1/17 第 13 章電子とディラック方程式 第 13 章電子とディラック方程式 Ⅰ. 量子力学と素粒子の運動方程式 素粒子は 寿命を持ち光速近くで運動するので ミュー中間子という素粒子を 用いて 第 4 章時間の遅れと長さの収縮 -Ⅲ. 素粒子の寿命の伸びで時間の 遅れの検証に持ちいた このミュウ

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1 /7 第 章電子とディラック方程式 第 章電子とディラック方程式 Ⅰ. 量子力学と素粒子の運動方程式 素粒子は 寿命を持ち光速近くで運動するので ミュー中間子という素粒子を 用いて 第 4 章時間の遅れと長さの収縮 -Ⅲ. 素粒子の寿命の伸びで時間の 遅れの検証に持ちいた このミュウ粒子は 電子と同じ仲間で 質量のみ異な る素粒子であり ディラック (Dirac 方程式 ( ディラック :Paul Adrien Maurice Dirac (9 年 8 月 8 日 ブリストル 年 月 日 はイギリスの理論物 理学者 量子力学及び量子電磁気学の基礎づけについて多くの貢献をした 9 年にシュレーディンガーと共にノーベル物理学賞を受賞している と呼ばれる量子力学の運 動方程式を満たす これは シュレディンガー方程式 ( シュレディンガー :Erwin Rudolf Josef Alexander Schrdinger ( 887 年 8 月 日 - 96 年 月 4 日 は オーストリアの理論物理学者 波動形式の量子力学である 波動力学 を構築した 量子力学の基本方 程式であるシュレディンガー方程式やシュレディンガーの猫などによ り一般にも広く知られている を特殊相対性理論に拡張した方程式 であり 量子としての素粒子を記述する 素粒子の情報は 位置 : x 運動量 : p エネルギー : E で与えられる 量子力学では 素粒子の運動を記述するのに波動関数 y を用いて E p, y (, と表す ここで E p, t x (. は全運動量を表し 素粒子の質量を とすると 力の働いていな い場合には ( 問題 力の働いていない場合の 素粒子の運動の特徴を説明せよ ニュート ンの第? 法則にあたるか? E p, t p ニュートン力学 E 4 p, t c p c 特殊相対性理論 と表せる 従って 特殊相対性理論 に拡張すると 4 c p c y ( x, (. になる さて 量子力学では 運動量 :(,, (,, p p p p p p p は x y z

2 /7 第 章電子とディラック方程式 æ æ Ñ i k : ç,, ç,, x x z x z x x x è è (. を用いて表され ì pxy x t i x t x py y pyy x, t i y x, t x pzy x x î z (, y (, ( ( (, y (, (.4 のルールに従って置き換える ( 問題 x 方向の運動量の測定値を p ( px とするとき (.4 p の微分方程式を解いて波動関数 (, x ˆ p i x と表示することにする その結果 量子力学の x と p の間の基本式関係式 é ëx, pˆ ù ûy d y t i i y x を求めよ 以降 [ x, pˆ x ] y y y, pˆ y ûy y [ z, pˆ z ] y y これ以外は x pˆ y ì ë é ù é i, ù î ë û (.5 (.6 を導く事ができる ( 問題 A (.6 を証明せよ ( 問題 B xˆ p と表すとき (, i d y ( p é ëx ˆ i, p ù ûy p i, を証明せよ 一般的に x と p を表すのに量子力学では 微分を用いる方法 ( シュレディンガーの波動力学 : ìx y pˆ î i x ì p y xˆ î p 行列を用いる方法 ( ハイゼンベルグの行列力学 ( ハイゼンベル グ :Werner Karl Heisenberg (9 年 月 5 日 年 月 日 は (.7 ドイツの理論物理学者 行列力学と不確定性原理によって量子力学に絶大な貢献をし た :

3 /7 第 章電子とディラック方程式 æ æ ç ç - ˆ w x, ˆ x x -i w ç p - ç 等 (.8 ç ç - è è w E n p の つの方法があるが どちらも ˆx と ˆp を用いて統一的に理解する事ができ (.6 は ì 微分 : xˆ iy x xiy x piy x y x é ëx ˆ, ˆ ù i i p û d i xi î行列 : xˆ, pˆ : 行列 (, (,, ˆ (, (, と表す事ができる ( 問題 4 (.8 を用いて [ ˆ, ˆ ] 推測せよ 特に x x i (.9 x p が成立する事を 計算を実行して 観測値 x, i p を固有値 i ì 微分 : xˆ iy xiy, y piy t i xi xˆ A A æ* * æ* æ* ˆA, ˆ 行列 : x xi A pb pi B Þ * * ç * xi * 等 î è è è と呼ぶ この表記を 演算子 : ˆx と ˆp と言う 計算するときは 微分や行列で表す 量子力学の運動方程式は (.7 を用いて ì ˆ æ æ p - ç - Ñ è i x è x z æ æ ˆ x ç - - Ñ è ç î p è px py pz なので (. より ì Ey t c c y t c c y t 4 Ey c p c y t î である しかしながら 4 pˆ - Ñ 4 p (. (.

4 4/7 第 章電子とディラック方程式 ( 4 4 c c -c Ñ c p は綺麗でない (? 素粒子の従う方程式は空間について ( Ñ を用いる 階の微分方程式ではなく (Ñ を用いる 階の微分方程式のはず という理由から ディラックは 4 を外すバージョン : c p c ( 4 c p c (?????? した この (??? を用いる方法の運動方程式を ディラック方程式 という を考案 以降では E c p c 4 (. の関係式に着目するので (. のうち ( xˆ, p, c p ( xˆ, p, (??? ì E E ( xˆ, p, y î E c 4 (. を用いる c c 4 p は綺麗でないが 相対論的場の理論に移行すると (, 子の生成 消滅を記述する演算子を表す事になり y p 自身が粒 4 c p c : スピン や の素粒子 ( 未発見のヒッグス粒子や光子など の運動方程 式を表し クライン ゴルドン方程式 (??? : スピン / の素粒子 ( 電子やミュー粒子など の運動方程式を表し ディラック 方程式 で記述される Ⅱ. 質量 素粒子のディラック程式 c p 4 ( c??? 数値の拡張 を実現するヒントは である すでに 量子力学で 数値の拡張 をすでに行っていて 数値 : p i x 関数 f ( x と固有値 p に拡張 : pf ( x f ( x

5 5/7 第 章電子とディラック方程式 æ* * 行列に拡張 : ˆp * * è である 適しているのは 行列に拡張 である 数値の行列表示行列に拡張する方程式は (. より c p c y t t ì c p c y t p c が数の時 : (, p t î c t c c になる まず 静止質量が : (??? y p が行列の時 : p (??? (.4 の場合 : ìc p y p が数の時 : p y î c(??? y p が行列の時 : p ( 行列 c t を調べる 一番小さな行列は 行 列なので 数の行列への拡張は 単位行列 æ I ( I : è 単位行列を用いて行列と思う æ æ p p p I p ç è è p (.5 (.6 (.7 である 更に 簡単のため p : p,, Þ p p x 方向にのみ移動 : ( の場合 (.7 は p æ p p I ç è p 行列と思う を行列に拡張する ここで I I なので すぐに解る答えは 数の場合の答えに対応した p 行列と思う ( p I p I pi (.8 (.9 (. より 行列と思う p pi (.

6 6/7 第 章電子とディラック方程式が解になる もし 単位行列以外に 答えが有るとすると その答えを行列 K として K に 必要な条件は (. に対応し ( ( p I pi Þ p I pk (. より K I になる このとき 行列と思う p pk (. (.4 として拡張される 従って K I を満たす行列 K を求める 必要がある (. K I を計算するために 行 列の行列 K : æ a b K è c d とする このとき (.4 は行列と思う a b pa pb p pk æ æ p è c d è pc pd と表せる ここで 量子力学なので a, b, c, d は複素数でも良い ことになる (. K I より æ a b æ a b K I è c d è c d を満たす必要がある これより a b a b æ a bc ab bd æ æ æ ç ç è c d è c d è ca dc cb d è (.5 (.6 (.7 (.8 なので 4 つの条件として ì a bc ab bd ì 対角成分, 非対角成分 (.9 î cb d îca dc を得る (.9 から 以下のように 4 つの行列が求まり b c ì a b a a æ æ a bc ç c a ç 自動的に ì 満たす ab bd è è ì Þ A Þ 非対角成分 b c (. cb d î ca dc æ a b a a-æ î è î c -a è -

7 7/7 第 章電子とディラック方程式 a d ì a b bc b c æ æ 自動的に ì a bc c a 満たす è è ìab bd Þ A Þ 非対角成分 a d (. î cb d a b bc b- i, c i i îca dc æ æ - î è c a è i になる (. と (. の単位行列を除いた つの行列は パウリのスピン行列 : : (,, y, z として知られていて s s s s s s s (. ì æ s è æ -i s è i æ s ç - î è と定義される 従って K としては K s, s, s が解となる これらの行列は (.7 の性質 : s s s s s s I (. (.4 (.5 があるが これ以外に s s - s s is ( s s - s s is * の規則性に注意 s s - s s is (.6 従って s s s s s s s s s s s s (.7 という性質を満たす事が知られている ( 問題 5 (.6 を証明せよ 質量 素粒子のディラック程式パウリのスピン行列は 種類あるので これをベクトルの つの成分と見なし ( ( x y z ( ( x y z s : s, s, s s, s, s A : A, A, A A, A, A (.8 とするとき 形式的に 次元ベクトル Ai ( i,, との内積を考えると

8 8/7 第 章電子とディラック方程式 A s å Ais i i (.9 になる s, s, s は (.5 と (.6 を満たすことを思いだし æ ç å i i i ( s s ( s s s ( s s s A A A A A A A A A A A A è と計算できるので ( 問題 6 (.4 を証明せよ ( A s A ( A A A (.4 (.4 が導ける (. をもちいると æ æ -i æ A s A A A A A A è è è s s s ç ç i ç - A ia -A æ è A A - ia なので A æ A A - ia s ç A ia -A è (.4 (.4 を得る これを直接計算すれば 簡単に (.4:( A s A が得られる 逆に ( A s A A A A (.44 から 出発して s, s, s の満たす条件を調べる事ができる つまり (.4 より ( A s ( As A s A s を要請すると A s s A s s A s s ( s s s s ( s s s s ( s s s s A A A A A A A A A s s s s s s I s s s s s s ss s s s s (.45 (.46 が得られる 勿論 具体的な 行 列の (. の時に満たされている このパウリのスピン行列を用いれば (. は (.9 より

9 9/7 第 章電子とディラック方程式 行列と思う ( s s p p I p p s p (.47 と表す事ができる 従って (.5 は ìc p y p が数の時 : c( s s p s y î p p p が行列の時 (.48 となり 求める解は c t ( p s p s p s y (.49 である これを 質量 素粒子のディラック程式 という 質量を持つ素粒子のディラック方程式は 4 行 4 列の行列表記が必要にになる Ⅲ. ディラック程式 (.4 の場合は 次元ベクトルの大きさが 行 列の行列から計算できる 質量が有る場合には 4 行 4 列の行列に拡張されるが (.8 行列と思う a b pa pb p pk æ æ p Ü K,, è c d è pc pd s s s (.5 の操作で数を 行 列の行列に拡張したように 行 列のs, s, s を 4 行 4 列の行列に拡張 し,, a a a と呼ぶ (.5 を参考にすれば 4 4 行列と思う æ a b æsa sb æ s sk s ç c d ç c d a Ü s ç è ès s è 4 4 行列と思う æ a b æs a s b æ -i s s K s a Ü s c d c d è ès s è i 4 4 行列と思う æ a b æs a s b æ s s K s a Ü s c d c d ç - è ès s è (.5 と拡張できる ここで K は 通り候補 s, s, s があったが K ì s ディラック パウリ表示 : シュレディンガー方程式との親和性 - s ワイル表示 : 素粒子の相互作用との親和性 î (.5 が標準の取り方となっている テンソル積 積 : s, K は 正しい数学用語では 行列 テンソル積 : s Ä 行列, K

10 /7 第 章電子とディラック方程式 といい 積のルールは (.5 で与えられ 一般的には ì æ a b æ æ a b æ a b X ç A B c d ç ç A B A B c d ç c d è æ æ X X ç è è X Ä Y X Ä ç A B C D ç C D ç æ a b a b æ è è X X æ Y C D ç C D ç ç c d ç c d î è èè è æ aa ba ab bb ç ca da cb db ç ç ac bc ad bd ç cc dc cd dd è と計算する これは 通常の行列の演算規則 : 数値行列 A B æ æ æ 拡張 p Y ( p Ä Y p Ä ç p A pb ç A B Þ X X èc D è pc pd è XC XD 数値 の自然な拡張になっている 以上から æ aa ba ab bb ç ca da cb db æ a b æ A B テンソル積 : Ä ç è c d èc D ç ac bc ad bd ç cc dc cd dd è (.5 (.54 (.55 を得る また テンソル積同士ののかけ算は [ X ] [ X ] Ä Y Ä Y X X ÄY Y (.56 である 従って テンソル積で表すと a s Ä K a s Ä K a s Ä K (.57 である 特に 標準の取り方 (.5 の K -s では a -s Äs a -s Äs ワイル表示 a -s Äs (.58 になる (.55 で計算すると a s Äs は

11 /7 第 章電子とディラック方程式 æ - æ æs ç - a -s Ä s -s Ä è - è -s ç ç è と計算される また a a は (.56 に従って (.46 と (.6 に注意して (.59 is I [- Ä s ] [-s Ä s ] (- (-s Ä s s - ( is Ä -( I a a s s æis æ i ç -i is Ä I ç is ç i è è -i s s s s (.6 と計算される ( 問題 7 (.6 に習って a a,a a を計算し 4 行 4 列行列表記を求めよ このとき p ì 行列と思う p I p p p ( s s s 4 4行列と思う p I p p p î ( a a a (.6 と表せる事になる (.6 が成立するのにa, a, a に必要となる関係式は (.46 を読み替えればよいが (.6 が対応し (.58 のa, a, a が自動的に満たすことが解る 行 列の (.6 と (.46 をそのまま 4 行 4 列で読み替えた式は a a a a a a I a a a a a a a a a a a a a a - a a ia a a - a a ia a a - a s ia (.6 である ディラック方程式 さて 質量を含めるので (.6 から推測でき a, a, a に加えて第 4 番目の行列を b とし て導入し 4 4行列と思う ( a a a p p I p p p Þ ( c ( a a a cb 4 4行列と思う c I p p p p p 拡張する 新たな行列 b は (.6

12 /7 第 章電子とディラック方程式 bb I a b ba ab ba ab ba (.64 を満たす必要がある ( 問題 8 (.6 と (.64 を用いて (.6 の質量のある場合 ( p pa pa cb p( p c æ ç ç ç è a を証明せよ a, a, a が (.58 で与えられとき (.64 を満たす b は b I Äs ワイル表示 (.65 で与えられる ( 問題 9 (.56 の演算規則を用いて (.58 のa, a, aと (.65 の b が (.64 を満たす事を証明せよ (.6 の計算方法と (.5 と (.6 の性質に注意せよ このとき (.6 より (.4 は c p c y c( pa pa pa cb y (.66 と表せ ディラック程式 : c c t ( p a p a p a b y (.67 を得る事になる 4 行 4 列の行列 a, a, a, b は a -s Äs b I Äs a -s Äs ワイル表示 a -s Äs (.68 で表せる 従って (.67 の y は 4 行 4 列の行列と計算できるために 4 列 である 4 つの成分を y,,,4 とすると y t と表せる æy ç y ç y ç y è 4 4 次元表記と行列表示 (.69

13 /7 第 章電子とディラック方程式 さて (. より Ey t と表せるので ディラック方程式は ( p a p a p a b y Ey t c c t (.7 (.7 になる 4 次元ベクトル p : E E p : ( p, p, p, p æ ç, x, y, z æ ç,,, è c p p p è c p p p (.7 を用いて Ey cp y c ( p a p a p a cb y t Þ (.7 c ( p a p a p a cb y と表される これより ( p a p a p a y by p - c t (.74 になり また 両辺に b を欠けて (.64 bb I より ( p (, c (, é p b p b p b b ù ë - a a a û y p y p t (.75 を得る これから c 静止質量 : 素粒子の速度に依らずに同じ値 p b - ( p b p b p b がわかる 従って a a a : 素粒子の速度に依らずに同じ値 p b - ( p b p b p b ( b, ba, ba, ba 4 元??? は p : ( p, p, p, p 同じ変換性を持つことがわかる この 4 つ組 : ( b, b, b, b a a a が 素粒子の速度に依らずに同じ値 になるには a a a 4 次元ベクトル : ディラックの γ 行列 と呼び (.7 の p と同様の表記ができ ( ( x y z ( ( 4 次元ベクトルの 4 元運動量と g : g, g, g, g g, g, g, g g, g, g, g b, ba, ba, ba (.76 であらわす また (.6 と (.64 は g g I, g g g g g g -I ì g g g g g g g g g g g g î g g g g g g g g g g g g (.77

14 4/7 第 章電子とディラック方程式 と表される ( 問題 (.6 と (.64 から (.77 を証明せよ 下付き添え字版では ( ( ( ( g : g, g, g, g g, g, g, g g, g, g, g b, ba, ba, ba (.78 であり (.77 と同様な関係式が成立する 更に (.77 は 第 8 章 4 次元ベクトル -Ⅱ.4 次元座標ベクトル (8.6 の ( g, g g g - これ以外は ( g, g g g - これ以外は を用いると 反交換関係と呼ばれる記号の約束事 : { A } [ B] 反交換関係 :, B AB BA 交換関係 : A, AB - BA (.79 (.8 (.8 を用いて { g } n n n n, g g g g g g I Ü, n,,, (.8 { g }, g g g g g g I Ü, n,,, n n n n としてまとめる事ができる ( 問題 (.77 から (.8 を導け 用い p b - ( p ba p ba p ba p g - ( p g p g p g (.8 (.75 は (.76 を (.84 と書き換える事ができる x 方向に速度 v 運動する素粒子は 第 5 章ローレンツ変換と回転 -Ⅲ. 素粒子と慣性系で v v p - p p - p p c, p c v v - - c c と変換されるので æ p g - ç p g p g p g p g - p g è が 速度 v に依らないためには v v g - g g - g c g, g c v v - - c c (.85 (.86 (.87 クリフォード代数という一般的な代数を構築する 例えば 4 個のg は 4 次元空間 個のg は 次元空間のディラックの行列に対応する

15 5/7 第 章電子とディラック方程式 と変換されなければならない ( 問題 (.85 と (.87 のとき (.86 は速度に依らない つまり p g - p g p g - p g を示せ この性質は 反変 共変ベクトルとして ì æ E æ E p :( p, p, p, p ç, px, py, pz ç, p, p, p 反変ベクトル è c è c î g : g, g, g, g b, b, b, b b, b, b, b ( ( a x a y a z ( a a a ì æ E æ E p : p, p, p ç,- px, - py, - pz ç,- p, - p, - p 共変ベクトル è c è c î g :( g, g, g, g ( b, -ba x, -ba y, -ba z b,-b a, -b a, -b a と表せる (.75 ディラック方程式は g を用いて表すと é ë ( ù (, (, p g p g p g p g y t cy t ( (.88 - û p p (.89 である 反変ベクトルと共変ベクトルの表示にすると ( g g g g ( (- g (-g (-g p g - p p p p - p p p p g p g p g p g å p g (.9 より å ( p g p g - p g p g p g とコンパクトな表示になり (.89 よりディラック方程式は æ p - c y t ç å g è と表せる 更に (.9 は E c ( æ æ c p p p p c ç p c ç p c è è ( p ( ( - - å g å g - (.9 (.9 (.9 に注意すると (.9 は素粒子のエネルギーと運動量の関係 E c p c から 直接導け 4 る ( 問題 (.77 と (.9 を用いて (.9 を証明せよ 階の微分方程式のディラック方程式さて (.9 を 微分方程式で表すには (. と (.4 の関係式 ì Ey t y î i x より 成分表記 py (.94

16 6/7 第 章電子とディラック方程式 ( ( x y z x : x, x, x,, ( ( x y z p : p, p, p p, p, p をすると y ( ( (,, y x, t p y x, t ì E t î i x と表せる さらに 4 次元表記 ( ( x x x (,,, ì x : x, x, x, x ct,,, ct, x, y, z î x,,, : x, x, x, x ct,,, ct, x, y, z ( ( -x -x -x ( ì,,, æ E æ E p : ( p, p, p, p ç, p, p, p ç, px, py, pz è c è c æ E æ E p,,, : p, p, p ç,- p,- p, - p ç, - px, - py, - pz î è c è c に移行すると ( x ( x, t cで割る, t E Ey Þ y c t c ct x ü Þ E i p y (, ý x p x c þ (* p の上付き なので は下付きxが対応する x x -x ü y p y Þ ý i x p p þ Þ - y y Þ y i x x y に注意して ( y ( ( ( y, y, p p * が下付き xなので も下付きx にする x x ì ì E t p y t x,, Þ,, (, t t t x x p x p y x t î i x î x ( (, (.95 (.96 (.97 (.98 (.99 (. を得る 従って

17 7/7 第 章電子とディラック方程式 p y ( x (,,,, x (. の対応がわかる (.9 に この対応を用いると y を (, y x に代えて æ æ æ ç å p g - c y Þ ç å p g - c y i g - c y (, t ç å x (. x è è è を得る つまり 階の微分方程式は æ ç åig c y t - è x (. として与えられる このように 4 次元ベクトルを使って 一つの式としてまとめられると 添え字の上下を代えた次の式も 正しい表式になり p y ( x (,,,, x æ ig - c y ç å x è (.4 (.5 と表せる ( 問題 4 ct, x, y, z で表したときに (.5 が (. と同じ表式になる事を証 明せよ また 関数 y の引数 の表記も 4 次元表記を取れて ( x ( ( - x ( ì x : ct, ct, x, y, z x î x : ct, ct, x, y, z (.6 とすれば y ( x と表す事ができ æ æ ç åig - c y ( x ig c y ( x Þ ç å - è x è x æ æ ig - c y ( x ig - c y ( x ç å Þ x ç å x è è である ここに y ( x である ( x ( x ( x ( x æy ç y ç y ç y è 4 (.7 (.8