1 11 11.1 ψ e iα ψ, ψ ψe iα (11.1) *1) L = ψ(x)(γ µ i µ m)ψ(x) ) ( ) ψ e iα(x) ψ(x), ψ(x) ψ(x)e iα(x) (11.3) µ µ + iqa µ (x) (11.4) A µ (x) A µ(x) = A µ (x) + 1 q µα(x) (11.5) 11.1.1 ( ) ( 11.1 ) * 1) ψ 1 ψ ψ 1 ψ 1 = cosαψ 1 + sinαψ ψ ψ = sinαψ 1 + cosαψ ψ = ψ 1 + iψ = e iα ψ (11.)
11 11.1: (a) ( ) A (b) B ( ) A B 11.: (a) x,y (b) r,θ (c) A (x) V A B (x + dx) ( ) ( 11.(a)) dv dt = 0 (11.6) r= θ =
11 3 ( 11.(b)) A (x) V A (A x, A y ) = (Acosφ, Asinφ) (A r, A θ ) A B (x + dx) V B dθ A r V Br = Acos(φ dθ) Acosφ + dθasinφ = A r + dθa θ A θ V Bθ = Asin(φ dθ) Asinφ dθacosφ = A θ dθa r (11.7) (dx µ ) (Γ) p λ (x + dx) = pλ (x) Γ λ µ ν dx µ p ν (11.8) ( 11.3) 11.3: ( ) ( ) ( )
11 4 ψ (x + dx) = ψ(x) iqa µ dx µ ψ(x) (11.9) A µ ( ) ( 11.4) 11.4: (a) ( ) ( ) π/ 1/R 30 (b) (c) dx µ dy ν ψ ψ + δψ I δψ = iq A µ dx µ iqf µ ν dx µ dx ν, F µ ν = µ A ν ν A µ (11.10) α e i α ψ = ψ + δψ (1 i α)ψ α = iδψ/ψ (11.11) α dx µ dx ν = iδψ/ψ dx µ dx ν = qf µ ν (11.1)
11 5 µ F µ ν = q j ν (11.13) R µ ν g µ ν R = 8πGT µ ν (11.14) G R µ ν R(= g µ ν R µ ν ) (11.10) * ) x x+dx x+dx x+dx x+dx D µ = Dψ dx µ lim ψ(x µ + dx µ ) ψ (x µ + dx µ ) dx µ 0 dx µ = dψ dx µ + iqa µ(x)ψ = ( µ + iqa µ )ψ (11.15) ( ) ( ) d p dτ = 0 (τ ) = Dp dτ = 0 * ) ds = g µ ν (x)dx µ dx ν ds Γ λ µ ν (x) = 1 g λρ ( µ g ρν + ν g ρµ ρ g µ ν ) [Γ µ ] ρ σ = Γρ σµ R ρ σµ ν R µ ν R ρ σµ ν = [ µ Γ ν ν Γ µ + (Γ µ Γ ν Γ ν Γ µ )] ρ σ R µ ν = R ρ µρν, R µ ν = g µρ g νσ R ρσ, R = R µ µ = g µρ R ρµ
11 6 ( ) Λ(x) x Λ( µ ψ(x)) = 0 = Λ(D µ ψ(x)) = 0 11.1. 1956 191 (Supergravity) ( ) ( ) ( ) (Brane world) 11. 11..1 ( 11.5)
第 11 章 ゲージ対称性 7 図 11.5: 磁区 左図 (a) 高温では電子スピンはバラバラの方向を向く (b) キューリー温度以下ではスピ ンの向きがそろう 右図 磁区の写真 ピン相互作用による引力が働いていて スピンをそろえる方がエネルギーが低く 熱運動に勝つからで ある このとき磁化すべき特定の方向は存在しないが 実現した基底状態では磁化はある一定の方向を 向いている どの方向を向いてもエネルギーは同じなのでこの基底状態は無限に縮退している しかし スピンを持つ電子の数は非常に大きいので 方向を変えて他の真空状態に移るには多量のスピンに同時 にエネルギーを与えねばならず事実上方向を変えることはできない つまり 自由度が大きい場合いっ たん選んだ基底状態は固定される結果 元々は存在した回転対称性が破れる これを対称性の自発的破 れという 南部 ゴールドストーンボソン しかし 場の一部を 部分的 (局所的) に別の基底状態に移すことは 可能である 強磁性体の場合 一部のスピンにゆらぎを与えることは可能であり そのときスピン相互 作用により ゆらぎが次々に伝播するので波動が生じる この波動は長波長の極限でもとの真空を静的 に再現するから 波数 k 0 で ω 0 すなわち質量ゼロの粒子の発生である これを南部 ゴールド ストーンボソンという 場の理論は自由度が無限大なので 基底状態 (真空) を少し動かすにも無限大の エネルギーを必要とする すなわち 一旦選んだ真空は固定されるので 自発的に対称性の破れた真空 状態では 元々の対称性は見えなくなる 対称性が自発的に破れると質量ゼロのボソンが発生するとい うことは 南部 ジョナラジニオが最初にフェルミオン対の凝縮体として π メソンが発生すると提案し その後ゴールドストーンが一般的に定式化したものでゴールドストーン定理という このように巨視的 に多数の粒子を含む系が ある温度を境に一つの秩序状態に移行する現象は 物性の世界では日常的に 観察されていて 相転移と呼ばれる 以上のような相転移は 系のポテンシャルエネルギー V が次のような形をしていると実現できる V (φ) = µ φ + λ φ 4 µ = A(T Tc ), λ>0 (11.16) Tc は相転移の起こる温度である φ は物性では秩序パラメターと呼ばれる量で 強磁性体の場合は磁化 の強さである 高温 (T > Tc ) では µ > 0 でエネルギーは φ = 0 の時に最低値を取る しかし 低温で は µ < 0 となり ポテンシャルは W 字形となり エネルギーが最低値をとる φ の値は有限になる (図 11.6) つまり基底状態における秩序パラメターの値 (量子力学では場の期待値) は有限値を取る 場の理
11 8 φ V φ (11.17) φ=v φ = v, v = µ λ (11.18) 11.6: (a) µ > 0 φ = 0 (b) µ < 0 φ = v φ 1,φ ϕ ( ) L = ( µ φ) ( µ φ) V (φ) (11.19) φ 1, φ φ e iθ φ, φ φ e iθ µ > 0 L = ( µ φ) ( µ φ) µ φ λ φ 4 (11.0) φ = 0 µ < 0 V φ 1,φ φ = v/, φ = 0 φ 1 = v + φ 1, φ = φ < φ 1 >=< φ >= 0 (11.1) φ 1, φ φ 1, φ L G = 1 ( µφ 1 µ φ 1 λv φ 1) + 1 ( µφ µ φ ) ] [λvφ 1 φ + λ φ 4, φ = φ 1 + φ (11.) 4
11 9 λv φ 1 φ φ φ 1 φ φ = 1 (v + φ 1 )e i φ v (11.3) φ ( φ 1, φ v) 1 (v + φ 1 )e i φ v = 1 (v + φ 1 )(1 + i φ v + ) 1 [ ( ) ] φ v + φ 1 + iφ + (11.4) V [ 1 L G = ( µφ 1 µ φ 1 λv φ 1) {λvφ 31 + λ φ 1 4 4 }] + 1 ( ( µφ µ φ ) 1 + φ ) 1 (11.5) v 11.. ( ) λ 10 6 cm λ (11.19) - (11.3) L = 1 4 F µ ν F µ ν + (D µ φ) (D µ φ) V (φ) (11.6) L = 1 4 F µ ν F µ ν + 1 ( ) µ φ 1 µ φ λv φ 1 λv4 4 + (A (qv) µ 1qv µφ )(A µ 1qv )( µ φ 1 + φ ) (11.7) 1 v
11 10 1 3 B µ = A µ 1 qv µ φ (11.8) F µ ν B = µ B ν ν B µ = µ A ν ν A µ = F µ ν (11.9) L = 1 ( 4 F µ ν B F Bµ ν + m B B µb µ 1 + φ ) 1 + 1 ( µ φ 1 µ φ 1 m v Hφ 1) (11.30a) m B = qv, m H = λv (11.30b) m B m H φ ( 9 ) φ φ iα, L f ermion higgs = g H ψ L ψ R φ + h.c.( ) (11.31) ψ L ψ L e iα * 3) ( 1 L f ermion higgs g H ψ L ψ R (v + φ 1 ) + h.c. = m f + gh φ 1 )(ψ L ψ R + ψ R ψ L ) m f = g (11.3) Hv (11.6) (11.31)( ) ( ) ( * 3)
11 11 ) ( )