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1 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( 複素正弦波 jω ) メディアと信号処理第 回 ( 金田 ). 複素数とは 実数部と虚数部を持った数である 例えば 虚数単位を j と表すと 4+ j は複素数で 実数部は 4 で 虚数部が である 一般的に 実数部を 虚数部を とすると 複素数 z は z = + j と表される 複素数の 大きさ は 絶対値 (r jθ の r ) で定義される z の絶対値は z と表され z = + と計算される つまり 実数部と虚数部の 乗和の平方根が 複素数の大きさを表す 複素平面 とは 実数部を横軸 虚数部を縦軸で複素数を表す平面である (4) jω は時間 が進むにつれて 複素平面上でどのような軌跡を描くか? ( ヒント : 複素数の 大きさ は 複素平面上における原点からの距離に対応する ) ( ヒント : 下記の w サイトに詳しい説明がある hp:// [ 授業 ] [ 基本事項の解説 ] ) 次の複素数 z の絶対値 z を計算せよ () z=4+ j () z=4- j () z=+ j. フーリエ級数とは? 式を示して フーリエ級数 の意味するものを述べよ ( 簡単でよい ) (4) z=- - j. jω は 複素数値をとる時間 の関数であるが () サイン コサインを使ってどのように表されるか? ( オイラーの公式 ) () 複素数 jω の実数部と虚数部を示せ () 複素数 jω の絶対値 ( 大きさ ) を計算せよ

2 学年学科学籍番号氏名 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) < 第 回宿題 > 問 微分と積分 ( 定積分 ) の定義と その定性的な意味を説明せよ ( 関数 y( の微分および積分とは 関数 y( の 何を計算しているのか?) それぞれ 式 つ 図 つ 数行程度の説明 裏にも問題があります

3 d x( 問 下記の信号 x( の微分波形 および 積分波形 x( d を描け d ただし 各波形は正確でなくても 大体の形状を表していればよい y( x( 数字はその部分の線の傾き d x( d x( d 4 - 質問 および 意見 要望などあれば 記入してください

4 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) [ 各種の時間 - 周波数変換のまとめ ] 時間波形 周波数スペクトル ( 分析 ) 周波数スペクトル 時間波形 ( 合成 ) フーリエ級数 ( 周期信号 ) 理論 p p x( d x( cos( p d x( sin( p d x( p p { p cos( p sin( p } (..) フーリエ級数 : 複素正弦波表現 ( 周期信号 ) 理論 X ( p) 積分区間は周期 x( jp d (..) p jp x( X ( p) (..) 周波数 p は離散値 (p=, ±, ±, ) フーリエ変換 ( 非周期信号 ) 理論 X ( ) x( j d x( X ( ) 積分区間 (.5.) こちらは 逆フーリエ変換 と呼ぶ 周波数 ω は連続値 j d (.5.) DF (Discr Fourir rnsform: 離散フーリエ変換 ) ディジタル信号 ( 離散時間信号 ) 実用 X ( p) N n x( n) j( / N ) np 離散時間信号 x(n) n: 整数時間 離散周波数スペクトル X(p) p: 整数周波数 積分 (Σ) の区間は有限 (N サンプル ) (=N 個の標本化データ ) 計算される周波数も N 個 周波数間隔は Fs/N ( ただし Fs は標本化周波数 ) x( n) N N p X ( p) こちらは 逆 DF と呼ぶ j( / N ) np (.6.) (.6.)

5 [ 微分と積分 ] メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) 微分とは, 関数の描く曲線の傾き 差分の極限 ( 定義 ) 関数の変化量 ( 変化の大きさ ) 未来の予測値を与える y( y( +Δ 積分とは, 関数の描く面積である 総和 ( ) の極限である ( 定義 ) 積分区間で割れば その区間の平均値を与える 過去の積算 総和 トータルである y( Δy Δ Δ Δ 5Δ 7Δ Δ 4Δ 6Δ d y( y lim d lim y( y( Δ y( d lim / n y( n y( 変化無し ( 微分値 ) 傾き f( 正 d y( d 4 ここまでの面積 f(d 負 4 面積が減り始める ( 負の面積 ) f( 予測値 実際 傾き ( 微分の値 ) は, 曲線が進む方向の予測値を与える. 傾きが急になるか, ゆるやかになるか (= 傾きの変化 ) は, 二次微分でわかり, さらに予測精度が向上する 積分曲線 f(d の傾き ( 微分 ) がもとの関数 f( になっている ( 雑談系 ) 語句の用例 君の今までの勉強の積分値が不足しているのじゃないの? いえいえ, 現在の勉強量の微分値を見てください.

6 学年学科学籍番号氏名 宿題 (DF: 離散フーリエ変換 ) メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) x() x() x() x( x(4) x() 4 x(5) 5 時間 n x(: アナログ信号 x(n): (n=,,,, ) アナログ信号を標本化したディジタル信号 N X ( p) x( n) n j( / N ) np 問 :DF の定義式 ( 上式 ) より ディジタル信号 x(),x(),x(),x() に対する N=4 の場合の DF を計算し 周波数スペクトル X(),X(),X(),X() を求める下記の式を完成させよ p X () n x() n x() n x() n x() p X () x() x() j ( / 4) x() j ( / 4) x() j ( / 4) p p X () X () x() x() j ( / 4) 問 :DF の計算は 行列演算であることを示せ 具体的には 問 の式を行列演算として表す右の式を完成させよ ヒント : ) 問 の式は よく見る連立方程式と同じである ) j (π/4) =j j (π/4) =- などの関係を使うと 表現が簡単になる X () X () X () X () x() x() x() x()

7 (/) sin 振幅 振幅メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) 宿題 ( 倍周波数の正弦波の和 ) () 図 に示した つの正弦波 ( 基本周波数の正弦波 sin と その 倍の周波数の正弦波 ( 振幅 /) ) を足し合わせると どのような波形になるか作図せよ () () の結果は 図 の波形 A になることを確認せよ この波形 A に さらに 5 倍の周波数の正弦波 ( 振幅 /5) ) を足し合わせると どのような波形になるか作図せよ 図 sin 倍周波数 時間 - 図 波形 A 5 倍周波数 (/5) sin 5 時間 -

8 学年学科学籍番号氏名 宿題 メディアと信号処理第 4 回 ( 金田 ) 問 : 低域通過フィルタとは どのような性質を持ったフィルタか? 問 : アナログ信号をディジタル信号に変換する AD 変換で使用される低域通過フィルタの特性を述べよ 問 : 低域通過フィルタが使われているその他の応用例をあげよ

9 メディアと信号処理第 5 回 ( 金田 ) / 4. 周波数選択フィルタ ( 最も簡単な信号処理 ) 4.. 低域通過フィルタ (LPF: Low Pss Filr) ある周波数 f c より低い周波数成分は通過させるが f c より高い周波数成分はカットするフィルタ (fc はカットオフ周波数と呼ぶ ) [ 理想特性 ] [ 現実の特性 ] H L (f) fc 以下は 倍 ( そのまま出力 ) ゲイン ゲイン 少しでこぼこ db fc 以上は 倍 ( カット ) / -db 傾斜を持つ fc f 周波数 fc f 周波数 4.. 周波数選択フィルタのいろいろ 低域通過フィルタ (LPF: Low Pss Filr) 高域通過フィルタ (HPF: High Pss Filr) 帯域通過フィルタ (BPF: Bnd Pss Filr) 帯域阻止フィルタ (BEF: Bnd Eliminion Filr) ゲイン LPF ゲイン BPF fc f 周波数 fc fc f 周波数 ゲイン HPF ゲイン BEF fc f 周波数 fc fc f 周波数

10 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( フーリエ変換とフィルタの演習 ) メディアと信号処理第 5 回 ( 金田 ) ) 下記の三角波を微分した波形を描け また その波形をさらに微分した波形を描け 時間 回微分波形 回微分波形 周期 時間 時間 ) 方形波のフーリエ級数は n sin( n n n : 奇数 / 答えとその理由 である この式を利用して 三角波のフーリエ級数を求めよ ( ただし 定数 ( 三角波の大きさ ) は無視してよい ) ) 下記の式はどのような波形を表すか? 答えとその理由 n cos( n n : 奇数 4) 方形波形を低域通過フィルタに通すとどのように波形が変化するか? ( 想像で良い ) 時間 低域フィルタ? 5) 低域通過フィルタ (LPF) および 高域通過フィルタ (HPF) を使って 帯域通過フィルタ および 帯域阻止フィルタを作る方法を示せ ( 周波数振幅特性における作成の考え方と LPF と HPF を使った信号ブロック図を示せばよい ) 帯域通過フィルタ 帯域阻止フィルタ

11 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( 微分 積分のフィルタ効果 ) メディアと信号処理第 6 回 ( 金田 ) 問 : 信号 ( 例えば音声信号 ) に対して 微分および積分を行うと 信号の周波数成分はどのように変化するか? ( 可能ならその根拠や 微分 積分の周波数振幅特性を示す 当てずっぽうでも可 )

12 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( 複数の点と通る直線 ) メディアと信号処理第 7 回 ( 金田 ) ) - y 平面上の 点 (, ) と (4, ) を通る直線の式を, 計算によって求めよ ( 直線の式は : y = + 傾き と切片 の値を求める ) ) - y 平面上の 点 (, ) と (4, ) と (6, 5) を通る直線の式を求めよ 求まらない場合は その理由を述べよ ( 問 の解法が使えない理由 ) ) ) の条件を完全に満たす直線が存在しない場合であっても それに近い直線が求められている場合 それに近い直線 を下のグラフに図示せよ y 授業で使用した主要なスライドは hp:// [ 授業 ] [ メディアと信号処理 ] に 随時アップロードしておきます

13 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( 複数の点と通る直線 ) メディアと信号処理第 7 回 ( 金田 ) ) - y 平面上の 点 (, ) と (4, ) を通る直線の式を, 計算によって求めよ ( 直線の式は : y = + 傾き と切片 の値を求める ) ) - y 平面上の 点 (, ) と (4, ) と (6, 5) を通る直線の式を求めよ 求まらない場合は その理由を述べよ ( 問 の解法が使えない理由 ) ) ) の条件を完全に満たす直線が存在しない場合であっても それに近い直線が求められている場合 それに近い直線 を下のグラフに図示せよ ) = y= の点を通るので 直線は = + を満たす また 同様に =4 y= の点を通るので = 4+ を満たす この つの式を満たす と は =.5 = であるので 点を通る直線の式は y=.5+ となる y

14 学年学科学籍番号氏名 最小 乗法の演習 4 5 データの直線近似 : 最も簡単な最小 乗法の適用例 メディアと信号処理第 8 回 ( 金田 ) 最小 乗法の手順 目標信号 : 目標とする信号 ( データ ) が 時間とその時の値の組み合わせとして与えられている図の例では = の時 y= = の時 y=4 = の時 y= ( が整数のディジタル信号では は略して y=[,4, ] とあらわす場合が多い ) 近似関数 : 目標信号を近似するための関数 y~( を定める ただし 関数はパラメータを含んでおり このパラメータの最適値を求めることで 最適な近似関数が得られる この演習では 近似関数として 一次関数 ( 直線 ) y~( = + を用いる 一次関数のパラメータはつで 傾き と 切片 (= のときの y~ の値 ) である 最適性の評価量 y 評価量は平均 乗誤差とする 問題 : 以下の 4~8 手順にしたがって 最適な ( 最も平均 乗誤差が少なくなる ) 関数 ( 直線 ) を求めよ 最初に 最適近似直線を予想して右の図に描け 4 各時刻 (=,,) における 目標値 y と近似関数 y~ (= + との誤差 を表す 5 誤差の 乗を計算 6 誤差の 乗和 J を計算 7 J を最小にするパラメータ と の値を求める 8 直線を右のグラフに描く ( 予想直線と合っていたか?) 6 J

15 最小 乗法の演習メディアと信号処理第 8 回 ( 金田 ) 学年学科学籍番号氏名データの直線近似 : 最も簡単な最小 乗法の適用例最小 乗法の手順 目標信号 : 目標とする信号 ( データ ) が 時間とその時の値の組み合わせとして与えられている図の例では = の時 y= = の時 y=4 = の時 y= ( が整数のディジタル信号では は略して y=[,4, ] とあらわす場合が多い ) 近似関数 : 目標信号を近似するための関数 y~( を定める ただし 関数はパラメータを含んでおり このパラメータの最適値を求めることで 最適な近似関数が得られる この演習では 近似関数として 一次関数 ( 直線 ) y~( = + を用いる 一次関数のパラメータは つで 傾き と 切片 (= のときの y~ の値 ) である 最適性の評価量評価量は平均 乗誤差とする問題 : 以下の 4~8 手順にしたがって 最適な ( 最も平均 乗誤差が少なくなる ) 関数 ( 直線 ) を求めよ 最初に 最適近似直線を予想して右の図に描け y 4 各時刻 (=,,) における 目標値 y と近似関数 y~ (= + との誤差 を表す 5 誤差の 乗を計算 6 誤差の 乗和 J を計算 7 J を最小にするパラメータ と の値を求める 8 直線を右のグラフに描く ( 予想直線と合っていたか?) / ) / (9 ) / ( ) ( 4 ) ( ) (,, ) ( ~ J J J y y y y y y の場合の値を代入してなので目標値 - 近似関数の値誤差 4 注 : 両辺を 倍して / は取り除いた目標値 y 近似値 y = + = 4 + = + ~

16 学年学科学籍番号氏名 宿題 ( 誤差の大きさと FIR フィルタ ) メディアと信号処理第 8 回 ( 金田 ) ) 誤差が ) = = の場合と ) = =- の場合とでは どちらが誤差が小さいと言えるか? 理由も含めて答えよ ( 答は唯一ではないので 自分なりの答えを考えてもらって結構です ) ) ディジタル FIR フィルタとは? について 実験指導書や教科書を見て 理解した内容を記せ ( 分量はこの用紙の表面に書ける程度でよいが 裏面を使ってもよい 図を含んでも良い )

17 最小 乗法の演習 メディアと信号処理第 9 回 ( 金田 ) データの関数近似 : 最小 乗法の適用例 () 右の信号 y( を 正弦波 sin(ω で近似する目標信号 : y( 近似式 : y~( = sin(ω : パラメータ誤差 : ( = y( - sin(ω () y( また 平均操作は 積分をして積分区間長でわったものであるので 平均 乗誤差 J は J ( d と表される ただし 右辺の ( () は 平均操作を表す記号であり 以下はこの記号を使え 問 : このとき 平均 乗誤差 J を最小とする ( 最適な ) パラメータ を求めよ ( を y( を含んだ式で表す ) 手順 : 式 () に式 () を代入して 平均 乗誤差を計算する J ( 手順 : J を最小にするパラメータ の値を求める そのためには

18 最小 乗法の演習 メディアと信号処理第 9 回 ( 金田 ) データの関数近似 : 最小 乗法の適用例 () 右の信号 y( を 正弦波 sin(ω で近似する目標信号 : y( 近似式 : y~( = sin(ω : パラメータ誤差 : ( = y( - sin(ω () y( また 平均操作は 積分をして積分区間長でわったものであるので 平均 乗誤差 J は J ( d と表される ただし 右辺の ( () は 平均操作を表す記号であり 以下はこの記号を使え 問 : このとき 平均 乗誤差 J を最小とする ( 最適な ) パラメータ を求めよ ( を y( を含んだ式で表す ) 解 ) J ( 手順 : 式 () に式 () を代入して 平均 乗誤差を計算する y( y( y( sin( y( sin( y( sin( sin sin ( ( 式 () を代入 () は に依存しないので 平均 ( 積分 ) の外に出せる 手順 : J を最小にするパラメータ の値を求める そのためには J は の 次関数 J を最小とする は で微分した値が dj d y( sin( (4) ただし sin ( sin ( d を利用した 式 (4) より y( sin( y( sin( d (5) この式 (5) は何の式? フーリエ係数の式つまり フーリエ係数 = 信号 y( に含まれる sin(ω の大きさ = 信号 y( の最も良い近似となる正弦波 sin(ω の大きさ

19 学年学科学籍番号氏名 宿題 : FIR フィルタの計算 メディアと信号処理第 9 回 ( 金田 ) 問 FIR フィルタパラメータが h = h = (L=) のとき 入力信号 x(k) ={ x(),x(),x(),x() x(4) } が x(k) = {,,,, } の場合 および x(k) = {, -,, -, } の場合の出力信号 y(k) k=,,, 4 を それぞれ求めよ 問 FIR フィルタパラメータが h = h =- (L=) のとき 同様の つの入力 に対する出力 y(k) k=,,, 4 を求めよ 問 上記問 問 の結果より それぞれのフィルタは どのような特性を持っていると言えるか?

20 宿題解答 メディアと信号処理第 9 回 ( 金田 ) FIR フィルタの計算例 問 FIR フィルタパラメータが h = h = (L=) のとき 入力信号 x(k) ={ x(),x(),x(),x() x(4) } が x(k) = {,,,, } の場合 および x(k) = {, -,, -, } の場合の出力信号 y(k) k=,,, 4 を それぞれ求めよ 問 FIR フィルタパラメータが h = h =- (L=) のとき 同様の つの入力 に対する出力 y(k) k=,,, 4 を求めよ 問 上記問 問 の結果より それぞれのフィルタは どのような特性を持っていると言えるか? 解答 問 h={, } y(k)=x(k)+x(k-) なので y={,,, } y={,,, } 問 h={, - } y(k)=x(k) - x(k-) なので y= {,,, } y= { -,, -, } 問 信号 x(k) = {,,,, } は 低い周波数 ( 直流 ) 信号 x(k) = {, -,, -, } は 高い周波数の信号であることより h={, } 高域除去 ( 低域強調 ) h={, - } 低域除去 ( 高域強調 )

21 FIR フィルタ メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) FIR フィルタの一般式 y( k) h x( k) h x( k ) h x( k ) L i h x( k i) L= の場合のブロック図 i x(k) 遅延器 z - x(k-) h L x( k L) x(k): 入力信号 hi: フィルタパラメータ y(k): 出力信号 k は時間を表す変数 ( 整数 ) ( 参考 ) この式で表される計算は x(k) と hi の たたみ込み 演算と呼ばれる h h y(k) =h x(k)+h x(k-) 具体例 : 入力が x(k) =[ x(-) x() x() x() x() ] であるとすると 出力 y(k) =[ y(-) y() y() y() y() ] は x() x() x() x() x(-) k = 遅延器 z - h h y() =h x()+h x(-) x() x() x() x() x(-) k = 遅延器 z - h h y() =h x()+h x() x() x() x() x() x(- k = 遅延器 z - h h y() =h x()+h x()

22 学年学科学籍番号氏名 最小 乗法の演習 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) FIR フィルタの行列表現問 : つの係数 h h を持つ FIR フィルタ y(k)= h x(k)+ h x(k-) () の行列表現を示せ ( フィルタ係数を行列 入力信号を列ベクトルとする場合 ) 式 () を k= k= k= のについて表現し それを行列演算にすればよい y() x() y() x() y() x() x() y H x ( 出力 ) ( フィルタ係数 ) ( 入力 ) () 問 : 入力信号を行列 フィルタ係数を列ベクトルとして 問 の FIR フィルタの行列表現を書き直せ y = X h () ( 出力 ) ( 入力 ) ( フィルタ係数 ) こちらのほうが簡潔 ( 以上はフィルタ係数が つの例であるが フィルタ係数の数が増えても同様に行列表現できる )

23 学年学科学籍番号氏名 最小 乗法の演習 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) FIR フィルタの行列表現問 : つの係数 h h を持つ FIR フィルタ y(k)= h x(k)+ h x(k-) () の行列表現を示せ ( フィルタ係数を行列 入力信号を列ベクトルとする場合 ) 式 () を k= k= k= のについて表現し それを行列演算にすればよい y() h h x() y() h h x() y() h h x() x() y H x ( 出力 ) ( フィルタ係数 ) ( 入力 ) () 問 : 入力信号を行列 フィルタ係数を列ベクトルとして 問 の FIR フィルタの行列表現を書き直せ y = X h () ( 出力 ) ( 入力 ) ( フィルタ係数 ) こちらのほうが簡潔 ( 以上はフィルタ係数が つの例であるが フィルタ係数の数が増えても同様に行列表現できる )

24 最適な FIR フィルタ係数の算出 問 : 誤差ベクトル を () () () と表したとき 誤差の二乗誤差の和 J は 式 (4) のベクトル を用いて N J k ( k) (4) x(k) まず h d y y(k) + - 目標信号 d(k) 誤差 (k) であること および 第 の行列表現を用いて Jをd h X で表す J メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) ( A B) ( AB) B A A (7) B (5) (8) : 転置 と表すことができる 注 : (/N) は省略した 問 4: このとき これを最小とするフィルタ係数は d() d() d d() h h h h h L (6) (9) および 問 の行列表現 y=x h を用いて 乗誤差の和 J を最小とするフィルタ係数 h を 以下の手順に従って求めよ を解いて h と求まる X は 式 () のように 入力信号の値を並べた行列 質問 意見などがあれば書いてください ()

25 最適な FIR フィルタ係数の算出 問 : 誤差ベクトル を N () () () J k ( k) (4) と表したとき 誤差の二乗誤差の和 J は ベクトル を用いて () () () () () () (5) 内積 : 転置 x(k) まず h d y y(k) + - 目標信号 d(k) 誤差 (k) であること および 第 の行列表現を用いて Jをd h X で表す 平均 乗誤差 J ( d y) ( d Xh) ( d d h d h X ( d y) ( d Xh) )( d Xh) X d h メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) X ( A B) ( AB) X h B A A (7) B (8) と表すことができる 注 : (/N) は省略した ( h X d d Xh : スカラーなので) 問 4: このとき d() d() d d() h h h h h L および 問 の行列表現 y=x h を用いて 乗誤差の和 J を最小とするフィルタ係数 h を 以下の手順に従って求めよ ( 乗誤差の和が最小になれば 平均 乗誤差は最小になる ) (6) これを最小とするフィルタ係数は 偏微分して = を解いて J d d h X d h h h X d X X h h に関して解く X h X h X d X X X d X Xh (9) () と求まる X は 式 () のように 入力信号の値を並べた行列

26 学年学科学籍番号氏名 宿題 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) 問 目標とする信号 ( 関数 ) d( を近似する信号 ( 関数 ) x~( を 複数の関数 f ( f ( f ( の和として作ることを考える = 最も良い近似を与えるパラメータ c c c の値を最小二乗法で求める手順を簡単に記せ

27 最小 乗法 メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) 目標とする信号 ( 関数 ) d( を近似する信号 ( 関数 ) x~( を 複数の関数 f ( f ( f ( の和として作ることを考える = ( 例 ),,,, のときは 多項式近似となる = ( 例 ) 例 ) において 特に の場合は となって よく知られた直線近似 ( 測定データの直線近似などで使われる ) となる ( 例 ), cos sin, cos, sin, cos, sin, の場合は cos sin cos sin, cos sin となる この正弦波近似はフーリエ級数の形と一致する ( 例 4),,, のときは FIR フィルタとなる c i がフィルタパラメータ どの場合であっても 最適近似 ( 次式で表される平均 乗誤差 J を最小化 ) をするための J = () パラメータ c c c の値は 式 () がパラメータの 次関数であるので 各パラメータで偏微分して とおいた次の連立方程式を解くことで求められる =,,,, ()

28 相関計算の演習メディアと信号処理第 回 ( 金田 ) 問 : ディジタル信号 x と y の相関 φxy および x と z の相関 φxz を計算し 波形の類似性の高い信号どうしの相関のほうが 値が大きくなることを確認せよ 学年学科学籍番号氏名 x y z x x y z 時間 質問や意見 要望などがあれば記入ください