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かねろういなおか
7 years ago
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1 システムインタフェース設計論 ~データ解析手法 ~ サイバーメディアセンター清川清 1

2 尺度水準尺度 : 比べる基準名義尺度順序尺度間隔尺度比率尺度名義尺度単なる記号 (ラベル) ノンパラメトリック同一性は議論できるが大小比較はできない電話番号背番号銘柄品詞など順序尺度大小比較はできるがその間隔は問えない震度鉱物硬度成績の順位など 2005 年 7 月 11 日 2 2

3 尺度水準間隔尺度等間隔に目盛りづけされ差異が議論できる摂氏華氏知能指数年代など比率尺度 ( 比例尺度 ) 原点 (ゼロ点 )が定義できる測定値間の比率が議論できる絶対温度長さ重さ時間など名義 < 順序 < 間隔 < 比率の順に情報量が大きい高水準の尺度から低水準の尺度への変換は可能 2005 年 7 月 11 日 3 3

4 定性データと定量データ定性データ対象とする属性の性質や内容を示す言葉や文字で表す名義尺度順位尺度から得られる定量データ対象とする属性を数量によって示す数字や数値で表す間隔尺度比率尺度から得られる 2005 年 7 月 11 日 4 4

5 様々な代表値最頻値最も度数の多いクラスに対応する値中央値測定値をソートして真中にくる値算術平均値 (ΣX)/n 調和平均値各値の逆数の平均値の逆数幾何平均値 (ΠX)^(1/n) 2005 年 7 月 11 日 5 5

6 最頻値名義尺度にも用いることができる間隔尺度以上の場合は区間に分ける例 )あるタスクの完遂時間の度数分布 0~10 秒 : 5 人, 10~20 秒 : 8 人, 20~30 秒 : 11 人, 30~40 秒 : 4 人最頻値は 20~30 秒は乱暴普通は25 秒とするより厳密な求め方 : 最頻値 = ( 下限値 )+ 上側度数 /( 下側度数 + 上側度数 ) 階級幅 = / (4 + 8) x 10 = 秒 2005 年 7 月 11 日 6 6

7 中央値 Me = X (n + 1) / 2 (n が奇数の場合 ) Me = (X n/2 +X n/2 + 1 )/2 (n が偶数の場合 ) バラツキに対して変動しにくい例 :スポーツ選手の年棒の代表値例 :ある測定値 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5 中央値 :9 個中 5 番目の 2 しかし 2より小さい値は1つ大きい値は4つある新中央値 = ( 下限値 )+(n/2 - 下側総度数 ) / 中央値度数階級幅 = 2 + (4.5-1) / 4 1 = 年 7 月 11 日 7 7

8 算術平均値 (ΣX)/n データの重心となっている統計的処理に向いている例 )あるタスクの完遂時間の度数分布 0~10 秒 : 5 人, 10~20 秒 : 8 人, 20~30 秒 : 11 人, 30~40 秒 : 4 人 (5.0 x x x x 4) / 28 = 20.0 秒 2005 年 7 月 11 日 8 8

人, 20~30 秒 : 11 人, 30~40 秒 : 4 人 (5.0 x 5 + 15.

9 調和平均値 n/(σ1/x) データの逆数が間隔尺度とみなされるときに用いる例 )30km の道のりを行きは30km/h 帰りは60km/hで走った際の全体の平均時速算術平均値 : 45km/h 調和平均値 : 2/((1/30) + (1/60)) = 40km 1.5 時間で60km 走ったので正解 2005 年 7 月 11 日 9 9

10 幾何平均値 (ΠX)^(1/n) Y=logX / n とすると幾何平均値は e Y 指数や対数の関係にある事柄に用いる例 ) 感覚量が刺激の対数に比例する場合与えた刺激の平均は幾何平均とすべき 2005 年 7 月 11 日 10 10

11 データの尺度水準と統計量名義尺度 : 最頻値度数分布順序尺度 : ( 上記 +) 最大値最小値中央値間隔尺度 ( 上記 +) 平均値分散標準偏差比率尺度 ( 上記 +) 幾何平均調和平均 2005 年 7 月 11 日 11 11

12 統計的検定の必要性仮説 : ボタン早押しの速度は女性より男性のほうが早い ( 秒 ) 男性女性 2005 年 7 月 11 日 12 12

13 統計的検定の必要性仮説 : ボタン早押しの速度は女性より男性のほうが早い ( 秒 ) 男性女性個人差が大きいので少人数では結論できない 2005 年 7 月 11 日 13 13

14 統計的検定の必要性仮説 : ボタン早押しの速度は女性より男性のほうが早い ( 秒 ) 男性女性大勢の平均値で結論できるか? 2005 年 7 月 11 日 14 14

15 統計的検定の必要性仮説 : ボタン早押しの速度は女性より男性のほうが早い ( 秒 ) 男性女性平均値では結論できないばらつき具合と併せて比較する必要がある 2005 年 7 月 11 日 15 15

16 統計的検定の必要性仮説 : ボタン早押しの速度は女性より男性のほうが早い女性男性 2005 年 7 月 11 日 16 16

17 統計的検定実験仮説は想定する母集団全体が対象世界中の男性 vs. 世界中の女性実験データを母集団全体から取るのは困難本当の答えは誰にも分からないことに注意統計的検定標本 (サンプル) から得たデータの特徴が母集団全体についても当てはまるかどうかを確率的に調べる有意水準を設定し検定の結果から帰無仮説を棄却または採択する 2005 年 7 月 11 日 17 17

18 帰無仮説と対立仮説帰無仮説差があるように見えたのは偶然だったのだと考える仮説 H 0 で表す早押しに男女の差があるとは言えない ( 差がないとは言わないことに注意 ) 帰無仮説を棄却有意差がある帰無仮説を採択有意差がない対立仮説やはり偶然ではないとする仮説 H 1 で表す 2005 年 7 月 11 日 18 18

19 有意水準偶然性を判定する基準 0.05(5% 水準 ), 0.01(1% 水準 )がよく使われるどの水準で検定するかは実験者自身が決定する αで表す危険率ともいう 5% 水準で有意差がある場合結論が誤りである確率が 5%はあるという意味で危険第一種誤り確率 α: 帰無仮説が正しいのに棄却する確率有意差がないのにあると結論してしまう第二種誤り確率 β: 帰無仮説が誤りなのに採択する確率有意差があるのにないと結論してしまう 2005 年 7 月 11 日 19 19

20 片側検定と両側検定 H 0 :Θ=Θ 0 のときに片側検定 (1-way): H 1 :Θ>Θ 0 (または Θ<Θ 0 ) と考える方向性を問うセリーグはパリーグより人気がある両側検定 (2-way): H 1 :Θ Θ 0 と考える方向性を問わないセリーグとパリーグは人気に差がある 2005 年 7 月 11 日 20 20

21 一様分布取りえる値の生起確率が等しい分布平均 E(x) = 1/2, 分散 V(x) = 1/ 年 7 月 11 日 21 21

22 三角分布一様分布に従う確率変数 v1, v2 の差は三角分布に従う平均 E(x) = 0, 分散 V(x) = 1/ 年 7 月 11 日 22 22

23 正規分布 n 個の一様乱数の和を考え nを大きくする N(μ, σ 2 ): 母平均 E(x)=μ, 母分散 V(x)=σ 2 N(0, 1 2 ) を標準正規分布という 2005 年 7 月 11 日 23 23

24 χ 2 分布 N(0, 1 2 ) に従う n 個の確率変数 x i の2 乗和 χ 2 = x x n 2 の分布自由度 φ=n, 平均 E(χ 2 ) = φ, 分散 V(χ 2 ) = 2φ 2005 年 7 月 11 日 24 24

25 χ 2 検定ノンパラメトリック検定が可能カテゴリ間の度数分布について独立性や一様性を検定できる男性女性右利き男性で右利きの人数女性で右利きの人数左利き男性で左利きの人数女性で左利きの人数 H 0 : カテゴリ間は独立している X 2 = Σ(( 観察度数 - 期待度数 ) 2 / 期待度数 ) は帰無仮説が正しい場合 χ 2 分布に従う度数は最少のセルでも5つ以上必要とされる 2005 年 7 月 11 日 25 25

26 χ 2 検定の例例 : 世代によって普段使うOSは異なるか観測度数のクロス表 ~30 31~50 51~ 計 OS (0.50) OS (0.22) OS (0.28) 計 (1.00) 期待度数のクロス表 ~30 31~50 51~ 計 OS (0.50) OS (0.22) OS (0.28) 計 (1.00) この場合の自由度は ( 列 -1) x ( 行 - 1) = 年 7 月 11 日 26 26

27 χ 2 検定の例 ( 観察度数 - 期待度数 ) 2 / 期待度数 ~30 31~50 51~ OS OS OS 総和 X 2 = 16.4 有意水準 1% 自由度 4のχ 2 値 = > であるから H 0 は棄却される世代によって普段使うOSに有意差がある (これはあくまで説明用のデータです) Excel では関数 CHITEST( 観察度数範囲, 期待度数範囲 ) で棄却率 p を計算できるこの例では p= < 年 7 月 11 日 27 27

28 t 分布一般に標本平均 X は母平均 μと異なるが標準化した際のその差異 t が従う分布 (U は標本の不偏分散 ) 自由度 φ= n 年 7 月 11 日 28 28

29 t 検定 2 群の平均値に差があるかどうかを検定群間の対応の有無で式が異なる 1 標本に (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) という対応がある場合等分散性は問わないが XとYのデータの個数は等しくないとダメ例 ) 多くのグループ内実験 Excel: TTEST (X 範囲, Y 範囲, 片側検定 (1)か両側検定 (2)か, 1) 2 対応がないが分散が等しいと仮定できる場合例 ) 多くのグループ間実験 Excel: TTEST (X 範囲, Y 範囲, 片側検定 (1)か両側検定 (2)か, 2) 3 対応がなく分散も等しいと仮定できない場合 Excel: TTEST (X 範囲, Y 範囲, 片側検定 (1)か両側検定 (2)か, 3) いずれも帰無仮説は 2 群の母平均値に差はない 2005 年 7 月 11 日 29 29

30 F 分布 χ 2 分布に従う独立な確率変数 χ 1 2, χ 2 2 について以下のFが従う分布 2005 年 7 月 11 日 30 30

31 分散分析 Analysis of Variance (ANOVA) 独立変数と従属変数の独立性を検定 2つ以上の変数間の相違を一度に検定できる分散に差があるかを検定するF 検定を利用平均値に差があるかも検定できる (1) 全体のバラツキを (2) 独立変数の違いによるバラツキと (3)それ以外の要因によるバラツキに分解 (1)=(2)+(3) (2)が(3)よりもある比率で大きければ独立変数から従属変数への影響があったといえる 2005 年 7 月 11 日 31 31

32 分散分析の例インタフェースの使いやすさを比較独立変数 :インタフェースの種類 A, B, C, D 1 要因 4 水準要因 : 独立変数の種類水準 :1つの独立変数中のカテゴリー数従属変数 : 5 段階評価の主観評価値 1: 使いにくい 2:やや使いにくい 3:どちらともいえない 4:やや使いやすい 5: 使いやすい 2005 年 7 月 11 日 32 32

33 分散分析の例 UIの種類被験者の評価値合計平均件数 A B C D 全体全体平方和 : S1 = (4 3.2)^2 + + (2 3.2)^2 = 29.2 因子平方和 : S2 = 5x( )^2 + 5x( )^2 = 10.0 グループ間変動ともいう誤差平方和 : S3 = (4 4.2)^2 + + (2 2.2)^2 = 19.2 グループ内変動ともいう 2005 年 7 月 11 日 33 33

34 分散分析の例全体平方和 : S1 = 29.2 因子平方和 : S2 = 10.0 誤差平方和 : S3 = 19.2 全体の自由度 : F1 = (データ件数 1) = (20 1) = 19 因子の自由度 : F2 = ( 水準数 1) = (4 1) = 3 誤差の自由度 : F3 = (F1 F2) = (19 3) = 16 因子による分散 : V2 = (S2 / F2) = (10.0 / 3) = 3.33 誤差による分散 : V3 = (S3 / F3) = (19.2 / 16) = 1.2 F 値 : V2 / V3 = 3.33 / 1.2 = 年 7 月 11 日 34 34

35 分散分析の例 F 値 = 2.78 これを F 分布表の値と比較自由度 (3, 16) のF 分布における有意水準 5%での棄却域は < 3.24 帰無仮説は棄却できない使いやすさに有意差はみられない P 値 : F 値に対応した棄却確率この場合は p = 0.07 棄却できる場合は p < αとなる 2005 年 7 月 11 日 35 35

36 Excel での計算例 [ツール] [ 分析ツール] [ 分散分析 : 一元配置 ] 一元配置 = 説明変数が一要因分散分析 : 一元配置概要グループ標本数合計平均分散 A B C D 分散分析表変動要因変動自由度分散観測された分散比 P- 値 F 境界値グループ間グループ内合計年 7 月 11 日 36 36

37 分散分析のいろいろ 1 要因の分散分析 ( 一元配置分散分析 ) 対応なし( 被験者間要因, ex. 2 群 x1 条件 ) 対応あり( 被験者内要因, ex. 1 群 x2 条件 ) 2 要因の分散分析 (ニ元配置分散分析 ) 対応なし& 対応なし(ex. 4 群 x1 条件 ) 対応なし& 対応あり(ex. 2 群 x2 条件 ) 対応あり& 対応あり(ex. 1 群 x4 条件 ) 3 要因の分散分析 ( 三元配置分散分析 ) 全て対応なし ~ 全て対応ありの4 種類 2005 年 7 月 11 日 37 37

38 交互作用各要因の主効果と異なり複数の要因の組合せにより発現する複合効果のこと例 ) 学生の性格と効果的学習法内向的なら家庭教師外向的なら塾が良い? 2 要因の分散分析の手順交互作用を検証交互作用があれば単純主効果を検定要因 Aのある水準での要因 Bの主効果などのこと交互作用がなければ主効果を検定 2005 年 7 月 11 日 38 38

39 t 検定と分散分析 t 検定 2 群に対してのみ用いられるデータ数が少なくても用いられる分散分析何群に対してでも用いられるデータ数は30 以上が望ましい (t 分布はn=30 以上で正規分布とほぼ区別できなくなる) ただし個々の群の順位づけはできないこの場合分散分析やt 検定を繰り返すとH 0 が棄却されやすくなる多重比較を行なう必要がある 2005 年 7 月 11 日 39 39

40 多重比較 H 0 : 各平均 μ 1 = = μ n 1 Scheffe の手法有意性をより慎重に判断する 2 Tukey の手法有意性をより緩く判断するデータ数が等しい必要がある 3 Bonferroni の手法 t 検定の有意水準を予め厳しく設定する手法有意性判定の程度は1と2の間 2005 年 7 月 11 日 40 40

41 検定手法のいろいろカテゴリーの差比率や独立性一様性の検定 :χ 2 検定分散 1 群の分散と期待分散の比較 :χ 2 検定 2 群の分散の比較 :F 検定 3 群以上の分散の比較 : 分散分析平均 1 群 2 群の比較 :t 検定 3 群以上の比較 : 分散分析多重比較 : TukeyのHSD 法など 2005 年 7 月 11 日 41 41

42 グラフのいろいろ棒グラフ例 ) 名義尺度のカテゴリー別の度数分布を確認折れ線グラフ例 ) 量的データを時系列で確認円グラフ例 ) 名義尺度のカテゴリー別の頻度分布を確認帯グラフ例 ) 順序尺度のカテゴリー別に頻度分布を確認 3Dグラフ情報の損失は少ないがかえって見づらいこともある 2005 年 7 月 11 日 42 42

43 箱髭図 (box plot) 各四分位点 ±1.5 IQR* 中央値 *IQR= 第 3 四分位値 - 第 1 四分位値飛び外れ値第 1, 第 3の四分位点箱の基準が平均と標準偏差という場合もある 2005 年 7 月 11 日 43 43

44 散布図 2005 年 7 月 11 日 44 44

45 散布図行列 (MA チャート) 2005 年 7 月 11 日 45 45

スライド 1

スライド 1 SPI Japan 2011 組織の実績ベースラインおよび改善活動の効果の検定手順の確立 2011 年 10 月 27 日住友電気工業株式会社中塚康介中村伸裕情報システム部はじめに高成熟度のプロセス領域では統計的手法の適用が必要となる組織のプロセス実績の分布