宇 宙 科 学 II ( 電 波 天 文 学 ) 第 5 回 黒 体 放 射 & ビッグバン 宇 宙 前 回 の 復 習 1
干 渉 計 の 基 本 方 程 式 干 渉 計 の 基 本 的 な 観 測 量 : 幾 何 学 的 遅 延 時 間 τ g s: 天 体 の 方 向 ベクトル B: 基 線 ベクトル c: 光 速 度 電 波 干 渉 計 の 模 式 図 ここでは 簡 単 のため 天 体 は 点 源 としている VLA (25m x 27 台 最 長 基 線 ~30 km) 米 国 ニューメキシコ 州 電 波 干 渉 計 I 映 画 コンタクト (1997 年 ) 4ヶ 月 に1 回 程 度 アレイ 配 列 ( 干 渉 計 の 広 がり) を 変 更 する 分 解 能 が 変 えられる VLAの 中 心 部 移 動 台 車 2
結 合 素 子 型 干 渉 計 とVLBI 両 者 は 原 理 的 に 同 じだが 技 術 的 には 違 いが 有 る 結 合 素 子 型 : すべてのアンテナはケーブルで 接 続 されていて 原 振 も 共 通 VLBI: アンテナ 間 は 接 続 されていない 原 振 は 独 立 で データは 記 録 して 相 関 局 へ 輸 送 独 立 源 振 独 立 源 振 共 通 源 振 ~ ~ ~ データ 記 録 相 関 器 相 互 相 関 輸 送 相 関 局 相 互 相 関 VLBI 観 測 網 2 VERA 20m x 4 台 VSOP-2 (VLBI 用 アンテナを 積 んだ 衛 星, 2012 年 打 上 予 定 ) 分 解 能 1 mas 波 長 1 cm, D = 2300 km VSOPのUV 分 解 能 40 μas 波 長 7 mm, D = 30000 km 3
VLBIの 分 解 能 様 々な 望 遠 鏡 の 分 解 能 の 比 較 センチ 波 ミリ 波 赤 外 可 視 光 AKARI 分 解 能 (ミリ 秒 角 ) 1 秒 角 (=3600 分 の1 度 ) VLBI VSOP-2 VERA VLBA 結 合 型 干 渉 計 ALMA 約 400 万 分 の1 度 サブミリ 波 VLBI SUBARU 単 一 鏡 HST もっとも 大 きなBHサイズ 波 長 黒 体 放 射 ( 黒 体 輻 射 ) 4
黒 体 放 射 黒 体 (すべての 周 波 数 の 電 磁 波 を 吸 収 し 再 放 射 する 仮 想 的 物 体 )から 出 る 放 射 黒 体 輻 射 の 例 : 溶 鉱 炉 からの 光 電 波 領 域 可 視 光 八 幡 製 鉄 所 黒 体 輻 射 の 研 究 は 19 世 紀 末 に 溶 鉱 炉 の 温 度 計 測 方 法 として 発 展 Bνのプロット (10 0 ~ 10 8 K) 黒 体 の 輝 度 を 表 す 式 プランクの 放 射 公 式 黒 体 の 輝 度 高 温 度 ν: 周 波 数 T : 黒 体 の 温 度 低 温 度 c : 光 速 度 c = 3 x 10 8 m h : プランク 定 数 h = 6.6 x 10-34 J s 周 波 数 k : ボルツマン 定 数 k=1.38 x 10-23 J / K B ν の 単 位 例 : W / m 2 Hz str ( 単 位 立 体 角 strあたり のフラックス) 5
プランクの 放 射 公 式 ( 続 ) 波 長 を 用 いた 式 もある ( 本 質 的 にはB ν (T)と 同 じもの) 黒 体 の 輝 度 高 温 度 低 温 度 λ: 波 長 T : 黒 体 の 温 度 c : 光 速 度 c = 3 x 10 8 m h : プランク 定 数 h = 6.6 x 10-34 J s k : ボルツマン 定 数 k=1.38 x 10-23 J / K 波 長 2つの 重 要 な 近 似 式 (1) ヴィーンの 法 則 hν >> ktの 場 合 の 近 似 式 ( 高 周 波 数 側 ) 電 波 領 域 可 視 光 Bνのプロット (1 ~ 10^8 K) ヴィーン(W. Wien)により1896 年 に 発 見 6
2つの 重 要 な 近 似 式 (2) レイリー ジーンズの 法 則 hν << ktの 場 合 の 近 似 式 ( 低 周 波 数 側 ) 電 波 領 域 可 視 光 電 波 天 文 学 では 重 要 な 近 似 Bνのプロット (1 ~ 10^8 K) レイリーにより1900 年 に 発 見 その 後 プランクによって 2つの 近 似 式 を 同 時 に 説 明 する 式 と してプランクの 放 射 公 式 が 得 られた 黒 体 輻 射 と 量 子 力 学 黒 体 の 研 究 は プランクの 量 子 論 につながり 量 子 力 学 の 誕 生 に 大 きく 貢 献 マックス プランク ( 独 ) 1918 年 ノーベル 賞 レーリー 卿 ( 英 ) 1904 年 ノーベル 賞 ヴィルヘルム ヴィーン ( 独 ) 1911 年 ノーベル 賞 7
プランク 放 射 の 極 大 値 プランクの 放 射 公 式 で db ν /dν = 0, db λ /dλ = 0 の 条 件 から 極 大 値 が 求 まる( 計 算 略 ) 周 波 数 のピーク ν max = 2.82 kt / h = 59 x (T in K) GHz 波 長 のピーク (ヴィーンの 変 位 則 ) λ max = 2.9 x 10-3 m x (T in K) -1 m T in K は 絶 対 温 度 (K:ケルビン)で 表 した 温 度 の 値 摂 氏 0 度 =273 K 太 陽 の 光 球 温 度 ~5800 度 の 黒 体 に 近 い λmax = 0.5 μm 人 間 の 目 が 可 視 光 線 (~0.5μm)に 感 度 を 持 つ のは 放 射 強 度 のピーク だから 太 陽 log (relative flux) 11 10 9 8 7 Spectrum of the Sun Bλ(T=5800 K) 6 5 0.1 1 10 100 wavelength (micron) SOHOが 見 た 太 陽 8
シュテファン ボルツマンの 法 則 黒 体 の 単 位 表 面 積 から 単 位 時 間 に 出 る 放 射 の 総 量 l は 黒 体 の 温 度 の4 乗 に 比 例 する σ: シュテファン ボルツマン 定 数 サーモグラフィー 放 射 温 度 計 : 黒 体 輻 射 の 性 質 を 温 度 計 に 応 用 例 ) 人 体 も T~310 K の 黒 体 に 近 い 放 射 を 出 す 赤 外 線 がピーク (λ max = 9 μm) サーモグラフィーの 画 像 例 アピステ 社 のWEBページより 人 間 の 手 9
人 体 からの 放 射 エネルギー シュテファン ボルツマン 則 から 人 間 から 放 射 されるエネル ギーも 概 算 することができる 体 温 をT = 310 K, 人 体 の 表 面 積 を S ~ 1.5 m 2 P = l x S = σt 4 S ~ 800 W とすると 何 もせずにじっとしていてもこれだけのエネルギーを 放 射 す る(ただしその 多 くは 外 部 から 吸 収 されたエネルギー) 比 較 ) 一 日 の 放 射 エネルギー 総 量 E ~ 800 W x 86400 sec ~ 70 MJ ~ 17000 kcal > 一 日 に 摂 取 すべき 食 物 エネルギー ~ 2000 kcal 太 陽 の 全 光 度 シュテファン ボルツマンの 法 則 から 太 陽 の 全 光 度 を 求 めることができる L = 4πR 2 x l = 4πR 2 σt 4 = 3.9 x 10 26 W 比 較 ) 原 発 1 基 の 出 力 10 6 kw = 10 9 W 太 陽 は 原 発 40 京 台 分 (!)のエネルギーを 出 す 10
地 球 ももし 完 全 な 黒 体 だったら 地 球 の 温 度 ~300 K 赤 外 線 (~10μm)にピークを 持 つ 赤 黒 い 天 体 に 見 え るはず 地 球 が 黒 体 だった 場 合 の 想 像 図 実 際 の 地 球 は 太 陽 光 を 反 射 して 明 るく 輝 いてみえている( 反 射 率 ~0.3) 温 室 効 果 太 陽 光 のピーク 波 長 λsun ~ 0.5 μm 地 球 放 射 のピーク 波 長 λearth ~ 10 μm CO 2 などの 温 室 効 果 ガスは 10μm 付 近 の 赤 外 線 を 良 く 吸 収 このために 温 室 効 果 が 起 きる 0.5μm 太 陽 高 層 大 気 地 表 放 射 分 布 10μm 地 球 大 気 組 成 :N 2 78%, O 2 21%, アルゴン 0.9%, CO 2 0.04 % + 水 蒸 気 (~ 数 %) このうちN 2, O 2 は 等 核 分 子 アルゴンは 希 ガスで 放 射 吸 収 を 起 こしにくい 波 長 波 長 による 大 気 の 吸 収 率 Salby Foundamentals of Atmospheric Physics 11
黒 体 輻 射 関 連 公 式 黒 体 輻 射 の 単 位 体 積 当 たりのエネルギー ε ν = 4π/c x B ν 単 位 体 積 に 含 まれるエネルギーを 速 度 cで 光 子 が 等 方 的 に 運 び 出 すため 輻 射 の 全 エネルギー 密 度 (ε = ε ν dν) ε = 4σ T 4 / c (=a T 4 ) 輻 射 の 圧 力 ( 光 子 の 運 動 量 p = E/c) P = ε / 3 (= (a/3)t 4 ) まとめ すべて 温 度 で 決 まる 12
宇 宙 背 景 放 射 と ビッグバン 宇 宙 ビッグバン 宇 宙 論 宇 宙 は 高 温 高 密 度 状 態 から 始 まり 膨 張 して 現 在 の 宇 宙 になったとする 説 ( 対 立 説 : 定 常 宇 宙 論 宇 宙 は 永 劫 普 遍 ) ビッグバンとは 宇 宙 誕 生 の 大 爆 発 を 指 すが 一 方 で 当 時 は 常 識 的 にありえないと 考 えられたことから ( 爆 発 して)すぐにだめになる 説 との 皮 肉 もこめら れていた が 現 代 の 宇 宙 観 の 根 幹 を 成 す 理 論 であり 観 測 的 にも 確 かめられている 13
ビッグバン 宇 宙 論 の 三 大 証 拠 宇 宙 膨 張 (ハッブルの 法 則, 1929 年 ) 遠 い 銀 河 ほど 大 きな 後 退 速 度 を 持 つ 元 素 合 成 (1948 年 ) 宇 宙 における 元 素 組 成 ( 水 素 ~75%, ヘリウム~25%) は 宇 宙 初 期 の 高 温 状 態 から 説 明 可 能 宇 宙 背 景 放 射 (1965 年 ) 宇 宙 が 昔 高 温 高 密 度 であったことの 痕 跡 ビッグバンと 宇 宙 背 景 放 射 ビッグバン 宇 宙 宇 宙 は 高 温 高 密 度 状 態 から 始 まり 膨 張 して 現 在 の 宇 宙 に なったとする 説 昔 は 高 温 高 圧 の 火 の 玉 だった ならば 宇 宙 がプラズマで 満 た され 不 透 明 だった 時 代 の 痕 跡 が 現 在 も 見 えるはず 宇 宙 背 景 放 射 ( 宇 宙 を 一 様 に 満 たす 黒 体 輻 射 ) 14
宇 宙 背 景 放 射 の 発 見 宇 宙 背 景 放 射 の 発 見 (1965 年 ) ペンジャス ウィルソン 宇 宙 の 温 度 は 絶 対 温 度 3 度 (マイナス270 度 ) 宇 宙 背 景 放 射 のスペクトル 宇 宙 背 景 放 射 の 輝 度 と 温 度 COBE 背 景 放 射 のスペクトル 黒 体 輻 射 に 良 く 一 致 する 輝 度 温 度 ( 何 Kの 黒 体 に 相 当 するかを 表 す) 15
アインシュタイン 方 程 式 アインシュタイン 方 程 式 ( 一 般 相 対 性 理 論, 1915 年 ) 時 空 の 構 造 ( 左 辺 )と 物 質 ( 右 辺 )の 関 係 式 R, R μν は 計 量 テンソルg μν によって 決 まる 量 ( 含 む 微 分 ) T μν はエネルギー 運 動 量 テンソル Λは 任 意 の 定 数 (アインシュタインの 宇 宙 定 数 ) 上 式 から 時 間 空 間 に 対 する 微 分 方 程 式 が 得 られる (テンソルは4x4 ただし 対 称 性 より 式 は 最 大 10 本 ) ロバートソン ウォーカー 時 空 計 量 g μν : 時 空 の 構 造 を 表 す 量 ロバートソン ウォーカー 計 量 一 様 等 方 宇 宙 を 表 す 計 量 a(t)はスケール 因 子 時 間 変 動 する 現 在 (t=t 0 に)において a(t 0 )=1 Kは 宇 宙 の 曲 率 (ユークリッド 空 間 からのずれ) 16
フリードマン 方 程 式 アインシュタイン 方 程 式 とロバートソン ウォーカー 計 量 から 以 下 の 関 係 式 が 得 られる(1922 年 ) εはエネルギー 密 度 (ρc 2 ), Pは 圧 力 ( 共 に 時 間 の 関 数 ) スケール 因 子 の 時 間 微 分 を 含 む 微 分 方 程 式 であり 特 殊 な 解 を 除 いて 宇 宙 は 変 動 ( 膨 張 or 縮 小 )することが わかる エネルギー 密 度 圧 力 温 度 2 本 の 方 程 式 から2 回 微 分 項 を 消 去 すると という 関 係 式 を 得 る 通 常 の 物 質 の 場 合 P=0とみなせ ε(=ρc 2 ) a -3 光 子 など 相 対 論 的 な 物 質 ( 光 速 度 で 運 動 )の 場 合 P=ε/3より ε a -4 輻 射 ( 光 子 )については ε T 4 の 関 係 より (T 0 =2.7Kは 現 在 の 輻 射 温 度 ) 17