非定常時系列データのVARモデル推定について

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つねときしろみず
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1 非定常時系列データの VAR モデル推定について明治大学大学院商学研究科辻裕行 2010 年 12 月 18 日要旨単位根を含んだ非定常時系列に対する VAR モデルの推定問題を検証する伝統的理論では単位根が存在する時系列を分析する場合レベルの VAR モデルで推定を行うことは望ましくなくデータの階差を取ったモデルで推定を行わなければならないとされてきたしかし Sims,Stock,and Watson(1990) が指摘している様にデータの階差を取ると元のデータに含まれていた重要な情報が欠落してしまう可能性があるまた単位根検定共和分検定といったプレテストそのものの信頼性とそれに伴うモデル特定化の困難さという問題もあるこれらのリスクを回避する為単位根及び共和分関係の有無に関わらずレベルの VAR で推定を行いバイアスはいわば甘受してしまうことが最近の研究の主流となっている本稿ではモンテカルロシミュレーションで有限サンプル下における VAR モデル VEC モデル Sims,Stock,and Watson(1990) の提唱した VAR を変換したモデル ( 以下 SSW モデル ) の三種のモデルの非定常時系列に対するパラメータ推定の精度を検証したまた同じく誤った推定方法のバイアスを検証するという目線から時系列データの誤差項同士が相関している場合 ( モデルの標準的仮定が崩れた場合 ) の上記 3 モデルにおけるOLS 推定とFIML 推定の精度も実験したその結果少なくとも今回の実験の範囲においてはこういった誤った推定方法を用いることのバイアスは比較的軽微であるという結論に至った 1. 序全く相関関係のないランダムウォークに従う I(1) 変数同士を回帰した場合見せかけの相関が発生してしまうその為伝統的な時系列分析理論においてはデータに対して単位根検定及び共和分検定を行いその結果に応じて適切なモデルを選択する必要があるとされてきたしかし Sims,Stock,and Watson(1990) 等を根拠としてレベルの VAR で推定を行うことが最近では通常となっているあるいはまた時系列データの誤差項に関する前提 ( ガウス=マルコフの定理の前提 ) が崩れた場合 OLS はBLUE でなくなってしまうがここでも漸近理論に頼り推定量の効率性を軽視するのが最近の風潮であるそれ故標準的仮定を満たす努力自体が過去のものとなりつつもある本研究はこういった伝統的な理論を軽視する流れに対する問題意識から出発し誤った推定方法を用いると具体的にどの程度の弊害が生じるのかをモンテカルロシミュレーショ 1

2 ンにより検証したその結果有限サンプルでは比較的軽微なバイアスしか生じず大きな問題ではないという結論を得た以降の構成について簡単に記す 2 節で今回検証する時系列データ及び 3 種のモデルについて述べる 3 節ではシミュレーションの内容について詳細を示し 4 節に結果を報告する 5 節にて結論を述べる 2. モデル今回シミュレーションで生成する時系列データ及び三種のモデルについて解説する以下の連立方程式で表わされる時系列を考える (u と v は互いに無相関と仮定する ) X = 0.4X +0.7Y +u u ~N(0,1) Y =0.2X +0.9Y +v VAR 形式では以下の様に表わされる v ~N(0,1) X = Y X Y 0 1 u v この時系列データが単位根を持ち共和分関係にあることを確認する係数行列を A と置く =A A の固有根は固有方程式 A λ =0 ( は単位行列 ) を成立させる λ であるので λ 0.5λ 0.5=0 より λ=1, 0.5 である固有根に 1 を含むのでこの時系列は単位根を持つまた 0< (A λ )=1<N=2 であることから共和分関係にあることも確認できる次に VEC モデルはデータの 1 階の階差をとり X = 1.4(X 0.5Y )+u Y =0.2(X 0.5Y )+v となる共和分ベクトルは Johansen の検定により求めることとするここで (X 0.5Y )=η (η = ( 0.5) ε, ε =u 0.5v ) と表わせる ( 変数同士の線形結合が定常となる ) ので X と Y の 2 変数が共和分関係にあることを改めて確認できる最後に SSW モデルについて解説する Sims, Stock, Watson(1990) に基づけば VAR モデルを Jordan 標準形を用いて変換したモデルを OLS 推定することで一致推定量を得ることができるとされているモデルの変換過程を要約すると以下の通りである初めに係数行列 A をジョルダン分解するこの時ジョルダン標準形 J に含まれる固有値に 2

3 ついて 1 未満の固有値が上方 1(= 単位根 ) が下方に来るよう変形する A=B JB となるような正則行列 B を求める為 A の固有ベクトルを求める λ= 0.5 について A λ b =0 となるベクトルb は x y =0 となる x y であるので λ=1 について b = A λ b =0 となるベクトルb は x y =0 より同様に b,b を合わせてとなる BB =B B= よりである b = 1 2 B = B= J=BAB = ここで J を 1 未満の固有根を含むブロックと固有根 1 のブロックに分割しそれぞれ J J とする即ち J = 0.5 J = 1 であるまたこれに基づいて B を分割する即ち B = B = であるこの様にして求めた B を用いて VAR モデルを変換する詳細は Sims, Stock, Watson(1990) を参照されたいここでは Z =B X Y = 2 15 (X 0.5Y ) Z =B X Y 1 15 (X +7Y ) 3

4 となり Z= Z が得られるこれを用いて Z X = δ δ Z Y δ δ u v Z と置きこれを OLS 回帰させるのが SSW モデルとなるここでは X = 0.4X +0.7Y +u =δ 2 15 X Y +δ 1 15 X Y +u Y =0.2X +0.9Y +v より =δ 2 15 X Y +δ 1 15 X Y +v δ δ δ δ = である 3. モンテカルロシミュレーション以上 VAR モデル VEC モデル SSW モデルの3 モデルについて上記の時系列生成からパラメータ推定までのモンテカルロシミュレーションを行いパラメータ推定の精度について比較分析を行う (Eviews7 を使用プログラムは添付資料を参照のこと )2 節にて述べた非定常時系列 X = 0.4X +0.7Y +u u ~N(0,1) Y =0.2X +0.9Y +v v ~N(0,1) に対するOLS 推定及び e,f,g~n(0,1) u = 2(0.5e+0.5f) v = 2(0.5e+0.5g) という誤差項の系列相関を加えた時系列に対する OLS FIML 推定を行うシミュレーションは Sample=20,30,50,100,200,300,500,700,1000 Observations=4000 で行うものとする即ち時系列の生成と各モデルでの推定をそれぞれ 4000 回繰り返し各推定値の平均値とあらかじめ判明している真の値との誤差についてサンプル数の 9 段階の変化に応じた収束のふるまいを観察する誤差はパーセンテージ (1- 推定値 / 真の値 ) で測定したモデル特定化の問題はここでは取り扱わない為プレテストは行わず 4

5 モデルは特定済みとして推定を行うよって 2 節でも述べたが VEC モデルについては X =a (X +by )+u Y =a (X +by )+v という表現で係数の推定を行う従ってまず共和分ベクトル b をJohansen の共和分検定により推定しその後 a 及びa を推定するという二段階のプロセスになる以下に結果を示す 4. シミュレーション結果 (1) 標準的仮定を満たしたデータに対する OLS 推定表 (1)-1 1 VAR モデル推定結果真の値真の値真の値真の値 VAR A1 A2 B1 B Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5

6 表 (1)-2 VEC モデル推定結果 VEC A1 真の値真の値真の値 A2 B Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % 表 (1)-3 SSW モデル推定結果 SSW D1 真の値真の値真の値真の値 D2 D3 D sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 6

7 表 (1)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 ) 比較 sample VAR VEC SSW % % % % % % % % % % % % % % % 図 (1)-1 1 VAR モデル誤差誤差グラフ図 (1)-2 VEC モデル誤差誤差グラフ 2 7% 16% 6% 12% 5% 4% 8% 3% 4% 2% 1% -4% -1% A1ERROR B1ERROR A2ERROR B2ERROR A1ERROR A2ERROR BERROR 図 (1)-3 SSW モデル誤差誤差グラフ図 (1)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 ) 比較グラフ % 35% % 25% % 15% 1 1 5% 5% D1ERROR D2ERROR D3ERROR D4ERROR VARMAXERROR VECMAXERROR SSWMAXERROR 7

8 まずは時系列について誤差項の標準的仮定が満たされている場合のシミュレーション結果から見て行く表 (1)-4 より三モデルを相対比較すると VEC モデルが最も良い推定結果を示しており次いでVAR 最も信頼性に掛けるのはSSW モデルであると言える SSW モデルは理論的に無限サンプルでは一致推定量となるが今回の実験範囲ではほぼ VAR モデルに劣ると言わざるを得ない漸近収束の速度が遅い為良い推定結果が残せなかったものと考えられるまた絶対値を見ると安定した結果を得る為には最低でも VEC モデルでサンプル数 50 以上 VAR モデルではサンプル数 100 以上 SSW モデルを運用するのであればサンプル数 200 以上程度が概ね必要であると考えるサンプル数 500 程度以上の大標本が用意できればレベルの VAR モデルでもそれ程悪くない推定値を得られると言えるだろう勿論 VEC モデルが最良の結果を出している事には変わりないしかし実際に研究を行うに当たってケースバイケースであるにせよモデル特定化に失敗するリスクが 1% 未満程度の平均誤差の減少と釣り合うかどうかは一考の余地があるのではないだろうか (2) 誤差項同士相関のあるデータに対する OLS 推定表 (2)-1 VAR モデル推定結果 VAR A1 真の値真の値真の値真の値 A2 B1 B sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 8

9 表 (2)-2 2 VEC モデル推定結果 VEC A1 真の値真の値真の値 A2 B Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 表 (2)-3 SSW モデル推定結果 SSW A1 真の値真の値真の値真の値 A2 B1 B sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 9

10 (2)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 ) 比較 sample VAR VEC SSW % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 図 (2)-1 VAR モデル誤差誤差グラフ図 (2)-2 2 VEC モデル誤差誤差グラフ 1 3% 8% 2% 6% 1% 4% 2% -1% -2% -2% -3% A1ERROR B1ERROR A2ERROR B2ERROR A1ERROR A2ERROR BERROR 図 (2)-3 SSW モデル誤差誤差グラフ図 (2)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 1 12% 5% 1 8% 6% -5% 4% -1 2% -15% D1ERROR D3ERROR D2ERROR D4ERROR D1ERROR D3ERROR D2ERROR D4ERROR 10

11 次に誤差項同士に相関がある場合の OLS 推定である先のシミュレーション (1) と比べてある程度のサンプル数 VAR では700 程度 VEC 及びSSW では300 から500 程度までは相関が無いケースよりもむしろ収束が早く良い結果を出しているように見受けられるしかし一致推定量を得られる推定ではない為当然ながら一定のサンプル数を超えた段階で収束は止まりバイアスが残り続けるという傾向が見て取れるこれは興味深い結果であるまた 2~300 のサンプル数さえ確保されていれば絶対値では平均誤差 1% 以下程度のバイアスである比較的小さなバイアスとして無視できる研究もあるだろう (3) 誤差項同士相関のあるデータに対するFIML 推定表 (3) 3)-1 VAR モデル推定結果真の値真の値真の値真の値 VAR A1 A2 B1 B sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 表 (3)-2 VEC モデル推定結果 VEC A1 真の値真の値真の値 A2 B Sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % 11

12 表 (3)-3 3 SSW モデル推定結果 SSW A1 真の値真の値真の値真の値 A2 B1 B sample 推定値誤差推定値誤差推定値誤差推定値誤差 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 表 (3)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 ) 比較 sample VAR VEC SSW % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 12

13 図 (3)-1 VAR モデル誤差誤差グラフ図 (3)-2 VEC モデル誤差誤差グラフ % 1.5% 6% 1. 4% 0.5% 2% % -2% -1. A1ERROR B1ERROR A2ERROR B2ERROR A1ERROR A2ERROR BERROR 図 (3)-3 3 SSW モデル誤差誤差グラフ図 (3)-4 各モデルモデル内最大誤差 ( 絶対値 ) 比較グラフ 1 1 8% 6% 8% 4% 6% 2% 4% -2% -4% 2% -6% D1ERROR D3ERROR D2ERROR D4ERROR VARMAXERROR VECMAXERROR SSWMAXERROR 最後に誤差項同士相関があるデータに対して FIML 検定を行ったシミュレーション結果についてまとめる VAR SSW モデルはOLS 推定を行ったシミュレーション (2) の結果と比べそれほど差は無いように見られる対してVEC モデルに関しては概ね二倍程度の収束の良さが見られる三つのシミュレーション全体を通して言えることでもあるがサンプル数が 30 や 50 など小標本の場合には VEC モデルが信頼できるモデルであり逆にVAR やSSW モデルでは使い物にならないという可能性も大きくなってくるだろうとりわけ FIML で推定を行う場合は三種のモデルの中で唯一恩恵を受けられるようでもある VAR やSSW モデルに比して誤差をかなり大きくカット出来るメリットが十分に大きいと感じられる場合はモデルを特定化し階差を取るリスクに見合うと考えることもできるだろうまた大標本を利用できる場合はやはりレベルのVAR モデルで推定を行ってもそれほど差し支えないと考えられる 13

14 5. おわりに本稿では伝統的理論によれば誤った推定方法とされる最近の分析手法のバイアスを検証する為一つの具体例としてモンテカルロシミュレーションを行ったその結果今回のシミュレーションの範囲では誤差項同士に相関が無い場合は 500 以上相関がある場合は 200 ~300 程度以上のサンプル数があればレベルの VAR で推定を行うことにより生じるバイアスはほとんどのケースで差し支えないであろうと感じられたその上で求める推定精度プレテストの信頼性時系列 ( 誤差項 ) の特性に対する研究者の確信等を加味して必要に応じて VAR 以外のモデルを選択利用すれば良いだろう具体的には例えば小標本の場合やFIML 推定を行う場合にVAR モデルとVEC モデルを併用するあるいは巨大標本で誤差項同士に相関が無く階差を取らずにOLS 一致推定量を得たい場合はSSW モデルを利用する等の選択が考えられるいずれにせよ時系列データを推定する際のモデル選択に関してはサンプル数が最も大きなファクターである小標本を利用せざるを得ない場合あるいはといった巨大なサンプル数のデータを利用出来る場合には VAR 以外のモデルを利用するという選択を考慮する余地があるだろうまた今回のシミュレーションは検証する時系列に関して係数サンプル数等バリエーションに乏しく限定された範囲での結論であるということは強調しておかなければならないどの様な時系列データを扱うケースにおいても今回の様な結果が得られるとは限らない他の様々なケースを扱い更なる検証を行うことは今後の課題である参考文献 Dickey, D. A. and Fuller, W. A.(1979),"Distribution of the Estimators for Autoregressive time Series with a Unit Root",Journal of the American Statistical Association, Vol.74, pp Engle,R.F. and Granger,C.W.J.(1987),"Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing",Econometrica, Vol.55, pp Phillips,P.C.B.(1987),"Time Series Regression with a Unit Root",Econometrica, Vol.55, pp Sims, C. A., Stock, J. H. and M. W. Watson(1990),"Inference in linear time series models with some unit roots",econometrica,vol.58,no.1, pp Brooks,C.(2008),"Introductory Econometrics for Finance", Cambridge University Press,2008. 北岡孝義高橋青天矢野順治 EViews で学ぶ実証分析入門応用編日本評論社年 14

博士学位請求論文審査報告書申請者 : 植松良公論文題目 :Statistical Analysis of Nonlinear Time Series 1. 論文の主題と構成経済時系列分析においては, 基礎となる理論は定常性や線形性を仮定して構築されるが, 実際の経済データにおいては, 非定常性や

博士学位請求論文審査報告書申請者 : 植松良公論文題目 :Statistical Analysis of Nonlinear Time Series 1. 論文の主題と構成経済時系列分析においては, 基礎となる理論は定常性や線形性を仮定して構築されるが, 実際の経済データにおいては, 非定常性や Title 非線形時系列の統計解析 Author(s) 植松, 良公 Citation Issue 2013-09-30 Date Type Thesis or Dissertation Text Version ETD URL http://doi.org/10.15057/25906 Right Hitotsubashi University Repository 博士学位請求論文審査報告書申請者