資産価値の長期記憶性を考慮したマートンモデルの拡張

資 産 価 値 の 長 期 記 憶 性 と マートンモデルの 拡 張 一 橋 大 学 大 学 院 経 済 学 研 究 科 吉 田 遼 太 朗 EM121022 2013/09/28

目 次 本 研 究 の 目 的 データ - 資 産 価 値 データの 生 成 変 換 - 特 徴 資 産 価 値 変 化 率 の 長 期 記 憶 性 - 自 己 相 関 関 数 R/S 統 計 量 ハースト 指 数 - 検 定 結 果 長 期 記 憶 性 を 考 慮 したマートンモデルの 拡 張 - マートンモデル - 非 整 数 ブラウン 運 動 を 用 いたマートンモデル - パラメータ 推 定 及 び 従 来 のモデルとの 比 較 付 録

本 研 究 の 目 的 1 資 産 価 値 変 化 率 の 長 期 記 憶 性 の 存 在 を 検 証 する - 株 価 での 長 期 記 憶 性 の 分 析 はよく 行 われている - 資 産 価 値 = 時 価 総 額 ( 株 価 発 行 枚 数 )+ 負 債 と 仮 定 できることから 負 債 の 影 響 を 考 えた 研 究 が 出 来 る 2 非 整 数 ブラウン 運 動 を 用 いたマートンモデルのパラ メータ 推 定 及 び 従 来 のマートンモデルとの 推 定 結 果 の 違 いを 検 証 する - 実 際 のデータを 使 って 新 たなモデルの 予 測 力 を 検 証 をする

データの 生 成 1993 年 9 月 ~2013 年 9 月 (20 年 間 分 )の 資 産 価 値 の 日 次 時 系 列 データを 生 成 し 分 析 を 行 う 資 産 価 値 = 負 債 + 純 資 産 仮 定 貸 借 対 照 表 負 債 資 産 純 資 産 負 債 は 負 債 総 額 ( 簿 価 ) 純 資 産 は 時 価 総 額 で 表 わせる 負 債 総 額 は 四 半 期 の 間 または1 年 間 日 次 の 値 は 同 じ 以 下 のデータを 取 得 し 資 産 価 値 の 日 次 時 系 列 を 生 成 負 債 総 額 四 半 期 データもしくは 年 データ 時 価 総 額 日 次 データ

データの 変 換 分 析 においては なデータを 扱 いたい 後 述 の 伊 藤 過 程 における 非 整 数 ガウシアンノイズが な 長 期 記 憶 過 程 であるため 先 に 生 成 した 資 産 価 値 過 程 {zt}に 対 して XX tt = llllll ZZ tt llllll ZZ tt 11 とすることで データを 化 する この 対 数 差 は XX tt = ZZ tt ZZ tt 11 ZZ tt 11 という 変 化 率 に 近 似 できる 生 成 される{Xt}を 資 産 価 値 の 変 化 率 と 呼 ぶことにする

データの 特 徴 データは 例 としてトヨタ 自 動 車 を 選 んだ 上 は 資 産 価 値 の 変 化 率 下 は 株 価 の 変 化 率 について グラフ ヒストグラム 0.1 自 己 相 関 関 数 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02 1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199-0.04-0.06-0.08 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02 1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193-0.04-0.06

長 期 記 憶 性 松 葉 (2007) 時 系 列 過 程 {xt}が を 満 たすとき {xt} は 長 期 記 憶 性 を 持 つ 具 体 的 に トヨタ 自 動 車 の 資 産 価 値 変 化 率 における 累 積 自 己 相 関 関 数 は 以 下 のようになる 4 3 2 1 0 ρρ(kk) kk=00 = ρρ(kk)はkk 次 の 自 己 相 関 関 数 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 しかし 無 限 のラグは 現 実 的 には 測 れない

R/S 検 定 Hurst et al. (1965) 長 期 記 憶 性 を 判 定 する 際 に ハースト 指 数 H (0<H<1) を 導 入 した QQ nn = RR nn SS nn = mmmmmm xx jj mmmmmm xx jj /SS nn 11 kk nn 11 kk nn QnをR/S 統 計 量 と 呼 び それが うことを 発 見 した 両 辺 対 数 を 取 って 回 帰 すれば Hを 推 定 できる H>1/2 長 期 記 憶 過 程 H=1/2 短 期 記 憶 過 程 kk jj=11 nn ただし, xx jj = xx jj xx nn, xx nn = xx jj /nn, jj=11 kk jj=11 nn SS nn 22 = xx jj 22 /nn jj=11 QQ nn nn HH とべき 則 にしたが

ハースト 指 数 Lo(1991) R/S 統 計 量 は 短 期 記 憶 も 汲 み 取 って 統 計 量 が 過 大 になると 指 摘 し これを 解 決 する 修 正 R/S 統 計 量 を 示 した この 修 正 統 計 量 を 使 って 長 期 記 憶 性 は 存 在 しないと 結 論 付 けた 論 文 がその 後 多 く 出 た 刈 屋 勝 浦 (1992) 修 正 R/S 統 計 量 を 用 いて 日 本 株 の 変 化 率 について 長 期 記 憶 性 は 存 在 しないと 結 論 付 けた Pagan(1995) Lo(1991)において 修 正 の 際 に 新 たに 持 ち 込 んだパラメータ の 設 定 によって 結 果 が 左 右 されてしまうことを 指 摘 した Hの 推 定 は 他 にも 最 尤 法 やホイットル 法 などがある

検 定 結 果 企 業 変 化 率 ADF 検 定 PP 検 定 KPSS 検 定 classicr/sによるh 日 本 水 産 鹿 島 日 本 ハム 帝 人 花 王 クボタ 日 立 製 作 所 川 崎 重 工 業 トヨタ 自 動 車 三 菱 商 事 小 田 急 電 鉄 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 資 産 価 値 単 位 根 * 単 位 根 ** 単 位 根 * 単 位 根 * 単 位 根 ** 0.51 0.522 0.498 0.53 0.52 0.539 0.558 0.581 0.558 0.545 0.514 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 株 価 0.55 0.544 --- 0.551 0.521 0.533 0.568 0.561 0.549 0.53 0.499 アスタリスク(*)はp 値 による ***: p<0.01, **: p<0.05, *p<0.1

マートンモデル Merton[1974] 企 業 の 資 産 価 値 を という 確 率 過 程 に 従 うとし 負 債 価 値 を D とする ここで A(T) < Dであるとデフォルトと 定 義 すると 満 期 T 時 点 におけ る 企 業 の 倒 産 確 率 を と 推 定 することができる ddaa(tt) = μμ AA AA(tt)dddd + σσ AA AA(tt)ddBB(tt) PP [AA(TT) < DD] = ΦΦ llllll DD AA(00) rr σσ AA 22 TT σσ AA TT 22

非 整 数 ブラウン 運 動 Leccadito and Urga(2006) マートンモデルにおける 資 産 価 値 過 程 を dddd(tt) = μμ AA AA(tt)dddd + σσ AA AA(tt)ddBB HH (tt) という 確 率 過 程 に 従 うとする BH(t)は( 標 準 ) 非 整 数 ブラウン 運 動 (fbm)といい Hはハースト 指 数 である (H=1/2のとき fbmはブラウン 運 動 となる ) fbmの 性 質 平 均 ゼロのガウス 過 程 である 増 分 過 程 を 持 つ EE BB 22 HH (tt) = tt 2222, EE[BB HH (tt)bb HH (ss)] = 11 22 (tt2222 + ss 2222 tt ss 2222 ) 00 HH 11 に 対 し BH(t)は 自 己 相 似 過 程 となる

非 整 数 ガウスノイズ 松 葉 (2007) fbmの 増 分 過 程 X(n) (= BH(n+1) - BH(n) )を 非 整 数 ガウス ノイズ(fGn)という fgnの 性 質 EE[XX(nn)] = 00, 11 22 < HH 11 のとき VV XX(nn) = 11, CCCCCC XX(nn), XX(nn + kk) = 11 22 ( kk + 11 2222 22 kk 2222 + kk 11 2222 ) ρρ(kk) kk=00 = を 満 たし 長 期 記 憶 過 程 となる

fbmを 用 いたマートンモデル 長 期 記 憶 性 を 持 つ 資 産 価 値 過 程 は dddd(tt) = μμ AA AA(tt)dddd + σσ AA AA(tt)ddBB HH (tt) と 解 くことができる 従 って 負 債 価 値 を D とし A(T) < Dであ るとデフォルトと 定 義 すると 満 期 T 時 点 における 企 業 の 倒 産 確 率 を PP [AA(TT) < DD] = ΦΦ llllll と 推 定 することができる AA(tt) = AA(00)eeeeee σσ AA BB HH (tt) + rrrr 11 22 σσ AA 22 tt 2222 22 TT 2222 DD AA(00) rrrr + σσ AA 22 σσ AA TT 2222

各 パラメータの 推 定 倒 産 確 率 を 求 めるために 以 下 のパラメータを 推 定 する パラメータ どのように 推 定? D : 負 債 価 値 予 測 時 点 の 負 債 総 額 簿 価 r : 無 リスク 金 利 予 測 時 点 の 国 債 10 年 物 利 回 り T : 満 期 任 意 に 設 定 H : ハースト 指 数 A(0) : 資 産 価 値 σa : 資 産 価 値 ボラティリティ R/S 検 定 次 ページ 以 降 に 推 定 方 法 を 述 べる

A(0), σaの 推 定 以 下 ではA(0)とσA 推 定 のために2つの 式 を 導 く C(t,A(t))を 原 資 産 を 資 産 価 値 A(t) 負 債 価 値 Dを 行 使 価 格 と するヨーロピアン コールオプション 価 格 とすると llllll AA(tt) dd 11 = CC tt, AA(tt) = AA(tt)ΦΦ(dd 11 ) DDee rr(tt tt) ΦΦ(dd 22 ) (11) KK + rr(tt tt) + σσ 22 AA と 表 わすことができる 22 (TT2222 tt 2222 ) σσ AA TT 2222 tt 2222, dd 22 = dd 11 σσ AA TT 2222 tt 2222 (Hu and Oksendal(2003)の 非 整 数 ブラウン 運 動 の 場 合 のブ ラック-ショールズ 式 についての 記 述 を 参 照 )

A(0), σaの 推 定 B/Sの 純 資 産 価 値 をE(t)とし 長 期 記 憶 性 のある 幾 何 ブラウン 運 動 に 従 う 株 価 を 使 って と 定 義 すると E(t)は と 表 わすことができる ここで が 成 り 立 つので EE(tt) = nnnn(tt) ddee(tt) = μμ EE EE(tt)dddd + σσ EE EE(tt)ddBB HH (tt) (22) EE(tt) = CC tt, AA(tt) dddd(tt) = ddcc tt, AA(tt) σσ EE EE(tt) = ΦΦ(dd 11 )AA(tt)σσ AA (tt) (33) 新 たに 推 定 すべき パラメータ!! と 求 めることができる ((3) 式 の 導 出 は 付 録 A 参 照 ) (1), (3) 式 を 用 いて 収 束 計 算 を 行 い A(0)とσAを 推 定 する

σeの 推 定 (2) 式 に 対 し モーメント 法 による 推 定 を 試 みる n を 満 期 までの 日 数 とすると σσ EE = nn 2222 EE EE tt + 11 nn EE(tt) EE(tt) EE EE tt + 11 22 nn EE(tt) (44) EE(tt) 時 価 総 額 の 日 次 変 化 率 の 標 準 偏 差 と 求 めることができる ((4) 式 の 導 出 は 付 録 B 参 照 ) H=1/2のとき TT ルール と 整 合 的 である

モデルの 比 較 トヨタ 自 動 車 に 対 する 予 測 倒 産 確 率 の 推 移 を 求 めた 尚 トヨタ 自 動 車 のハースト 指 数 Hは0.558であった 2013 年 9 月 に 倒 産 する 確 率 予 測 時 点 から2 年 後 に 倒 産 する 確 率 100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% X 軸 は 予 測 時 点 Y 軸 は 予 測 倒 産 確 率

モデルの 比 較 1つの 企 業 に 対 する 考 察 だけでは 言 えることは 少 ない 今 後 以 下 のような 実 証 研 究 をしたい Patel and Pereira(2005) 1984-2004 年 における 実 際 に 倒 産 した 企 業 42 社 倒 産 した 企 業 8 社 のデータを 用 いて マートンモデルを 含 めた5つの 倒 産 予 測 モデルの 予 測 力 を 検 証 する 倒 産 する 企 業 倒 産 すると 予 測 したが 倒 産 しなかった 企 業 倒 産 しないと 予 測 したが 倒 産 した 企 業 倒 産 しない 企 業 に 対 する 予 測 倒 産 確 率 の 平 均 をそれぞれ 算 出 して モデル 毎 に 比 較 する

付 録 A Duncan et al. (2000)の 非 整 数 ブラウン 運 動 を 用 いた 伊 藤 過 程 に 対 する 伊 藤 の 公 式 を 用 いると C(t,A(t))は ddcc tt, AA(tt) = CC tt と 表 わすことができる より (2), (4) 式 のdBH(t)の 項 を 比 較 すると と (3) 式 を 求 めることができる CC tt, AA(tt) dddd + tt, AA(tt) μμaa(tt)dddd AA + CC AA tt, AA(tt) σσ AAAA(tt)ddBB HH (tt) + 22 CC AA 22 tt, AA(tt) σσ AADD tt φφ AA(tt)dddd (44) dddd(tt) = ddcc tt, AA(tt) σσ EE EE(tt) = CC AA tt, AA(tt) σσ AAAA(tt) = ΦΦ(dd 11 )AA(tt)σσ AA (tt) 比 較 の 際 には ハースト 数 Hが 一 致 しているという 仮 定 をする (p.10の 結 果 を 見 ると 実 際 に 近 い 値 である )

付 録 B モーメント 法 による(4) 式 の 導 出 (2) 式 を 離 散 化 すると (5) 式 で 両 辺 に 期 待 値 をとると (6)に(5)を 代 入 すると EE(tt) = μμ EE EE(tt) tt + σσ EE EE(tt) BB HH (tt) EE(tt) EE(tt) = μμ EE tt + σσ EE BB HH (tt) (55) EE EE(tt) EE(tt) = μμ EE tt (66) EE(tt) EE(tt) EE EE(tt) EE(tt) = σσ EE BB HH (tt)

付 録 B 両 辺 2 乗 して 期 待 値 をとると したがって EE EE(tt) EE(tt) 22 EE EE(tt) EE(tt) = σσ 22 EE EE BB HH (tt) 22 = σσ EE 22 ( tt) 2222 EE BB HH (tt) BB HH (ss) 22 = tt ss 2222 σσ EE = EE(tt) EE EE(tt) 22 EE EE(tt) EE(tt) ( tt) 2222 そして tt = 11 nn とすると (4) 式 を 導 ける

参 考 文 献 Duncan, T. E., Hu, Y. and Pasic-duncan, B. (2000). Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion I. Theory. SIAM J. Control Optim. 38, 582-612. Hurst, H. E., Black, R. P. and Simaika, Y. M. (1965). Long Term Memory, Constable Press, London. Hu, Y. and Oksendal, B. (2003). Fractional White Noise Calculus and Apprications to Finance. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics 6(1), 1-32 Leccadito, A. and Urga, G. (2006). Fractional Models to Credit Risk Pricing. Lo, A. W (1991). Long-term memory in stock market prices, Econometrica 59, 1279-1313. Merton R. (1974). On the pricing of corporate debt, The risk structure of interest rates. Journal of Finance 29(3), 449-470. Pagan, A. (1995). The econometrics of financial markets, Journal of Empirical Finance 3, 15-102. Patel, K. and Pereira, R. (2005). Expected Default Probabilities in Structural Models 青 沼 君 明 村 内 佳 子 (2010). Excel & VBAで 学 ぶ 信 用 リスクの 基 礎 きんざい. 刈 屋 武 昭 勝 浦 正 樹 (1992). 株 価 為 替 レート 時 系 列 変 動 の 長 期 依 存 性 の 検 証 一 橋 大 学 一 橋 学 会, 一 橋 論 叢 第 108 巻 第 6 号, 939-946. 松 葉 育 雄 (2007). 長 期 記 憶 過 程 共 立 出 版.