22 55 1 2003 yleigh-bénard Ekman Analysis of Ekman Layer in yleigh-bénard Convection with Rotation Study on resistance of cracks in asphalt concrete as base layer Shoji KOYAMA 1 yleigh-bénard RBC 3 DNS Ekman Taylor-Proudman no-slip Ekman Ekman Ekman 1 Gill 2 Pedlosky 3 Ekman Ekman Rossby Hart 4 6 Hide 7 Boussinesq stress-free stress-free Ekman stressfree Ekman Ekman Hide 7 stress-free no-slip 1 Julien et al. 8 RBC DNS apple RBC DNS Ekman Julien et al. 8 Julien DNS apple DNS 2 RBC DNS 3 DNS 4 2 Boussinesq yleigh-bénard 22
55 1 2003 23 u +u u = p t x + v + u v = p t y + w + u w = p t z + Ù + u Ù = 1 Ù, t 1/2 (Pr) u+ 1 v, Ro v 1 u, Ro w + Ù, 2.1 2.2 2.3 2.4 u x + y v + w z =0. 2.5 x y z u u v w p Ù nabla» Laplace Pr Ro Prandtl yleigh Rossby = 2.53 10 6 1481 c Pr = 1 Re 1590 Ro =1 Ta = 2.53 10 6 c yleigh no-slip 1708 6 6 1 256 256 96 0.002 0.0005 4 10 5 t = 200 100 t 200 Adams-Bashforth 2 3 3 1 Julien Julien et al. 8 Pr = v Ô, Çg Td3 = Ôv, Ro = U fd 2.6 Ù = Ï(1 z/apple) (z < apple). 0 (z apple) 2.11 d U Ç g v Ô f 2 d U = (Çg»Td) 1/2»T Reynolds Re = Ud/v Taylor Ta = (fd 2 /v) 2 Pr Ro Re 2 =/Pr Ta =/PrRo 2 t = 0 0.05 no-slip u(x, y, 0)=0, u(x, y, 1)=0, 2.7 Ù(x, y, 0) =0.5, Ù(x, y, 1) = 0.5. 2.8 u(x +6, y +6, z) =u(x, y, z), 2.9 Ù(x +6, y +6, z) =Ù(x, y, z). 2.10 Ï 2.8 Ï =0.5 apple apple = apple(x, y) 1 Ù 2.11 X = X E + X th, 2.12 X E = q 1 z X 0 (1 e qz ) 2.13 (Λ/q 4 apple 2 )(1 +qapple)e qapple (e qz +e qz 2) (Λ/q 2 )(z/apple) 2 (z <apple) X th = (Λ/q 4 apple 2 ) (2 q 2 apple 2 ) 2(1+qapple)e qapple + (1+qapple)e qapple (1 +qapple)e qapple e qz (z apple) 2.14 X = u + iv, q =( Ta ) 1/4, Λ = Ï 2 Re( xapple+i y apple) 2.15 2.15 X q Λ Ekman 2.11 2.15Julien et al. 8 23
55 巻 1 号 2003 24 研 究 速 生 産 研 究 報 図 1 a 温度場と b 温度境界層の厚み の水平面図 あるので注意されたい 線形解 2.12 は粘性効果だけに よる通常の Ekman 層解 XE と温度による補正解 Xth の重ね 合わせになっている この温度補正項の効果は Λ に依存 し の水平勾配が存在するところでは効いてくるが 存 在しないところでは殆ど効かず 通常の解に近づくことを 意味している ここで問題になることは 第一に をどの 図2 局所的な温度場の鉛直分布図 ように評価するかということであり 第二にその求まった を用いて実際の温度分布が式 2.11 の線形分布で近似 層を温度境界層と仮定し 温度がほぼ一様になると思われ できるのか否かの 2 つである る高さ この場合は Ù = 0 付近 までをその厚みと考える 上記の 2 つの問題に対する 1 つの提案として 今回本研 と やはり P0 から P1 P2 と次第に小さくなることが分か 究では 下記に示すように を下壁における温度勾配の逆 る また上記で示した の値を用いた各点の線形分布をそ 数で定義した れぞれ L0 L1 そして L2 とすると DNS のデータから仮 定した温度境界層内全体は一致していないことが分かる (x, y) = 1 / Ù z z=0 2.16 この原因は 式 2.16 で予想した の値が壁近傍の温度 勾配のみから定義されていて 他の様々な要素が含まれる そして次に式 2.16 で定義した で線形近似がどの程度 それらは上方に向かうに従ってその予想から逸脱してくる 成り立つかを調べるため 図 1 に a 温度場と b 温度 ためだと考えられる つまり この線形分布が適用できる 境界層の厚みの等高線図をそれぞれ示す また図 1(a と のは壁近傍のみに対してであり そもそも線形解析自身が b ともに赤味がかった色の方が値の大きいことを表して 非線形効果の弱いこの場所を対象にしているのである 以 いる 図 1(a を見て分かるように 今回選んだ解析点は 上のような考えから 壁付近およそ z < 0.1 までの範囲で線 周囲より温度の高い場所 つまり上昇プルームが生成して 形解が DNS の速度場をどの程度補正できるのか考察する いるポイントである それらを上昇プルームの中心と思わ 3.2 Julien 解と DNS の比較 れる点から右に向かってそれぞれ P0 P1 そして P2 と名 図 3 に解析点 P0 における a u v ホドグラフ b u の鉛 づける そして図 1(b から の水平分布は温度場のそ 直分布 そして c v の鉛直分布をそれぞれ示す 但しこ れとほぼ相似的な分布を示し この周囲に の水平勾配が 存在することが分かる 図 2 は解析点 P0 P1 そして P2 こで は 鉛直座標を Ekman 層の厚み ËE で規格化した拡 張座標で = z/ 2 Ë E である 図 3(a における拡張座標 の温度の鉛直分布とそれぞれの から求めた線形分布であ の範囲はおよそ 0 2.4 で 粘性 Ekman 層解 XE よりも る ここで各解析点における式 2.16 より求めた の値 温度補正項 Xth を足し合わせた XE + Xth の方が DNS の速度 はそれぞれ (P0) = 0.63 (P1) = 0.21 そして (P2) = 場を良く再現していることが分かる 特に上方において 0.08 である DNS のデータから 下層部における各点の DNS における速度の大きさが粘性 Ekman 層解よりも小さ 平均温度分布からのずれは プルームの中心部に相当する くなることは Carrier9 等により非線形効果が原因であると P0 が最も大きく その外側に向かう P1 P2 に従って小さ 指摘されているが これにより温度補正項を施すことでも くなることが分かる ここでは壁近傍の急激な変化をする 解消に向かう可能性があることが分かる 次に図 3(b と 24
55 1 2003 25 3 P 0 a u v b u c v 4 P 1 3 5 P 2 3 25
26 55 1 2003 c u th v th u u E = 0.75 DNS u th = 1 v DNS = 0.2 v th 4 5 P 1 P 2 3 4(a 5(a Ekman P 0 4(b c 5(b c = 0.2 DNS 4 yleigh-bénard Ekman Julien et al. 8 DNS Ekman DNS 2002 11 25 1) V. W. Ekman, Arkiv. Matem. Astr. Fysik, Stockholm 2 11, 1 52 (1905). 2) A. E. Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics (Academic Press, 1982). 3) J. Pedlosky, Geophysical Fluid Dynamics, 2 nd edition (Springer- Verlag, 1987). 4) J. H. Hart, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 79, 201 222 (1995). 5) J. H. Hart, J. Phys. Oceanogr. 26, 1370 1374 (1996). 6) J. H. Hart, Phys. Fluids 12, 131 135 (2000). 7) R. Hide, Tellus XVI, 522 529 (1964). 8) K. Julien, S. Legg, J. McWilliams and J. Werne, J. Fluid Mech. 322, 243 273 (1996). 9) G. F. Carrier, J. Fluid Mech. 49, 133 144 (1971). 26