40 6 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 y x + y x 0 mx x + mx m + m m 7 sin y x, x x sin y x x. x sin y x,y 0,0 x 0. 8 x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,

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Download "40 6 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 y x + y x 0 mx x + mx m + m m 7 sin y x, x x sin y x x. x sin y x,y 0,0 x 0. 8 x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,"

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1 9.. x + y + 0. x,y, x,y, x r cos θ y r sin θ xy x y x,y 0,0 4. x, y 0, 0, r 0. xy x + y r 0 r cos θ sin θ r cos θ sin θ θ 4 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 x x + y x 0 x x + mx + m m x r cos θ 5 x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 x y x + y r 0 r 4 cos θ sin θ r r 0 r cos θ sin θ 0 x y x4 + y 4 0. x,y 0,0 0 x y x + y x4 + y 4 x + y x + y x + y x y x + y x + y x + y x + y, 0, x,y 0,0 x y x + y

2 40 6 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 y x + y x 0 mx x + mx m + m m 7 sin y x, x x sin y x x. x sin y x,y 0,0 x 0. 8 x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 sinx + y x + y sin r r 0 r.. 9 y mx x, y 0, 0 x 0. x,y 0,0 x x + y x 0 x x + mx + m m f0, 0, fx, y fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 x,y 0,0 x,y 0,0 x x + y + x x + y fx, y x, y 0, 0 f0, 0 0, fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 x y x r cos θ x,y 0,0 x + y y r sin θ. x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 x y x + y r 0 r cos θ r sin θ r cos θ sin θ θ fx, y x, y 0, 0 f0, 0 0, x,y 0,0 x,y 0,0 fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x r cos θ y r sin θ x y x + y

3 . x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 x y x + y r 0 r cos θ sin θ r fx, y x, y 0, 0 r 0 rcos θ sin θ 0 0 x y x + y x yx + xy + y x + y x y + xy x + y x y + xy x + y x y + x + y x y x + y 0. x,y 0,0 4 f0, 0 0 x,y 0,0., x,y 0,0 x y 0, x,y 0,0 4 x y x + y fx, y 0 fx, y x, y 0, 0 x + y cos x + y 0 xy cos x + y xy xy cos x,y 0,0 xy 0, 0 fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 xy cos x + y.. f x x, y y x, f y x, y x y, x x y y f x x, y x x + xy x + xy x x + y + y, f y x, y x y + xy y + xy y x + xy f x x, y y x + y x + y y x x + y, f y x, y x + y yy x + yy y x + y f x x, y x y x x x y x y, f y x, y x y y x y y x y y x + y x x + y x + y

4 4 4 f x x, y y + y, f y x, y x xy y y 4 x x y 5 fx, y x y x x y + y, f x x, y x y y x f y x, y x + y x + y x 6 f x x, y + x y y x + x y + x y x f y x, y + x xy y y y + x y y x x + y y y y x + y, 7 f x x, y xy x cosx + y + xycosx + y} x y cosx + y xy sinx + y, f y x, y xy y cosx + y + xycosx + y} y x cosx + y xy sinx + y 8 f x x, y x + y x + y x x + y, f y x, y x + y x + y y 9 f x x, y f y x, y x y x y x y x x y y y x + y y x + y x y x y y y x, xy x y y x

5 4.4. v, v fx, y v r 0 fx + r, y r fx, y r [ x + r + x + r y r + y r 0 r ] x + xy + y [ x + rx + r 0 r r + xy rx + ry r + y ry + ] r x xy y x + r 0 r x + y y x y r v fx, y v r 0 r 0 r r 0 r fx + r cos θ, y + r sin θ fx, y r [ x + r cos θ + x + r cos θy + r sin θ x + xy ] [ x + 6rx cos θ + r cos θ + xy + ry cos θ + rx sin θ + r sin θ cos θ x xy ] r 0 [6x cos θ + r cos θ + y cos θ + x sin θ + r sin θ cos θ] 6x cos θ + y cos θ + x sin θ.5. fx, y f, + P x + Qy + gx, y x,y, gx, y fx, y f, P x Qy xy P x Qy gx, y x + y x,y, xy P x Qy x + y 0

6 44 P, Q fx, y x, y, x r cos θ. x, y,, r 0. y r sin θ x,y, xy P x Qy x + y r cos θ + r sin θ + P r cos θ Qr sin θ r 0 r [ r sin θ cos θ + r sin θ + r cos θ + P r cos θ Qr sin θ ] r 0 r [r sin θ cos θ + P cos θ + Q sin θ] r 0 P cos θ + Q sin θ P Q fx, y x, y, fx, y f, + P x + Qy + + gx, y gx, y fx, y 5 P x Qy + x + y 5 P x Qy + x,y, x,y, gx, y x + y + x + y 5 P x Qy + x + y 0 x,y, P, Q fx, y x, y, x r cos θ. x, y,, r 0. y + r sin θ x + y 5 P x Qy + x + y + r cos θ + + r sin θ 5 P r cos θ Qr sin θ r 0 r [ r cos θ + 4r cos θ r sin θ r sin θ + 5 P r cos θ Qr sin θ ] r 0 r [r + 4 cos θ sin θ P cos θ Q sin θ] r 0 4 P cos θ Q + sin θ, P 4, Q fx, y x, y,

7 fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y gx, y fx, y P x Qy x y P x Qx x, y 0, 0 x + y 0 x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x y P x + Qy x + y x + y P, Q fx, y x, y 0, 0 x r cos θ x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 r 0 x y P x + Qy x + y x + y r cos θ sin θ P r cos θ Qr sin θ r r cos θ sin θ P cos θ Q sin θ r 0 P cos θ Q sin θ, P Q 0 fx, y x, y 0, 0 4 fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y gx, y fx, y P x Qy x + y P x Qx x, y 0, 0 x + y 0 x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x + y P x + Qy x + y x + y P, Q fx, y x, y 0, 0 x r cos θ x, y 0, 0, r 0. y r sin θ x,y 0,0 r 0 r 0 x + y P x + Qy x + y x + y r cos θ + r sin θ P r cos θ Qr sin θ r } cos θ + sin θ P cos θ Q sin θ r

8 46 P, Q fx, y x, y 0, 0.6. f x x, y xy y f y x, y x xy x, y,, fx, y x, y, v, v v v f, f x, f y, y f x x, y x + y, f yx, y x x, y, x + y fx, y x, y, v 5, v v 5 v f, f x, f y, f x x, y x x + y, f yx, y y x + y x, y,, fx, y x, y, v f, f x, cos θ f y, sin θ cos θ + sin θ 4 f x x, y logx + y + x x + y, f yx, y x x, y, x + y fx, y x, y, v 5, v v 5 v f, f x, 4 f y, log 0.7. f x x, y y, f y x, y xy x, y, fx, y x, y, x, y, z f x, x + f y, y + f, z 4x + 4y 9

9 z.8. xy x,y 0,0 x + y, r 0. x r cos θ y r sin θ xy x,y 0,0 x + y r cos θ sin θ cos θ sin θ r 0 r xy x,y 0,0 x + y fx, y x, y 0, 0 f x x, y y x y, f yx, y fx, y x, y x, y, z f x, 6 x + 47 x, y 0, 0 fx, y x, y 0, 0 x + f y, 6 y π + 6 x x y x, y,, y + f, x 4 f x x, y x + y, f y yx, y x, y, x + y fx, y x, y, x, y, v z f x, x + f y, y + f, z x + y + log cos θ v sin θ f0, 0 v r 0 fr cos θ, r sin θ f0, 0 r θ sin θ r cos r 0 r cos θ sin θ fx, y x, y 0, 0 fx, y x, y 0, 0 fx, y f0, 0 + P x + Qy + gx, y P x + Qy + gx, y x,y 0,0 gx, y x + y 0

10 48 P, Q fx, y x, y 0, 0 x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 x y P x Qy x + y x r cos θ y r sin θ x, y 0, 0, r 0. x,y 0,0 gx, y x + y x,y 0,0 r 0 r x y P x Qy x + y r cos θ sin θ P r cos θ Qr sin θ cos θ sin θ P cos θ Q sin θ θ 0 P 0, θ π Q 0, θ π P + Q 4 P, Q fx, y x, y 0, 0.9. f x x, y x + y, f y x, y x, f xx x, y, f xy x, y f yx x, y, f yy x, y 0. f x x, y f y x, y x y y y x, xy x xy y y x, } f xx x, y y x x y x x x y x f xy x, y f yx x, y y x y y, f yy x, y x y y x x y y x y x + y x } y y x y x y x xy x y y x,

11 49.0. f x x, y f y x, y 4 f x x, y + x y y + x xy y f xx x, y y x + y, x x + y, y x + y x xy x + y, f xy x, y f yx x, y x + y yy x + y x y x + y f yy x, y x y x + y xy x + y x x y, f y yx, y x y f xx x, y x y x y x, } x x y x y x, x y x y f xy x, y f yx x, y x x y y xy, x y x y f yy x, y } y x x y y + y x y x + y y x y 5 f x x, y yx y, f y x, y x y log x, f xx x, y yy x y y x x y f xy x, y f yx x, y x y + yx y log x x y + y log x f yy x, y x y log y 6 f x x, y e x y, f y x, y e x y, f xx x, y e x y, f xy x, y f yx x, y e x y, f yy x, y e x y f x x, y xy, f y x, y x y f xx x, y y, f xy x, y 6xy, f yy x, y 6x y, f xxx x, y 0, f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y 6y, f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y xy, f yyy x, y 6x

12 50 fx, y xy, f x x, y y, f y x, y xy, f xx x, y 0, f xy x, y y, f yy x, y xy. f xxx x, y 0, f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y 0, f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y y, f yyy x, y 6xy 4 fx, y yx + y, f x x, y yx + y, f y x, y x + y yx + y x + y x + y y xx + y, f xx x, y yx + y, f xy x, y x + y + yx + y x + y x y + y y xx + y, f yy xx + y f xxx x, y 6yx + y 4 f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y x + y 6yx + y 4 x + y 4 x + y 6y x yx + y 4 f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y x + y y xx + y 4 x + y 4 x + y y + x x yx + y 4 f yyy x, y 6xx + y 4 4 f x x, y y cos xy, f y x, y x cos xy, f xx x, y y sin xy, f xy x, y cos xy xy sin xy, f yy x, y x sin xy, f xxx x, y y cos xy f xxy x, y f xyx x, y f yxx x, y y sin xy xy cos xy f xyy x, y f yxy x, y f yyx x, y x sin xy x sin xy x y cos xy x sin xy x y cos xy f yyy x, y x cos xy

13 5.. u x y + x v xy fu, v u + cos v. f x f u u x + f v v x xy + sin v y u xy + x y + y sin xy f y f u u y + f v v y u x sin v x x x y + x sin xy u x + e xy v x cosx + y fu, v u v. f x f u u x + f v v x v x + yexy u cosx + y x sinx + y} v x + yexy x cosx + y x + e xy cosx + y x sinx + y} x cos x + y x + ye xy x cosx + y x + e xy cosx + y x cos x + y + x + e xy x sinx + y } x + xy e xy x cosx + y f y f u u y + f v v y + x + e xy sinx + y x cos x + y v xexy u x sinx + y} v xe xy x cosx + y xx + e xy sinx + y x cos x + y e xy cosx + y + x + e xy sinx + y x cos x + y

14 5 u xy y v xy fu, v u cos v. f x f u u x + f v v x cos v y + u sin vy y cos xy xy y sin xy f y f u u y + f v v y cos v x y + u sin vx x y cos xy x y xy sin xy 4 u x y v x y fu, v tan v u. f x f u u x + f v v x v u + v u v u + v x y + x 4 y x y + + v u u xy x y + u u + v xy } x y x y + xy x y x y + 4x y 4xy x y + x 4 y x y x y 4xy x y + x 4 y x y f y f u u y + f v v y v u + v x y + x 4 y + x y u u + v x y x y + x x y x x y + x x y x y + x 4 y x y x x y x y + x y x y.. x u cos θ v sin θ y u sin θ + v cos θ z u z x x u + z y y u z x z v z x x v + z y y v z x cos θ + z y sin θ + z y sin θ, cos θ,

15 5 z z + u v z z cos θ + x z x y sin θ + cos θ + z x z y z + x z z + x y z x sin θ cos θ + sin θ z x z y z sin θ + y cos θ z sin θ y sin θ cos θ + z cos θ y z u z x x u + z y y u z x cos θ + z y sin θ, z u z x u cos θ + z y u sin θ zx x x u + z x y y zy cos θ + u x x u + z y y y sin θ u z x cos θ + z y x sin θ z cos θ + x y cos θ + z y sin θ sin θ z x cos θ + z y x sin θ cos θ + z x y sin θ cos θ + z y sin θ, z v z x x v + z y y v z x sin θ + z y cos θ, z v z x v sin θ + z y v cos θ zx x x v + z x y y zy sin θ + v x x v + z y y y cos θ v z x sin θ + z y x cos θ sin θ + z x y sin θ + z y cos θ cos θ z x sin θ z y x sin θ cos θ z x y sin θ cos θ + z y cos θ

16 54 z u + z v z x cos θ + z x z y x + z x sin θ + z y sin θ cos θ + z y x sin θ cos θ z x y sin θ cos θ + z y sin θ z x y sin θ cos θ + z y cos θ.., x r cos θ y r sin θ z r z r z x x r + z y y r z x cos θ + z y sin θ z x r cos θ + z y r sin θ zx x x r + z x y y zy cos θ + r x x r + z y y y sin θ r z x cos θ + z y x sin θ z cos θ + x y cos θ + z y sin θ sin θ z x cos θ + z y x sin θ cos θ + z θ z x x θ + z y y θ z x r sin θ + z y r cos θ yz x + xz y z x y sin θ cos θ + z y sin θ, z θ yzx x y z + x θ + yz x y x r sin θ + z y + x z x y z x r sin θ z x r cos θ z y r sin θ y xzy + θ x z x + y z y x r cos θ r sin θ + x z y r cos θ z y x r sin θ cos θ x θ + xz y y } } z x y r sin θ cos θ + z y r cos θ y θ

17 55 z r + r z r + r z x cos θ + z x z y x z θ sin θ cos θ + + r z x cos θ + z y sin θ + r z x r sin θ z x r cos θ + z y z y r sin θ z x y sin θ cos θ + z y sin θ z y x r sin θ cos θ z x y r sin θ cos θ + z y r cos θ.4. f x x, y x + y, f y x, y x + y. f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x + y x + y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y x + y 6x + yx + y + x + y x + y 0x + xy + y x + y 0 x + y φx fx, y x + xy + y 0

18 56 f x x, y x x, f y x, y y, f xx x, y 6x, f xy x, y 0, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x x y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y 6x 4y + x x 8y xy + 9x 4 8x 4 4y x4 + 8xx x + y + 4xy 4 4y x4 + 8x + 4xy 4 4y x x + 8x + 4xy 4 4y xx y + + 8x + 4xy 4 4y x + xy + 9x 4 4y x y + + xy + 9x 4 4y xy + x y + 9x 4y, φx fx, y x x + y 0 x fx, y x x + y f x x, y y xy, f y x, y xy x, f xx x, y y, f xy x, y y x, f yy x, y x, φ x f xx, y f y x, y y xy xy x y xy x xy

19 57 φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y yxy x y xy xyxy x + xy xy xy x yx y x 4xyy xy xy x + xy y x x y x xyy x 4yy xy xy x + y y x x y x 6yx y xy + y x x y x 6y 4 + y x x y x 6yx y + 4 x y x φx fx, y xy x y 0 4 f x x, y x + y, f y x, y x y, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y, φ x f xx, y f y x, y x + y x y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y x y x + yx y x + y x y 5x + 5y 5xy x y 0 x y φx fx, y x + xy y 0

20 58 5 f x x, y e x e x+y, f y x, y e x+y + e y, f xx x, y e x e x+y, f xy x, y e x+y, f yy x, y e x+y + e y, φ x f xx, y f y x, y ex e x+y e x+y + e y φ x f xxx, yf y x, y f xy x, yf x x, yf y x, y + f yy x, yf x x, y f y x, y ex e x+y e x+y + e y + e x+y e x e x+y e x+y + e y + e x+y + e y e x e x+y e x+y + e y ex e x+y e x+y + e y e x+y + e y + e x+y + e x e x+y e x+y + e y ex e x+y e x + e y e x+y + e y ey e x + e y e y e x ex + e y e y e x e x+y e y e x e x e x φx fx, y e x e x+y + e y 0.5. f x x, y x, f y x, y y, f xx x, y fx, y x + y 0 f x x, y x 0 x, y 0, ±. f y 0, ± ± 0 f xx 0, ±, ±, x 0 f y 0, ± y, x 0 y f x x, y x, f yx, y y, f xx x, y fx, y 4 x + y 0 f x x, y x 0 x, y 0, ±. f y 0, ± ± 0 f xx 0, ±, ±, x 0 f y 0, ± 4 y, x 0 y

21 59 f x x, y x y, f y x, y x + y, f xx x, y fx, y x xy + y 0 a f x x, y x y 0 b b y x a x x ±., y x, x, y ±, ± f y ±, ± ± 0, f xx ±, ± f y ±, ± ±, x y, x y 4 f x x, y x y, f y x, y x + y, f xx x, y 6x fx, y x xy + y 0 a f x x, y x y 0 b b y x. a x x 0. x 0,., y x x, y 0, 0,, 4. f y 0, 0 0 x 0, f y, f xx, 4 f y, 4 > 0, x y 4.6. f x x, y x + y, f y x, y x + 4y 4, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y 4 Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 7 fx x, y x + y 0 f y x, y x + 4y 4 0 x, y H 4 7, 8 7 x, y 4 7, 8 7, f xx 4 7 7, 8 > , 8 f 4 7 7,

22 60 f x x, y x + y, f y x, y x, f xx x, y 6x, f xy x, y, f yy x, y 0 Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4 < 0 fx, y f x x, y x + x, f y x, y y + y, f xx x, y 6x +, f xy x, y 0, f yy x, y 6y + Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x + y + fx x, y x + x 0 a f y x, y y + y 0 b a x x + 0. x, b y y + 0. y, x, y,,,,,,, x, y, H, 6 > 0, f xx, 4 > 0, x, y, f, 44 7 x, y, H, 6 < 0, x, y, x, y, H, 6 < 0, x, y, x, y, H, 6 > 0, f xx, 4 < 0, x, y, f, 4

23 6 4 f x x, y x y, f y x, y x + y +, f xx x, y, f xy x, y, f yy x, y Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y > 0 fx x, y x y 0 f y x, y x + y + 0 x, y, 4 H, 4 > 0, f xx, 4 > 0, x, y, 4 f, f x x, y x 6y, f y x, y 6x + y, f xx x, y 6x, f xy x, y 6, f yy x, y 6y Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 6xy fx x, y x 6y 0 a f y x, y 6x + y 0 b a y x. b xx 8 0 x 0,. y x x, y 0, 0,, x, y 0, 0 H0, 0 6 < 0, x, y, H, 08 > 0, f xx, > 0, x, y, f, 8 6 f x x, y x y + y y, f y x, y x + xy x, f xx x, y 6xy, f xy x, y x + y, f yy x, y 6xy Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 9x 4 9y 4 + 8x y + 6x + 6y fx x, y x y + y y 0 f y x, y x + xy x 0 a b a yx +y 0. y 0 x +y., b xx +y 0. x 0 x +y 4

24 6 a y 0 x 0 b y 0 x + y c x 0 x + y d x + y x + y x, y 0, 0, ±, 0, 0, ±, 4 x + y x + y x y x + y 4x. x ±, y ± x, y 0, 0, ±, 0, 0, ±, ±, ±, ±, x, y 0, 0 H0, 0 < 0 x, y ±, 0, 0, ± H±, 0 H0, ± 4 < 0 x, y ±, ± ±, ± > 0, f xx ±, ± > 0 H x, y 8 x, y H x, y ±, ± f ±, ± ±, ±, > 0, f xx ±, < 0 ±, f ±, 8 7 f x x, y xy y, f y x, y x xy +, f xx x, y y, f xy x, y x y, f yy x, y x Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x xy + y fx x, y xy y 0 a f y x, y x xy + 0 b

25 a+b x y 0. y ±x a y x x x, y ±, ±, y x x, x, y ±, ± H±, ± 4 < 0 fx, y 8 f x x, y xy x, f y x, y x y y, f xx x, y y, f xy x, y 4xy, f yy x, y x Hx, y f xx x, yf yy x, y f xy x, y 4x y 6x y fx x, y xy x 0 a f y x, y x y y 0 b a xy 0. x 0 y ±, b yx 0. y 0 x ±, x, y 0, 0, ±, ±, ±,. x, y 0, 0 H0, 0 4 > 0, f xx 0, 0 < 0 x, y 0, 0 f0, 0 x, y ±, ±, ±, H±, ± H±, 6 < Lx, y, t fx, y tgx, y x + y tx + y g x x, y x, g y x, y y, L x x, y, t tx, L y x, y, t ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t 0, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 8tx + y + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t tx 0 L y x, y, t ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c

26 64 a, b x y c t t. t ± x y t x, y, t ±, ±, ± H ±, ±, ± 8, x, y fx, y gx, y x + y 0 f,, x, y, fx, y gx, y x +y 0 f, Lx, y, t fx, y tgx, y xy tx + y g x x, y x, g y x, y y, L x x, y, t y tx, L y x, y, t x ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 8ty + xy + tx + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t y tx 0 L y x, y, t x ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c a y tx. b x 4t 0. x 0 t ± x 0 y tx y 0 c t ± t y tx y x c x. x, y ±, ±.

27 65 t y tx y x c x. x, y ±, x, y, t ±, ±,, ±,, x, y, t ±, ±, H ±, ±, 8 < 0 ±, ± x, y fx, y gx, y x + y 0 f ±, ±, x, y, t ±,, H ±,, 8 > 0 x, y ±, fx, y gx, y x + y 0 f ±, g x x, y y, g y x, y x Lx, y, t fx, y tgx, y x + y txy L x x, y, t x ty, L y x, y, t y tx, L t x, y, t xy, L xx x, y, t, L xy x, y, t t, L yy x, y, t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y x + txy + y L x x, y, t x ty 0 L y x, y, t y tx 0 L t x, y, t xy 0 + L yy x, y, tg x x, y a b c

28 66 a x t y b y4 t 0 y 0 t ± y 0 c t ± t x t y x y c y x, y, t ±, ±, t x t y x y c y H±, ±, 8 > 0, x, y ±, ±, fx, y gx, y xy 0 f ±, ± 4 g x x, y x, g y x, y y Lx, y, t fx, y tgx, y 4x + 4xy + y tx + y L x x, y, t 8x + 4y tx, L y x, y, t 4x + y ty, L t x, y, t x + y, L xx x, y, t 8 t, L xy x, y, t 4, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y 84 ty 4xy + tx } + L yy x, y, tg x x, y L x x, y, t 8x + 4y tx 0 L y x, y, t 4x + y ty 0 L t x, y, t x + y 0 a b c a y 4 tx b xtt 5 0 x 0 t 0, 5 x 0 y 4 tx y 0 c t 0, 5 t 0 y 4 tx y x c 5x x, y, t ±,, t 5 y 4 tx y x c 5 4 x x, y, t ±, ±, 5 5 5

29 H 67 ±,, 0 40 > 0, x, y ±, fx, y gx, y x + y 0, f ±, 0 5 5, H ±, ±, 5 40 < 0, x, y ±, ± fx, y gx, y x + y 0, f ±, ± g x x, y x + y, g y x, y x + y Lx, y, t fx, y tgx, y xy tx + xy + y L x x, y, t y tx ty, L y x, y, t x tx ty, L t x, y, t x + xy + y, L xx x, y, t t, L xy x, y, t t, L yy x, y, t t Hx, y, t L xx x, y, tg y x, y L xy x, y, tg x x, yg y x, y + L yy x, y, tg x x, y tx + y tx + yx + y tx + y L x x, y, t y tx ty 0 L y x, y, t x tx ty 0 L t x, y, t x + xy + y 0 a b c t 0 a, b x y 0 c t 0 a x t y b t yt + t 0 y 0 t, y 0 x t y x 0 c t t, t x t y x y c t y x, y, t ±,, t x t y x y c t y x, y, t ±, ±,

30 68 H ±,, 8 > 0, x, y ±, fx, y gx, y x + xy + y 0 f ±,, H ±, ±, 8 < 0, x, y ±, ± fx, y gx, y x + xy + y 0 f ±, ±.8. f x x, y e x y, f y x, y e x y, f xx x, y e x y, f xy x, y e x y, f yy x, y e x y, f xxx x, y e x y, f xxy x, y e x y, f xyy x, y e x y, f yyy x, y e x y fx, y e x y x, y, f, + f x, x + f y, y } + fxx, x + f xy, x y + f yy, y }! + fxxx, x + f xxy, x y! + f xyy, x y + f yyy, y } + x y } + x x y + y } x x y + x y y } 6, 4, 5 f x x, y cosx y, f y x, y cosx y, f xx x, y 4 sinx y, f xy x, y sinx y, f yy x, y sinx y, f xxx x, y 8 cosx y, f xxy x, y 4 cosx y, f xyy x, y cosx y, f yyy x, y cosx y fx, y sinx y x, y, f, + f x, x + f y, y } + fxx, x + f xy, x y + f yy, y }! + fxxx, x + f xxy, x y! + f xyy, x y + f yyy, y } x y } 8x x y + 6x y y } 6

31 fx, y x y x y, f x x, y x y, f y x, y x y, f xx x, y x y, f xy x, y x y, f yy x, y x y, f xxx x, y 6x y 4, f xxy x, y 6x y 4, f xyy x, y 6x y 4, f yyy x, y 6x y 4 fx, y x, y, 0 x y 69 f, 0 + f x, 0x + f y, 0y} + fxx, 0x + f xy, 0x y + f yy, 0y }! + fxxx, 0x + f xxy, 0x y! + f xyy, 0x y + f yyy, 0y } x y} + x x y + y } x x y + x y y } 4 f x x, y e x log + y, f y x, y e x + y, f xx x, y e x log + y, f xy x, y e x + y, f yy x, y e x + y, f xxx x, y e x log + y, f xxy x, y e x + y, f xyy x, y e x + y, f yyy x, y e x + y fx, y e x log + y x, y 0, 0 f0, 0 + f x 0, 0x + f y 0, 0y} + fxx 0, 0x + f xy 0, 0xy + f yy 0, 0y }! +! fxxx 0, 0x + f xxy 0, 0x y + f xyy 0, 0xy + f yyy 0, 0y } y + xy y + 6 x y xy + y e x log + y 5 f x x, y e y sin x, f y x, y e y cos x, f xx x, y e y cos x, f xy x, y e y sin x, f yy x, y e y cos x, f xxx x, y e y sin x, f xxy x, y e y cos x, f xyy x, y e y sin x, f yyy x, y e y cos x fx, y e y cos x x, y 0, 0

32 70 f0, 0 + f x 0, 0x + f y 0, 0y} + fxx 0, 0x + f xy 0, 0xy + f yy 0, 0y }! +! fxxx 0, 0x + f xxy 0, 0x y + f xyy 0, 0xy + f yyy 0, 0y } + y x y 6 x y y cos x e y 6 fx, y x + y x + y, f x x, y x + y, fy x, y x + y, f xx x, y 4 x + y, fxy x, y x + y, f yy x, y x + y, f xxx x, y 8 x + y 5, fxxy x, y 4 x + y 5, f xyy x, y x+y 5, fyyy x, y x+y 5 fx, y x + y x, y, f, + f x, x + f y, y + } + fxx, x + f xy, x y + + f yy, y + }! +! fxxx, x + f xxy, x y + + f xyy, x y + + f yyy, y + } + x + y + } 8 x + 4x y + + 4y + } + 48 x + 8x y + + 6x y + + 4y + }

II 1 3 2 5 3 7 4 8 5 11 6 13 7 16 8 18 2 1 1. x 2 + xy x y (1 lim (x,y (1,1 x 1 x 3 + y 3 (2 lim (x,y (, x 2 + y 2 x 2 (3 lim (x,y (, x 2 + y 2 xy (4 lim (x,y (, x 2 + y 2 x y (5 lim (x,y (, x + y x 3y

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x = a 1 f (a r, a + r) f(a) r a f f(a) 2 2. (a, b) 2 f (a, b) r f(a, b) r (a, b) f f(a, b)

x = a 1 f (a r, a + r) f(a) r a f f(a) 2 2. (a, b) 2 f (a, b) r f(a, b) r (a, b) f f(a, b) 2011 I 2 II III 17, 18, 19 7 7 1 2 2 2 1 2 1 1 1.1.............................. 2 1.2 : 1.................... 4 1.2.1 2............................... 5 1.3 : 2.................... 5 1.3.1 2.....................................

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III No (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) x 2 3xy + 2 lim. (x,y) (1,0) x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) 5x 2 y x 2 + y 2. xy x2 + y

III No (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) x 2 3xy + 2 lim. (x,y) (1,0) x 2 + y 2 lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) 5x 2 y x 2 + y 2. xy x2 + y III No (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) x 2 3xy + 2. (x,y) (1,0) x 2 + y 2 5x 2 y x 2 + y 2. xy x2 + y 2. 2x + y 3 x 2 + y 2 + 5. sin(x 2 + y 2 ). x 2 + y 2 sin(x 2 y + xy 2 ). xy (i) (ii) (iii) 2xy x 2 +

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5.. z = f(x, y) y y = b f x x g(x) f(x, b) g x ( ) A = lim h 0 g(a + h) g(a) h g(x) a A = g (a) = f x (a, b)

5.. z = f(x, y) y y = b f x x g(x) f(x, b) g x ( ) A = lim h 0 g(a + h) g(a) h g(x) a A = g (a) = f x (a, b) 5 partial differentiation (total) differentiation 5. z = f(x, y) (a, b) A = lim h 0 f(a + h, b) f(a, b) h............................................................... ( ) f(x, y) (a, b) x A (a, b) x

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D xy D (x, y) z = f(x, y) f D (2 ) (x, y, z) f R z = 1 x 2 y 2 {(x, y); x 2 +y 2 1} x 2 +y 2 +z 2 = 1 1 z (x, y) R 2 z = x 2 y

D xy D (x, y) z = f(x, y) f D (2 ) (x, y, z) f R z = 1 x 2 y 2 {(x, y); x 2 +y 2 1} x 2 +y 2 +z 2 = 1 1 z (x, y) R 2 z = x 2 y 5 5. 2 D xy D (x, y z = f(x, y f D (2 (x, y, z f R 2 5.. z = x 2 y 2 {(x, y; x 2 +y 2 } x 2 +y 2 +z 2 = z 5.2. (x, y R 2 z = x 2 y + 3 (2,,, (, 3,, 3 (,, 5.3 (. (3 ( (a, b, c A : (x, y, z P : (x, y, x

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5.. z = f(x, y) y y = b f x x g(x) f(x, b) g x ( ) A = lim h g(a + h) g(a) h g(x) a A = g (a) = f x (a, b)............................................

5.. z = f(x, y) y y = b f x x g(x) f(x, b) g x ( ) A = lim h g(a + h) g(a) h g(x) a A = g (a) = f x (a, b)............................................ 5 partial differentiation (total) differentiation 5. z = f(x, y) (a, b) A = lim h f(a + h, b) f(a, b) h........................................................... ( ) f(x, y) (a, b) x A (a, b) x (a, b)

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(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y

(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y [ ] 7 0.1 2 2 + y = t sin t IC ( 9) ( s090101) 0.2 y = d2 y 2, y = x 3 y + y 2 = 0 (2) y + 2y 3y = e 2x 0.3 1 ( y ) = f x C u = y x ( 15) ( s150102) [ ] y/x du x = Cexp f(u) u (2) x y = xey/x ( 16) ( s160101)

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2009 IA 5 I 22, 23, 24, 25, 26, (1) Arcsin 1 ( 2 (4) Arccos 1 ) 2 3 (2) Arcsin( 1) (3) Arccos 2 (5) Arctan 1 (6) Arctan ( 3 ) 3 2. n (1) ta

2009 IA 5 I 22, 23, 24, 25, 26, (1) Arcsin 1 ( 2 (4) Arccos 1 ) 2 3 (2) Arcsin( 1) (3) Arccos 2 (5) Arctan 1 (6) Arctan ( 3 ) 3 2. n (1) ta 009 IA 5 I, 3, 4, 5, 6, 7 6 3. () Arcsin ( (4) Arccos ) 3 () Arcsin( ) (3) Arccos (5) Arctan (6) Arctan ( 3 ) 3. n () tan x (nπ π/, nπ + π/) f n (x) f n (x) fn (x) Arctan x () sin x [nπ π/, nπ +π/] g n

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x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x

x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x [ ] IC. f(x) = e x () f(x) f (x) () lim f(x) lim f(x) x + x (3) lim f(x) lim f(x) x + x (4) y = f(x) ( ) ( s46). < a < () a () lim a log xdx a log xdx ( ) n (3) lim log k log n n n k=.3 z = log(x + y ),

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() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi)

() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi) 0. A A = 4 IC () det A () A () x + y + z = x y z X Y Z = A x y z ( 5) ( s5590) 0. a + b + c b c () a a + b + c c a b a + b + c 0 a b c () a 0 c b b c 0 a c b a 0 0. A A = 7 5 4 5 0 ( 5) ( s5590) () A ()

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II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka )

II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) II 214-1 : October 2, 214 Version : 1.1 Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/14w-biseki.html pdf 1 2 1 9 1 16 1 23 1 3 11 6 11 13 11 2 11 27 12 4 12 11

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.3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x, x 0 x = 0 x = 4 x.4. ( z + z = 8 z, z 0 (z, z = (0, 8, (,, (8, 0 3 (0, 8, (,, (8, 0 z = z 4 z (g f(x = g(

.3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x, x 0 x = 0 x = 4 x.4. ( z + z = 8 z, z 0 (z, z = (0, 8, (,, (8, 0 3 (0, 8, (,, (8, 0 z = z 4 z (g f(x = g( 06 5.. ( y = x x y 5 y 5 = (x y = x + ( y = x + y = x y.. ( Y = C + I = 50 + 0.5Y + 50 r r = 00 0.5Y ( L = M Y r = 00 r = 0.5Y 50 (3 00 0.5Y = 0.5Y 50 Y = 50, r = 5 .3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x,

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18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C

18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C 8 ( ) 8 5 4 I II III A B C( ),,, 5 I II A B ( ),, I II A B (8 ) 6 8 I II III A B C(8 ) n ( + x) n () n C + n C + + n C n = 7 n () 7 9 C : y = x x A(, 6) () A C () C P AP Q () () () 4 A(,, ) B(,, ) C(,,

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i 6 3 ii 3 7 8 9 3 6 iii 5 8 5 3 7 8 v...................................................... 5.3....................... 7 3........................ 3.................3.......................... 8 3 35

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dy + P (x)y = Q(x) (1) dx dy dx = P (x)y + Q(x) P (x), Q(x) dy y dx Q(x) 0 homogeneous dy dx = P (x)y 1 y dy = P (x) dx log y = P (x) dx + C y = C exp

dy + P (x)y = Q(x) (1) dx dy dx = P (x)y + Q(x) P (x), Q(x) dy y dx Q(x) 0 homogeneous dy dx = P (x)y 1 y dy = P (x) dx log y = P (x) dx + C y = C exp + P (x)y = Q(x) (1) = P (x)y + Q(x) P (x), Q(x) y Q(x) 0 homogeneous = P (x)y 1 y = P (x) log y = P (x) + C y = C exp{ P (x) } = C e R P (x) 5.1 + P (x)y = 0 (2) y = C exp{ P (x) } = Ce R P (x) (3) αy

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, x R, f (x),, df dx : R R,, f : R R, f(x) ( ).,, f (a) d f dx (a), f (a) d3 f dx 3 (a),, f (n) (a) dn f dx n (a), f d f dx, f d3 f dx 3,, f (n) dn f

, x R, f (x),, df dx : R R,, f : R R, f(x) ( ).,, f (a) d f dx (a), f (a) d3 f dx 3 (a),, f (n) (a) dn f dx n (a), f d f dx, f d3 f dx 3,, f (n) dn f ,,,,.,,,. R f : R R R a R, f(a + ) f(a) lim 0 (), df dx (a) f (a), f(x) x a, f (a), f(x) x a ( ). y f(a + ) y f(x) f(a+) f(a) f(a + ) f(a) f(a) x a 0 a a + x 0 a a + x y y f(x) 0 : 0, f(a+) f(a)., f(x)

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A

A A 2563 15 4 21 1 3 1.1................................................ 3 1.2............................................. 3 2 3 2.1......................................... 3 2.2............................................

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1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ

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2014 S hara/lectures/lectures-j.html r 1 S phone: , 14 S1-1+13 http://www.math.kyushu-u.ac.jp/ hara/lectures/lectures-j.html r 1 S1-1+13 14.4.11. 19 phone: 9-8-4441, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp Office hours: 1 4/11 web download. I. 1. ϵ-δ 1. 3.1, 3..

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II 2006

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微分積分学2

微分積分学2 ver. 6 8 8 f f G f fx df x fx dx fx, y f G f x, y, z z fx, y G f fx, y fx, y fx, y x a y ψy fa, y y b x φx fx, b x φx fx, y f x, b x y ψy fx, y f a, y y fx, y R x, y a x b, c y d fx, y G f xy R f x, y,

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2009 I 2 II III 14, 15, α β α β l 0 l l l l γ (1) γ = αβ (2) α β n n cos 2k n n π sin 2k n π k=1 k=1 3. a 0, a 1,..., a n α a 009 I II III 4, 5, 6 4 30. 0 α β α β l 0 l l l l γ ) γ αβ ) α β. n n cos k n n π sin k n π k k 3. a 0, a,..., a n α a 0 + a x + a x + + a n x n 0 ᾱ 4. [a, b] f y fx) y x 5. ) Arcsin 4) Arccos ) ) Arcsin

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No δs δs = r + δr r = δr (3) δs δs = r r = δr + u(r + δr, t) u(r, t) (4) δr = (δx, δy, δz) u i (r + δr, t) u i (r, t) = u i x j δx j (5) δs 2 No.2 1 2 2 δs δs = r + δr r = δr (3) δs δs = r r = δr + u(r + δr, t) u(r, t) (4) δr = (δx, δy, δz) u i (r + δr, t) u i (r, t) = u i δx j (5) δs 2 = δx i δx i + 2 u i δx i δx j = δs 2 + 2s ij δx i δx j

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1

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II No.01 [n/2] [1]H n (x) H n (x) = ( 1) r n! r!(n 2r)! (2x)n 2r. r=0 [2]H n (x) n,, H n ( x) = ( 1) n H n (x). [3] H n (x) = ( 1) n dn x2 e dx n e x2 II No.1 [n/] [1]H n x) H n x) = 1) r n! r!n r)! x)n r r= []H n x) n,, H n x) = 1) n H n x) [3] H n x) = 1) n dn x e dx n e x [4] H n+1 x) = xh n x) nh n 1 x) ) d dx x H n x) = H n+1 x) d dx H nx) = nh

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ac b 0 r = r a 0 b 0 y 0 cy 0 ac b 0 f(, y) = a + by + cy ac b = 0 1 ac b = 0 z = f(, y) f(, y) 1 a, b, c 0 a 0 f(, y) = a ( ( + b ) ) a y ac b + a y 01 4 17 1.. y f(, y) = a + by + cy + p + qy + r a, b, c 0 y b b 1 z = f(, y) z = a + by + cy z = p + qy + r (, y) z = p + qy + r 1 y = + + 1 y = y = + 1 6 + + 1 ( = + 1 ) + 7 4 16 y y y + = O O O y = y

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1 1.1 ( ). z = a + bi, a, b R 0 a, b 0 a 2 + b 2 0 z = a + bi = ( ) a 2 + b 2 a a 2 + b + b 2 a 2 + b i 2 r = a 2 + b 2 θ cos θ = a a 2 + b 2, sin θ = 1 1.1 ( ). z = + bi,, b R 0, b 0 2 + b 2 0 z = + bi = ( ) 2 + b 2 2 + b + b 2 2 + b i 2 r = 2 + b 2 θ cos θ = 2 + b 2, sin θ = b 2 + b 2 2π z = r(cos θ + i sin θ) 1.2 (, ). 1. < 2. > 3. ±,, 1.3 ( ). A

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I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google

I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google I4 - : April, 4 Version :. Kwhir, Tomoki TA (Kondo, Hirotk) Google http://www.mth.ngoy-u.c.jp/~kwhir/courses/4s-biseki.html pdf 4 4 4 4 8 e 5 5 9 etc. 5 6 6 6 9 n etc. 6 6 6 3 6 3 7 7 etc 7 4 7 7 8 5 59

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