変数には値を代入できる.