IPSJ SIG Technical Report Sphere Loose Packing Simulation Model and Approximation Formula for Packing Density Shuji Yamada, 1 Jinko Kanno 2 an

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ようじろうさわなか
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1 Sphere Loose Packing Simulation Model and Approimation Formula for Packing Density Shuji Yamada, 1 Jinko Kanno 2 and Miki Miyauchi 3 A new simulation model for the sphere random loose packing is introduced. An approimation formula for the packing involving only S/V ratio and average of mean curvature of wall surface of the container is given. 1. Introduction 3 Scott, Kilgour [S] 20, (Closed Packing) (Loose Packing) NTT [D], [K1],[K2] 3 (drop and roll method) [L], [V2], [Y] µ - (S/V -ratio) 2. r r p (environment parameter) 0 µ 2 r R R A R A R 1

2 µr supp µ(a) = N µr(a) N µr(r) A µ- (support set) N µr µr-supp µ (A) A m µ (A) = area(supp µ (A)) area N µr (R) A p(a) = m µ(a) m µ ( R) (1) 3. Container Wall Evacuation Effect (Boundary Effect) R 2 [0, ) 2 2 4, y ( (0, y, z) = (1, y, z), (, 0, z) = (, 1, z) ) 0.01 µ (standard ) µ D µ µ ( 2) D 0.0 = D 1.0 = D 2.0 = r 3 (r ) µ r- D µ ± R A supp µ (A) µ = D Μ Μ 2 µ D µ r r 2

3 D µ 3 µ = 1.0 ( ) D µ ( ) Β Μ Μ 4 µ β µ r 4 r 6 r 8 r 3 (r ) ( ) D µ ( 3 ) r ( ) µ β µ β µ µ ( 4) β 1.0 = V S r µ (V β µrs)d µ D D = D µ D µ β µ rs/v (2) S/V - (surface-volume ratio) 4. Front Surface Curvature Effect ( ) r R R r- N r(r) (packing front surface) 2 N r (R) N r (R) H H H µ = z 1, 2, 3 5, 6, 7 300,000 3

情報処理学会研究報告様子が表示されている 0.480 0.475 0.480 0.470 0.475 0.465 0.470 0.460 0.455 0.465 20 r 40 r 60 r 図 5 実験 1. は中心からの距離 (r は充填球半径) フィット関数は 0.484 80 r 0.460 20 r 40 r 60 r 図 7 実験 3.

51 0.484 + = 0.484 H となるまた実験 3 の場合は円柱軸から距離の地点での充填が行われるときにはその充 0.50 填前面はほぼ半径の円柱法線ベクトルは内向きをしていると考えられるその平均曲率は H = 0.49 1 2 であるので充填密度の近似式は 0.484 0.056r = 0.484 H となる 0.

4 情報処理学会研究報告様子が表示されている r 40 r 60 r 図 5 実験 1. は中心からの距離 (r は充填球半径) フィット関数は r r 40 r 60 r 図 7 実験 3. は円柱中心軸からの距離 (r は充填球半径) フィット関数はであるのでこれをデータのフィット関数に代入すると r 0.056r = H という充填密度の近似式を得る 0.52 同様に実験 2 の場合はその充填前面はほぼ半径の球面形法線ベクトルは外向きをしていると考えられその平均曲率は H = 1 であるので充填密度の近似式は = H となるまた実験 3 の場合は円柱軸から距離の地点での充填が行われるときにはその充 0.50 填前面はほぼ半径の円柱法線ベクトルは内向きをしていると考えられるその平均曲率は H = であるので充填密度の近似式は r = H となる r 40 r 60 r 図 6 実験 2. は中心からの距離 (r は充填球半径) フィット関数は r 以上の 3 実験いずれの場合も充填密度は H で近似されるこれらはすべて環境パラメタ µ = 1.0 における実験結果であるがその他の µ の値においても局所的充填密度 Dlocal を充填前面曲率で表した同様の近似式 Dlocal = Dµ γµ rh (3) 実験 1 の場合中心から距離の地点での充填が行われるときにはその充填前面はほぼが得られるここで γµ は環境パラメタ µ によって定まる定数でありこれを充填前面曲 1 率効果係数と呼ぶ γµ は µ の増加に従い単調に増加し µ = 1.0 のときは γ1.0 = 0.11 で半径の球面形法線ベクトルは内向きをしていると考えられるその平均曲率は H = 4 c 2012 Information Processing Society of Japan

5 Γ Μ Μ 8 γ µ H r H (3) 1 D = (D µ γ H 1 µr ) d(3 ) d d = (D µ γ µrh)3 2 d = D 3γ µrh V S H r µ D D = D µ D µ β µ rs/v 3 2 γ µrh (4) 1, 2 2 r : 1 µ = 1 S = 4π V = 4 π 3 S/V - S = V 3 H = 1 µ = 1 D = r : µ = 1 S = 22 V = 6 S/V - S = 3.67 V H ϵ ϵ 0 H = π 24 1 = 6 π = µ = D = r [D] [K1] K. J. Dong, R. Y. Yang, R. P. Zou, and A. B. Yu, Role of Interparticle Forces in the Formation of Random Loose Packing, PHYSICAL REVIEW LETTERS, 14 APRIL Kanno, J., Richardson, N., Phillips, J., Kupwade-Patil, K., Mainardi, D.S. and Cardenas, H.E., Modeling and simulation of electromutagenic processes for multiscale modification of concrete, Journal of Systemics, Cybernetics and Informatics, 7(2): 69-74, (2009). 5

情報処理学会研究報告 Spheres Well Deﬁned? PHYSICAL REVIEW LETTERS, VOLUME 84, NUMBER 10, 6 MARCH 2000. [V1] Venkateshaiah, H., Kanno, J., Richardson, N., Phillips, J., Kupwade-Patil, K., Cardenas, H.E. and Mainardi, D.

[V2] Visscher, W. M., Bolsterli, M., Random packing of equal and unequal spheres in two and three dimensions, Nature 239, 504-507, (27 October 1972). [Y] Shi, Y., Zhang, Y.

6 情報処理学会研究報告 Spheres Well Deﬁned? PHYSICAL REVIEW LETTERS, VOLUME 84, NUMBER 10, 6 MARCH [V1] Venkateshaiah, H., Kanno, J., Richardson, N., Phillips, J., Kupwade-Patil, K., Cardenas, H.E. and Mainardi, D.S, Dynamics of solvated chloride inhibition by nanoparticle treated concrete, American Institute of Chemical Engineers (AIChE) Fall National Meeting, Philadelphia, PN, (November, 2008). [V2] Visscher, W. M., Bolsterli, M., Random packing of equal and unequal spheres in two and three dimensions, Nature 239, , (27 October 1972). [Y] Shi, Y., Zhang, Y., Simulation of random packing of spherical particles with diﬀerent size distributions, Applied Physics A: Materials Science & Processing, Volume 92, Number 3, (2008) radius 図 9 充填球半径に対する充填密度半径 1 の球形容器サイズの直方体容器 [K2] Kupwade-Patil, K., Chloride and sulfate based corrosion mitigation in reinforced concrete via electrokinetic nanoparticle treatment, Dissertation (May 2010). [L] Guangli Liu, Karsten E. Thompson, Inﬂuence of computational domain boundaries on internal structure in low-porosity sphere packings, Powder Technology 113, 2000, [S] Scott, G. D., Kilgour, D. M., The of random close packing of spheres, J. Phys. D: Appl. Phys (1969). [T] S. Torquato,T. M. Truskett, P. G. Debenedetti, Is Random Close Packing of 6 c 2012 Information Processing Society of Japan

情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report Vol.2010-MPS-80 No /9/29 II NTT Introduction [V1][K1] π 18 = (1 π 18 ) 2 =

情報処理学会研究報告 IPSJ SIG Technical Report Vol.2010-MPS-80 No /9/29 II NTT Introduction [V1][K1] π 18 = (1 π 18 ) 2 = II NTT 2 2 2 100 1 Introduction [V1][K1] 2 2 1 3 π 18 = 4048 2 1 (1 π 18 ) 2 = 0.93265 2-1 c2010 Information 2 (RCP) 4 3 [S] 1 ρ 1 ρ = 1 1 2 1 8 8 r 3 r 3 r [Y][V2] 2 r 2 r 1 r 1 < ( 2 3 1)r 2 3 r 1