The Austalian National Univesity 9 5 F n n 0,, 2, F F ě i F f F g F g 2 ij F F x. ě i F F x i i, 2, 3 2 f i ě i f f x i. 3 g ij ě i g ě j g x i ě j g j x i. 4 g ij g x g 2 x g 3 x g x 2 g 2 x 2 g 3 x 2 g x 3 g 2 x 3 g 3 x 3. 5 x i i g j j F 2 T T 3 T ijk T T ijk ě i ě j ě k. 6 tiads tiads ě i ě j ě k T ijk T ě k ě j ě i ě k ě j ě i T T ě k ě j ě k T ě j T jk. 7 x i x i x i
2 x x, y, z x,, z F c : x x x cos y sin z z 8 F F F F F x x x F x x F 9 F c J Fc J Fc x x x y y y cos sin 0 sin cos 0 0 0, J Fc 0 J Fc t x /x J Fc,, z, /, z e, e, e z e, e, e z z F x/x F t J F c F x xx F x F x, J F c J F c x e, F x F x, cos sin 0 sin cos 0 0 0 x e, F x F x, 2 J F 3 c x e z. 4 e e 0 e e 0 e 0 e e e 0 5 e z 0 e z 0 e z 0. 2
gadient f f f f f + + z e f + e f + e f z 6 f e f 7 f e f f. 8 f e f f, 9 f z e z f f. 20 I e e + e e + e z e z e e I e e e + e e + e z e z e e + e e + e e z e e. 2 e e e, 22 e z 0. 23 g g e g + e g + e z g z g g e g + e g + e z g z g e + g e + g z e z + g e + g e g e + e g + e g g z e + e + e g z + e + e g z + e g z z g g g g g + g g g g + e z e z + e e g e e g g z g z g z g e 24 divegence otation/cul g g T g e i g e i g i x i 25 3
e T e e, 26 e 0, e z 0. 27 g g e g + e g + e z g z g e g + e g + e z g z + g g + g + g + g z. 28 3 e i e j g e k e k g e j 29 i g e g + e g + e z g z e 0, e z 0, 30 e e e e z. 3 g e + g e + g z e z + g e z g e + e g + e g g z e + e + e g z + e + e g z + e g z z e z + g e z g z g g e + g z e + g + g g + e z g e g e z. 32 2 33 x f f f f x x i f i x x i + f i x x i i 2 f x x j x j x i + f i x x i. 34 i 4
x i x i x i, x i x i e e +, 35 e e e e 2 0, 36 z e z 0. 37 f 2 f 2 + 2 f 2 2 + 2 f 2 + f f + 2 2 f 2 + 2 f 2. 38 g g e i g i e i g g e i. 39 T f T f + T t T f 40 T f T T f T T f + T t T f 4 T T f T f 42 42 T f Tjk T jk e i e j e k f l e l f k e i e j 43 x i x i T T f f k T ik x i. 44 T T ij i e j 45 g e i g e i T t g e i. 46 a b a b + b a 47 5
46 g e i g e i e i g. 48 g i g i e i g T t g e i. 49 g 2, 3 e g e e e g e z g 0. e g + e g + e z g z e e e g + e g + e z g z g e g 2, 50 g e g 2, 5 52 t g e g + e g + e z g z + g e e g e e 53 T t g e T e g + e g + e z g z + g e e g e e ] e e T g e e + e g e + e g z ze + e g e e g e g 2 + g 2, 54 T t g e T e g + e g + e z g z + g e e g e e ] e e T g e e + e g e + e g z ze + e g e e g e g 2 + g 2, 55 T t g e z 0. 56 g g 2 g g g + g 2 g z g z 2 g + g 2 2 g + g 2 g 2 g 2 g 2, 57 g + 2 g 2 g 2, 58 59 6
3 x x, y, z x,, F p : x x x sin cos y sin sin z cos 60 J Fp J F p,, x, y, z x, y, z,, sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos sin 0 sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin 0, J Fp 2 sin, 6 J F p 2 sin 62 sin cos sin sin cos, cos cos cos sin sin, sin sin cos sin 0 63 e, e, e sin 64 e 0, e e, e e 0, e e, e 0, e 0, e sin e, e cos e, sin e cos e 65 e e e + e e, e, e 0, cos e e e + sin e e, e e e e cos sin, e e, cos sin e e, e 0, e cos sin e e 66 7
f f e + e f + e f sin 67 g g e + e g + e g e sin g + e + e g + e g e sin g + e + e g + e g e sin +g e e + e e + g e e + cos sin e e + g e e cos sin e e g g g g g g g sin sin + g g g cos sin g sin g g + g + g cos sin 68 g 2 2 g + sin g sin + g sin g e sin g sin g e sin g e g g sin + g + 69 70 f 2 2 cos, 2, 0 7 sin 2 f + 2 sin sin f + f 2 sin 2 72 8
e g e g 2 sin 2 sin g sin + g ] g sin + cos sin ] g e g 2 sin g sin + g cos 75 73 74 T t g e 2 2g sin + sin g sin + g ] T t g e 2 g + cos sin g + sin 2 g + cos ] g sin 2 T t g e g 2 sin + cos sin 2 g sin 2 g ] 76 77 78 g g 2g 2 2 2 sin g 2 sin 2 sin g g + 2 g 2 2 cos g 2 sin 2 g 2 sin 2 g g + 2 sin 2 g 2 sin g + 2 cos g g ] 79 80 8 4 x x, y, z x,, F t : x x x R + cos sin y R + cos cos z sin 82 R, J F t J Ft cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos R+ cos sin R+ cos 0 cos sin sin sin R + cos cos cos cos sin cos R + cos sin sin cos 0, J Ft, R + cos 83 J F R + cos 84 t 9
cos sin cos cos sin, sin sin sin cos cos, cos R+ cos sin R+ cos 0 85 e, e, e R + cos 86 e 0, e e, e e 0, e e, e 0, e 0, e cos e, e sin e, cos e + sin e 87 e x, x cos 88 e e cos e + R + cos e e, 89 e e sin e R + cos e e, 90 e cos R + cos e sin e + R + cos e e 9 e + cos R+ cos, e 0, R+ cos e sin e e, e 0, e sin R+ cos e cos R+ cos e 92 e R + x x e 93 f f e + e f + e f R + cos 94 0
g g e + e g + e R + cos g + e + e g + e R + cos g + e + e g + e R + cos +g e cos e + R + cos e e +g cos R + cos e e + R+ cos g g e e g e + g e e sin R + cos e e sin R + cos e e g g g g g g + g g g g cos g R+ cos + g g sin R+ cos + g cos g sin 95 g R + cos R + cos g + R + cos g + g ] g g e g R + cos + g sin + g e R + cos g cos g + e g g 96 97 + cos R + cos, sin, 0 98 R + cos f R + cos R + cos f + 2 R + cos R + cos f 2 f + R + cos 2 2 99
e g 2 g e g 2 g + e g R + cos 2 g sin R + cos + cos g R + cos 2 sin g sin R + cos g R + cos 2 cos g + sin g ] T t g e g 2 + ] g 2 + cos g R + cos 2 + g cos g sin T t g e g 2 ] g 2 sin g R + cos 2 + g cos g sin T t g e R + cos 2 cos g + sin g ] + g 00 0 02 03 04 05 g g g 2 2 g 2 2 cos g R + cos 2 g cos 2 R + cos 2 + g cos sin R + cos 2 + g sin R + cos g g g 2 + 2 g 2 + 2 sin g R + cos 2 g g + g sin cos R + cos 2 g sin R + cos 2 06 R + cos g sin 2 R + cos 2 07 g 2 cos g + 2 sin g ] 08 ],,. 2