Wilcoxon H23 BioS 1 Wilcoxon 2 2.1 1 2 1 0 1 1 5 0 1 2 7 0 1 3 8 1 1 4 12 0 2 5 2 0 2 6 3 1 2 7 4 1 2 8 10 0 Wilcoxon 2.2 S 1 t S 2 t Wilcoxon H 0 H 1 H 0 : S 1 t S 2 t H 1 : S 1 t S 2 t 1
*1 *2 2.3 2.3.1 Wilcoxon 2 2 t 3 0 4 4 1 2 3 1 6 7 t 4 0 4 4 1 1 2 1 5 6 t 8 1 1 2 0 1 1 1 2 3 2.3.2 t d t M t N t M t n t N t n t N t d t N t t at risk number * 3 d t t *1 S 1 t S 2 t t y S 1 t y S 2 t *2 S i t f i t f i t ds i dt t 1 *3 at risk number 2
e t t v t t e t E[d t ] n tm t, v t V [d t ] M tn t N t M t N t n t N t Nt 2 N t 1 t 3 N 3 7, d 3 0, e 3 1 4 7 4 7, v 3 4 3 1 6 7 2 7 1 12 49 t 4 t 8 N 4 6, d 4 0, e 4 1 4 6 N 8 3, d 8 1, e 8 1 2 3 4 6, v 4 4 2 1 5 6 2 6 1 8 36 2 3, v 8 2 1 1 2 3 2 3 1 2 9 t N t d t e t v t 4 12 3 7 0 7 49 4 6 0 4 6 8 36 8 3 1 2 3 2 9 3 Wilcoxon 2 2 3 Wilcoxon 3 d 3, d 4, d 8 3.1 d log d 3 + d 4 + d 8 d log 0 + 0 + 1 1 E[d log ] E[d 3 + d 4 + d 8 ] E[d 3 ] + E[d 4 ] + E[d 8 ] e 3 + e 4 + e 8 4 7 + 4 6 + 2 3 40 1.9048 21 3 12 + 14 + 14 21
V [d log ] V [d 3 + d 4 + d 8 ] V [d 3 ] + V [d 4 ] + V [d 8 ] d 3, d 4, d 8 12 49 + 2 9 + 2 9 304 0.6893 441 χ 2 log d log E[d log ] 2 V [d log ] 1 1.90482 0.6893 1.1877 2 χ 2 log 1 χ2 *4 5% χ 2 log > χ 2 1, 0.95 χ 2 log 1.1877, χ2 1, 0.95 3.8415 p SAS data d1; p log 1- cdf chisq, 1.1877, 1; run; p log 0.2758 3.2 Wilcoxon 3.2.1 Wilcoxon d 3, d 4, d 8 Wilcoxon 100 20 2 5 1 2 Wilcoxon Wilcoxon 3.2.2 Wilcoxon Wilcoxon at risk number d log d W il N 3 d 3 + N 4 d 4 + N 8 d 8 d W il 7 0 + 6 0 + 3 1 3 *4 χ 2 log 1 χ2 1 2 2 1 d t d t d t d log P t d t Wilcoxon 4
E[d W il ] E[N 3 d 3 + N 4 d 4 + N 8 d 8 ] N 3 E[d 3 ] + N 4 E[d 4 ] + N 8 E[d 8 ] N 3 e 3 + N 4 e 4 + N 8 e 8 7 4 7 + 6 4 6 + 3 2 3 4 + 4 + 2 10 V [d W il ] V [N 3 d 3 + N 4 d 4 + N 8 d 8 ] N 2 3 V [d 3 ] + N 2 4 V [d 4 ] + N 2 8 V [d 8 ] d 3, d 4, d 8 N 2 3 v 3 + N 2 4 v 4 + N 2 8 v 8 7 2 12 49 + 8 62 36 + 32 2 12 + 8 + 2 22 9 χ 2 W il d W il E[d W il ] 2 V [d W il ] {3 10}2 22 2.2273 χ 2 W il 1 χ2 5% χ 2 W il > χ 2 1, 0.95 χ 2 W il 2.2273, χ2 1, 0.95 3.8415 p SAS data d2; p Wil 1 - cdf chisq, 2.2273, 1; run; p Wil 0.1356 4 Wilcoxon Wilcoxon at risk number 5
5 SAS SAS Proc Lifetest 5.1 data d1; input group patno t censor; cards; 1 1 5 0 1 2 7 0 1 3 8 1 1 4 12 0 2 5 2 0 2 6 3 1 2 7 4 1 2 8 10 0 ; run; proc lifetest data d1; time t * censor0; strata group; run; t group Wilcoxon 1-0.90476-7.0000 2 0.90476 7.0000 6
group 1 2 1 0.689342 -.689342 2 -.689342 0.689342 Wilcoxon group 1 2 1 22.0000-22.0000 2-22.0000 22.0000 2 Pr > Chi-Square 1.1875 1 0.2758 Wilcoxon 2.2273 1 0.1356-2LogLR 1.0626 1 0.3026 5.2 χ 2 log 1.1877 2 Wilcoxon χ 2 W il 2.2273 Wilcoxon 2 p 2LogLR 3 2 i ii Wilcoxon 2 SAS 5.2.1 t 2 2 t d t M t d t N t M t n t N t n t N t 7
E[d t ] n tm t N t, E[ d t ] n tn t M t N t V [d t ] M tn t N t M t N t n t Nt 2, V [ N t 1 d t ] M tn t N t M t N t n t Nt 2 N t 1 Cov[d t, d t ] V [d t ] M tn t N t M t N t n t N 2 t N t 1 5.3 d log d 3 + d 4 + d 8 d log d 3 + t 4 + t 8 E[d log ] e 3 + e 4 + e 8 e log E[ d log ] ẽ 3 + ẽ 4 + ẽ 8 ẽ log V [d log ] V [d 3 + d 4 + d 8 ] V [d 3 ] + V [d 4 ] + V [d 8 ] v 3 + v 4 + v 8 v log V [ d log ] V [ d 3 + d 4 + d 8 ] V [ d 3 ] + V [ d 4 ] + V [ d 8 ] ṽ 3 + ṽ 4 + ṽ 8 ṽ log d log dlog d log d log E[d log ] elog ẽ log V [dlog ] V [d log ] vlog v log V [d log ] V [d log ] V [d log ] v log v log 5.3.1 d log E[d log ] dlog e log d log ẽ log d t n t d t d log d 3 + d 4 + d 8 n 3 d 3 + n 4 d 4 + n 8 d 8 n log d log n log n 3 + n 4 + n 8 8
ẽ t E[n t d t ] n t E[d t ] n t e t 1 + 1 + 1 0 + 0 + 1 2 ẽ log ẽ 3 + ẽ 4 + ẽ 8 n 3 e 3 + n 4 e 4 + n 8 e 8 n log e log 1 + 1 + 1 1.9048 1.0952 dlog e log 1 1.9048 0.9048 d log E[d log ] d log ẽ log 2 1.0952 0.9048 5.3.2 V [d log ] vlog v log v log v log *5 vlog v log 0.6893 0.6893 V [d log ] v log v log 0.6893 0.6893 5.3.3 χ 2 χ 2 log d log E[d log ] V [d log ] 1 d log E[d log ] 1 V [d log ] *6 V [d log ] V V V VV V V *7 V 1 1 0 v log 0 0 *5 *6 v log v log V [d log ] v log v log! det `V [d log ] v 2 log v2 log 0 *7 V V V 9
VV vlog v log 1 1 0 vlog v log V v log v log v log 0 0 v log v log 1 0 vlog v log 1 0 v log v log vlog v log V v log v log V V 1 1 V [d log ] 1 V [d log ] χ 2 log d log E[d log ] V [d log ] d log E[d log ] 1 1 0 d log e log dlog ẽ log v log 0 0 dlog e log d log ẽ log d log e log 2 1 1.09522 1.1877 v log 0.6893 SAS 5.4 Wilcoxon Wilcoxon d log N 3 d 3 + N 4 d 4 + N 8 d 8 d log N 3 d3 + N 4 t 4 + N 8 t 8 E[d W il ] N 3 e 3 + N 4 e 4 + N 8 e 8 e W il E[ d W il ] N 3 ẽ 3 + N 4 ẽ 4 + N 8 ẽ 8 ẽ W il V [d W il ] V [N 3 d 3 + N 4 d 4 + N 8 d 8 ] N 2 3 V [d 3 ] + N 2 4 V [d 4 ] + N 2 8 V [d 8 ] N 2 3 v 3 + N 2 4 v 4 + N 2 8 v 8 v W il V [ d W il ] V [N 3 d3 + N 4 d4 + N 8 d8 ] N 3 3 V [ d 3 ] + N 2 4 V [ d 4 ] + N 2 8 V [ d 8 ] N 2 3 ṽ 3 + N 2 4 ṽ 4 + N 2 8 ṽ 8 ṽ W il d W il dw il d W il d W il E[d W il ] ew il ẽ W il V [dw il ] V [d W il ] vw il v W il V [d W il ] V [d W il ] V [d W il ] v W il v W il 10
5.4.1 Wilcoxon dw il e W il d W il E[d W il ] d W il ẽ W il d W il N 3 d3 + N 4 d4 + N 8 d8 N 3 n 3 d 3 + N 4 n 4 d 4 + N 8 n 8 d 8 n W il d W il n W il N 3 n 3 + N 4 n 4 + N 8 n 8 7 1 + 6 1 + 3 1 7 0 + 6 0 + 3 1 13 ẽ t E[n t d t ] n t E[d t ] n t e t ẽ W il N 3 ẽ 3 + N 4 ẽ 4 + N 8 ẽ 8 N 3 n 3 e 3 + N 4 n 4 e 4 + N 8 n 8 e 8 n W il e W il 7 1 + 6 1 + 3 1 10 6 dw il e W il 3 10 7 d W il E[d W il ] d W il ẽ W il 13 6 7 5.4.2 Wilcoxon V [d W il ] vw il v W il v W il v W il V [d W il ] vw il v W il v W il v W il V [d W il ] 1 v W il 1 0 0 0 22 22 22 22 V [d W il ] 1 11
5.4.3 χ 2 χ 2 W il χ 2 W il d W il E[d W il ] V [d W il ] d W il E[d W il ] 1 1 0 d W il e W il dw il ẽ W il v W il 0 0 dw il e W il d W il ẽ W il d W il e W il 2 3 102 2.2273 v W il 22 SAS 12