i i = 1, 2,..., i r, t t r i 1 r, tt i r, t r Σ φ i r, t =1. i =1 φ i t = 2 n r, t Σj i s ij M ij δ F δ F δφ i δφ j, i =1 n F M ij δ F δφ i = Σj i 2 ε

Size: px

Start display at page:

Download "i i = 1, 2,..., i r, t t r i 1 r, tt i r, t r Σ φ i r, t =1. i =1 φ i t = 2 n r, t Σj i s ij M ij δ F δ F δφ i δφ j, i =1 n F M ij δ F δφ i = Σj i 2 ε"

きよあつのあき
5 years ago
Views:

1 Phase-field Simulation of Grain Growth Abstract Grain growth occurring in the steel manufacturing process is one of the most important phenomena in order to control the polycrystalline microstructure. Due to its heavy computational cost, phase-field(pf) simulations were limited to 2D systems. Recently, 3D PF simulation of grain growth is becoming practical owing to the development of efficient simulation algorithms and the application of parallel computation techniques. In this manuscript, we will report simulation results for the normal grain growth and the system containing finely dispersed second-phase particles. Especially, this manuscript highlights the difference between the 2D and 3D simulation results.

2 i i = 1, 2,..., i r, t t r i 1 r, tt i r, t r Σ φ i r, t =1. i =1 φ i t = 2 n r, t Σj i s ij M ij δ F δ F δφ i δφ j, i =1 n F M ij δ F δφ i = Σj i 2 ε ij 2 2 φ j + ω ij φ j + f i E ij ij E f i i ij ij n r, t = Σ i =1 s i r, t. s i r, t i s i r, t s i r, t t = 500 t g t = t = g t x R

Phase-field法による粒成長シミュレーション図１ 5123差分格子において得られた計算結果 a t = 650Δt において35 174粒 b t = 10 000Δt において 1 185粒が存在している Simulated microstructural evolution in 5123 cells (a) 35 174 grains at t = 650Δt and (b) 1

3 Phase-field法による粒成長シミュレーション図１ 5123差分格子において得られた計算結果 a t = 650Δt において35 174粒 b t = Δt において 1 185粒が存在している Simulated microstructural evolution in 5123 cells (a) grains at t = 650Δt and (b) grains at t = Δt. 図３幾つかのPFシミュレーションで得られた定常状態における粒径分布関数実線はHillertの平均場解析によって得られた粒径分布関数を示す Steady-state grain size distributions from various phase-field simulations of the 3D normal grain growth Kim et al.18) (MPF model, symbols were taken from Fig.15 in Ref. 18) and our study (MPF model + APT algorithm). The thick curve depicts the 3D distribution predicted by Hillert theory3). 図２平均粒半径の２乗 R 2と計算時間の関係同時に計算結果に対する近似直線を示す Square of average grain radius R 2, versus simulation time The thick straight line is the linear least-square fitting for a simulation run. 図４三次元計算結果の二次元断面より得られた定常状態における粒径分布関数 Steady-state grain size distributions reconstructed from a set of 2D slice of 3D microstructure 規格化したサイズ分布関数が一定となる定常状態 3)が得られる事が知られている定常状態におけるサイズ分布関数を比較するため我々の計算結果同等のモデルを用次に個々の粒の成長挙動について考察する Hillertの平いたKimらの計算の結果18) およびHillertによる平均場解均場解析では個々の粒の成長速度を下記の式で表現して析3)で得られた分布関数を図３に示すこの図から我々いる 3) の結果はKimらの結果に対して若干分布が広がりさら dr = αm σ 1 1 : R dr = αm σ 1 1. p p Rc R Rc dt dt に左右対称に近くなっているこのサイズ分布における若干の相違は Kimらの計算においてはサイズ分布が完全な 5 定常状態に達していなかったためと考えられる 27) ここで R は着目している粒の半径であり Rc は臨界粒半最近では三次元的な組織観察も可能となりつつあるが径で 5 式から Rc 以上の粒は成長し以下の粒は収縮通常の実験観察で得られる組織写真は三次元組織の二次するまた Mp は物理的な界面易動度 σは界面エネル元断面である三次元組織と二次元断面の比較のため本ギーであり αは平均場近似に含まれない詳細な幾何学的節で得られた計算結果の二次元断面より求めたサイズ分布影響を考慮するための１程度の補正値である Kimらはを全ての断面に平均して得られた分布を図４に示す図３ 5 式を評価するために RdR / dt と R R の関係を用い / た解析を行っている 18) と図４を比較することで二次元断面においてはサイズ分布が小さい粒の側に偏っていることが分かるまた二これに習い図５に t = Δt において個々の粒次元断面から得られる平均粒半径を R2d とすると R に対するRdR / dtとr R / の関係を示すこの図から近 1.18 R2d となったなお二次元組織において得られ似直線が x 軸と交わる x 軸の値即ち臨界粒半径は 1.15 る定常分布は上記の三次元組織およびその二次元断面のとなっておりこれは Kim らの結果を良く再現しさらどちらとも異なる 3, 18) に Hillert の平均場解析の結果 Rc = 9/8 R = R とことを明記しておく 21 新日鉄技報第 392 号 2012

4 R R t = 500 t t = t t = t m f ff m f f f m f f r R R = a r f b f a, ba = 4/3, b = 1 b r = 2.68 V = 81 f

Phase-field法による粒成長シミュレーション PF 法を用いた場合分散粒子の粗大化を考慮した場合にれは文献56)でも指摘されているように二次元と三次元ついても計算可能 21)であるでは最大ピン止め応力を与える分散粒子と界面の幾何学的配置が異なり三次元の方が簡単に分散粒子から界面が逃分散粒子の体積率 f = 0.

１結晶粒あたりに接する粒の数が少ないためさらに界面る三次元のMCシミュレーション結果49)と比較しても低いの曲率が大きいため成長速度にそれほど変化は無い粒値である彼らが用いた計算条件下では分散粒子の存在の成長に伴い成長速度は減少し最終的に成長は停止すにより導入された人工的なファセットが粒成長を抑制してる図９にそれぞれの分散粒子体積 f における最終的なピ

5 Phase-field法による粒成長シミュレーション PF 法を用いた場合分散粒子の粗大化を考慮した場合にれは文献56)でも指摘されているように二次元と三次元ついても計算可能 21)であるでは最大ピン止め応力を与える分散粒子と界面の幾何学的配置が異なり三次元の方が簡単に分散粒子から界面が逃分散粒子の体積率 f = 0.04とした際の組織の時間発展れられることに起因しているを図７に示す図中で黒い点が分散粒子である図８にそまたこのΦの値は分散粒子を１格子点として扱いれぞれの分散粒子体積 f における母相粒子の平均粒径の時間変化を示す初期段階では結晶粒の大きさが小さく格子温度 lattice temperature を０とした Anderson らによ１結晶粒あたりに接する粒の数が少ないためさらに界面る三次元のMCシミュレーション結果49)と比較しても低いの曲率が大きいため成長速度にそれほど変化は無い粒値である彼らが用いた計算条件下では分散粒子の存在の成長に伴い成長速度は減少し最終的に成長は停止すにより導入された人工的なファセットが粒成長を抑制してる図９にそれぞれの分散粒子体積 f における最終的なピいた可能性がある MC法の場合この問題を回避するたン止め組織を示すめには分散粒子の大きさを十分に大きくするとともに母相の粒界に存在する分散粒子の合計が占める確率をΦ 格子温度を上昇させ熱揺らぎを導入する必要がある54) しとしその中で２つの粒の界面に存在する確率Φ2 ３かし PF 法によるシミュレーションでは界面の曲率をつの粒が接する線上に存在する確率Φ3 ４つ粒が接する高精度に表現出来るため熱揺らぎを導入すること無く文頂点に存在する確率Φ4を図10に示すこれら全ての値献 54)と同等のΦ値が得られているは f の増加とともに増加しているまた Φの値は同図 11 に定常状態における母相の平均半径 R を分散粒じモデルパラメータを用いているにもかかわらず二次元子の半径 r で除した値と分散粒子体積 f の関係を両対数グにおけるシミュレーションの値に比べ非常に小さい56) こラフで示すシミュレーション結果に対し最小二乗法を用図７分散粒子体積 f = 0.04とした場合の 4003差分格子において得られた計算組織の時間発展 Simulated microstructural evolution in 4003 cells for f = 0.04 図９様々な分散粒子体積 f に対する最終的なピン止め組織 Pinned microstructures for different particle concentrations f 図８様々な分散粒子体積に対する平均粒半径 R と計算時間の関係 Average grain radius R, versus simulation time for different particle concentrations 図10 様々な分散粒子体積における分散粒子の配置最終的なピン止め組織において分散粒子が母相の界面三重線頂点に存在する割合を示す Fraction of particles on grain faces, edges and corners in the pinned microstructure versus particle concentration f 23 新日鉄技報第 392 号 2012

6 R = 1.42 r f 0.87 ME = Σ i g i ln g i Σ i gi g i g = R /R i f f = 0 f = 0.04 R f

A

A04-164 2008 2 13 1 4 1.1.......................................... 4 1.2..................................... 4 1.3..................................... 4 1.4..................................... 5 2