46 4 E E E E E 0 0 E E = E E E = ) E =0 2) φ = 3) ρ =0 1) 0 2) E φ E = grad φ E =0 P P φ = E ds 0

4 4.1 conductor E E E 4.1: 45

46 4 E E E E E 0 0 E E = E E E =0 4.1.1 1) E =0 2) φ = 3) ρ =0 1) 0 2) E φ E = grad φ E =0 P P φ = E ds 0

4.1 47 0 0 3) ε 0 div E = ρ E =0 ρ =0 0 0 a Q Q/4πa 2 ) r E r 0 Gauss E r r) = Q 4πε 0 r 2 a<r) 0 0 r<a) 4.2 E 0 0 a r φ 0 0 a r 4.2: φp) = P S E r r)dr φs)

48 4 S φ ) =0 P S φr) = r Q 4πε 0 r 2 dr = Q 4πε 0 r a<r) φa) =Q/4πε 0 a) 0 φr) = Q 4πε 0 a 0 r a ). 4.2 4.1.2 electrostatic shielding 0 4.3 S Gauss 0 0 A B S 4.3:

4.1 49 0 4.3 A B 0 [ ] [ B ] A E ds =0= E ds E ds A B 0 0 0 Q Q >0 4.4 Gauss S 1 S 1 Q S 2 Q S 2 S 1 S 1 4.4: Q S 2 0 0 Q Q 0 Q Q 4.4 Q Q 0 Q

50 4 4.2 4.2.1 Laplace Poisson Laplace oulomb Gauss div E = ρ ε 0 4.1) E = grad φ. 4.2) φ div grad φ )= ρ ε 0. div grad φ )= φ )= 2 φ 2 Laplacian φ 2 φ = ρ ε 0 4.3) Poisson Poisson euation ρ =0 2 φ = 0 4.4) Laplace Laplace euation div grad φ ) = x i y j z k ) = 2 φ x 2 2 φ y 2 2 φ z 2 φ x i φ y j φ z k ) Laplacian 2 = 2 x 2 2 y 2 2 z 2. 4.5)

4.2 51 4.1 0 φr) = 4πε 0 r. r 0 Laplace r = x 2 y 2 z 2 Laplacian x 2 φ x 2 = ) ) φ x = x x 4πε 0 x x 2 y 2 z 2 ) 3/2 = 2x 2 y 2 z 2 4πε 0 x 2 y 2 z 2 ) 5/2 2 φ y 2 = 2y 2 z 2 x 2 4πε 0 x 2 y 2 z 2 ) 5/2, 2 φ z 2 = 2z 2 x 2 y 2 4πε 0 x 2 y 2 z 2 ) 5/2 x = y = z =0 0 4.2 a Q r Q r>a) 4πε 0 r φr) = [ Q 3 4πε 0 a 2 1 ) ] r 2 r a ) 2 a 3.2 Laplace Poisson Laplace r 2 = x 2 y 2 z 2 Laplacian 2 r 2 x 2 = 2 r 2 y 2 = 2 r 2 z 2 =2 2 φ = 1 Q ε 0 4πa 3 /3 a Poisson

52 4 4.2.2 Laplace 4.4) Poisson 4.3) 1) φ i 2) Q i Laplace 1) φ i Laplace φ i 0 2) Q i Gauss 4.2.3 n i i n i p ki k =1, 2, n n φ k = p ki i k =1, 2, n ) j j j φ k = p kj j k =1, 2, n ) n i i =1, 2, n

4.2 53 n 2 p kj k,j=1, 2, n φ k = p k1 1 p k2 2 p kn n k =1, 2, n ) n φ 1 p 11 p 12... p 1n φ 2 p 21 p 22... p 2n =....... 1 2. 4.6) φ n p n1 p n2... p nn n p kj j k p kj p kj = p jk 1 2nn 1) n φ k k =1, 2, n n j j =1, 2, n 4.6) 1 c 11 c 12... c 1n φ 1 2 c 21 c 22... c 2n φ 2 =.. 4.7)...... n c n1 c n2... c nn φ n c jk p kj c jk = jk 4.6) jk j k c jk k k 1V j p kj c jk c jj c jk j k n c jk = c kj 1 2 nn 1) 1 2 nn 1)

54 4 4.3 Laplace Laplace method of images 4.5 a >0 a, 0, 0) a, 0, 0) x, y, z ) φx, y, z) φx, y, z) = 4πε 0 φ x = 4πε 0 φ = y 4πε 0 φ = z 4πε 0 ) 1 [x a) 2 y 2 z 2 ] 1/2 1 [x a) 2 y 2 z 2 ] 1/2. 4.8) x a [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 y [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 z [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 ) x a [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 ) y [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 ) z [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2

4.3 55 4.5: 2 φ x 2 = 2 φ y 2 = 2 φ z 2 = 2x a) 2 y 2 z 2 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 2x ) a)2 y 2 z 2 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 x a) 2 2y 2 z 2 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 x ) a)2 2y 2 z 2 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 x a) 2 y 2 2z 2 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 x ) a)2 y 2 2z 2 [x a) 2 y 2 z 2 ] 5/2 4.8) Laplace 2 φ x 2 2 φ y 2 2 φ z 2 =0. x =0 φ0,y,z)=0 4.8)

56 4 Laplace E = grad φ ) x a E x x, y, z) = 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 x a [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 ) y E y x, y, z) = 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 y [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 4.9) ) z E z x, y, z) = 4πε 0 [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 z [x a) 2 y 2 z 2 ] 3/2 x =0 E x 0,y,z)= 2a 4πε 0 [a 2 y 2 z 2 ] 3/2, E y 0,y,z)=E z 0,y,z)=0 E y = E z =0 E x < 0 4.3 a R R >a >0 0 0 4.6 O A P D a O B A 4.6: B P 0 φ = 1 ) 4πε 0 PA PA =0 PB PB = AB : D O B=R RR = a 2 R = a2 R

4.3 57 OA φ = 1 ) 4πε 0 R a a R =0 = a R R a = a R P OP r OA OP θ AP = r 2 R 2 2Rr cos θ, BP = r 2 R 2 2R r cos θ P ) 1 φr, θ, ϕ) = 4πε 0 r 2 R 2 2Rr cos θ r 2 R 2 2R r cos θ = 1 4πε 0 r 2 R 2 2Rr cos θ ) a R 2 r 2 a 4 2a 2 Rr cos θ 4.10) P r = a φ =0 E = grad φ grad φ = φ r e r 1 φ r θ e θ 1 φ r sin θ ϕ e ϕ 4.10) E r r, θ, ϕ) = [ r R cos θ 4πε 0 [r 2 R 2 2Rr cos θ] 3/2 ar 2 r a 3 ] R cos θ [R 2 r 2 a 4 2a 2 Rr cos θ] 3/2 [ R sin θ 1 E θ r, θ, ϕ) = 4πε 0 [r 2 R 2 2Rr cos θ] 3/2 a 3 ] [R 2 r 2 a 4 2a 2 Rr cos θ] 3/2 E ϕ r, θ, ϕ) =0 r = a E r a, θ, ϕ) = 4πε 0 a R 2 a 2 [R 2 a 2 2aR cos θ] 3/2, E θ a, θ, ϕ) =E ϕ a, θ, ϕ) =0 E θ = E ϕ =0 E r < 0 4.7

58 4 O B 4.7: 4.4 a 0 R R >a 0 O R A OA O R R = a 2 /R = a/r = 0. 4.10) /4πε 0 r) E θ E ϕ E r /4πε 0 r 2 ) φ = /4πε 0 a)

4.4 59 4.4 4.4.1 φ φ = 1 4.11) capacitance F= V 1 a φ = /4πε 0 a) φ = 1 4πε 0 a =4πε 0 a φ φ = f) 1 φ 1 = f 1 ) 2 φ 2 = f 2 ) 1 2 φ 1 φ 2 = f 1 2 ) f 1 )f 2 )=f 1 2 ) f) k f) =k k =1/ F µf =10 6 F pf = 10 12 F 4.5 R =6.37 10 3 km =4πε 0 R =7.08 10 4 F = 708 µf

60 4 4.4.2 condenser A >0 B φ A φ B φ A φ B = 1 4.12) spherical condenser 4.8 a b b >a Q Q >0 r a<r<b r b Q a Q 4.8: Gauss ε 0 Er) 4πr 2 = Q Er) = Q 4πε 0 r 2 φ = b a Er)dr = Q 1 4πε 0 a 1 ) b = Q b a 4πε 0 ab = Q φ =4πε ab 0 b a 4.13)

4.4 61 b 4.13) b ab =4πε 0 b a 4πε 0 a a = b b a b a b 4.6 parallel plate condenser 4.9 S d Q d Q 4.9: Q Q σ = ±Q/S Gauss 0 A ε 0 EA= σa E = σ ε 0 = Q ε 0 S φ φ = B A E ds = Ed.

62 4 = Q φ = ε 0 S d. 4.14) S d 4.7 cylindrical condenser 4.10 a b a b 4.10: L QL r a<r<b r Gauss ε 0 E 2πrL = QL E = Q 2πε 0 r φ = b a E dr = Q 2πε 0 log b a = Q φ =2πε 1 0 logb/a) 4.15)

4.4 63 4.4.3 1 2 1 = 1 1 4.16) 1 2 = 1 2. 4.17) 4.11 1 1 2 A 1 A 3 A 2 1 1 A 1 A 2 2 2 2 4.11: 4.11 1 2 A 1 A 2 A 3 A 1 A 3 A 2 φ 1 φ 2 A 1 A 3 φ φ = φ 1 φ 2 = 1 2 φ = 1 1 1 2 4.16) 4.11 1 2 A 1 A 2

64 4 φ 1 φ 2 φ = φ 1 = φ 2 A 1 A 2 φ 1 = φ 2 1 1 2 2 = φ = 1 2 φ = 1 2 = 1 φ 2 φ = 1 φ 1 2 φ 2 = 1 2 n n 1 = n k=1 1 k, = n k. k=1 4.8 4.12 P 1 P 2 P 1 A 1 P 1 A 1 P 2 A 2 P 2 A 2 4.12: A 1 A 2 1 = /3 A 1 A 2 =4/3 4.12 4/11