Transcription

1 1 ( ) J. L. eiberg (ed.) rchimedis Opera Omnia cum Commentariis utocii (3 vols.) Teubner J. L. eiberg (Iterum didit). S. Stamatis (Corrigenda diecit) rchimedis Opera Omnia cum Commentariis utocii (4 vols.) Teubner T. L. eath (ed.) The Works of rchimedes Dover ( ) ( ) 1981 ( 56) 5 ( ) ( ) 1990 ( 2) 6 ( ) ( ) ( 9) 1972 ( 47) ( 11) 8 ( ) 1971 ( 46) 9 ( ) ( ) 2008 ( 20) 10 J. Torelli (recensio) rchimedis quae supesunt omnia cum utocii ascalonitae commentariis Oxonia (Oxford) F. Peyrard (ed.) Oeuvres d'rchimède, traduites littéralement, avec un commentarire François uisson ( 174) 2010 ( 22)

2

3 Κύκλου Μέτρησις Dimensio Circuli 1 ΑΒ Ε O Ρ Π Ξ Α 2 ΒΖ ΖΑ ΑΜ Μ Ν ΖΑ ΝΞ ΝΞ Ε Ε 2 ΟΑΡ 3 18 ΟΡ > ΜΡ ΜΡ = ΡΑ ΡΟΠ > 1 ΟΖΑΜ 2 Ε ΑΒ ΠΖΑ Ε ΝΑ Ε 2 11 : 14 ΑΒ Η Ε = 2 ΕΖ = 1 7 3

4 Α Ε Ζ ΖΕ 3 1 ΕΖ : Ζ = 306 : 153 Ε : Ζ > 265 : 153 Α ΒΑ 3 1 ΑΒ : Β < 1351 : = < π = < 3 1 = = > 265 = < 1351 =

5 Τετραγωνισμὸς Παραβολῆς Quadratura Parabolae 1 ΑΒ Β Α Β Α = Α = Α Β 2 ΑΒ Β Α Β Ε Β = ΒΕ 3 ΑΒ Β Β Α ΕΖ Β : ΒΖ = Α 2 : ΕΖ 2 4 ΑΒ Α Β 5

6 Β Ζ Β Ζ : Η = Α : Ζ I I 5 ΑΒ Α ΖΑ Ζ ΖΑ ΑΖ Α Α Α Α I I Β Α Ζ ΑΖ // Β Κ // ΑΖ Κ Κ : = ΑΚ : Κ 6 ΑΒ Β Β Β Β Ζ Α Α Ζ Β Ζ Β 3 1 6

7 7 Α Β Β Η Η Η Β Α Ζ Η Ζ Η Α Β Β Ε Ε Ε Ζ Α Ε ΑΒ : ΒΕ = Ε : Κ Ζ Ε Κ 9 Α Β Κ Κ Ε Ε Ζ Α Κ Κ : = ΑΒ : ΒΕ Ζ Κ 10 Α Β ΒΗΚ Β Η Κ ΒΚΗ : = ΒΑ : ΒΗ ΒΗΚ Β Η Ζ Α ΒΚΗ Ζ 7

8 11 Α Β ΚΤΡ Κ ΤΡ Ρ ΚΤ Β Ρ Β ΑΒ : ΒΗ = ΚΤΡ : ΚΤΡ Β Η Ζ Α Ζ ΚΤΡ Ζ < T Ρ 12 Α Β ΕΚΗ Ε Η Κ ΕΗ ΑΒ : ΒΗ = ΚΕΗ : Μ ΑΒ : ΒΕ = ΚΕΗ : ΚΕΗ Ε Η Ζ Α Μ > Ζ > I 13 Α Β ΚΤΡ Κ ΤΡ Τ ΚΡ Β Ε Η Ζ Α ΚΤΡ Μ > Ζ > 8

9 Ρ T 14 Β Β Β Β Β Β ΒΕ ΕΖ ΖΗ ΗΙ Ι ΕΣ ΖΤ ΗΥ ΙΞ Β ΚΕ Ζ ΜΗ ΝΙ ΞΙ 3 ΖΦ Η ΙΠ ΙΟ 3 I I Ρ Χ Ψ Φ O Π Ξ Υ Ξ Ω T I ϙ Σ Φ Π O ΑΒ ΑΒ Β Α Β Β Β Β Α Ρ Χ Ψ Ω ϙ Ρ Ε Χ ΖΣ Ψ ΤΗ Ω ΥΙ ϙ ΞΙ Β Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ 3 6 Β Β Β ΣΕ Β : ΒΕ = ΣΕ : ΕΦ 5 ΒΑ : ΒΕ = Ε : ΚΕ ΑΒ : ΒΖ = ΣΖ : Ζ ΑΒ : ΒΗ = ΤΗ : ΜΗ ΑΒ : ΒΙ = ΥΙ : ΝΙ Ε Β Ε Α Ζ ΒΑ : ΒΕ = Ε : ΚΕ ΚΕ > Ρ 10 ΖΣ Ζ Ε 9

10 ΣΤ Α Χ ΒΑ : ΒΕ = ΖΣ : ΖΦ ΑΒ : ΒΖ = ΖΣ : Ζ Ζ > Χ > ΖΦ 12 ΜΗ > Ψ > Η ΝΟΙΗ > Ω > ΠΙ ΞΙ > ϙ > ΙΟ 8 ΚΕ > Ρ Ζ > Χ ΜΗ > Ψ ΝΙ > Ω ΞΙ > ϙ Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ Ρ + Χ + Ψ + Ω + ϙ = 1 Β 6 Β < 3 (ΚΕ + Ζ + ΜΗ + ΝΙ + ΞΙ) 3 ΖΦ < Χ Η < Ψ ΙΠ < Ω ΙΟ < ϙ ϙ + Ω + Ψ + Χ Β ΦΖ Η ΙΠ ΙΟ Β Β Β Β Β Β Β Β ΒΕ ΕΖ ΖΗ ΗΙ Ι Ε Ζ Η Ι ΕΣ ΖΤ ΗΥ ΙΞ 3 (ΒΦ + Ζ + ΜΗ + ΝΙ + ΙΞ) > Β > 3 (ΖΦ + Η + ΙΠ + ΟΙ) I Ρ Χ Ψ Φ Π Υ O Ξ Ω ϙ T Σ 16 Β Β Β 10

11 Ζ Β 3 1 Β Ζ Ξ Π Χ Φ Ρ Ψ T O Σ I Β Ζ Β Β ΒΕ Β ΒΕ Β Β ΒΕ Η Ι Κ Η Ι Κ ΜΦ ΝΡ Ξ ΠΟ Β ΒΕ < Β Ζ Ζ + ΒΕ < Β ΒΕ ΜΕ Φ Ρ Ο ΟΣ ΜΕ Μ = Φ Ξ = Ρ ΧΞ = Ο ΧΠ = ΟΣ Ζ < Μ + ΞΡ + Π + ΠΟ Β = 3 Ζ Β < 3 (Μ + ΡΞ + Π + ΠΟ) Β Β Ζ Ζ Β Β Β ΒΕ Β ΒΕ Ζ Β ΒΕ Β Ζ Ζ < ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ Β = 3 Ζ Β < 3 (ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ) ΒΕ + Β < ΕΜ + ΦΝ + ΨΞ + ΠΤ + ΠΣ ΒΕ ΒΕ ΕΜ + Φ + Ρ + Ο + ΟΣ Β Ζ 11

12 Ζ ΑΒ Α Β Β

13 I

14 I a 4 a 4a 4 2 a 4 n 1 a n 1 4 k a a = 4 ( 4 n 1 a ) = 4n 3 3 a k= ΑΒΕ ΑΒ Κ = 4 ΑΒ 3 Κ = ΑΒΕ I ΑΒΕ Κ ΑΒ ΒΕ 2 ΑΒΕ Κ Κ 4 ΑΒ ΑΒ ΒΕ Κ 3 1 ΑΒΕ Κ ΑΒ = Ζ Η = 1 Ζ = 1 Η 4 4 Κ I Ζ + Η + + Ι + 1 Ι = 4 Ζ

15 23 Κ = 4 Ζ Κ = Ζ + Η + + Ι + 1 Ι 3 3 Κ Ζ Η Ι Ι Ι Ζ Η Ι 4 22 ΑΒΕ Κ Κ Κ ΑΒ 3 1 ΑΒΕ ΑΒ

16

17 1 Επιπέδων ἱσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων De Planorum equilibriis sive De Centris Gravitatis Planorum O G Α Β Α Α Β Α < Β 4 2 Α Α Β Β ΑΒ 2 17

18 5 3 3 Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Ε Α : Β = : Ε Α Β

19 ΑΒ Ε ΕΖ ΑΒ : = Ε : ΕΖ ΑΒ Ε 8 ΑΒ ΑΒ Ε Α Ε Ζ : Ε = Α : Η ( ) Ζ Η Ζ 9 ΑΒ ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ I 19

20 10 ΑΒ ΕΖ ΑΒ 2 Κ Α Β ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ Α : Ζ = ΑΒ : Ε = Β : ΕΖ Ν ΑΒ Ν ΕΖ ΑΒ ΕΖ Α : Ζ = ΑΒ : Ε = Β : ΖΕ Α Η 2 ΒΗ ΑΒ ΒΗ ΕΖ 13 20

21 ΑΒ Β Α ΑΒ Α Σ Υ I Ξ Ρ Π T Φ Χ O Ω Ψ Β Ι 2 Ι Β Α ΕΖ ΗΚ Μ Β ΜΝ ΥΣ ΚΞ ΤΥ ΖΟ Τ 9 Σ 4 Ρ Ρ Α Φ Α ΑΜ ΜΚ ΚΖ Ζ Α Α : ΑΜ ΑΜ ΜΚ Ζ ΚΖ ΑΒ Α Η ΗΕ ΕΒ ΒΑ : Α ΑΒ Α : ΑΜ Α : ΑΜ > ΦΡ : Ρ Α : ΑΜ = : Ω = ΦΡ : ΡΠ ΑΒ ΦΡ : Ρ ΜΝ ΚΞ ΖΟ Φ : Ρ Χ : Ρ ΑΒ ΜΝ ΚΞ ΖΟ Ρ Ρ ΡΧ Χ Ρ 8 Χ Χ Α 21

22 ΑΒ Α Β ΑΒ Α Α Β Ε ΖΕ ΒΑ Α Α ΕΚ Ζ Κ Κ ΜΝ ΒΑ Ζ ΑΒ Ζ ΑΒ Ζ 11 ΕΒ Κ ΕΒ Ζ ΕΒ = Ζ Κ ΒΕ : ΕΑ = ΒΚ : Κ Ζ : ΖΑ = : Κ Ν Β Κ Β : = ΚΝ : Ν Ν ΑΕΖ Μ 10 ΕΒ Ζ ΑΕΖ ΜΝ ΑΒ ΜΝ ΜΝ Α ΑΒ Α Α O Ρ T Σ Π Ξ ΑΒ Α // Β Ε Ζ Α Β Ν ΑΒ Τ Μ 3 ( 22

23 Β Κ 3 Β ΝΚΤ Μ Ζ ΒΕ ΟΞ ) ΕΖ ΕΠ : ΠΖ = (2 Β + Α) : (2 Α + Β) Π ΑΒ 23

24 2 Επιπέδων ἱσορροπιῶν ἢ κέντρα βαρῶν ἐπιπέδων De Planorum equilibriis sive De Centris Gravitatis Planorum ΑΒ Ε Ζ ΑΒ : = Ζ : Ε ΑΒ Ξ Π 2 1 Η // ΙΖ // ΚΕ // Α Ν = ΝΗ ΙΜ = ΜΖ Κ = Ε = Α ΒΝ : ΝΜ : Μ : = 1 : 3 : 5 : 7 ΑΒ ΑΕΖΗΒΙΚ Β I 24

25 3 2 2 ΑΒ ΞΟΠ Β ΟΡ ΕΚ ΖΙ Η ΣΤ ΥΦ ΧΨ I Υ Χ O ϛ ϡ Ψ Φ Σ Ω T Ξ Ρ Π 4 ΑΒ Β Β 5 ΑΒ Β Χ I 6 25

26 ΑΒ ΑΒ Ζ ΑΒ : Κ = Β : Ζ ΑΒ ΑΚΒ Κ Ε Ε Ζ ΑΒ ΕΖΗ Β Ζ ΑΒ Κ ΕΖΗ Κ Ξ 8 ΑΒ Β Β =

27 Σ Ξ Χ ΑΒ ΑΒ Ε ΒΑ Β Ζ Η 2 Β ΚΖ Η ΑΚΒ Β ΑΚΒ Μ Β Ν ΖΗ ΜΝ Κ Χ ΚΜ : ΜΖ = Β : ΚΖ : ΖΜ = Β : 5 18 Β : ΚΖ = : ΜΖ 5 16 Β = 4 ΚΖ = 4 ΜΖ Β = 4 ΚΜ = 4 ΣΧ ΣΧ ΒΣ + Χ = 3 ΣΧ ΒΣ = 3 ΣΞ Χ = 3 ΞΧ Β = 4 ΒΣ ΒΣ = 3 ΣΞ ΞΒ = 1 Β 3 ΑΒ Ε Ε = 1 Β 3 ΞΕ = 1 Β 3 ΑΚΒ Β Χ ΑΒ Ε ΑΒ Χ : Ε 1 8 ΑΒ 3 Χ = 3 ΧΞ ΞΕ = 5 Ε Ε = 5 Ε Ε = ΞΕ = 6 Ε Β = 3 Ε Β = 3 2 Β = 4 ΚΖ ΑΒ Β ordinatus Α ΑΒ ΑΒ Ζ Ζ Β ΕΖ ΑΒ Ε Ζ ΕΗ Ζ ΑΖ = ΒΖ ΑΒ = 2 ΖΒ Β = 2 Β Α = 2 Ζ = 2 ΕΗ Α 2 = 4 ΕΗ 2 Β = 4 ΒΗ 1 20 Β = 2 Β Β = 2 ΒΗ Η = ΗΒ ΕΗΖ ΗΒ = ΕΖ Β = 4 ΖΕ

28 2 5 4 ΑΒ Β Β ΒΕ ΒΕ : ΕΑ = ΖΗ : Α (2 ΑΒ + 4 Β + 6 Β + 3 ΒΕ) : (5 ΑΒ + 10 Β + 10 Β + 5 ΒΕ) = Η : Α Ζ = 2 ΑΒ 5 O Α Ε ΑΒ ΒΖ Α Ε Β ΑΕ ΖΗ ΗΖ 5 5 Κ Ι : ΙΚ = ΑΖ 2 (2 Η + ΑΖ) : Η 2 (2 ΑΖ + Η) ΑΕ Ι Χ Ρ I Ξ O T Ι : ΙΚ Ι : ΙΚ = Α 2 (2 Ε + Α) : Ε 2 (2 Α + Ε) Α = 2 ΑΖ Ε = 2 Η 28

29 1 Περὶ Σϕαίρας καὶ Κυλίνδρου De Spahera et Cylindro 1 (καμπύλη γραμμή) (εὐθεῖα) 2 (ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη) 3 (ἐπιϕάνεια) 4 5 (τομεὺς στερεός) 6 (ῥόμβος στερεός)

30

31 2 Π Ξ T O ΑΒ ΑΒ Β Α ΑΒ ( ) Ξ O Π

32 ( ) 5 7 ΑΒ ΑΒ a c b G c 8 ΑΒ ΕΖ ΑΒ 32

33 9 ΑΒ Α Α Α Α Α 10 2 ΑΒ Ε Α Ε Α ΕΑ Ε Ε ΑΕ Ε ΑΕ Ε ΑΒ Ξ O ΑΒ Α Β Α Β ΑΒ 33

34 ΑΒ Α 2 Α 2 Η 2 2 (2 ) ΑΒ Α Α ΕΖ Η ΕΖ Η Β Β 34

35 T Ρ 14 Α Ε Β Ε Β 15 Α Β Α Α Β ΑΒ Ε ΒΗ Α Ζ ΗΑ Ε Α

36 ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ ΑΗ Ε Κ 18 2 Β Α 2 ΑΒ ΑΒ ΑΒ Ζ 1 ΗΚ ΗΚ Ζ O Ξ 19 2 ΑΒ Ε Ζ Ε Ζ 2 ΒΖΕ Ε Α Ζ ΑΒ ΖΗ Κ ΑΒ ΒΖΕ Κ 36

37 ΑΒ ΕΖ ΕΖ ΕΒΖ Α ΕΖ ΒΑ Κ Κ ΑΒ ΑΕΖΒΗΜΝΚ ΕΚ Ζ Β ΗΝ Μ 2 Ε ΕΑ 37

38 Ξ Π Ρ Σ O T Υ Φ Χ 22 1 ΑΒ Α ΑΒ Α ΖΗ Ε ΖΗ Ε ΑΞ ΒΞ Ζ ΖΒ Ξ 23 4 ( ) ΑΒ 4 Α Β Α ( ) ΑΒ Α ΑΒ Β ΑΖ ΑΝ ΖΝ Α ΖΗ ΜΝ ΜΗ ΖΗ ΜΝ Α ( ) ΒΗ Μ ΑΒ Β ΒΗ Μ Α ( ) 38

39 24 2 ΑΒ 4 ( ) 2 ΕΖ Η Κ ΜΝ ΑΕ ΕΖ Η Κ ΜΝ Ξ 25 4 ΑΒ 4 ( ) 4 Ρ I 39

40 26 1 ΑΒ 1 Ρ Ρ Χ Ρ I 27 4 Χ Ξ Ρ 28 4 ( )

41 24 ( ) 2 = ΑΖ (ΕΖ + Η + + Κ + ΜΝ) 30 4 Σ Χ ΑΒ 12 ΑΒ ΧΣ ΑΒ 4 ΕΗ Ζ Α Β ΖΒ ΕΗ Ε ΑΚ 41

42 Π 33 4 Α 4 Α Α Α 2 Α 2 Β Β ΕΖΗ Β Α Α Α Β Α Β Β Β Α Α Α Α

43 I Ξ ΑΒ 4 4 ΑΒ 4 Ξ Ξ Ξ 2 Ξ 2 Κ Η Κ Ι Ι Η Ι ΑΒ 4 Κ Ι Α Β Α ΑΒ Κ Ι Κ Ι Κ Η Κ Ι Κ Η Κ Η Ξ Ξ ( 2 3 ) Ξ 4 4 Ξ Κ Η Κ Η Ξ Κ Η Ι Κ Ι ΑΒ ΑΒ Κ Ι Κ Ι Κ Η Κ Ι Κ Η Κ Η Ξ Ξ 2 3 Ξ ΑΒ (3/2 ) 1 (3/2 ) 43

44 2r r r 2r r r 2πr πr3 3 πr3 ( ) 6πr 2 4πr πr ΑΗ ΑΗ ΑΗ ΑΕΖΗ Α ΕΖ ΑΚ 36 ( ) ΑΕΖ ΑΒ ΑΒ Ζ Ε Α Β Ε ΑΒ ΑΒ 37 44

45 ΑΒΕΖ ΑΒ Ε Α Α Μ Μ 38 1 ΑΒ Ε ΑΒ Α Β Α Ε 1 Κ Κ ΑΕ 39 ΑΒ ΑΒ Α Β Α Β ΑΒ ΕΚ ΑΒ ΑΒ 45

46 ΖΗ ΑΒ ( ) 1 40 O Ξ 1 Κ ΑΒ ΑΒ ( ) 46

47 ΗΒ 42 ΑΒ ΑΒ Α ΑΒ Ζ ΑΒ Ζ Ζ Α Ζ 2 Ζ ΑΒ Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ 47

48 43 44 ΑΒ ΑΒ Β ΑΒ 2 2 Ε Ε Ε Ζ Ζ Η Η Ε 2 Ζ Η Ζ 2 Ζ Ζ Ε Ζ Ε Ε ( 2 3 ) Ε Ε 48

49 Ζ Η Ζ Ε 49

50 2 Περὶ Σϕαίρας καὶ Κυλίνδρου De Spahera et Cylindro 1 2 ( ) Α Α Β Α Ζ Β Η Κ Β Ε Κ Ε Κ Κ = Η 2 : Η 2 = Κ : ΕΖ = Η : ΕΖ Η 2 = ΜΝ ΜΝ : Η = Η : ΜΝ 1 Η : ΕΖ = 2 : Η 2 = 2 : ΜΝ = : ΜΝ : Η = ΜΝ : ΕΖ : Η = Η : ΜΝ = ΜΝ : ΕΖ Η ΜΝ ΕΖ 2 3/2 2 Α r = 3 h = 4 Ε = 2r = 2 3 = 6 ΕΖ = (3/2)h = (3/2) 4 = 6 Η = ΜΝ = 6 Η = 6 R = 3 Β Α V Α = π = 36π Ε V Ε = π = 54π = (3/2)V Α Β V Β = (4/3) π 3 3 = 36π Α r = 6 h = 3 3/2 Ε = 2r = 12 ΕΖ = (1/2)h = (1/2) 3 = 3/2 50

51 Η = 6 ΜΝ = 3 Β R = 6 2 = 3 V Α = (1/3) π = 36π V ε = π 6 2 (3/2) = 54π = (3/2)V Α V Β = (4/3) π 3 3 = 36π 1 2 Α Α ΒΖ Α + ΑΕ : ΑΕ = Ε : Ε + Ε : Ε = ΚΕ : ΕΑ ΒΖ Κ ΒΖ ΒΚΖ Α 3 3 ΑΒΕ ΑΒ ΑΒ ΑΒΕ Ε Α Β Ζ : Η Α : Β = Ζ : Η ΑΒΕ ΑΕ Α 4 51

52 ΑΒ Χ Ρ Π Σ Π : Σ ( Π > Σ) Β ΚΒ = ΒΖ Ζ ΒΖ Ζ : Β = Π : Σ Β ΧΖ : Ζ = Β 2 : Χ 2 Χ Χ Β r = 60 Π : Σ = 3 : 1 Ζ : Β = 3 : 1 ΒΖ = 60 Ζ = 45 Β = 15 ΒΧ = x ΧΖ : Ζ = Β 2 : Χ 2 (x + 60) : 45 = : (120 x) 2 x 3 180x = 0 x x = ΒΧ 39 (Κ + Χ) : Χ = ΡΧ : ΧΒ Χ = Β ΒΧ = = : 81 = ΡΧ : 39 ΡΧ = 611/9 = (ΚΒ + ΒΧ) : ΒΧ = Χ : Χ 99 : 39 = Χ : 81 Χ = 2673/13 = Α : ΑΒ = Α : ΑΡ = Χ : ΡΧ 206 : 68 = : 1 ΒΧ = 39.2 ΡΧ = Χ = ΡΧ = 68 Χ = : ΑΒ ΕΖΗ ΑΒ ΑΒ ΕΖΗ ΕΖ Η ΑΒ ΕΖΗ Χ Ψ Ω Φ Υ Σ Ρ Π T O Ξ 52

53 2 ΑΒ ΕΖΗ ΑΒΝ ΕΗΖΟ Ν ΗΟ Π Σ ΠΝ + ΝΤ : ΝΤ = ΧΤ : Τ ΣΟ + ΟΦ : ΟΦ = ΩΦ : ΦΗ Χ Ω ΩΦ : ΕΖ = ΧΤ : ΑΒ 2 Κ ς (ΑΒ : Κ = Κ : ς = ς : ) Κ ΕΖΗ Κ ΚΞ ΚΞ Κ 6 2 ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ Π Ρ 2 ΑΒ ΕΖΗ 2 Α Β Π Β : ΕΖ = Β : Ν Ν Ν Ν Π : ΠΒ = ΝΡ : Ρ Ρ Ρ Ν ΚΜ ΚΜ 7 ΑΒ Β Α ΑΒ ΑΒ 53

54 ΑΒ Β Ε Κ : Κ 3 : 2 (Ε + Β) : Β = 3 : 2 Κ : Κ > (Ε + Β) : Β : Κ = Ε : Ζ Ζ Ζ Β Α Α Β ΑΒ ΑΒ Β Α ΑΒ ΑΒ ΑΒ Α ΑΒ Α ΕΖΗ ΕΗ Α ΕΗ Β Ζ Ξ O Ρ Ξ Ρ O Ξ : Κ = ΜΑ : ΑΚ ΑΡ 2 = ΑΚ Ξ = (1/2)ΑΒ 2 ΕΝ = Ε ΕΖ = ΑΒ 54

55 Περὶ Ελίκων De Lineis Spiralibus ( ) P O 2 π X 1 2 ΑΒ 2 Ε 55

56 ΖΗ Ε Η : Ε = ΖΗ : Η ΑΒ Κ ΑΒ 2 Ε Κ ΖΗ Η ΑΒ Κ 1 ΖΗ Ε 1 Η 1 : Ε = ΖΗ : Η Ξ ΑΒ Κ Ζ Β Ε Κ Ζ ΑΗ Ε Β Η Κ Ζ : Κ = Β : Η 6 56

57 ΒΕ Β Ζ : Η ΑΒ Κ Α Ζ : Η : Κ Κ Α Α ΚΝ Κ ΕΒ : Β = Ζ : Η 7 ΕΙ Ι Ζ : Η Ζ : Η : Κ ΕΙ : Ι = Ζ : Η I 8 ΑΒ Α Ξ : Κ Ζ : Η Κ Ζ : Η < Κ : 57

58 Κ : Ξ = Ζ : Η Ξ > Κ Ξ ΒΕ : Ι Ζ : Η Ξ I 9 ΑΒ Α Ξ : Κ Ζ : Η Ζ : Η > Κ : Κ : Ξ = Ζ : Η ΒΕ : Ι Ζ : Η Ξ I Α Β Ε Ζ Η Β Ι 58

59 Η Κ Ζ Ε Ε Μ Ζ Ν Η Ξ Β Ο Α Α Α Β Ε Ζ Η 3 Α Β Ε Ζ Η 3 I Ξ O θ θ a 1 = θ d = θ n a n = n θ n n n n (a n ) 2 + (a n ) 2 + a 1 (a 1 + a a n ) = 3 { (a 1 ) 2 + (a 2 ) (a n ) 2} n (n θ) 2 + (n θ) 2 + θ (θ + 2 θ + + n θ) = 3 { (θ) 2 + (2 θ) (n θ) 2} (n + 1) n ( n) = 3 ( n 2) { (θ) ((n 1) θ) 2} < n (n θ) 2 < 3 { (θ) ((n 1) θ) 2 + (n θ) 2} 3 { (n 1) 2} < n 3 < 3 { (n 1) 2 + n 2}

60 3 1 ΑΒ ΕΖ ΕΖ Η Η ΙΚ ΙΚ Μ Μ ΝΞ 1 Ο ΕΖ 2 ΕΠ Η 3 ΗΡ ΝΞ ΑΒ 2 : ΑΒ ΝΞ ΝΥ2 ΑΒ O Π Ρ Σ T Υ I Φ Χ Ψ Ω ϡ ϙ Ξ a d n {a k } (n 1) (a n ) 2 : { (a 2 ) (a n 1 ) 2 + (a 1 ) 2} > (a n) 2 : a n a (an a1)2 3 > (n 1) (a n) 2 : { (a 2) (a n 1) 2 + (a n) 2} (7 1)ΑΒ 2 : ( Μ 2 + ΙΚ 2 + Η 2 + ΕΖ ΝΞ 2) > ΑΒ 2 : ΑΒ ΝΞ ΝΥ2 > (7 1)ΑΒ 2 : ( Μ 2 + ΙΚ 2 + Η 2 + ΕΖ ΑΒ 2)

61 O P X O OX 1 P P 1 OP O P O OP O 1 O 1 2 O 2 12 ΑΒ Α Α ΑΕ ΑΖ ΑΒ Α Α Α 61

62 13 1 Α Β Α Α ΕΖ ΑΒΕ Α Α ΚΗ 1 Α ΑΕ Α Ζ Η ΑΕ : Α = ΚΖ : ΚΗ ΑΒ ΕΜ 2 ΑΒ ΑΕ Α Α 62

63 ΑΕ 1 ΚΖ 1 ΚΗ 16 Α Β Α Α ΚΗ 1 ΕΖ Α Α Ζ Α Ρ Ξ I T 17 2 ΕΖ 2 16 ΡΝ Α Ζ 63

64 Χ I Ρ Σ T 18 1 ΑΒ Α Α ΗΚ 1 Ζ Α Α ΑΖ Ζ Α Ζ Ζ ΖΑ ΚΗ Ρ Χ Π Χ 64

65 ΑΒ ΕΤ 2 ΚΗ 1 ΤΜΝ 2 ΤΖ ΤΑ ΖΑ ΤΖ ΑΤ ΤΖ ΖΑ ΤΜΝ 2 T Σ Ρ Χ 20 ΑΒ ΕΖ Α Α Α Κ Α ΖΑ Ζ 16 ΖΑ ΚΜΝ Χ Ρ 2 65

66 Α ΑΒ Α 1 ΖΗΙΑ ΑΗ ΖΙ ΑΚ Α Κ 4 Κ Α Ο Κ ΟΜ Μ Ν Ν Κ Μ I T Ρ Χ Σ Π O 66

67 ΑΒΕ Α ΕΑ 2 ΑΖΗ 2 ΑΗ ΖΙ Ρ I ΑΒΕ Α Ε Α Ε Α Ζ Ε ΑΖ 2 67

68 ΑΒΕ Α 1 ΑΚΖΗΙ ϙ ϙ O ϙ I ΑΒΕ Α ϙ 21 ΑΚ ΕΟ ϙ Α Ε 68

69 3 10 ΑΖΗΙ ΑΖΗΙ 3 ΑΖΗΙ ϙ 3 ϙ ΑΒΕ Α ϙ I Ρ O Ξ ϙ ΑΒΕ Α ϙ 21 ΡΞ ΟΕ ϙ 12 Α Ε ΑΖΗΙ 3 10 ΑΖΗΙ ΑΖΗΙ 3 ΑΖΗΙ ϙ 3 ϙ ϙ ΑΒΕ Α 69

70 P θ y S s = 1 3 x 2πa r = a θ 1 ( ) S s Sc S s = 1 2 2π 0 (a θ) 2 dθ = 1 [ ] 2π 1 2 a2 3 θ3 = 4 3 π3 a 2 1 2πa S c S c = π (2πa) 2 = 4π 3 a : ΑΒΕ Ε 1 ΑΕ 2 ΑΖΗΙ 2 ΑΗ ΙΖ ΑΒΕ ΑΕ ΑΖΗΙ 7 : 12 Ρ O O I I

71 y 2πa 4πa x 2 S s 2 S c S c = π (4πa) 2 = 16π 3 a 2 S s : S c = 28 : 16 = 7 : 12 3 S s = 1 2 = 1 2 4π π 2π (aθ) 2 dθ 2π 0 (aθ) 2 dθ = 1 2 a2 [ 1 3 θ3 ] 4π 2π (aθ) 2 dθ = 28 3 π3 a ΑΒΕ Α Ε Α Ε Ζ ΑΒΕ Α Ε ΑΖ Α Ε ΕΖ2 : Α 2 O O Ε 71

72 Κ 2 3 Μ 4 Ν 5 Ξ Κ 6 1 Μ 2 Ν 3 Ξ Κ 6 1 Κ : : 3 1 Κ 3 : 1 24 Κ 6 1 Κ++Μ 3 Β+ 1 3 Β2 : : Β Κ+ Β 2 : Β Α+ 1 3 ΑΒ2 25 Κ + + Μ : Κ + = Β Β2 : Β Α ΑΒ2 = 19 : 7 Κ + + Μ : + Κ = 19 : 7 Μ : Κ + = 12 : Κ + : = 7 : 6 Μ : = 12 : Μ = 2 Κ + + Μ + Ν + Ξ Ε Ε Ε2 : Ε 2 25 Ε Ε 2 : Κ + + Μ + Ν 2 : Κ + + Μ + Ν + Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε Ε2 : Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε Ε2 ( ) : Ε Ε2 ( ) = Ε ( Ε = ) = Ε Ξ : Κ++Μ+Ν = Ε : Ν : Κ++Μ = Β : Β+ 1 3 Β2 Ν : Κ++Μ+Ν = Β : Β+ 1 3 Β2 + Β Β + Β Β2 = ( = Β ) Ξ : Κ + + Μ + Ν = Ε : Κ + + Μ + Ν : Ν = : Β 5 7 Ξ : Ν = Ε : Β = : (Ε = Β ) 5 72

73 22 Ξ : Ν = : Ν : Μ = : Β Μ : = Β : Α Β Α k ( 2) (k 1) k S k k = 2 k = 3 Μ r = aθ S k = 1 2 2πk 2π(k 1)(aθ) 2 dθ 1 2 2π(k 1) 2π(k 2) (aθ) 2 dθ = 8π 3 a 2 (k 1) S 2 = 8π 3 a 2 S 3 = 16π 3 a 2 S 2 S k : S 2 = 8π 3 a 2 (k 1) : 8π 3 a 2 = (k 1) : 1 S 3 S 2 2 S 4 S 2 3 S k S 2 (k 1) 1 2πa 2 4πa 3 6πa 1 4π 3 a π 3 a π 3 a 2 Κ + + Μ : 36 = 19 : : 2 = 36 : 16 = 27 : 12 2 : Κ + = 16 : + 8 = 12 : 7 3 Κ + + Μ : Κ + = 19 : 7 θ = α θ = 0 θ = 0 θ = α ( α > 2π) r = aθ θ = α ( ) T T = 1 2 = 1 2 α 0 α (aθ) 2 dθ 1 2 α 2π (aθ) 2 dθ α 2π = 1 3 a2 ( 3πα 2 6π 2 α + 4π 3) 0 (aθ) 2 dθ ( 0 θ α α 2π θ α 0 θ α 2π 0 < α 2π T = 1 α 2 0 (aθ)2 dθ ) α = 2πk (k 2) T k T k = 1 2πk (aθ) 2 dθ = π3 a 2 ( 3k 2 3k + 1 ) 2π(k 1) α = 8π (k = 4) T 4 = 1 2 = π 6π (aθ) 2 dθ = 1 2 a2 ( π π 3 a 2 = ( ) π 3 a 2 π 3 )

74 ΑΒ 2 Α Α Α 2 Ξ : Π = Α + 2 ΗΑ : Α + 1 ΗΑ 3 3 Π Ξ 74

75 Περὶ Κωνοειδέων καὶ σϕαιροειδέων De Conoidibus et Sphaeroidibus I ( )

76 76

77 II ( )

78 2 2 Α Β Ε Ζ Η Ι Κ Μ 2 2 Α : Β = Η : Β : = : Ι Α Β Ε Ζ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Η Ι Κ Μ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Α : Ν = Η : Τ Β : Ξ = : Υ Α + Β Ε + Ζ Ν + Ξ + Ο + Π + Ρ + Σ = Η + + Ι + Κ + + Μ Τ + Υ + Φ + Χ + Ψ + Ω I Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω Α Β Ε Ζ Η Β Η Ι Κ ΑΒ + Ι = Α Κ + = Β + Ι = 2Ι Κ + = 3Κ Ι Κ ΑΒ Α Α ΑΕ ΑΖ ΑΗ + Ι + Κ + : Ι + Κ ΑΒ + Ι + Κ + : Ι + Κ 78

79 I I I I I I I Α a ( ) 1 Η x ΑΗ ( ) x(a + x) Η Ζ Ε x x n Β nx n ΑΒ ( ) (nx)(a + nx) Ι Κ = Ι = 1 2 a Κ = 1 (nx) = 2 Κ 3 n ΑΒ : ΑΗ + + ΑΒ < Α + Β : n(nx)(a + nx) : 1 2 Α n (kx)(a + kx) < a + nx : k=1 Β < n ΑΒ : ΑΗ + + Α 1 2 a (nx) n 1 < n(nx)(a + nx) : (kx)(a + kx) k= Α Β Ζ ΕΖΚ Ε Β Α ΕΖ ΖΚ : Ζ Ζ = Α 2 : Β

80 2 2 ΑΒ 2 ΑΕ Β ΑΕ Ζ Β ΒΗ Ζ = ΒΗ ΑΕ Β 4 Α Β Α Β Α Β : Α Β : ΕΖ Ψ ΑΕΖ Β : ΕΖ Ψ 80

81 O Ξ Π Ρ Σ Ψ 5 Χ Α Β Α Ψ ΕΖ Χ : Ψ = Α Β : ΕΖ 2 Χ Ψ 6 2 Α Β 2 Α ΕΖ Α : Β = : ΕΖ Ψ 81

82 7 ΑΒ ΑΒ Ξ Π Ρ O 8 ΒΑ ΑΒ ΑΒ Π Ρ 9 82

83 ΑΒ ΑΒ ΑΒ Ξ O (a) (b) 83

84 (c) (d) 12 ΑΒ Α Β Α Α Α Β Α 84

85 T Ρ 13 ΑΒ Α Β Κ Κ Α Κ Κ ΑΒ Β ΕΖ ΕΖ Κ Ρ T 14 ΑΒ Α Β Χ ΠΡ ΒΤ Β 85

86 Ν ΗΝ Α Μ Χ Α T Π Χ Ρ 15 (a) (b) (c) 1 16 (a) 1 (b) (c) ΑΒ ΕΖ Η Α Β 16(c) 86

87 ΑΒ ΑΒ 11 Α Β Α 11 I Ρ O Π Ξ 20 87

88 ΑΒ Α Α ΦΥ Α Β ΦΥ Α Β 16(b) Β Β Β Β Β Β Β Α 2 Β Β Φ I Ρ Υ 21 ΑΒ Α Β Β Α Β Ψ Α Β Ψ Ψ 88

89 Σ I T Ψ Π Ξ Ω 22 ΑΒ 11(a) Α Α Β ΦΥ Β Α 2 ΦΥ Α Β 16(b) Β Β Α Α 12 Φ Σ T Υ I Ξ ΑΒ Β 11(a) ΑΖ Ε ΖΑ 89

90 Β Κ Β Β 2 ΑΖ ΕΒ Κ Β ΑΚ ΕΒ ΑΖ ΕΒ 3 ΑΧ Κ Β = Κ Ε = ΑΧ Β ΑΖ Μ Β O Π Χ Κ Κ 2 : ΑΒ Α Β Β Β = Ζ = ΖΗ Η : Ζ 90

91 Υ O Ρ Φ Ψ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ω Ω Ω Ω Ω ΦΑ Υ Ψ Β Η : Ζ Ψ > Ψ Ψ 19 Α Β ΑΦΥ Ψ Ψ ΒΡ Β 3 1 Η = 3 Ρ Α Β Η : Ρ 3 : 1 Ψ Ζ : Η 5 18 Ψ Ζ : Ρ 5 23 Β 91

92 ΖΒ Ξ Ζ Β ΖΟ ΟΒ Ν Β ΒΟ Ζ Β Ω Α Ε Κ Ε Α 2 : ΚΕ 2 Α 2 : ΚΕ 2 = Ζ Β : ΖΕ ΒΕ 1 21 ΞΝ Ζ Β ΞΜ ΖΕ ΒΕ Ξ = ΖΒ Μ = ΒΕ Ν = Β Α Ε, Κ Ε Ω ΞΜ Ε 1 1 Ω Ξ Ε Ω 2 2 Ω Ω Ξ Ω 1 Ω 1 Ν + Ξ : Ξ + 1 Ν Ψ Ζ : Ρ Ν + Ξ = Β + ΖΒ = Ζ 1 2 Ξ + 1 Ν = Β + ΒΡ = Ρ 3 Ψ Ψ Ψ Ψ < Ψ Ψ Ψ Ψ Ε Ε Ω ΞΝ ( ) Ε Ω Ξ 1 Ω 92

93 1 Ω 1 Ξ + Ν : Ξ + 1 Ν Ζ : Ρ Ζ : Ρ Ψ Ψ Ψ 5 8 Ψ Ψ Α Β 3 Ε Ζ Α : Β = : Ε Β : = Ε : Ζ Α : = : Ζ Α Β 3 Ε Ζ Α : Β = Ε : Ζ Β : = : Ε Α : = : Ζ

94 ΑΒ 11(b) Α Β Α ΦΥ Β Β Α 2 Β Β Β Β = Ζ = ΖΗ ΦΥ Α Β 16(b) Α Α 13 Υ Ρ O Φ 27 2 ΑΒ 11(c) Β Β Α Β Α Β 2 94

95 I Χ Π Ρ Σ T Υ Φ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Β 2 Ψ Ψ Ψ Ψ 19 Ψ Ψ Α Β ΑΒ Ψ 2 Ψ ΑΒ Ξ Β Β ΒΙ ΒΙ Ι Β 2 = (ΒΙ + Ι) 2 = ΒΙ ΒΙ Ι + Ι 2 Ι 2 = (Β ΒΙ) 2 = Β 2 2 Β ΒΙ + ΒΙ 2 2 ( Β 2 Ι 2) = 2 ΒΙ (Ι + Β) = 2 ΒΙ Ι Β 2 (Β ΒΙ) 2 = I Ι 2 ΒΙ ΒΧ Χ ΒΙ 1 Β 2 Ε Ε Ε Α 2 : ΚΕ Β : ΒΕ Ε Ε 95

96 ΞΞ ΞΡ ΞΣ ΞΤ ΞΥ ΞΦ 2 ΞΞ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ε Ε ΕΠ 2 ΕΠ 2 2 Ε 1 3 Ψ Ψ Ψ 96

97 L 28 2 ΑΒ 11(c) Α Α 14 Α Β Κ ΜΝ Κ ΜΝ Α Β 16(b) Β 16(c) Β Β Β Α 9 29 ΑΒ 11(c) Β Α ΒΖ Β ΖΗ = Β Β Η : Ζ 97

98 Ρ Χ O O O O O Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ 30 ΑΒ 11(c) Α Α Β Ζ ΠΡ ΣΤ Α Β Ζ 16(b) ΒΖ 16(c) Α 14 Β Α 9 Β Α 8 Β Η : Ζ ΖΗ = Ζ 98

99 Π Ρ Σ T 31 ΑΒ Β 11(c) Α Β Β Η ΒΖ Β ΕΗ : Ε Ξ 11(c) Κ Α : Ε Κ 2 : ΕΑ 2 Κ 2 : ΕΑ 2 = Β : ΒΕ Ε 1 21 Ξ : = : Ε 6 11 Ξ Β : Β = : Ε Ξ Β : Β 99

100 Β : ΒΕ Ε Χ Β : ΒΕ Ε Κ Α Ξ Β : ΒΕ Ε Α ΒΕ Ε : ΖΕ Ε Ξ Β ΖΕ Ε 5 22 ΖΗ Ξ : Β Ξ ( ΖΗ = 4Β 4 ) Ξ Β : ΖΕ Ε ΖΗ Ξ : ΖΕ Ε 5 22 ΖΗ Ξ ΖΕ Ε : ΖΕ Ε 5 17 ΖΗ Ξ ΖΕ Ε = Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : ΖΕ Ε ΖΕ Ε : ΒΕ Ε ΒΕ Ε : ΒΕ Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : ΒΕ ΕΗ : Ε Ξ ΕΗ : Ξ Ε = ΕΗ : Ε ΞΕ ΖΕ : ΖΕ Ε = ΕΗ : Ε Ξ Ε = Η ΞΕ : Ε = ΕΗ : Ε Ξ ΕΗ + ΖΕ ΞΕ : Ξ Ε + ΖΕ Ε = ΕΗ : Ε ΕΒ 2 = Ξ Ε + ΖΕ Ε Β 2 = Ξ Ε Β = ΒΖ ΒΕ 2 Β 2 = ΖΕ Ε ΕΗ : Ε 32 ΑΒ 11(c) Α Α Β ΠΡ ΣΤ Α Β 16(b) Β Β Η ΒΖ ΕΗ : Ε 100

101 Π Σ Ξ Ρ T 101

102

103 1 Περὶ τῶν ὕδατι ἐϕισταμένων ἢ περὶ τῶν Οχουμένων De iis, quae in humido vehuntur G D DG D G 2 2 GD GD O L P G R X D 3 3 GD T 103

104 GT G GD L T XOP GT RSY L G T X O S R P Y D 4 4 GD R R G G G XOP R R G X O P 5 5 T 104

105 L G T X O S R P Y D 6 6 G G D G D G D G 7 7 G G D D D G D 105

106 G D 2 (ieron (Ιέρων)) 2 6 pp GD T T R C O L T G D R C O L T G D 106

107 R C O T P G L D 107

108 2 Περὶ τῶν ὕδατι ἐϕισταμένων ἢ περὶ τῶν Οχουμένων De iis, quae in humido vehuntur 1 F F F F F I F I F I RO I R F I RO F O R I L I F R G S O P T Ω eath 3 (p.264) If a right segment of a paraboloid of revolution whose axis is not greater than 3 p (where p is the principal parameter of the 4 108

109 generating parabola), and whose specic gravity is less than that of a uid,... O 3 p 4 Peyrard 11 (p.383) Lorsqu'un segment droit d'un conoïde parabolique n'a pas son axe plus grand que trois fois la moitié du demi-paramètre; si ce segment, quelle que soit sa pesanteur par rapport a celle d'un uide, y 2 = 4px x 4p 3 1 POL PF IS IS PF TO P Ω I G R S L F POL O IS IS O 109

110 L I F T G R S P O Ω POL O IS IS O O P Ω I R G T F S L 4p 1 O > 3p = 3 4 : { O 2 (O 3p) 2} : O 2 (4p) 110

111 POL S O OF F 2 F O FΩ 15 4 Ω O Ω O FΩ F PC POL S PI O L G L I S F T R Ω G F Ω P O C T I P R O S C POL SL PF I PF RP RF 2 R PF RΩ 15 4 Ω PF Ω RΩ R SL 111

112 O CO O PF C S O P I Ω R G T L S P C T Ω O R G F L F D D 2 R C R 1 FQ D F Q 2 FQ D C D C 1 FQ C F R RX F D R X X X 112

113 L G X T S Q X F R C D Ω I P Y O L G X T Ω S Q X F R C D P I Y O D D 2 R C R 1 D FQ D F Q 2 D C D D FQ D C 1 D 113

114 FQ D C FQ C F R F RX R X X D O Y P S Ω C T I X F R Q C D G L Y O S P Ω C I D C R X T F Q G L

115 Y P Q F m T v X O c G S D R C X Φ n I Q L POL D D D 2 D C 15 4 C C R R DS 1 S R 1 C D T 2 D T T T I TD L I R I Y G Y G D OG PYQ TD X F POL O P PΦ OX 3 POL I TD XGO Q QFYP OG GX IL L D DI 2 LI L 2 5 C D C D D D D D 2 LI L D DI GO GX 2 PY YF 2 DS R 1 S 1 1 S D 2 S D XO D X 3 1 XO D 115

116 1 X 3 2 PF D 1 Φ 4 FP D XO D 5 FP D Φ 1 116

117 Ἀρχιμήδους Περὶ τῶν Μηχανικῶν εωρημάτων πρὸς Ερατοσθένην Εϕοδος rchimedis De echanicis Propositionibus ad ratosthenem ethodus 1 2 ( ) ( ) 6 (2 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 Α ΑΒ ΑΒ Α 2 ΒΕ ( ) ΑΒ Β ( ) ΑΒ ΑΒ ΑΖ Α ΒΕ ( ) Ζ Β Κ Κ Κ Κ ΜΞ Ε 117

118 T O X Ξ ΑΒ Α Β ( ) ΑΒ Β ( ΑΒ ) Α ( ) ( ) Α ΕΖ Α Ε ΖΗ Α Α Α Α Β ΜΝ ΜΝ ΑΒ Ξ Ο Α Σ ΑΕ Π ΑΖ Ρ ΜΝ Α ΜΝ ΑΒ ΞΟ ΑΕΖ ΠΡ Ψ O Ω Ρ Σ Π Φ Ξ X Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ Α ΣΜ ΑΣ ΠΣ ΑΞ ΞΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ ΞΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ Α Α Α ΑΣ ΜΣ ΣΠ ΜΣ ΜΣ ΣΠ ΞΣ ΣΠ ΜΣ ΣΠ Α ΑΣ ΜΣ ΞΣ ΣΠ ΜΣ ΞΣ ΣΠ ΜΝ ΞΟ 118

119 ΠΡ ΜΝ ΞΟ ΠΡ ΜΝ ΠΡ ΞΟ Α ΑΣ Α ΑΣ ΞΟ ΠΡ Α Ζ ΕΖ Α Α ( ) ( ) Α Κ Α Α ΑΚ Α ΑΚ ΑΕΖ 1 2 ΑΕΖ ΑΒ 8 ΕΖ Β ΑΒ Α Α Β 4 Β Ζ Α ΦΒΧ ΨΩ ΦΨ ΧΩ Α ΦΩ Φ 2 ΑΒ 3 ΦΩ ΑΒ 6 ΑΒ ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ΑΒ ( ) Α Β Κ Α Β Α ( ) ( ) Α ΕΖ ΕΖ Α Α Α Α Α Ζ ΕΖ ΜΝ ΜΝ Α 119

120 ΜΝ ΞΟ ΠΡ Ψ O Ρ Σ Ω Φ Ξ Π X ΑΒ ( ) Β (2 ) Α ( ) Α Α Α Α ( ) Α Β Β Α Β Α (Ε) ΜΝ Β ΜΝ Α ΜΝ ΞΟ O Σ Ξ 5 ( ) 2 120

121 ΑΒ ( ) ( ) ( ) Β ( ) ( ) ΑΒ Α Α Α Α Α ( ) ΒΑ Α Β ΞΟ Ξ Ο Π Ρ O Ρ Σ Π Ξ 6 ( ) 5 3 ΑΒ Α Β Β Α Β Α ΒΑ Α Α Α Α Α ΒΑ Β ΞΟ Ξ Ο Π Ρ Α Ε ΑΕ ΞΟ ΞΟ ΠΡ O Ρ X Φ Π Ξ 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 121

122 O Ρ Υ Σ X Φ Ω Π Ξ T Ψ ΜΝ Α ΜΝ ΞΟ ΕΖ Α ΠΡ ΜΝ ΞΟ ΠΡ 2 Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α ) ΑΗ ΑΧ ΧΗ Χ ΗΦ ΑΗ 1 3 Φ Χ ΑΗ 2 (3 ) Α ( ) ΕΖ ΒΑ Α ΑΧ ΗΑ ΗΦ 3 Η ΗΦ ΑΗ Η 1 ΗΒ ΑΗ Η 3 Η ΗΦ ΒΗ 1 3 Α ΑΧ Κ ΑΒ ( ) ( ) ( ΑΒ) : ( ΑΒ) = ( 1 2 Α + Η) : Η ( 5 pp.55 57) ΑΒ Α ΤΥ Α = Α Β ΜΝ Ψ ΑΕΖ ΑΒ 2 ΜΝ ΠΡ ΞΟ Α Β Α 122

123 Ω Χ Ω O Ξ Ρ Π Ψ ΑΧ = ΧΗ ΗΦ = 1 ΑΗ Χ Ψ 3 Α : ΑΧ = ( Ψ) : ( ΑΕΖ + ΑΒ) ( Η ΗΦ ) = 1 ( ΑΗ Η ) 3 ( ΗΒ ) = ( ΑΗ Η ) ( Η ΗΦ ) = 1 ( ΒΗ ) ( ΑΗ ) = 3( 3 ΑΗ ΗΦ ) = 3( ΑΧ ΑΦ ) Α = ΚΗ ΑΗ = ΗΕ 1 ( Α ) : ( ΑΗ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ) 3 ( Α ) : ( ΑΧ ΑΦ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ) Α = Α = ΑΦ + Φ ( Α ) : ( ΑΦ ΑΧ + Φ ΑΧ ) = ( Ψ) : ( ΑΕΖ + ΑΒ) ( Α ) : ( Φ ΑΧ ) = ( Ψ) : ( ΑΒ) ( Α ) : ( Α ) : 1 ( ΒΗ ) = ( Ψ) : ( ΑΒ) 3 1 ( ΒΗ ) = ( Α ) : ( Η ΗΦ ) 3 ( Φ ΑΧ ) : ( Η ΗΦ ) = ( ΑΒ) : ( ΑΒ) ΑΗ = 2 ΑΧ = ΑΦ + ΦΗ = 3 ΦΗ Φ = ΦΗ + Η = 1 ΑΗ + Η 3 ( Φ ΑΧ ) = ( 1 3 ΑΗ 3 ΦΗ ) + 2 ( Η 3 ΦΗ ) 2 = ( ΦΗ 1 Α + Η ) 2 ( ΑΒ) : ( ΑΒ) = ( 1 Α + Η) : Η 2 8 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 123

124 O Π X Φ Ξ Ρ 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 11 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 ( ) ( ) ( 2 ) (2 ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 6 ΑΒ Β ΕΖ 2 ΕΖ ΜΝ ΞΟΠΡ (ΜΝ) Ξ Ο Π Ρ ΕΖ Κ ΠΞ Κ 2 ΣΤ ΟΠΡ ΠΧ ΣΤ ΞΠ ΞΟΠΡ ( ) ΟΠΡ ΣΤ ( ) ΣΤ Ν Υ 124

125 Ν Υ ΕΙ ΠΧ Ε ΒΩ Ε Ν Ι Ε Β (Ν Ι ) Ε Ι Ω Ν ΒΩ ΥΝ ΒΩ ΥΝ ΣΤ ( ) Ε Π Ι Χ Π Ξ Ε Χ Ρ T Υ I Ξ Χ Π Ν Ω O Σ ( ) Ξ Ξ ΠΞ Ξ Ξ Χ Ξ (Ξ ) ( ) Ξ Χ Χ Ξ Χ Ξ ΟΠΡ Π Π ΞΟΠΡ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ ( ) Ρ Ξ Υ Χ Σ Κ Π Φ Ζ Τ O ΜΝ ΞΟΠΡ Μ Η Μ Η ΟΠΡ (2 ) ( ΟΠΡ ) ΜΗ ( ) 125

126 1 ΟΠΡ ΜΝ ΠΞ 4 Κ Τ Υ ΟΠΡ Κ Τ ΟΡ Σ Ζ Η Μ Χ Φ ( ) Κ Τ Υ ΟΡ (2 ) ΞΟΠΡ ΟΠΡ Κ Σ ΗΜ Χ ( ) ( ) Τ Ζ (ΗΜ) Υ Φ eiberg eiberg 3 ( 5 p.81) 3 ΜΝ eiberg ΑΒ ( ) Ε Ζ Η ΑΒ ΕΖΗ (ΕΖΗ) ΑΒ 1 4 ( ) 3 2 ΕΖΗ ΖΚ ( ) 12 (ΕΖΗ ) = 1 ( ) Ξ Σ Η ΚΖ ΜΝ ΜΝ Ξ ( ) ΜΝ Ν ΝΖ ΜΝ Ν 126

127 ΚΗ Σ ΜΝ ΕΗ 1 ΜΝ 1 Ν ( ) ( ) ΕΗ 1 ΜΞ 1 ΚΝ Ξ ( ) ΜΝ Μ ΜΞ ΜΝ Μ ΜΝ ΜΞ ΜΝ ΜΞ ΜΝ ΜΞ ΜΝ Μ ( ) ( ) ( ) (Η) ΚΖ ΕΗ Η ΚΖ ΕΗΖ ( ) ΕΗ Η ΚΖ ( ) Η ΕΗ ( ) Η Η ΚΖ ( ) ΕΗ Η ΕΗ ΕΖΗ Η ΕΗ ( ) ( ) ΑΒ ΕΖΗ (ΕΖΗ) (ΑΒ) Ε Ζ Η Κ (ΕΖΗ) ΕΗ ( )

128 Π Ρ O Σ ( 5 pp.9599) ΑΒ 1 ΕΖΗ Κ ΕΖΗ ΕΗ ( ) ΠΡ ( ) = 1 ( ) 6 ΗΠΕΡ ΗΕ 1 ( 10 1 ) ΗΠΜΝ ( ) ( ) = 2( ΗΠΜΝ) ΗΠΕΡ ΗΠΕΡ 2 3 I ( ) > 2 ( ΗΠΕΡ) 3 ( ) ( ) < ( ) 2 3 ( ΗΠΕΡ) ( ) > 2 ( ΗΠΕΡ) 14 3 ΚΖ ( ) Ε Ζ Η ( ) ( 1) ( ΗΠΕΡ) : ( ) = ( Η) : ( ) ( 128

129 Η) < 3 ( ) ( 2 ) ( Η) = 3 ( ΕΖΗ) 2 ΗΠΕΡ 2 3 II ( ) < 2 ( ΗΠΕΡ) 3 ( ) ( ) < 2 ( ΗΠΕΡ) ( 3 ) ( ) < 2 3 ( ΗΠΕΡ) ( ΗΠΕΡ) : ( ) = ( Η) : ( ) ( Η) > 3 2 ( ) ( Η) = 3 ( ΕΖΗ) 2 ΗΠΕΡ 2 3 ( ) = 2 3 ( ΗΠΕΡ) = 1 6 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 ) 4 ( ) ( ) (2 ) 4 ( ) 2 ( ) y Υ Υ Χ Χ x Ψ Ψ z Φ Φ 129

130 z y y a a 2 t 2 x a z = t a 2 t 2 x a a 1 a z = t 1 2 a 2 t 2 S(t) = 4 ( a 2 t 2) ( ) V a V = 2 4 ( a 2 t 2) dt = 16 3 a3 = 2 ( 8a 3 ) = ( ) 0 130

131 Liber ssumptorum CD CD 2 D D D D 2 G F GF D GF C F G D C G F D 2 C DC D C D F F CD G C G G D D F F C C 3 C D C D D F CF C F D C 4 C C 2 D DC D 131

132 ; rbelos ; ἄρβηλος ( 2 ) D C D 5 C 2 C C C CD DC F G C 2 C C F 1 F 2 C F C D F F F F D G GC C G G I I I F D I G L C y O P 0 Q R C k T S 1 x 1 2 k r r 1 (1 k) 2 2 ( O) L ( P)

133 = 1 C = k 2 r : C = D : = CD : C = 1 : k D = CD D = (1 k)cd C : = CD : D = 1 : (1 k) = (1 k)c = k(1 k) k(1 k) = 1 2 r = 1 = C C a b 2 OQ = 1 2 k + r QR = 1 2 k r ab a+b OR 2 = OQ 2 QR 2 = ( 1 k + 2 r)2 ( 1 k 2 r)2 = 2kr = k 2 (1 k) OR = k 1 k R = C CR = k r = 1 k(1 + k) 2 PS = 1 (1 k) + r ST = 1 (1 k) r 2 2 PT2 = PS 2 ST 2 = k(1 k) 2 PT = (1 k) k T = C + CT = k + r = 1 k(3 k) 2 2 O ( 1 k(1 + k) k 1 k) P ( 1 k(3 k) (1 k) k) C D D DC 1 D DC 2 3 F C F C F 2 2 CF F C 2 FG C 2 D DF DI DL F O P F I G L O D P C D G D DI O FP C L 2 DL DI C D DC F O OP CD D C CP PO D DC 1 O OP 1 OP CP 1 3 O OP PC PC 4 OP 6 O 9 C 19 PO F C F 19 6 D DC D : DC = : F = O : OP DC : D = C : = CP : OP D : DC = r : 1 CP : OP : O : C = 1 : r : r 2 : (1 + r + r 2 ) 133

134 F = OP C : F = (1 + r + r 2 ) : r r = 4 C : F = ( ) : 4 = 37 : D F C G 8 C C D F 3 D F C G 9 2 CD ( ) 2 D C 2 C D D G F C 10 D D DC C D C F D F C FG FG G C 134

135 F D G C 11 2 CD C D D C F 12 C 2 D 2 F D CF G CG D C F G 13 2 CD CD 2 CD 2 F CF D I CD IG D L G C F I 135

136 14 C D C CD D 2 CD F G FG 2 ; ; salinum ; σάλινον G C D F 15 C 1 C D CD F C D F FG G C D F G 136

137 , , 22, , 20, , , 77, , , , , , 89, , 55, 75, , , ,

138 , 12, 14, ,