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1 統 計 の 分 析 と 利 用. データとその 扱 い PartⅠ -. 一 次 元 のデータ 度 数 分 布 ヒストグラム 幹 葉 プロット 箱 ひげ 図 代 表 値 と 散 らばり データの 尺 度 -. 二 次 元 のデータ 変 数 の 関 係 : 散 布 図, 共 分 散 相 関 係 数 変 数 の 関 係 :クロス 集 計,クラメルの 連 関 係 数 変 数 の 関 係 3: 点 グラフ, 相 関 比 堀 田 敬 介 03/9/7, Fr.~

2 -. 一 次 元 のデータ 度 数 分 布 ヒストグラム ローレンツ 曲 線 ジニ 係 数 幹 葉 プロット 箱 ひげ 図 例 ) 次 元 のデータ(データ 数 :=7), 9, -3, 4, 5, 3, 67 = = = = = = =, 3, 4, 5, 6,, 7

3 度 数 分 布 週 末 はどのぐらいお 客 さ んが 来 てくれたの? データ [ 土 日 の 来 店 客 数 の 年 間 のデータ] , ( 04 データが 多 すぎて 全 体 の 傾 向 がよくわからない! ), 04

4 度 数 分 布 度 数 分 布 表 [ 土 日 の 来 店 客 数 の 年 間 のデータ] 階 級 (class) 階 級 数 :0 階 級 幅 :30 階 級 値 各 階 級 の 上 限 下 限 値 の 中 間 値 例 例 来 店 客 数 日 数 計 04 度 数 (frequecy) なるほど, 週 末 の 来 店 客 数 はだいたいこのぐらい のことが 多 いんだ 全 体 の 傾 向 がよくわかる!

5 度 数 分 布 度 数 分 布 にすると 全 体 の 傾 向 がわかりやすくなるが, 生 データと 比 べて 情 報 量 が 少 なくなるため,このような ことがおこる. 度 数 分 布 表 [ 土 日 の 来 店 客 数 の 年 間 のデータ] 来 店 客 数 日 数 計 04 階 級 数 :0 階 級 幅 :30 来 店 客 数 日 数 計 04 階 級 数 :6 階 級 幅 :50 階 級 数 ( 階 級 幅 )は 任 意 どうするかは 問 題 来 店 客 数 日 数 来 店 客 数 日 数 計 04 階 級 数 :8 階 級 幅 :0

6 度 数 分 布 階 級 数 の 目 安 スタージェスの 公 式 データ 数 だけで 階 級 数 を 決 めている ことに 注 意 k log (k: 階 級 数,:データ 数 ) 例 では k log より, 階 級 数 は8 程 度 がお 勧 めだよ Ecelでの 計 算 は 7.7 = + LOG( 04, )

7 度 数 分 布 階 級 数 8( 階 級 幅 38)で 書 くと 来 店 客 数 日 数 計 04 相 対 度 数 なるほど, 週 末 の 来 店 客 数 の 全 体 傾 向 はだいた いわかったぞ でも, 度 数 の 多 い 階 級 は 全 体 からみてどのぐら いの 割 合 なの? 相 対 度 数 (relatve frequecy)

8 度 数 分 布 度 数 分 布 表 [ 相 対 度 数 ] Bさんのお 店 と 比 べて, うちのお 客 さんの 来 店 傾 向 はどうなのか 比 較 し たいな 来 店 客 数 日 数 計 04 相 対 度 数 来 店 客 数 日 数 計 00 相 対 度 数 データ 数 が 異 なるつの グループの 比 較 ができる

9 度 数 分 布 累 積 度 数 分 布 表 [ 累 積 度 数, 累 積 相 対 度 数 ] 来 店 客 数 日 数 相 対 度 数 計 累 積 度 数 累 積 相 対 度 数 累 積 度 数 (cumulatve frequecy) 累 積 相 対 度 数 (cumulatve relatve frequecy)

10 ヒストグラム ヒストグラム(hstogram) 柱 状 グラフ 30 ヒストグラム ( 級 間 隔 30) 5 日 0 日 数 5 0 数 来 店 客 数

11 ヒストグラム ヒストグラム(hstogram) 柱 状 グラフ ヒストグラム ( 級 間 隔 50) 日 数 日 数 ヒストグラム ( 級 間 隔 0) 0 日 来 店 客 数 4 数 日 数 来 店 客 数

12 度 数 分 布 階 級 数 8で 書 くと 来 店 客 数 日 数 計 ヒストグラム ( 級 間 隔 37 階 級 数 8) 日 数

13 ヒストグラム ヒストグラムの 形 状 左 に 歪 んだ 分 布 単 峰 型 (umodal) 右 に 歪 んだ 分 布 峰 が 中 央 から 右 に 寄 っていて, 左 側 に 長 く 裾 を 引 く 分 布 双 峰 型 (bmodal) 峰 がつ 以 上 ある 分 布 峰 が 中 央 から 左 に 寄 っていて, 右 側 に 長 く 裾 を 引 く 分 布 層 別 ( 適 当 にグループ 分 けすること)を 行 うと 単 峰 型 分 布 が 出 現 することが 多 い

14 ローレンツ 曲 線 ジニ 係 数 ローレンツ 曲 線 ジニ 係 数 高 齢 者 世 帯 % 0 平 成 年 調 査 00 参 考 全 世 帯 - 高 齢 者 世 帯 別 にみた 年 間 所 得 金 額 の 世 帯 分 布 のローレンツ 曲 線 全 世 帯 ジニ 係 数 平 均 所 得 金 額 以 下 (6.4%) 平 均 所 得 金 額 549 万 6 千 円 中 央 値 438 万 円 所 得 額 累 積 比 (%) 50 均 等 分 布 線 ローレンツ 曲 線 累 積 相 対 度 数 分 布 世 帯 数 累 積 比 (%) 補 足 :ジニ 係 数 とは? 45 度 線 とローレンツ 曲 線 とで 囲 まれる 部 分 の 面 積 の 倍 0 00 万 円 未 満 図 4 所 得 金 額 階 級 別 にみた 世 帯 数 の 相 対 度 数 分 布 万 円 以 上 出 展 : 平 成 年 国 民 生 活 基 礎 調 査 の 概 況 ( 厚 生 労 働 省 ) Ⅱ, 各 種 世 帯 の 所 得 等 の 状 況 -. 所 得 の 分 布 状 況

15 その 他 の 手 法 幹 葉 プロット,ステムプロット(stem-ad-leaf dagram[plot]) 野 球 選 手 の 打 率 一 覧 Aチーム Bチーム 幹 葉 プロットがヒストグラム より 優 れているのはどんな ところ? 逆 は? 幹 葉

16 その 他 の 手 法 箱 ひげ 図, 箱 型 図 (bo plot) 野 球 選 手 の 打 率 一 覧 Aチーム Bチーム ひげ 箱 Aチーム ma.0.39 Q med.0.88 Q 0.65 m. 0.7 全 体 の 50% Bチーム 0.48 ma Q med Q 0.4 m 注 :ひげの 上 端 下 端 は, 必 ずma,mを 使 うわけではない. r:=q3-q としたとき, 上 端 は 区 間 (q3, q3+.5r] 内 の 最 大 値, 下 端 は 区 間 [q-.5r, q) 内 の 最 小 値 を 用 いる,など.

17 演 習 -:ヒストグラム, 幹 葉 プロット, 箱 ひげ 図 クラス 全 員 の 身 長 のデータをとり,Rを 用 いてヒストグラム, 幹 葉 プロット, 箱 ひげ 図 を 描 こう Step:R commader で [データ]-[ 新 しいデータセット] を 選 び, データに 名 前 をつける(default:Dataset) Step:データを 取 り 値 を 入 力 して 閉 じる Step3: [データセットを 表 示 ] で 確 認 し,それぞれの 図 を 描 く

18 -. 一 次 元 のデータ データの 代 表 値 算 術 平 均 中 央 値 最 頻 値 データの 代 表 値 (その 他 ) 四 分 位 点 ミッド レンジ 幾 何 平 均, 調 和 平 均 対 数 平 均,detrc 平 均 個,,, =, =, = 3, = 4, = 5, = ( 6)

19 データの 代 表 値 を 考 える 例 :6 個 のデータ データ このデータを 代 表 する 値 って 何 だろう?

20 代 表 値 AVERAGES 算 術 平 均 ( 相 加 平 均 ) arthmetc mea データ ( ) 0.00 注 ) 数 学 が 嫌 い, 数 式 が 苦 手, 数 を 扱 うのは 嫌 と 言 う 人 ほど 何 故 か ( 算 術 ) 平 均 は 大 好 き で 計 算 したがる ことが 多 い 気 がする ( 算 術 平 均 で 評 価 比 較 分 析 をしたがることが 多 い) データさえ 揃 えば 計 算 するのは 簡 単 だからだと 思 われる ( 計 算 式 が 簡 単 なので, 理 解 できていると 錯 覚 しているのだろう) 計 算 が 簡 単 なのは 算 術 平 均 の 長 所 だが,その 意 味 を 知 らずに 使 うの が, 殊 の 外 危 険 なものである,ということを 理 解 しよう

21 代 表 値 AVERAGES 中 央 値 meda データをソート して,ちょうど 真 ん 中 にある 値 データ med 最 頻 値 mode 7 7 データの 中 で 最 も 頻 繁 に 出 てくる 値 mode 7 7 補 足 :ソート sort とは? データを 値 の 昇 順 ( 降 順 )に 並 べ 替 えること 昇 順 = 小 さい 順 ( 昇 っていく 順 ) 降 順 = 大 きい 順 ( 降 りてくる 順 ) ソート 後 補 足 :データ 数 が 偶 数 の 場 合 は, 中 央 値 は 真 ん 中 つの 算 術 平 均 補 足 : 最 も 頻 繁 に 出 てくる 値 がな い 場 合 は 最 頻 値 はなし

22 COFFEE BREAK 中 央 値 や 最 頻 値 は 何 故 必 要 なのか? 例 ) 0 人 の 年 収 ( 単 位 : 万 円 )の 代 表 値 は? 700, 500, 000, 800, 5000, 700, 300, 800, 700, 800 算 術 平 均 : 30 中 央 値 : 750 最 頻 値 : 700, 800 ここが 代 表? 例 ) 0 人 の 平 均 年 齢 は? 0,, 5, 3, 4, 63, 68, 64, 66, 65 算 術 平 均 : 43.9 中 央 値 : 44 最 頻 値 : #N/A or 0,60 ( 一 の 位 切 り 捨 て 時 ). 0 代 が5 人,60 代 が5 人 と 言 う 方 が 良 い ここが 代 表 ここが 代 表? ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 代 表 値 がいかにあてにな らないかわかるだろう 持 っているならデータとそ の 分 布 を 見 るのがよい

23 COFFEE BREAK 算 術 平 均, 中 央 値, 最 頻 値 の 関 係 左 に 歪 んだ 分 布 単 峰 型 右 に 歪 んだ 分 布 平 均 最 頻 値 中 央 値 平 均 中 央 値 最 頻 値 最 頻 値 中 央 値 平 均

24 代 表 値 AVERAGES 幾 何 平 均 geometrc mea 補 足 : 対 数 を 利 用 すると 計 算 が 楽 になる log G log log log データ G % どんなときに 幾 何 平 均 が 役 に 立 つ? 例 題 : 次 の 表 から 平 均 経 済 成 長 率 を 求 めよ 答 えは 年 度 経 済 成 長 率 % % 3% 4% 5% 答 えは % じゃないよ 5 5 G % だよ % % 3% 4% 年 の 経 済 規 模 をとすると, 009 年 の 経 済 規 模 はその 倍 となる.これと (+r) 5 が 等 しくなる r がここでの 平 均

25 代 表 値 AVERAGES 調 和 平 均 harmoc mea データ H どんなときに 調 和 平 均 が 役 に 立 つ? 例 題 : 行 き 時 速 5km, 帰 り 時 速 5kmで 走 った 車 の 平 均 速 度 を 求 めよ 答 えは 答 えは km/h じゃないよ H km/h だよ 5 5 5km/h 5km/h 往 復 の 場 合, 平 均 速 度 は 距 離 に 依 存 しない!

26 COFFEE BREAK 和 積 の 記 号 和 を 表 す 記 号 :Σ(しぐま) 積 を 表 す 記 号 :Π(ぱい) を を から まで 動 かして 足 す を を から まで 動 かして 掛 ける 使 用 例 ) k k j j ) ( y y y y t t

27 COFFEE BREAK 記 号 を 用 いた 平 均 の 定 義 算 術 平 均 幾 何 平 均 調 和 平 均 G H 幾 何 平 均 = 個 の 積 の 乗 根 調 和 平 均 = 逆 数 の 算 術 平 均 の 逆 数

28 代 表 値 AVERAGES Q Q Q 3 四 分 位 点 quartle データをソートし,4 等 分 したときの3つの 分 割 点 の 値 Q : 第 四 分 位 点,Q 3 : 第 3 四 分 位 点 注 意 ) 四 分 位 数 の 定 義 は 複 数 ある k := 0.5 (-), k 3 := 0.75 (-) とし, Q k ( k k ) ( k Q3 k ( k3 k3 ) ( 3 k 3 Q quartle: 四 分 位 数 quatle: 分 位 数 k k3, Q 5 など Ecel の 旧 関 数 QUARTILE() では,Q =5.75, Q 3 =9.5 Ecel00の 関 数 QUARTILE.EXC() では, Q =5.5, Q 3 =9.75 Ecel00の 関 数 QUARTILE.INC() では, Q =5.75, Q 3 =9.5 Mathematca の 関 数 quatle[]では,q =5, Q 3 =9 Rの 関 数 quatle() では,Q =5.75, Q 3 =9.5 ) ) med 補 足 :Q : 第 四 分 位 点 は 中 央 値 med である データ ソート 後

29 代 表 値 AVERAGES ミッド レンジ md-rage データの 最 大 値 と 最 小 値 の 算 術 平 均 MR,, m,, ma データ ソート 後 MR ma(0,7,,0) m(0,7,,0)

30 演 習 -: 代 表 値 統 計 データを 使 って 代 表 値 を 計 算 する 総 務 省 統 計 局 ( 世 帯 収 入, 世 帯 貯 蓄 などの データを 取 得 し,グラフ 化 せよ.グラフの 形 状 はどのようになるか? このデータの 算 術 平 均 中 央 値 最 頻 値 を 計 算 し, 分 布 の 代 表 値 と して 最 も 適 切 だと 思 われるのはどれか 考 察 せよ. 最 大 値 第 四 分 位 数 第 3 四 分 位 数 最 小 値 を 求 めよ. ミッドレンジ を 求 めよ. 演 習 -で 得 たクラス 全 員 の 身 長 データについて, 代 表 値 を 計 算 しよう 算 術 平 均 中 央 値 最 頻 値 を 求 めよ. 最 大 値 第 四 分 位 数 第 3 四 分 位 数 最 小 値 を 求 めよ. ミッドレンジ を 求 めよ.

31 -. 一 次 元 のデータ データの 散 らばり 範 囲 四 分 位 偏 差 平 均 偏 差 分 散, 標 準 偏 差 個,,, =, =, = 3, = 4, = 5, = ( 6)

32 データの 値 らばりを 考 える 例 :6 個 のデータ データ このデータの 散 らばり 具 合 はどのように 測 るの? 散 らばりの 度 合 いを 一 つの 数 値 で 示 し, 利 用 したい

33 散 らばり DISPERSION 偏 差 devato データと 平 均 の 差 0 ( = 0 0) -3 ( = 7 0) 偏 差 の 和 は 必 ず0になる ( 偏 差 の 和 を 散 らばりの 指 標 としては 使 えない) -7 ( = 3 0) データ 平 均 偏 差 偏 差 の 和 算 術 平 均 偏 差 (- 側 ) 偏 差 (+ 側 )

34 散 らばり DISPERSION 分 散 varace S 偏 差 の 乗 和 を 平 均 化 した 値 平 均 値 からの 平 均 的 な 差 (0 0) (7 0) (3 0) (0 0) データ 平 均 偏 差 偏 差 の 和 ( 偏 差 ) 分 散 算 術 平 均 それぞれの 偏 差 を 乗 し, 平 均 する 偏 差 偏 差

35 散 らばり DISPERSION 標 準 偏 差 stadard devato 分 散 の 平 方 根 S (0 9.63) (7 9.63) 6 (0 9.63) データ 平 均 偏 差 偏 差 の 和 ( 偏 差 ) 分 散.0 標 準 偏 差 分 散 の 平 方 根

36 散 らばり DISPERSION 平 均 偏 差 mea devato 偏 差 の 絶 対 値 の 合 計 を 平 均 化 した 値 平 均 値 からの 平 均 的 な 差 データ 平 均 偏 差 偏 差 の 和 ( 偏 差 ) 分 散.0 標 準 偏 差 偏 差 平 均 偏 差 算 術 平 均 それぞれの 偏 差 の 絶 対 値 をとり, 平 均 する 偏 差 偏 差

37 散 らばり DISPERSION 範 囲 rage 最 大 値 と 最 小 値 の 差,, m, R ma, データ ソート 後 R ma(,, 6) m(,, 6)

38 散 らばり DISPERSION 四 分 位 偏 差 quartle devato 第 3 四 分 位 点 Q 3 と 第 四 分 位 点 Q の 差 の 半 分 Q Q 3 Q データ ソート 後 Q Q Q

39 演 習 -3: 散 らばり 以 下 のデータについて 散 らばりを 計 算 したい このデータの 偏 差 をだし, 合 計 が0になることを 確 かめよ. このデータの 分 散 を 計 算 せよ. このデータの 標 準 偏 差 を 計 算 せよ. このデータの 平 均 偏 差 を 計 算 せよ. このデータの 範 囲 を 計 算 せよ. 例 ) data[, 5, 7, 9, 3 ] 範 囲 :9 = 8 このデータの 四 分 位 偏 差 を 計 算 せよ.

40 COFFEE BREAK 記 号 を 用 いた 散 らばりの 定 義 分 散 標 準 偏 差 平 均 偏 差 S ) ( ) ( ) ( S ) ( ) ( ) ( d

41 -. 一 次 元 のデータ データの 変 換 標 準 化 ( 正 規 化 ) Cf. 偏 差 値 個,,, =, =, = 3, = 4, = 5, = ( 6)

42 データの 一 次 変 換 標 準 化 stadardzato 各 データについて, 平 均 を 引 き 標 準 偏 差 で 割 る z S (,, ) 標 準 得 点 stadard score,z 得 点 どんな 次 元 データも 標 準 化 しちゃえば 同 じ 土 俵 で 比 較 できるね! S S 変 換 後 のデータは 平 均 0, 標 準 偏 差 となる. 平 均 を 引 く ということは, 全 体 の 位 置 を 移 動 し, 真 ん 中 ( 平 均 )を0にすること. 標 準 偏 差 で 割 る ということは, 全 体 を 左 右 から 圧 縮 して, 標 準 偏 差 をにすること.

43 データの 一 次 変 換 偏 差 値 元 の 点 数 z 値 標 準 得 点 に 以 下 の 一 次 変 換 を 施 す T 0z 50 (,, ) z S 偏 差 値 得 点,T 得 点 S 変 換 後 のデータは 平 均 50, 標 準 偏 差 0 となる. 標 準 化 0z 0 S 偏 差 値 T z S

44 データの 一 次 変 換 例 :0 人 の 中 間 期 末 試 験 の 得 点,z 得 点 と 偏 差 値 中 間 試 験 期 末 試 験 平 均 88, 標 準 偏 差 9.8 得 点 z 得 点 偏 差 値 , 平 均 33, 標 準 偏 差 6 得 点 z 得 点 偏 差 値

45 演 習 -4:データの 標 準 化 演 習 -で 得 たクラス 全 員 の 身 長 のデータについて,Rを 用 い て 標 準 化 を 行 い,z 得 点 を 出 せ R commader で [データ]-[アクティブデータセット 内 の 変 数 の 管 理 ]- [ 変 数 の 標 準 化 ] を 選 ぶ 以 下 のデータは,ある 試 験 における5 人 の 学 生 の 結 果 である 英 語 の 結 果 について, 各 学 生 の 得 点 を 標 準 化 し,z 得 点 を 出 せ 英 語 のz 得 点 をもとに, 各 学 生 の 偏 差 値 を 計 算 せよ 数 学 国 語 についても 同 様 に 計 算 せよ A B C D E 英 語 国 語 数 学

46 -. 一 次 元 のデータ データの 尺 度 個,,, =, =, = 3, = 4, = 5, = ( 6)

47 データの 測 定 尺 度 による 分 類 間 隔 尺 度 比 率 尺 度 間 隔 尺 度 比 率 尺 度 間 隔 尺 度 学 籍 番 号 氏 名 性 別 生 年 月 日 身 長 体 重 問 題 発 見 技 法 成 績 文 教 太 郎 男 cm 69kg B 湘 南 花 子 女 cm 48kg AA 3 量 的 データ ( 数 値 データ) 名 義 尺 度 名 義 尺 度 名 義 尺 度 名 義 尺 度 名 義 尺 度 名 義 尺 度 名 義 尺 度 質 的 データ (カテゴリデータ) 厳 密 比 率 尺 度 間 隔 尺 度 順 序 尺 度 名 義 尺 度 曖 昧 順 序 尺 度 順 序 尺 度 順 序 尺 度 順 序 尺 度 比 に 意 味 がある( 絶 対 原 点 が 存 在 する) 例 ) 身 長 (80cmのAさんは00cmの 息 子 の.8 倍 背 が 高 い) 体 重 (5kg 重 い), 絶 対 温 度 ( K, 絶 対 零 度 ) 差 に 意 味 がある 例 ) 温 度 ( 気 温 0 より30 の 方 が0 高 い) 時 刻 ( 午 後 3 時 から 時 間 後 ) 順 序 関 係 がある 例 ) 成 績 評 価 (A > B > C > D) 居 住 性 ( 住 みやすい > まあまあ > 住 みにくい) 単 なる 分 類 ( 区 別 ができる) 例 ) 名 前, 性 別 ( 男, 女 ),パソコン 保 有 ( 保 有, 非 保 有 )

48 データの 測 定 尺 度 による 集 計 例 質 的 データと 量 的 データの 集 計 例 質 的 データ 量 的 データ データ 例 性 別 成 績 (A,B,C,D) ( 男, 女 ) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) ( 男, 女 ) (A,B,C,D) 頻 度 6 5 女 性 身 長 身 長 A B C D 計 4 3 集 計 例 男 女 0 5 計 次 の 級 データ 区 間

49 演 習 -5:データの 尺 度 身 の 回 りにあるデータは,4つの 尺 度 のどれに 相 当 するか 考 えてみよう.

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