かじゅう じじゅう けません (4)が(2)から 受 けるのは (2)が 受 ける 荷 重 0.5 に(2) 自 身 の 重 さ( 自 重 といいます) を 足 して.5 として.5 の 半 分 の 荷 重 を 受 けます 式 では (0.5 + ) 2 =.5 2 = 0.75 (5)は(2)の
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- しのぶ とみもと
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1 問 くみたいそう へいめんがた たわらがた たいじゅう 組 体 操 で 4 段 のピラミッド( 平 面 型 俵 型 )を 0 人 で 作 ります 体 重 はみんな 同 じとします かじゅう そのとき それぞれが 何 人 分 の 重 み( 荷 重 )を 受 けるか 計 算 してください () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) ( 答 え) () 0, (2) 0.5, (3) 0.5, (4) 0.75, (5).5, (6) 0.75, (7) 0.875, (8) 2.25, (9) 2.25, (0) ( 考 え 方 ) まず 2 段 (3 人 )で 考 えてみましょう ()の 上 には 誰 も 乗 っていませんので ()の 荷 重 は 0(ゼロ)です (2) と(3) は()の 体 重 の 半 分 ずつを 受 けるので 荷 重 は 0.5 です () (2) (3) () 0, (2) 0.5, (3) 0.5 ここまでは 誰 でもわかりますね つぎは 3 段 (6 人 )で 考 えてみましょう (4) は(2)の 半 分 の 荷 重 を 受 けます (2)が 受 ける 荷 重 は 0.5 だからその 半 分 だと 早 とちりしてはい
2 かじゅう じじゅう けません (4)が(2)から 受 けるのは (2)が 受 ける 荷 重 0.5 に(2) 自 身 の 重 さ( 自 重 といいます) を 足 して.5 として.5 の 半 分 の 荷 重 を 受 けます 式 では (0.5 + ) 2 =.5 2 = 0.75 (5)は(2)の 半 分 と(3)の 半 分 の 荷 重 を 受 けるので =.5 さ ゆ う たいしょう ピラミッドは 左 右 対 称 ですので (6)は(4)に 等 しく 0.75 になります (2) (3) (4) (5) (6) (4) 0.75, (5).5, (6) 0.75 つぎに 4 段 (0 人 )で 考 えてみましょう (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) かじゅう (7) は(4)の 半 分 の 荷 重 を 受 けます (4)が 受 ける 荷 重 0.75 に(4) 自 身 の 重 さ を 足 して.75 とし て.75 の 半 分 の 荷 重 を 受 けます 式 では ( ) 2 =.75 2 =
3 (8)は(4)の 半 分 と(5)の 半 分 の 荷 重 を 受 けるので ( ) 2 + (.5 + ) 2 = = = 2.25 さ ゆ う たいしょう ピラミッドは 左 右 対 称 ですので (9)は(8)に 等 しく 2.25 に (0)は(7)に 等 しく になりま す (7) 0.875, (8) 2.25, (9) 2.25, (0) ( 発 展 問 題 )ピラミッドを 5 段 にしたとき 最 下 段 の 人 が 受 ける 重 みを 計 算 してください 2 (7) (8) (9) (0) 3 3 () (2) (3) (4) (5) ( 答 え) () , (2) 2.5, (3) 3.25, (4) 2.5, (5) パスカルの 三 角 形 高 校 数 学 ⅠA の 数 と 式 で 学 ぶ パスカルの 三 角 形 ( 二 項 展 開 における 係 数 を 三 角 状 に 並 べたも の)を 使 うと 直 接 求 めることができます たとえば (3)の 荷 重 には 4 段 上 の 人 3 段 上 の 2 人 2 段 上 の 3 人 段 上 の 2 人 が 影 響 するとして 場 合 わけすると 次 のようになります 4 C 2 ( 4 2 ) C ( 3 2 ) C 0 ( 2 2 ) + 2 C ( 2 2 ) + 2 C 0 ( 2 ) = = 3 8 =
4 問 2 りったいがた さんかくすい 組 体 操 で 4 段 のピラミッド( 立 体 型 三 角 錐 )を 3 人 で 作 ります 体 重 はみんな 同 じとします かじゅう 各 自 が 腕 に 3 足 に 7 の 力 をかけるものとします[] そのとき それぞれが 何 人 分 の 重 み( 荷 重 ) を 受 けるか 計 算 してください 5 () 5 (0) 4 2 (2) (3) (7) (8) (9) 4 2 (0) () (2) (3) (4), (5), (6) 3 正 面 (7) (4) () (2) (8) (5) () (2) (3) (9) (6) (3) 図. 正 面 からみた 図 図 2. 横 から 見 た 図 図 3. 上 から 見 た 図 ( 答 え) () 0, (2) 0.5, (3) 0.5, (4) 0.525, (5).05, (6) 0.525, (7) 0.225, (8) 0.45, (9) 0.225, (0) , () , (2) , (3) ( 立 体 型 の 組 み 方 ) 立 体 型 ピラミッドはつぎのような 順 序 で 作 成 されます 5 人 は 5 列 に 分 けられます じ め ん ば 列 目 (4 人 :(0), (), (2), (3))は 地 面 に 四 つん 這 いになります 2 列 目 (3 人 :(7), (8), (9))は 足 は 地 面 で 列 目 の 背 中 に 手 を 乗 せます また 3 列 目 (3 人 :(4), (5), (6))は 四 つん 這 いで 2 列 目 の 股 の 間 に 顔 を 入 れます 4 列 目 (2 人 :(2), (3))は 3 列 目 の 背 中 に 乗 り 2 列 目 の 背 中 に 手 を 乗 せます 5 列 目 ( 人 :())は 4 列 目 の 背 中 に 乗 ります 構 成 する 人 数 は = 3 で 3 人 です 正 面 からは 3 列 目 の(3), (4), (5)が 隠 れています 横 面 図 のは 4 人 2 は 3 人 3 は 3 人 4 は 2 人 5 は 人 です 列 目 と 2 列 目 は 半 人 分 ずつずれています 2 列 目 と 4 列 目 4 列 目 と 5 列 目 も 半 人 分 ずつずれています ( 考 え 方 ) 最 上 段 の 4 段 目 の()から 計 算 を 始 め 段 目 へ 降 りていきます 列 で 言 うと 5 列 目 から 列 目 へ 戻 っていきます 4
5 5 列 目 : () の 上 には 誰 も 乗 っていませんから () の 荷 重 は 0(ゼロ)です 4 列 目 : (2)と(3)の 上 には()が 両 足 をまたいで 乗 っていますから 荷 重 はともに 0.5 になります 3 列 目 : (4)は 3 列 目 で 正 面 からは 隠 れて 見 えませんが 正 面 に 向 かって (2) の 右 足 が 乗 っています (2)の 荷 重 が 0.5 であり (2)の 自 重 を 加 え 足 に 7 割 の 力 が 加 わり 片 足 ですから (4)の 荷 重 は (0.5 + ) = になります (5)は (2) の 左 足 と(3)の 右 足 が 乗 っています (2)と(3)の 荷 重 はともに 0.5 であり 自 重 を 加 え 足 に 7 割 の 力 が 加 わり 両 足 から 力 を 受 けるので (5)の 荷 重 は (0.5 + ) (0.5 + ) =.05 になります (6)の 荷 重 は 対 称 性 により(4)と 等 しく になります 2 列 目 : (7)は (2) の 右 手 が 乗 っています (2)の 荷 重 は 0.5 であり 自 重 を 加 え 手 に 3 割 の 力 が 加 わ り 片 手 から 力 を 受 けるので (7)の 荷 重 は (0.5 + ) = になります (8)は (2) の 左 手 と(3)の 右 手 が 乗 っています (2)と(3)の 荷 重 はともに 0.5 であり 自 重 を 加 え 手 に 3 割 の 力 が 加 わること 両 手 から 力 を 受 けるので (8)の 荷 重 は (0.5 + ) (0.5 + ) = 0.45 になります (9)の 荷 重 は 対 称 性 により(7)と 等 しく になります 列 目 : (0)は (7) の 右 手 が 乗 っています (7)の 荷 重 は であり 自 重 を 加 え 手 に 3 割 の 力 が 加 わり 片 手 から 力 を 受 けるので (0)の 荷 重 は ( ) = ()は (7) の 左 手 と(8)の 右 手 が 乗 っています (7)の 荷 重 は であり(8)の 荷 重 は 0.45 であり 自 重 を 加 え 手 に 3 割 の 力 が 加 わること 両 手 から 力 を 受 けるので ()の 荷 重 は ( ) ( ) = (2)は 対 称 性 により ()の 荷 重 と 等 しくなります (3)は 対 称 性 により (0)の 荷 重 と 等 しくなります 5
6 ( 発 展 問 題 ) 問 2 のような 組 み 方 で 段 数 を 7 段 としたとき 図 2のような 横 から 見 た 図 と 図 3のような 上 から 見 た 図 を 作 成 し 合 計 何 人 必 要 かを 求 め 各 自 の 荷 重 と 最 大 荷 重 を 計 算 してください エジプトの 古 代 ピラミッドは 四 角 錐 ですが 近 年 開 発 された 人 間 ピラミッド( 立 体 型 )には 四 角 錐 のもの[3]と 三 角 錐 のもの[2][4]があります 三 角 錐 は 人 数 が 少 なくて 済 むので 普 及 してい ます ここでは 三 角 錐 の 7 段 の 荷 重 計 算 を 説 明 します まず 横 から 見 た 図 は 下 図 のようになります 根 本 正 雄 編 ( 明 治 図 書 )[2] p44 関 西 体 育 授 業 研 究 会 ( 明 治 図 書 )[4] p75 [ 列 と 番 号 ] 全 体 の 55 人 は 3 列 に 分 けられます 列 目 ( 最 下 段 )から 3 列 目 ( 最 上 段 )を 展 開 する と 次 のようになります 列 目 は 7 人 2 列 目 ~3 列 目 は 6 人 ずつ 4 列 目 ~6 列 目 は 5 人 ずつ 7 列 目 ~9 列 目 は 4 人 ずつ 0 列 目 ~ 列 目 は 3 人 ずつ 2 列 目 は 2 人 3 列 目 は 人 で = 55 列 目 から 3 列 目 まで 順 番 に 組 んでいきます 6
7 [ 関 連 付 け] つぎに それぞれの 生 徒 の 背 中 には 何 番 目 の 生 徒 の 手 や 足 が 乗 っているかの 関 連 づけをしま す たとえば 6 列 目 32 番 の 生 徒 には 8 列 目 40 番 の 左 足 (40f)と 4 番 の 右 足 (4f) 9 列 目 44 番 の 左 手 (44h) 45 番 の 右 手 (45h)が 乗 っています 8h 8h 20h 20f 25h 9h 20h 20f 25h 35h 35f 39h 39f 43h 9h 2h 2f 26h 35h 35f 39h 39f 43h 47h 47f 50h 50f 0h 2h 2f 26h 36h 36f 40h 40f 44h 47h 47f 50h 50f 53h 53f 0h 22h 22f 27h 36h 36f 40h 40f 44h 48h 48f 5h 5f 53h 53f 55f h 22h 22f 27h 37h 37f 4h 4f 45h 48h 48f 5h 5f 54h 54f 55f h 23h 23f 28h 37h 37f 4h 4f 45h 49h 49f 52h 52f 54h 54f 2h 23h 23f 28h 38h 38f 42h 42f 46h 49h 49f 52h 52f 2h 24h 24f 29h 38h 38f 42h 42f 46h 3h 24h 24f 29h 3h [4つの 荷 重 ] 荷 重 計 算 は 最 上 段 である 3 列 目 の 55 から 始 めます 55 の 上 には 誰 も 乗 っていませんから 荷 重 は 0 です つぎに 2 列 目 の 54 はの 片 足 が 乗 っていますから 荷 重 は 0.5, 53 も 同 じく 荷 重 は 0.5 です 列 目 の 50 は 50 の 片 足 が 乗 っていますが 腕 に3 足 に7の 割 合 で 重 みが 加 わります ので[] (0.5 + ) = このように 関 連 づけを 参 照 しながら 上 から 下 へ 荷 重 計 算 を 進 めていきます 6 列 目 32 の 生 徒 にかかる4つの 荷 重 (40f, 4f, 44h, 45h)はつぎのようになります 40f = (40 の 荷 重 + ) f = (4 の 荷 重 + ) h = (44 の 荷 重 + ) h = (45 の 荷 重 + ) [ 合 計 する] このようにして 計 算 した4つの 荷 重 を 合 計 したものが その 生 徒 の 荷 重 になります 最 大 荷 重 は 6 列 目 32 の 生 徒 で 2.4 人 分 になります 最 下 段 前 列 中 央 ( 列 目 4)の 荷 重 は 0.43 人 分 であり 平 面 型 と 立 体 型 は 荷 重 が 大 幅 に 違 うことに 注 意 してください 7
8 段 (5 人 )の 荷 重 計 算 ( 小 数 点 以 下 桁 に 丸 めた) 正 面 図 (0 段 ) 横 面 図 (0 段 ) 内 田 良 [5] p37, p54 図 4. 正 面 から 見 た 55 人 の 負 荷 量 図 5. 横 から 見 た 26 人 の 負 荷 量 8
9 図 6. 上 から 見 た 5 人 の 負 荷 量 ( 小 数 点 以 下 桁 ) 列 目 から 26 列 目 までの 展 開 図 最 大 負 荷 量 は 3.9 人 分 であるが 中 学 2 年 男 子 ( 平 均 48.8 キロ)で 90 キロ 中 学 3 年 男 子 ( 平 均 54.0 キロ)で 2 キロの 重 量 になる 高 校 2 年 男 子 ( 平 均 6.0 キロ)で 238 キロ 3 年 男 子 ( 平 均 62.8 キロ)で 245 キロになる( 内 田 良 [5]を 参 考 ) 以 上 は 静 荷 重 ( 体 重 計 にそろっと 乗 った 重 さ)であるが ピラミッドの 揺 れに 対 する 動 荷 重 崩 落 した 場 合 の 衝 撃 を 加 えると 200 キロどころではない ( 発 展 問 題 2) 巨 大 ピラミッドの 多 くは 練 習 中 や 本 番 でも 8 段 目 あたりの 事 故 が 非 常 に 多 い 頂 上 から 落 下 する 内 側 へ 崩 れることが 多 い その 理 由 を 考 えてみよう ( 考 えられる 要 因 : 高 さが 7 メートル 近 くになる 左 右 前 後 の 揺 れが 増 す( 動 荷 重 ) つかまる ところがない 最 大 負 荷 量 が3を 超 える 完 成 から 解 除 まで 3 分 以 上 かかる 5 人 の 大 人 数 で ある ひとりでも 力 を 抜 けば 崩 れる( 確 率 の 積 の 法 則 )) Yutaka Nishiyama 段 数 平 面 型 立 体 型 最 大 荷 重 人 数 備 考 最 大 荷 重 人 数 備 考 中 学 生 向 き 高 校 生 向 き.5 24 大 阪 市 教 委 規 制 (205 年 9 月 ) 成 功 例 なし 小 学 生 に 推 奨 ( 明 治 図 書 など) 億 円 賠 償 の 判 例 あり(993 年 福 岡 地 裁 )* 事 故 多 し 9 3. 事 故 多 し 中 学 生 の 記 録 あり(37 人, 200 年 ) 高 校 生 の 記 録 あり(204 年 ), 205 年 は5 段 に 表. 人 間 ピラミッド( 平 面 型 と 立 体 型 の 比 較 ) * 8 段 ピラミッドの 練 習 中 5 段 目 で 崩 落 ( 参 考 文 献 参 考 資 料 ) [] よしのよしろう 組 体 操 立 体 ピラミッドの 動 画 説 明 (200 年 ) 年 0 月 最 終 閲 覧 ) [2] 根 本 正 雄 編 組 体 操 指 導 のすべて てんこ 盛 り 事 典 明 治 図 書 20 年 2 月 9
10 [3] 戸 田 克 徹 底 解 説 組 体 操 新 しい 技 と 指 導 の 基 礎 基 本 小 学 館 203 年 3 月 [4] 関 西 体 育 授 業 研 究 会 子 どもも 観 客 も 感 動 する! 組 体 操 絶 対 成 功 の 指 導 BOOK 明 治 図 書 204 年 6 月 [5] 内 田 良 教 育 という 病 - 子 どもと 先 生 を 苦 しめる 教 育 リスク 光 文 社 新 書 205 年 6 月 立 体 型 0 段 (5 人 )の 計 算 例 ( 数 値 は 小 数 点 以 下 桁 で 丸 めた) 0
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