責 任 準 備 金 の 計 算
復 習
演 習 問 題 70 歳 から 支 払 われる 終 身 生 命 年 金 の 現 価 は? N 70 D 70 男 性 497,962.6 29,952 女 性 698,307.8 33,216 a&& 70 16.625354 21.023236 download 年 金 開 始 後 の 計 算 基 数 をNACのHPよりダウンロード
前 回 までのまとめ
計 算 基 数 D = lv x x x x C = dv + x x 1 2 N = D + D + D + x x x+ 1 x+ 2 M = C + C + C + x x x+ 1 x+ 2
年 払 純 保 険 料 計 算 定 期 保 険 P 1 xn : = M M x N N x x+ n x+ n 終 身 保 険 P x = M N x x P 養 老 保 険 : xn = M M + D x x+ n x+ n N N x x+ n
責 任 準 備 金 の 計 算
計 算 上 の 仮 定 1. 2. 年 払 純 保 険 料 のみを 扱 う 保 険 金 は 即 時 払 3. 保 険 料 は 全 期 払 い Point 保 険 金 即 時 払 & 年 間 一 様 に 支 払 が 発 生 する 保 険 金 支 払 は 年 の 中 央
1 年 の 間 隔 を 設 定 する 時 間 軸 が 必 要 年 の 中 央 はココ
第 1 保 険 年 度 最 初 の 保 険 料 が 入 ります 半 年 間 利 殖
保 険 金 を 支 払 います 第 1 保 険 年 度 半 年 間 利 殖 保 険 金 支 払 い に 充 当 第 1 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 の 総 額 = 人 数 で 割 ると1 人 分 の 責 任 準 備 金 額 となる 半 年 間 利 殖 年 末 現 在
2 回 目 の 保 険 料 が 入 ります 第 2 保 険 年 度 の 保 険 金 を 支 払 います 半 年 間 利 殖 第 2 保 険 年 度 保 険 金 支 払 い に 充 当 第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 の 総 額 = 人 数 で 割 ると1 人 分 の 責 任 準 備 金 額 となる 半 年 間 利 殖 第 一 保 険 年 度 末 年 末 現 在
今 度 は 算 式 も 交 えての 説 明 です
最 初 の 保 険 料 が 入 ります 第 1 保 険 年 度 P l x 半 年 間 利 殖 P l (1 ) x + i 1/2 d x lx l x + 1
第 1 保 険 年 度 保 険 金 を 支 払 います P l x l x 半 年 間 利 殖 P l (1 ) x + i 1/2 1/2 P lx(1 + i) dx d x 1 d x 保 険 金 支 払 い に 充 当 第 1 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 の 総 額 = 人 数 で 割 ると1 人 分 の 責 任 準 備 金 額 となる { P l (1 + i) d}(1 + i) x 1/2 1/2 x x { P l (1 + i) d}(1 + i) 半 年 間 利 殖 1/2 1/2 x l x + 1 年 末 現 在 l x + 1
第 1 保 険 年 度 末 の 責 任 準 備 金 V 1 = 1/2 i 1/2 x { P l (1 + i) d }(1 + ) x l x + 1 保 険 商 品 を 特 定 しない 責 任 準 備 金 の 書 き 方
2 回 目 の 保 険 料 が 入 ります 第 2 保 険 年 度 の 保 険 金 を 支 払 います 第 一 保 険 年 度 末 P l x + 1 + V l + 1 x 1 年 末 = 年 始 半 年 間 利 殖 ( V + P) l (1 + i) 1 x+ 1 第 2 保 険 年 度 1/2 1 x 保 険 金 支 払 い に 充 当 d + 第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 の 総 額 半 年 間 利 殖 l d x + 1 x + 1 l x + 2 1 {( V + Pl ) (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 1 x+ 1 x+ 1 ( V + P) l (1 + i) d 1/2 1 x+ 1 x+ 1 年 末 現 在
第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 の 総 額 {( V + Pl ) (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 1 x+ 1 x+ 1 l x + 2 第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 2 V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 1 x+ 1 x+ 1 l x+ 2
分 母 を 払 う 方 が 分 か りや す い 第 1 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 V 1 = { P l (1 + i) d }(1 + i) x 1/2 1/2 x l x + 1 第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 2 V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 1 x+ 1 x+ 1 l x+ 2 第 3 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 3 V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 2 x+ 2 x+ 2 l x+ 3
第 1 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 l 1 1 V = { P l (1 + + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 x x x 第 2 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 l V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 x+ 2 2 1 x+ 1 x+ 1 第 3 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 l V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 x+ 3 3 2 x+ 2 x+ 2 第 4 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 l V = {( V + Pl ) (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 x+ 4 4 3 x+ 3 x+ 3
第 t+1 保 険 年 度 末 責 任 準 備 金 l 1 1 V = {( V + P) l (1 + i) d }(1 + i) 1/2 1/2 x+ t+ t+ t x+ t x+ t
時 系 列 的 にまとめてみましょう
1 lx 人 が 保 険 料 を 払 う 第 1 保 険 年 度 P l x 2 3 4 5 半 年 間 利 殖 保 険 金 支 払 保 険 金 支 払 後 残 高 半 年 間 利 殖 P l (1 ) x + i 1 d x P l + i 1/2 1/2 x(1 ) 1 d { P l (1 + i) 1 d }(1 + i) x x 1/2 1/2 x 1 2 3 4 第 1 保 険 年 度 5
第 2 保 険 年 度 6 l x+1 人 が 1 V を 持 っている 1V l x + 1 7 l x+1 人 が 保 険 料 を 払 う P l x + 1 8 l x+1 人 が 1 V+P を 持 っている ( 1V + Pl ) x+ 1 1/2 9 半 年 間 利 殖 ( 1V + Pl ) x+ 1(1 + i) 10 保 険 金 支 払 1 d x+ 1 1/2 11 保 険 金 支 払 後 残 高 ( V + Pl ) x (1 + i) d 12 半 年 間 利 殖 {( V + Pl ) (1 + i) d }(1 + i) 1 + 1 x+ 1 1/2 1/2 1 x+ 1 x+ 1 1 2 3 4 第 1 保 険 年 度 5 8 9 10 7 6 11 第 2 保 険 年 度 12
第 3 保 険 年 度 13 l x+2 人 が 2 V を 持 っている 2V l x + 2 14 x+2 l 人 が 保 険 料 を 払 う P l x + 2 15 l x+2 人 が 2 V+P を 持 っている ( 2V + Pl ) x+ 2 1/2 16 半 年 間 利 殖 ( 2V + Pl ) x+ 2(1 + i) 17 保 険 金 支 払 1 d x+ 2 1/2 18 保 険 金 支 払 後 残 高 ( V + Pl ) x (1 + i) dx 19 半 年 間 利 殖 {( V + Pl ) (1 + i) d }(1 + i) 2 + 2 + 2 1/2 1/2 2 x+ 2 x+ 2 15 16 14 13 17 18 19 第 2 保 険 年 度 第 3 保 険 年 度
1 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 契 約 年 齢 30 歳 の1 年 定 期 保 険 の 保 険 料 率 はいくらでしょうか? x Dx Nx Cx Mx 30 62974.375025 2189633.620515 53.976490 30844.017256 31 61990.143073 2126659.245490 55.055707 30790.040766 32 61019.385207 2064669.102417 55.474850 30734.985060 P M M C 53.976490 = = = = 62974.375025 1 30 31 30 30:1 N30 N31 D30 0.00085711831
1 年 定 期 保 険 の 場 合 Q. 年 度 末 の 責 任 準 備 金 は0なるはずだ それを 示 せ A. 保 険 料 生 命 表 1 P = 0.00085711831 30:1 x lx dx 30 98,434 85 l P (1.015) 1 d 30:1 = 85.000000 85= 0 1 1/2 30 30 l P 1 30 30:1 l (1.015) 30P30:1 = 84.3695837265 1 1/2 = 85.000000 1 d = 85 30
2 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 契 約 年 齢 30 歳 の2 年 定 期 保 険 の 保 険 料 率 が 下 記 であることを 認 めて 責 任 準 備 金 を 求 めま しょう x Dx Nx Cx Mx 30 62974.375025 2189633.620515 53.976490 30844.017256 31 61990.143073 2126659.245490 55.055707 30790.040766 32 61019.385207 2064669.102417 55.474850 30734.985060 P 1 = 0.000872505236 30:2
2 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 年 度 末 の 責 任 準 備 金 ( 一 人 当 たり)を 求 めよ A 保 険 料 1 P = 0.000872505236 30:2 x lx dx 30 98,434 85 31 98,349 88 最 初 の 収 入 保 険 料 0.000872505236 98434 = 85.8841807941 半 年 の 利 殖 1/2 85.8841807941 1.015 = 86.5259146055 保 険 金 支 払 い 85
2 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 年 度 末 の 責 任 準 備 金 ( 一 人 当 たり)を 求 めよ A 保 険 料 1 P = 0.000872505236 30:2 x lx dx 30 98,434 85 31 98,349 88 残 額 86.5259146055 85= 1.5259146055 半 年 の 利 殖 1/2 1.5259146055 1.015 = 1.53731636757 一 人 当 たりの 責 任 準 備 金 0.00001563123 責 任 準 備 金 の 総 額
2 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 年 度 末 の 責 任 準 備 金 ( 一 人 当 たり)を 求 めよ A 保 険 料 1 P = 0.000872505236 30:2 x lx dx 30 98,434 85 31 98,349 88 第 2 年 度 始 残 額 第 2 年 度 収 入 保 険 料 年 始 額 1.53731636757 0.000872505236 98349 = 85.8100178487 85.8100178487+ 1.53731636757 = 87.3473342162
2 年 定 期 保 険 の 場 合 Q 年 度 末 の 責 任 準 備 金 ( 一 人 当 たり)を 求 めよ A 保 険 料 1 P = 0.000872505236 30:2 x lx dx 30 98,434 85 31 98,349 88 半 年 間 の 利 殖 支 払 保 険 金 87.3473342162 1.015 = 88.0000008 88 何 も 残 らな い 1/2 残 額 88.0000008 88= 0
責 任 準 備 金 の 概 念 第 一 保 険 年 度 初 め 保 険 料 の 収 入 半 年 間 の 利 息 が 加 わ る 保 険 金 の 支 払 がなさ れる 保 険 金 の 支 払 後 もう 半 年 の 利 息 が 加 わる 第 1 保 険 年 度 末 = 第 2 保 険 年 度 初 め 第 2 保 険 年 度 末 の 保 険 料 の 収 入 半 年 間 の 利 息 が 加 わ る 保 険 金 の 支 払 がなさ れる 保 険 金 の 支 払 後 もう 半 年 の 利 息 が 加 わる 第 2 保 険 年 度 末 = 第 3 保 険 年 度 初 め 第 3 保 険 年 度 末 の 保 険 料 の 収 入 第 1 保 険 年 度 第 2 保 険 年 度
責 任 準 備 金 の 形 成 60 歳 加 入 保 険 期 間 30 年 の 定 期 保 険 の 責 任 準 備 金 の 形 成 状 況 : 保 険 金 100 円 年 払 保 険 料 2.625 円 年 齢 生 存 数 死 亡 数 年 始 状 態 保 険 料 保 険 料 収 入 後 年 始 状 態 半 年 分 の 金 利 の 上 乗 せ 支 払 い 保 険 金 ( 年 央 時 点 ) 残 額 期 末 状 態 一 人 当 責 任 準 備 金 60 90,035 751 0 236,375 236,375 242,212 75,100 167,112 171,239 1.92 61 89,284 805 171,239 234,403 405,642 415,659 80,500 335,159 343,436 3.88 62 88,479 868 343,436 232,289 575,725 589,943 86,800 503,143 515,568 5.88 63 87,611 939 515,568 230,011 745,578 763,991 93,900 670,091 686,639 7.92 64 86,672 1,023 686,639 227,545 914,184 936,760 102,300 834,460 855,067 9.98 この 間 にある 資 金 の 推 移 が 前 ページの 図 解
責 任 準 備 金 計 算 の 例 題 重 要 Q 保 険 金 額 を100 円 とするとき 30 歳 加 入 3 年 の 定 期 保 険 の 平 準 保 険 料 はいく らになるか 予 定 利 率 は4%とする v =0.98058068 として 計 算 せよ lx dx 30 1000 100 31 900 150 32 750 200 生 命 表 は 計 算 演 習 のための 仮 のものです A 1/2 1+ 1/2 2+ 1/2 1 d30v + d31v + d32v P30:3 2 l30+ l31v+ l32v = = 0.164455242 保 険 金 100 円 では 16.4455242 円 (ここではあえて 小 数 点 以 下 をたくさん 取 っています)
責 任 準 備 金 計 算 の 例 題 重 要 まずは 前 頁 の 演 習 問 題 で キャッシュフローの 状 況 を 俯 瞰 します 平 準 保 険 料 率 : 0.164455242 下 記 は 保 険 金 を100 円 としている 予 定 利 率 は4% 下 記 では 整 数 部 分 のみ 表 示 年 齢 生 存 数 死 亡 数 年 始 状 態 保 険 料 保 険 料 収 入 後 年 始 状 態 半 年 分 の 金 利 の 上 乗 せ 支 払 い 保 険 金 ( 年 央 時 点 ) 残 額 期 末 状 態 一 人 当 責 任 準 備 金 30 1000 100 0 16,446 16,446 16,771 10,000 6,771 6,905 7.673 31 900 150 6,905 14,801 21,706 22,136 15,000 7,136 7,277 9.703 32 750 200 7,277 12,334 19,612 20,000 20,000 0 0 0.000 Poin t 最 後 に 残 高 がピッタリ 0 になっていますよね 保 険 料 をきれいに 使 いきって 保 険 の 目 的 を 達 成 している 点 に 注 目 いただきたい!
生 命 保 険 数 学 を 勉 強 した 方 へのリマーク ここで 述 べた 責 任 準 備 金 の 計 算 方 法 は 過 去 法 によるものです 将 来 法 はとても 重 要 ですが 今 回 は 特 段 語 りません ( 次 回 以 降 触 れます) また ここでは 保 険 種 類 を 特 定 しない 責 任 準 備 金 の 記 号 として t V を 用 いましたが 定 期 保 険 養 老 保 険 終 身 保 険 にあっては 往 々 下 記 のような 記 号 を 用 います 1 tvxn : V : t xn t V x
生 命 保 険 数 学 を 勉 強 した 方 へのリマーク 従 来 の 教 科 書 では 将 来 の 支 出 現 価 から 将 来 の 収 入 現 価 を 控 除 する という 画 一 的 な 記 載 が 見 られます この 方 針 だと 下 記 のような 式 が 出 現 する! 定 期 保 険 養 老 保 険 V = A P a&& 1 1 1 t xn : x+ tn : t xn : x+ tn : t V = A P a&& t xn : x+ tn : t xn : x+ tn : t 意 味 が わからない ( 右 脳 に 響 かな いなぁ~) 終 身 保 険 tvx = Ax+ t Px a&& x+ t 責 任 準 備 金 の 生 成 を 知 るときには 今 回 ここで 示 した 方 法 が 多 分 一 番 明 確 だと 思 われます
生 命 保 険 数 学 を 勉 強 した 方 へのリマーク 今 回 紹 介 したものは 過 去 法 による 責 任 準 備 金 の 計 算 です これを 一 般 的 な 算 式 による 表 現 を 行 いますと 下 記 のとおりとなります 定 期 保 険 養 老 保 険 終 身 保 険 N N M M V = P D D 1 1 t xn : xn : t xn : xn : t x x x+ t x x+ t x+ t x+ t N N M M V = P D D x x+ t x x+ t x+ t x+ t N N M M V = Px D D x x+ t x x+ t x+ t x+ t 過 去 法 これを 今 理 解 する 必 要 はありません
自 然 保 険 料 と 平 準 保 険 料 同 じ 生 命 表 で 別 の 側 面 から 責 任 準 備 金 を 見 ます Q 保 険 金 額 を100 万 円 とするとき 1 年 の 定 期 保 険 では 各 年 齢 で 各 人 から 幾 ら 保 険 料 をとればよいか 予 定 利 率 は4%とする 1/2 =0.98058068 として 計 算 せよ v 1/2 年 齢 lx dx 30 1000 100 31 900 150 32 750 200
Q 自 然 保 険 料 と 平 準 保 険 料 保 険 金 額 を100 万 円 とするとき 1 年 の 定 期 保 険 では 各 年 齢 で 各 人 から 幾 ら 保 険 料 をとればよいか 予 定 利 率 は4%とする v 1/2 =0.98058068 として 計 算 せよ A 30 31 32 100 100 1000 0.98058068 98,058.068 100 150 900 0.98058068 163,430.113 100 200 750 0.98058068 261,488.181 Point 毎 年 ( 毎 年 齢 )ごとの 保 険 料 を 徴 収 するタイプの 保 険 料 自 然 保 険 料 (natural premium) 保 険 期 間 中 同 じ 保 険 料 を 徴 収 するタイプの 保 険 料 平 準 保 険 料 (level premium)
自 然 保 険 料 と 平 準 保 険 料 300,000 250,000 200,000 150,000 100,000 自 然 保 険 料 50,000 平 準 保 険 料 0 30 31 32 年 齢 自 然 保 険 料 平 準 保 険 料 30 98,058.068 164,455.242 31 163,430.113 164,455.242 32 261,488.181 164,455.242
責 任 準 備 金 の 概 念 20 年 の 定 期 保 険 の 場 合 の 平 準 純 保 険 料 と 自 然 保 険 料 の 関 係 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 責 任 準 備 金 はこんな 感 じになる 2,000 1,000 0 40 45 50 55
定 期 保 険 の 責 任 準 備 金 0.180 0.150 0.13955371 0.1629 7531 0.120 0.090 0.09759001 0.10832491 0.1219 8751 0.060 0.030 0.0268 0.0459 0.05 33 0.0421 0.000 0 30 31 32 33 34 35 0
養 老 保 険 の 責 任 準 備 金 の 概 形 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
終 身 保 険 の 責 任 準 備 金 の 概 形 終 身 保 険 責 任 準 備 金 率 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 保 険 年 度
なんでそんなに 責 任 準 備 金 が 重 要 なのか?? 責 任 準 備 金 がわかると 生 保 が90%わかる? 20 3 ) 10 9,595 2.9% 299,578 91.8% 250,114 76.6% 291,591 89.3% 54,101 16.6% 15,003 4.6% 6,690 2.0% 314,581 96.4% 578 0.2% 5,345 1.6% 7,424 2.3% 1,976 0.6% 4,419 1.4% 11,843 3.6% 326,424 326,424
保 険 計 理 人 の 仕 事 は 元 来 責 任 準 備 金 の 適 正 性 を 確 認 する 職 制 です 2. 3. 4.
保 険 計 理 人 の 仕 事 は 元 来 責 任 準 備 金 の 適 正 性 を 確 認 する 職 制 です
宿 題 1. 30 歳 加 入 3 年 の 養 老 保 険 の 年 払 純 保 険 料 を 計 算 してください ( 桁 はできるだけ 深 く 取 ること) 2. 保 険 金 を100 円 程 度 にして 毎 年 の 責 任 準 備 金 を 順 を 追 って 計 算 してください 3. 養 老 保 険 ですから 最 後 は100を 達 成 するこ とになります その 点 を 確 認 してください ( 予 定 利 率 は1.5%です) 次 に 添 付 した 付 録 の 計 算 基 数 と 生 命 表 を 用 いて 宿 題 のヒントはすぐ 後 に 紹 介 する 養 老 保 険 の 例 題 をご 覧 あれ
付 録 生 命 表 と 計 算 基 数 x Dx Nx Cx Mx 30 62974.375025 2189633.620515 53.976490 30844.017256 31 61990.143073 2126659.245490 55.055707 30790.040766 32 61019.385207 2064669.102417 55.474850 30734.985060 33 60062.557482 2003649.717210 57.084137 30679.510210 x lx dx 30 98,434 85 31 98,349 88 32 98,261 90
ヒント 養 老 保 険 の 場 合 の 例 題 まず 保 険 料 を 計 算 しましょう Q 保 険 金 額 を100 円 とするとき 30 歳 加 入 3 年 の 養 老 保 険 の 平 準 保 険 料 はいくら になるか 予 定 利 率 は4%とする v 1/2 =0.98058068 として 計 算 せよ 年 齢 lx dx 30 1000 100 31 900 150 32 750 200 A 1/2 1+ 1/2 2+ 1/2 3 d30v + d31v + d32v + l33v P30:3 2 l30+ l31v+ l32v = = 保 険 金 100 円 では 35.5539991 円 0.355539991 (ここでは 敢 えて 小 数 点 以 下 をたくさん 取 っている)
ヒント 養 老 保 険 の 場 合 の 例 題 前 頁 の 保 険 料 を 用 いて キャッシュフローを 俯 瞰 します 平 準 保 険 料 率 : 0.355539991 下 記 は 保 険 金 を100 円 としている 予 定 利 率 は4% 年 齢 生 存 数 死 亡 数 年 始 状 態 保 険 料 保 険 料 収 入 後 年 始 状 態 半 年 分 の 金 利 の 上 乗 せ 支 払 い 保 険 金 ( 年 央 時 点 ) 残 額 期 末 状 態 一 人 当 責 任 準 備 金 30 1000 100 0 35,554 35,554 36,258 10,000 26,258 26,778 29.753 31 900 150 26,778 31,999 58,777 59,941 15,000 44,941 45,831 61.107 32 750 200 45,831 26,665 72,496 73,932 20,000 53,932 55,000 100 最 後 に 一 人 当 たりの 責 任 準 備 金 がピッタリ 満 期 保 険 金 の100になっていますよね 保 険 料 をきれいに 使 いきって 保 険 の 目 的 を 達 成 している 様 子 が 分 かると 思 います
次 回 は 解 約 返 戻 金 の 計 算 2 月 28 日 ( 月 ) 講 義 に 使 用 するもの 電 卓 四 則 演 算 (+- )と 平 方 根 の 計 算 ができるもの