第 6 章超ゲージ対称性 2002 年 1/12 第 6 章超ゲージ対称性 Non-abelian ゲージ群 第 1 章場の変換性と演算子 - 変数 X が同じとき より T a を generators にもつ Non-abelian 群の下で に注意して カイラル超場 F が = W = ( )
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1 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 / 第 6 章超ゲージ対称性 o-el ゲージ群 第 章場の変換性と演算子 - 変数 X が同じとき より T を geetos にもつ o-el 群の下で に注意して カイラル超場 F が = W = W = ( ) ( gk T ) ˆ j ( gk T ) ( gk t ) ˆ j j U ˆ j U ˆ wth U ep T & ep t Ü ep - ep = ep ( X ) = ég T, ( X ) = -g t djˆ k ˆ j k ˆ j ep( T ) ep( T ) ep( t ) F = L F - L = - L F wth é T, T = f T & é t, t = f t c c c c で変換するとき 群の変換 U で不変になる超運動項は ベクトルゲージ超場 V を導入すれば である ここに V は不変性の要請により より F ep ( V t ) F F ep V t F = ep -L t F ep V t ep -L t F ep( t ) ep( V t ) ep( t ) ep( V t ) = F L - L F Û F F である 以降 省略形を用いる ( gv t ) = (- gl t ) ( gv t ) ( gl t ) ep ep ep ep ep V = ep -L ep V ep L wth V = g V t & L = L t さて 通常 微小変換 dv : V = V + dv と L を考えると = = 3 ep( V ) = ep( V + dv ) = + V + dv + ( V + dvv + VdV ) + ( V + dvv + VdVV + V dv ) +! 3! 3 ep( V ) = ep( -L ) ep( V ) ep( L ) = + V + V + V + ( L - L ) + ( V L - L V )! 3! ( V L - L V ) + ( V L - L V ) +! 3! の展開を用いる これから 摂動的な解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d V = L - L + L + L V + V c L + d L + L + L V + V c L + d L + V e L + f L V を用いて dv + dvv + VdV + dvv + VdVV + V dv = L - L + V L - L V + V L - L V! 3!! をV までで解くことになる つまり
2 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 / ( L - L ) + ( L + L ) + ( L + L ) + ( L + L ) + ( L + L ) + ( L + L ) ( ( ) V V ( c d )) V V ( ) V V ( c d ) V V c d V V c d V e f V + L - L + L + L + L + L + L - L + L + L + L + L!! + ( L - L ) V + V ( L - L ) + V ( L - L ) V 3! 3! 3! 要請 3 3 = ( L - L ) + ( V L - L V ) + ( V L - L V ) + ( V L - L V )! 3! V の一次の項から V の二次の項から これらより ( ) ( ) ( )!! Þ + = 0, d - = 0, - = -, c + = Þ = -, d =, = -, c = ( ) Þ d V = ( L - L ) - ( L + L ) V + V ( L + L ) = ( L - L ) + év, L + L L + L V + V c L + d L + L - L V + V L - L = V L - L V (( L + L ) V + V ( cl + dl )) V + V ( L + L ) V + V ( cl + dl )!! + ( L - L ) V + V ( L - L ) + V( L - L ) V = ( V L - L V ) 3! 3! 3!! Þ + + = 0, + - = -, c + c + =, d + d - = 0! 3!! 3!!! 3!!! 3! e + c + + = 0, f + d + - = 0!! 3!!! 3! æ æ Þ = - - = - ç - - = ç - =! 3!! 3! 4 6 æ æ = = ç - = ç = -! 3!!! 3!! 6 4 æ c = - - c = - - = ç - - =! 3!!! 3!! 6 4 æ d = - d = - = ç - = - 3!! 3!! 6 4 æ e = - c - - = - - ç - - = -!! 3!!! 3! 6 æ f = - d - + = - - ç - + =!! 3!!! 3! 6 Þ =, = -, c =, d = -, e = -, f = 6 6
3 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 3/ ( ) Þ d V = ( L - L ) V + V ( L - L ) + V (-L + L ) V 6 = ( L - L ) V - V ( L - L ) V + V ( L - L ) - V ( L - L ) V = é, V V V V, é, V, V L - L + é L - L = él - L 以上から Jco detty を用いれば に注意する dv = L - L + V é V V L + L + L - L + ( ) é, é,, ( ) [ ] é é é, V, V é V, V, év, L - L + L - L + L - L, V = 0 é é Þ él - L, V, V = V, év, L - L ここで 共変微分演算子をÑ であらわし とする これから ( ) Ñ F = ep -L Ñ F wth F = ep -L F ep ( )( ) ep( ) ep( ) Ñ F = - L Ñ F Þ Ñ = - L Ñ L が要請される この性質を満たすのは である : Ñ º ep - ( V ) D ep( V ) ( V ) D ( V ) ( ) ( V ) ( ) D ( ) ( V ) ( ) Ñ = ep - ep = ep - L ep - ep L ep - L ep ep L ( ) ( ) = ep -L ep -V D ep V ep L Ü 0 = D L = D L = ep -L ep -V D ep V ep L = ep -L Ñ ep L 一方 通常の共変微分は y = Uy であるので この対応より G = UG U + U U = UD U D = + G ( ep ep ) D wth ep ( ) Ñ = Ñ = - = = - L U U U V D V U U U U D º + G º ep - V D ep V = D + ep -V D ep V ( ) Þ = D & G = ep - V D ep V = ep -V ep V
4 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 4/ G ( ep) = ep -V D V はゲージ接続に対応する el の時のカイラルゲージ超場を利用すれば G o-el の時に と定義すればよい さて ゲージ場は 0 el = 0, t = I el = ep - V D ep V = D V = D V t = D V el o-el 0 W = D D DV = D D G = D D ep -V D V = ep W ( y) = D D G = D D ep -V D ep V wth V = g V t, y = - qs q の変換性を受ける el の場合は であるが 成分表記をするため なので ( ( )) D = - ( s q ), D = - + ( qs ) q q Ael ゲージ固定 dv = L - L + V é V V L + L + L - L + (, ) (, ) ( ) é, é,, ( ) d V = L - L ( q ) ( ) ( qs qqy ) ( q ) L, L, L - qsq q = L q + - qs q + -qs q -qs q -, f qy f q = f - qy + F qq - qs q - qs q qs q f f = f - qy + Fqq - qs q + - ( qs q )( qs q ) Ü ( qs q )( qs q ) = g qqqq Ü qs q qy = y qq ( s q ) = - ys qqq f æ y f = f - qy + Fqq - qs q + s qqq qqqq ç = f - qy + Fqq - qs q - s qqq - qqqq f y f 4
5 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 5/ ( L - L ) = f - qy + Fqq + qs q + s qqq - qqqq f y f 4 f y f f yq F qq qs q qs qq qqqq 4 d d qdc qdc qqd qqd qs qd V = C V から æ dc æ dc æ dc + qqq ç dl - s qqq dl s qqqq d D - ç ç dc = ( f - f ), dc = - y, d = F, dv = ( f + f ), dl = 0, d D = 0 がわかる そのため 特別なゲージパラメータ ( f, y, F ) として C = C + f - f = 0, c = c - y = 0, = + F = 0 を選ぶことができる その結果 与えられた ( C, c, ) なゲージパラメータ ( f, y, F ) を選ぶことができるので 変換後のV は に対して 常にこの成分を 0 にするよう V V D (, q, q ) = qs q + qqql - qqql + qqqq と表すことができる この V を改めて V と表記すれば VW V D (, q, q ) = qs q + qqql - qqql + qqqq これを Wess-Zuo ゲージと呼ぶ このとき である 対応するゲージ変換 V, q, q V, q, q V, q, q = 0 W W W o-el ゲージ固定 dv = L - L + V é V V L + L + L - L + に注意すると o-el ゲージ固定は ( ) é, é,, ( ) o-el c c éé,, 0 ( ) VWV WVW = Þ V V V = Þ V V L = Þ L - L V V + = の要請が必要となる この結果 になる dvw = ( L - L ) + évw, L + L
6 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 6/ 共変微分演算子をÑ であらわし とする これから o-el ゲージ超場 ( ) Ñ F = ep -L Ñ F wth F = ep -L F V = g V t & L = L t = = ep ( )( ) ep( ) ep( ) Ñ F = - L Ñ F Þ Ñ = - L Ñ L が要請される この性質を満たすのは である : Ñ º ep - ( V ) D ep( V ) ( V ) D ( V ) ( ) ( V ) ( ) D ( ) ( V ) ( ) ( ) ( ) Ñ = ep - ep = ep - L ep - ep L ep - L ep ep L = ep -L ep -V D ep V ep L Ü 0 = D L = D L = ep -L ep -V D ep V ep L = ep -L Ñ ep L 一方 通常の共変微分は y = Uy であるので この対応より G = UG U + U U = UD U D = + G ( ep ep ) D wth ep ( ) Ñ = Ñ = - = = - L U U U V D V U U U U D º + G º ep - V D ep V = D + ep -V D ep V ( ) Þ = D & G = ep - V D ep V = ep -V ep V G ( ep) = ep -V D V はゲージ接続に対応する el の時のカイラルゲージ超場を利用すれば G o-el の時に 0 el = 0, t = I el = ep - V D ep V = D V = D V t = D V el o-el 0 W = D D DV = D D G = D D ep -V D V ep
7 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 7/ と定義すればよい W ( y) = D D G = D D ep -V D ep V wth V = g V t, y = - qs q = ( ( )) D = - ( s q ), D = - + ( qs ) q q さて Ael の場合には æ l W ( y) º D D DV = 4l ( y) - é4d( y) d + ( s ) F ( y) q + 4ç s qq ú (,, ) V q q = C + qc - qc + qq - qq + qs q V æ c æ c æ C + qqq ç l - s D( - qqq ç l - s qqqq + ) - ç wth D = ( s q ), D, y qs - = - + = - q q qs q である o-ael では W ( y) = D D G = D D ep -V D V ( ep( )) æ = D ç DV - [ V, DV ] + év,[ V, DV ] + 3! V V c = W = qs q V + qqql - qqql + qqqq D のゲージの時にV V V = 0 なので W ( y) D æ = ç DV - [ V, DV ] になる ここで 第一項は である 第二項は D DV 4 y 4D y F y 4 ( y) æ l = l - é d + ( s ) ú q + ç s qq æ c æ c DV = c + q + ( s q ) V + q q ç l - s qq l s - ç - æ C + q qq D - ç æ æ c - ( s q ) C qc qc qq qs q V qqq l s ç - ç æ V l ql - qql D + qqq - s q qs q qqq ç + = ( s q ) V + q WZ guge より ( y)
8 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 8/ [ V, D V ] é qs q V + qqql - qqql + qqqq D, ú = ú æ V l ( s q ) V D ( ) ú + qql - qql + qqq - s q qs q qqq ç + ú = éqs q V + qqql, s q V + q ql = éqs q V + qqql, s q V + éqs q V, q ql = - q ( s q ) V + qqq + é l, s q V é q s q V, q l q ú é = é q s q V, s q V qqq l, s q V éq s q V, q q l ú é é é = q q s q - V, s V + qq ql, s q V + q q qq s V, l æ = - qq ( s ) ( s q ) é V, V qq éq l,( s ) q V qq qq é( s ) V, l ç = qq ( s s q ) év, V qq éq l,( s ) q V qq qq év,( s ) l + + = qq ( s s q ) év, V + qq é ql,( s ) q V V, + qqqq é s l Ü s s = g + s Ü éq l, s q V = ql s q V - s q V ql = - qq l ( s ) V + ( s ) Vq q l = - qq ( s l ) V + ( s l ) V qq = - qq é( s l ), V æ = qq ( s q ) V, V qq qq é( s l ), V qqqq év,( s l ) é + ç - + = - qq ( s q ) év, V qqqq év,( s l ) + 故に æ [, ] = ç - + ( qs ) + qq [, ] D V DV V D V ç q q q æ æ = - + ( qs ) + qq - qq ( s q ) év, V + qqqq év, ( s l ) ç ç q q q æ æ = - + ( qs ) - qq ( s q ) év, V ç q q q ç qqqq év,( s l ) + æ æ = - - qq ( s q ) év, V + qqqq év, ( s l ) ç q q ç æ æ + ( qs ) - qq ( s q ) év, V Ü qq = 4 ç q ç q q
9 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 9/ æ æ = (-) ç - 4 ( s q ) év, V qq 4 év,( s l ) V, V + + qs ç - q s q é æ æ = (-) ç - 4 (( s q ) év, V qq év,( s l ) ) ( s q ) ( qs ) q V, V - + ç - é ( ( s q ) V, V qq év,( s l ) æ = é - ) + ( s q ) ( qs q ) V, V ç - é = ( ( s q ) év, V qq év,( s l ) ) V, V - + s q qs q é æ = ( s q ) ( qs q ) V, V 4 qq V, ( s l ) ç - é é - æ Ü ( s q ) ( qs q ) f ( s q ) f ( y) wth f V, ç - = = é V & y = - qsq ( s q ) qq é ( s l ) = f y - 4 V y, y になる これより [, ] ( s q ) 4 qq é,( s l ) D V D V f y V y y Þ = - æ æ l gw ( y) = D DV [ V, DV ] 4l ( y) é 4D( y) d ( s ) F ( y) ç - = - + q + 4ç s qq ú ( ( s q ) f ( y) qq év ( y) ( s l ( y) ) ) - - 4, é æ æ = 4l ( y) - 4D( y) d ( s ) F ( y) f ( y) q 4 ( s l ( y) ) év, ( s l ) + qq ç ú ç ここに 通常の共変微分として D º + V, V ( y) º F ( y) + f ( y) = V - V + év, V = V - V D D に注意すると æ = - [ ] = - é + + D ( ) gw y D ç D V V, D V 4 y 4D y V y 4 y l d s ú q s l qq が求まる 成分表示すれば V = V t に注意して D = = + V = + gv t = + gv t = = é c c V ( y) = V t = ( V t - V t ) + g V t, V t = = ú = = é Þ V t = ( V t - V t ) + g V t, V t Ü ét, t = f c c c c ú = = = = V t = V t - V t + gf t V V = V t - V t - gf t V V c c c c Þ V = V - V - gf V V がわかる つまり c c t = f t c ( y)
10 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 0/ 以上から が得られた = l - é d + ( s ) ( ) ú q + D s l qq { l é d ( s ) q ( s l ) qq ú D } W y 4 y 4D y V y 4 y = 4 y - 4D y + V y + 4 y t 4 é 4 4 ( ) ú D 4l ( y) é 4D ( y) d ( s ) V ( y) ( q 4 ( s l ( y) ) ú D ) qq t Þ W y = l y - D y d + s V y q + s l y qq = W y D D D D V D V = G = ep( - ) ep( ) Ü VW = qs q V + qqql - qqql + qqqq D æ W ( y) = D ç DV W - [ VW, DV W ] ( 4 l é 4 d ( s ) q 4( s l ) qq ú D ) = y - D y + V y + y t Ü D = + = + V c c g V t, V = V - V - gf V V = 超対称演算子へのカイラル変換を導入する [ ] R 対称性 def U U = W º ep - wth U = ep R d W = ep R ( ) ( ) ( ) Þ d R = R, = - R == - Û d R = é R, = R = これを R-chge と呼ぶ そのとき それらの表現である微分演算子の間に ér, = - wth = + ( s q ), ér, = wth = - - ( qs ) q q が成立する この解は ér, æ æ æ = - Þ R + ( s q ) - + ( s q ) R ç ç = - ç + s q q q q f f R f f Þ R - ( R f ) = R - f - R = - q q q q q q R f R - f = - = R = q q q q q q æ f Þ R ç ( s q ) - ( s q ) ( R f ) f f R f f = ( R s q ) + ( s q ) R - ( s q ) f - ( s q ) R = - ( s q ) f R f ( R s q ) - ( s q ) f = - ( s q ) R = -q q
11 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 / 以上から R q q q = q - についても同様に 同じ演算子が得られる 添え字の上げ下げは 第 3 章超空間 の に注意する 更に q = q, q = q q q q q R q = q d R q = -q なので より q º ep( R ) q = ( R ) q Ü R q = q ( R ) q = q! ( ) = q = ep( ) q! ( R ) ( R ) - q = ep q = e q d q = ep q = e q がわかる さて 任意の場 ˆ (,, ) と定義する その時 に注意すると で導入される R j は j q q の演算子に対して R-chge を とするとき def (,, ) ep ( R) (,, ) ep( R) ep ( ) (,, ) ˆ j q q = - ˆ j q q º ˆ j q q - (,, ) = (,e,e ) = ep ( R ) (,, ) ˆ j q q ˆ j q q ˆ j q q (,, ) ep( R ) ep ( ) (,, ) ep ( ) (,, ) ˆ j q q - ˆ j q q = - ˆ j q q def (,, ) ep( R ) ep ( ) (,, ) ep ( R j ) (,, ) Þ ˆ j q q = - ˆ j q q º ˆ j q q R = - R wth R = q -q q q j になる これを成分場の R-chge として定義できる 従って ) カイラル超場
12 第 6 章超ゲージ対称性 00 年 / ( y, ) ( y) ( y) F ( y) F q = f - qy + qq q ( f qy qq ) ( f ( y) - qy ( y) F ( y) - qq ) ( R ) ( y ) ( R j j ) ( y) ( y) F ( y) ( R F ) f ( y) qy ( y) F ( y) qq = ep F, = ep - + = ep F = e - e + e F F - F - Þ f y = e f y, y y = e y y, F y = e y y ) ゲージ超場 V WZ (, q, q ) = qs q V + qqql - qqql + qqqq D æ = ep ( R j ) VWZ (, q, q ) = ep( R j ) ç qs q V + qqql - qqql + qqqq D æ = ep ( V - R ) ç qs q V + qqql - qqql + qqqq D æ V - = e ç qs q V + e qqql - e qqql + qqqq D V V Þ V = V = = D = D 以上からを得る V - V + e, l e l, l e l, e ( f ) ( y ) R = ; R = - ; R F = - F F F ( ) V ( l ) R V = R D = ; R = + V
1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 1 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 3 年次秋学期向 ) 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 y ( x,t) の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ 3 ö ç å è m= 0
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 午前 時 分量子力学とクライン ゴルドン方程式 ( 学部 年次秋学期向 量子力学とクライン ゴルドン方程式 素粒子の満たす場 (,t の運動方程式 : クライン ゴルドン方程式 : æ ö ç å è = 0 c + ( t =, 0 (. = 0 ì æ = = = ö æ ö æ ö ç ì =,,,,,,, ç 0 = ç Ñ 0 = ç Ñ 0 Ñ Ñ
@@ ;; QQ a @@@@ ;;;; QQQQ @@@@ ;;;; QQQQ a a @@@ ;;; QQQ @@@ ;;; QQQ a a a ; ; ; @ @ @ ; ; ; Q Q Q ;; ;; @@ @@ ;; ;; QQ QQ ;; @@ ;; QQ a a a a @@@ ;;; QQQ @@@ ;;; QQQ ;;; ;;; @@@ @@@ ;;; ;;; QQQ QQQ
1/30 平成 29 年 3 月 24 日 ( 金 ) 午前 11 時 25 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり ) 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (2.18) より ˆ dp 1 1 =
/ 平成 9 年 月 日 ( 金 午前 時 5 分第三章フェルミ量子場 : スピノール場 ( 次元あり 第三章フェルミ量子場 : スピノール場 フェルミ型 ボーズ量子場のエネルギーは 第二章ボーズ量子場 : スカラー場 の (.8 より ˆ ( ( ( q -, ( ( c ( H c c ë é ù û - Ü + c ( ( - に限る (. である 一方 フェルミ型は 成分をもち その成分を,,,,
4000/P4-25
4 5 ; ; ; ; ;; ; Q Q Q Q QQ Q ;; QQ ;Q ;; ;; QQ QQ ;; QQ Q ; Q;Q;Q ; 6 7 8 9 10 11 ; Q ;; QQ ;Q ;; QQ QQ ;; QQ ;; QQ ; Q 12 13 A ß ƒ u A A A 15 14 ;;;; ;;;; ;;;; ;;;; QQQQ QQQQ QQQQ QQQQ ;; ;; QQ QQ ;
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一般国道 10 号 戸次犬飼拡幅 ŠÊu ÊËu ÎÍÊ Êy y Ê~ Ê~Êu}Ì ÐÑÒdÌÊh ŠÊu ÿj~ Êu ÿj~ Ê ÎzÉÈ ÎÈÉ ÊiÍ Êud~{ÉÆ ÍÂÊ uêiîí ÉuÊ{dÉÆÍ ËÉÇÆÊÇÆ ÇÊÆÉŠÊ xgdésèéæ ÎzÉÉÆÍÂzÎÓÏÓÑ ÎŠÓÏÓÑ ÉÈÂÉÎËuÊ ÉÆÍ v Ê Ó ÐÎÊ~Ê ÊÍÍÇm ÈÇÂÌÉÂ~ÌÊ~ÇÈÍÍÊÊÂ
1/10 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 ct 移動 v相対 v相対 ct - x x - ct = c, x c 2 移動
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 37 分第 5 章ローレンツ変換と回転 第 5 章ローレンツ変換と回転 Ⅰ. 回転 第 3 章光速度不変の原理とローレンツ変換 では 時間の遅れをローレンツ変換 t t - x x - t, x 静止静止静止静止 を導いた これを 図の場合に当てはめると t - x x - t t, x t + x x + t t, x (5.) (5.) (5.3) を得る
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6. 自発的対称性の破れとヒッグス機構 : 素粒子の標準模型 Dc 方程式.5 を導くラグランジアンは ϕ ϕ mϕϕ 6. である [H] Eu-nn 方程式 を使って 6. のラグランジア ンから Dc 方程式が導かれることを示せ 6. ゲージ対称性 6.. U 対称性 :QED ディラック粒子の複素場 ψに対する位相変換 ϕ ϕ 6. に対して ラグランジアンが不変であることを要請する これは簡単に示せる
1/17 平成 29 年 3 月 25 日 ( 土 ) 午前 11 時 37 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は
/7 平成 9 年 月 5 日 ( 土 ) 午前 時 7 分第 7 章 : 量子力学とディラック方程式 ( 学部 4 年次向 ) 第 7 章量子力学とディラック方程式 Ⅰ. クライン ゴルドン方程式の完全平方化 素粒子場 : y ( x,t ) の従うクライン ゴルドン方程式は 素粒子を質量 とすると ì x : ( ct, x, y, z) :,,, ì c ct ç + y (, t) ç å
1/15 平成 29 年 3 月 24 日午前 11 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 第八章 フレーバーニュートリノ ( e, m, t ) 換で結びつく (5.12) の ( e, m ) ニュートリノ質量行列 3 種混合 n n n と質量固有状態のニュートリノ ( n1, n 2, n
/5 平成 9 年 月 4 日午前 時 48 分第八章ニュートリノ質量行列 第八章 フレーバーニュートリノ ( t ) 換で結びつく (5.) の ( ) ニュートリノ質量行列 種混合 と質量固有状態のニュートリノ ( ) と ( ) の場合の は ユニタリー変 æ æ cosq siq æ ø -siq cosq ø ø (8.) 以外に æ æ cosq siq æ -siq cosq t ø
1/12 平成 29 年 3 月 24 日午後 1 時 1 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使
/ 平成 9 年 3 月 4 日午後 時 分第 3 章測地線 第 3 章測地線 Ⅰ. 変分法と運動方程式最小作用の原理に基づくラグランジュの方法により 重力場中の粒子の運動方程式が求められる これは 力が未知の時に有効な方法であり 今のような 一般相対性理論における力を求めるのに使う事ができる 最小作用の原理 : 粒子が時刻 から の間に移動したとき 位置 と速度 v = するのが ラグランジュ関数
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剛体の基礎理論 -. 剛体の基礎理論初めに本論文で大域的に使用する記号を定義する. 使用する記号トルク撃力力角運動量角速度姿勢対角化された慣性テンソル慣性テンソル運動量速度位置質量時間 J W f F P p .. 質点の並進運動 質点は位置 と速度 P を用いる. ニュートンの運動方程式 という状態を持つ. 但し ここでは速度ではなく運動量 F P F.... より質点の運動は既に明らかであり 質点の状態ベクトル
1/17 第 13 章電子とディラック方程式 第 13 章電子とディラック方程式 Ⅰ. 量子力学と素粒子の運動方程式 素粒子は 寿命を持ち光速近くで運動するので ミュー中間子という素粒子を 用いて 第 4 章時間の遅れと長さの収縮 -Ⅲ. 素粒子の寿命の伸びで時間の 遅れの検証に持ちいた このミュウ
/7 第 章電子とディラック方程式 第 章電子とディラック方程式 Ⅰ. 量子力学と素粒子の運動方程式 素粒子は 寿命を持ち光速近くで運動するので ミュー中間子という素粒子を 用いて 第 4 章時間の遅れと長さの収縮 -Ⅲ. 素粒子の寿命の伸びで時間の 遅れの検証に持ちいた このミュウ粒子は 電子と同じ仲間で 質量のみ異な る素粒子であり ディラック (Dirac 方程式 ( ディラック :Paul
1 対 1 対応の演習例題を解いてみた 微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 (2) 関数 f ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか f ( 1, f ( 1) ) と ( 1 + h, f ( 1 + h)
微分法とその応用 例題 1 極限 微分係数の定義 () 関数 ( x) は任意の実数 x について微分可能なのは明らか ( 1, ( 1) ) と ( 1 + h, ( 1 + h) ) の傾き= ( 1 + h ) - ( 1 ) ( 1 + ) - ( 1) = ( 1 + h) - 1 h ( 1) = lim h ( 1 + h) - ( 1) h ( 1, ( 1) ) と ( 1 - h,
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ÿj~ ~{ 犬飼千歳道路 Š~{Êu ÊËu ÎÍÊ Êy Ê~ Ê~Êu}Ì ÐÑÒdÌÊh Š~{Êu ~{Êu ~{ÊÊv{dÊÈÍÉu~{ÉÂ ÎzÉÈÉÎÈÊiÍ MO Êi ~{ÉÆ ÍÂ ~{ÊÂÂÎÉÈÉÈÍÈÍÊÎÊ~ÈÂ ÊÎ~ÈÍÉÉÌÊÂdÊÂÊÈÍÇÉÎ ÉÈÉ~{ÉÆÍÂ ÌÉÂdyi ~Ëi ~É~ÈÍÍÇÉÊÍÍÂÓ ÒÒÖ ÐÇÈÍÂÈÌÈÌÊÉÊÇhÉÊÍÂ Ÿe
HVO-3300MT
4-596-607-02 (1) 2017-09 HVO-3300MT 2016 Sony Corporation 1 2 3 2 ... 2... 6... 7... 8... 8... 8... 9... 10... 14... 16... 39... 39... 40... 40... 41... 41 3... 43... 43... 44... 45... 45 4 1... 17...
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マクスウエルの方程式 Akio Arimoto, Monday, November, 7. イントロ長野 []p.4 に証明抜きで以下のような解説がある 次節以下これを証明していきたいと思う grad f «df d dx =,, rot «( i i), [ ] div «d ( dx dx + dx dx + dx dx ) æ f f f æ f f f rot grad f = rot( df
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木村の理論化学小ネタ 緩衝液 緩衝液とは, 酸や塩基を加えても,pH が変化しにくい性質をもつ溶液のことである A. 共役酸と共役塩基 弱酸 HA の水溶液中での電離平衡と共役酸 共役塩基 弱酸 HA の電離平衡 HA + H 3 A にお
緩衝液 緩衝液とは, 酸や塩基を加えても,pH が変化しにくい性質をもつ溶液のことである A. 酸と塩基 弱酸 HA の水溶液中での電離平衡と酸 塩基 弱酸 HA の電離平衡 HA H 3 A において, O H O ( HA H A ) HA H O H 3O A の反応に注目すれば, HA が放出した H を H O が受け取るから,HA は酸,H O は塩基である HA H O H 3O A
レイアウト 1
1 1 3 5 25 41 51 57 109 2 4 Q1 A. 93% 62% 41% 6 7 8 Q1-(1) Q2 A. 24% 13% 52% Q3 Q3 A. 68% 64 Q3-(2) Q3-(1) 9 10 A. Q3-(1) 11 A. Q3-(2) 12 A. 64% Q4 A. 47% 47% Q5 QQ A. Q Q A. 13 QQ A. 14 Q5-(1) A. Q6
10_11p01(Ł\”ƒ)
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一般国道 205 号 針尾バイパス ÓÏÓÑÊu ÊËu ÊÍÍÊ yêéêééuê Ê ÊÊ ~ Êd ÔÖÑÏÐÒÊ ~Ê ~~{ËÊÎÐÑÑ Ê Ê y ÊvÊu eêu ÊvÂwÊÆÍ vêu uvêèív ~{ ÓÏÓÑÊu Êu ÿj~êâ ÎzÉÈÂ ÊiÍ MOÊud~{ÉÆÍÂÿj~ÉÈÉ ÓÒÒÖ ÐÎÈÂÊÂÂÂÂuÊ iîíéuê{déæíâ ÇÊÆÉÂÓÏÓÑÊÂui ~É~ÈÊ
EP7000取扱説明書
EP7000 S0109-3012 3 47 811 1213 1419 2021 53 54 5560 61 6263 66 2223 2427 2830 3133 3436 3740 4142 4344 45 46 4750 5152 2 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 8 9 15 16 17 18 13 EP7000 2 10 11 12 13 14 19 20 21 22 23 24
取扱説明書
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2. 厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 2 203 年 4 月 7 日 ( 水曜 3 限 )/8 本章では 純粋交換経済において厚生経済学の ( 第 ) 基本定理 が成立することを示す なお より一般的な生産技術のケースについては 4.5 補論 2 で議論する 2. 予算集合と最適消費点 ( 完全 ) 競争市場で達成される資源配分がパレート効率的であることを示すための準備として 個人の最適化行動を検討する
1 2 3 4 5 6 0.4% 58.4% 41.2% 10 65 69 12.0% 9 60 64 13.4% 11 70 12.6% 8 55 59 8.6% 0.1% 1 20 24 3.1% 7 50 54 9.3% 2 25 29 6.0% 3 30 34 7.6% 6 45 49 9.7% 4 35 39 8.5% 5 40 44 9.1% 11 70 11.2% 10 65 69 11.0%
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š ( ) 300,000 180,000 100,000 120,000 60,000 120,000 240,000 120,000 170,000 240,000 100,000 99,000 120,000 72,000 100,000 450,000 72,000 60,000 100,000 100,000 60,000 60,000 100,000 200,000 60,000 124,000
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一般国道 3 号 ( 南九州西回り自動車道 ) 川内隈之城道路 ~{Êu ÊËu ÎÍÊ Êy y Ê~ Ê~Êu}Ì ÐÑÒdÌÊh y ~{ 1 ~{Êu uíi ~Êu uíi ~ÊÂÃd v x ÃÉ ÊÇÊÎÈÍÉÌÊuÉÈÍÉÂÉ MO Êu d~{êÿéèévèíé~{éæíâuêêâ~ ÊÊÇÇÈÍÌÊÉÆÍÂ ~{ÊÂÎzÉÈÉÂ ÊÊÎÈÉ ÊiÍ MO Êÿj~Êi ~{ÉÆÍÂ
Nobelman 絵文字一覧
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木村の物理小ネタ ケプラーの第 2 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という) が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に
ケプラーの第 法則と角運動量保存則 A. 面積速度面積速度とは平面内に定点 O と動点 P があるとき, 定点 O と動点 P を結ぶ線分 OP( 動径 OP という が単位時間に描く面積を 動点 P の定点 O に関する面積速度の大きさ という 定点 O まわりを回る面積速度の導き方導き方 A ( x( + D, y( + D v ( q r ( A ( x (, y( 動点 P が xy 座標平面上を時刻
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24 591324 25 0101 0002 0101 0005 0101 0009 0101 0012 0101 0013 0101 0015 0101 0029 0101 0031 0101 0036 0101 0040 0101 0041 0101 0053 0101 0055 0101 0061 0101 0062 0101 0004 0101 0006 0101 0008 0101 0012
社葬事前手続き
2 ... 4... 4... 5 1... 5 2... 5 3... 5 4... 5 5... 5 6... 5 7... 5 8... 6 9... 6 10... 6... 6 1... 6 2... 6 3... 7 4... 7... 8 1 2.... 8 2 2.... 9 3 4.. 3 4. 1 2 3 4 5 6 7 5 8 9 10 I 1 6 2 EL 3 4 24 7
1/20 平成 29 年 3 月 25 日午前 11 時 7 分第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 ( 学部 4 年次向 ) 第 1 章 :U(N) 群 SU(N) 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子 素粒子の分類図 3 世代 素粒子の標準理論に含まれる素粒子は 素粒子の分類図 から R, G, B
/ 平成 9 年 3 月 5 日午前 時 7 分第 章 :U() 群 SU() 群 ( 学部 4 年次向 ) 第 章 :U() 群 SU() 群 Ⅰ. 標準模型の素粒子 素粒子の分類図 3 世代 素粒子の標準理論に含まれる素粒子は 素粒子の分類図 から R, G, B R, G, B R, G, B u : 5 c :, 6 t :75,e 3 クォーク( quark ) : R, G, B R,
4STEP 数学 Ⅲ( 新課程 ) を解いてみた関数 1 微分法 1 微分係数と導関数微分法 2 導関数の計算 272 ポイント微分法の公式を利用 (1) ( )( )( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
微分法 微分係数と導関数微分法 導関数の計算 7 ポイント微分法の公式を利用 () 7 8 別解 [ ] [ ] [ ] 7 8 など () 6 6 など 7 ポイント微分法の公式を利用 () 6 6 6 など () 9 など () þ î ì など () þ î ì þ î ì þ î ì など 7 () () 左辺を で微分すると, 右辺を で微分すると, ( ) ( ) ( ) よって, (
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応用数学 Ⅱ (7) 7 連立微分方程式の立て方と解法. 高階微分方程式による解法. ベクトル微分方程式による解法 3. 演算子による解法 連立微分方程式 未知数が複数個あり, 未知数の数だけ微分方程式が与えられている場合, これらを連立微分方程式という. d d 解法 () 高階微分方程式化による解法 つの方程式から つの未知数を消去して, 未知数が つの方程式に変換 のみの方程式にするために,
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1. ベクトル ベクトル : 方向を持つ量 ベクトルには 1 方向 2 大きさ ( 長さ ) という 2 つの属性がある ベクトルの例 : 物体の移動速度 移動量電場 磁場の強さ風速力トルクなど 2. ベクトルの表現 2.1 矢印で表現される 矢印の長さ : ベクトルの大きさ 矢印の向き : ベクトルの方向 2.2 2 個の点を用いて表現する 始点 () と終点 () を結ぶ半直線の向き : ベクトルの方向
ê ê ê 2007 ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê b b b b b b b b b b b ê ê ê b b b b ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê b
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第 章 微分方程式 ニュートンはリンゴが落ちるのを見て万有引力を発見した という有名な逸話があります 無重力の宇宙船の中ではリンゴは落ちないで静止していることを考えると 重力が働くと始め静止しているものが動き出して そのスピードはどんどん大きくなる つまり速度の変化が現れることがわかります 速度は一般に時間と共に変化します 速度の瞬間的変化の割合を加速度といい で定義しましょう 速度が変化する, つまり加速度がでなくなるためにはその原因があり
首都圏チェーンストアチラシ出稿状況調査 リニューアル 2014 年 6 Sample 月版版
首都圏チェーンストアチラシ出稿状況調査 リニューアル 2014 年 6 Sample 月版版 w ÛÝÝÜÛÚ ÜÛw àýüýà ÝÝ ÝÝÝÝÝÝÜÜÛÛÙÛÚÚÚ ÉÉÖ±Ö Öw ÖÛÝ݃ Ö ÝÝÝ ÖÜwÝÝÝ ÉÉÉÉ ÝÝ ÜÝ ÜÝÝ ÖÝÝÝÝÝÝÝÜÜ Ö Ö ÌÌ ààà Ê syµeêéêéê ÊÉÊÊÊ Ê e ÉÊÉÊÊÉÊ ÊÉÊÊÊ Ê ÝÜÝÝ ÊÉÊÊ ÊÊÉÊÊÊ
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第３次里庄町男女共同参画基本計画 すべての人が輝き みんなの笑顔があふれるまち 里庄 平成 30 2018 年３月 岡山県 里庄町 s v Œè s  ÅÂï  Œ Â è± Â Ë Œ Œ èâ üè Øà Ây ÂØŒ èã Œèr è Œ º  f e É ex... 1 ex... 1 ex... 2 e... 5 e... 6 ex±... 6 e... 8... 8 íd...
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ポンスレの定理
ポンスレの定理. qution Section 定理 有本彰雄 東京都市大学 平成 年 月 4 日 定義. n 角形 P とは 平面上にあるn 個の点の順序列 ( p, p,, pn - ) のことである 各 pk は P の頂点と呼ばれる 記号法を簡単にするため便宜的に p n とする また 線分 p i i pp, i,,,, n - を P の辺と呼ぶ 定義. すべての頂点 p k が曲線 C
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Microsoft Word - 付録1誘導機の２軸理論.doc
NAOSIE: Nagaaki Univity' Ac itl パワーエレクトロニクスと電動機制御入門 Autho( 辻, 峰男 Citation パワーエレクトロニクスと電動機制御入門 ; 15 Iu Dat 15 U http://hl.hanl.nt/169/55 ight hi ocumnt i ownloa http://naoit.lb.nagaaki-u.ac.jp 付録 1 誘導機の
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行列、ベクトル
行列 (Mtri) と行列式 (Determinnt). 行列 (Mtri) の演算. 和 差 積.. 行列とは.. 行列の和差 ( 加減算 ).. 行列の積 ( 乗算 ). 転置行列 対称行列 正方行列. 単位行列. 行列式 (Determinnt) と逆行列. 行列式. 逆行列. 多元一次連立方程式のコンピュータによる解法. コンピュータによる逆行列の計算.. 定数項の異なる複数の方程式.. 逆行列の計算
解析力学B - 第11回: 正準変換
解析力学 B 第 11 回 : 正準変換 神戸大 : 陰山聡 ホームページ ( 第 6 回から今回までの講義ノート ) http://tinyurl.com/kage2010 2011.01.27 正準変換 バネ問題 ( あえて下手に座標をとった ) ハミルトニアンを考える q 正準方程式は H = p2 2m + k 2 (q l 0) 2 q = H p = p m ṗ = H q = k(q
ロシア語便覧 １
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画像解析論（２） 講義内容
画像解析論 画像解析論 東京工業大学長橋宏 主な講義内容 信号処理と画像処理 二次元システムとその表現 二次元システムの特性解析 各種の画像フィルタ 信号処理と画像処理 画像解析論 処理の応答 記憶域 入出力の流れ 信号処理系 実時間性が求められる メモリ容量に対する制限が厳しい オンラインでの対応が厳しく求められる 画像処理系 ある程度の処理時間が許容される 大容量のメモリ使用が容認され易い オフラインでの対応が容認され易い
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(WP)
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取扱説明書
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Title 大阪府立大学大学院農学生命科学研究科年報 (2003 2004 年度 ) No.7 Author(s) 大阪府立大学大学院農学生命科学研究科 Editor(s) Citation 大阪府立大学大学院農学生命科学研究科年報 (2003 2004 年度 ). 2006, 7 Issue Date 2006-03-31 URL http://hdl.handle.net/10466/11140
取扱説明書
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地盤数値解析学特論 防災環境地盤工学研究室村上哲 Mrakam, Satoh. 地盤挙動を把握するための基礎. 変位とひずみ. 力と応力. 地盤の変形と応力. 変位とひずみ 変形勾配テンソルひずみテンソル ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソル 微小変形状態でのひずみテンソル ひずみテンソルの物理的な意味
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クイックリフアレンスガイド SL5000 r および T5000 r RFID スマートラベルおよびサーマルプリンタ pë î ë m ¼x m û û Ò î êd î êdw óo 3ULQWURQL[,QF êd Þ Ã í è. î ØøØ» Š»pË 2. D 3ULQWURQL[,QF ðuêd ƒm ƒmè E êdêê F 3ULQWURQL[,QF êd þ óo Ãùè G êd
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一般国道 10 号 宮崎西バイパス ÿj~ uóïóñêu ÊËu ÎÌÇÍÊ Ê eêu Êv wêæí ÊvÊu vêu uvêèív ~{ 1 ÿj~uóïóñêu ÿj~êu ÿj~êâîzéè Î ÈÂ ÊiÍ MOÊud~{ÉÆÍÂÊÎ dèí{dêâêuëuî~èíuê{ déæíâêââîèíîééæíâ ÿj~uóïóñêu u uóïóñêâuê~êuîíâ~ê ÉÎÈÍÇÉÎÊsÉÉÌÊÉÆÍÂ
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多次元レーザー分光で探る凝縮分子系の超高速動力学
波動方程式と量子力学 谷村吉隆 京都大学理学研究科化学専攻 http:theochem.kuchem.kyoto-u.ac.jp TA: 岩元佑樹 iwamoto.y@kuchem.kyoto-u.ac.jp ベクトルと行列の作法 A 列ベクトル c = c c 行ベクトル A = [ c c c ] 転置ベクトル T A = [ c c c ] AA 内積 c AA = [ c c c ] c =
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第壹部分 : 綜合測驗 ( 第 1 至 20 題, 每題 2 分, 共 40 分 ) 一 詞彙 : 第 1-5 題, 請選出最適當的答案 1. Þ ÓÖ Ö Í (A) ÔÚ Ú (B) Ø Ú (C) ÔÚØÚ (D) ØÕ Ú 2. Ã Òµ ÝÞÜä ÖÜÜäáÛÞàÓiÙÕÕÍ (A) (B) jl (C) (D) 3. Ö Ø ÖÕÕÍ (A) ÙÒÖ (B) ÓÖÖ (C) ÙÔÓ (D)
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1/15 平成 3 年 3 月 4 日午後 6 時 49 分 5 ベクトルの 重積分と面積分 5 重積分と面積分 Ⅰ. 重積分 と で 回積分することを 重積分 といいます この 重積分は何を意味しているのでしょう? 通常の積分 (1 重積分 ) では C d 図 1a 1 f d (5.1) 1 f d f ( ) は 図形的には図 1a のように面積を表しています つまり 1 f ( ) を高さとしてプロットすると図