み る.図2に 中 学 校 の教 科 書(数 学1)の 記 述 例 を示 す(中 学 校 で は,こ の ような教 え方 が され て い る). ただし,Apdiは,それぞれ,直線上の点,および,方向ベクトル上 式 を見 て,空 間 にお け るね じれ2直 線 の位 置 関 係 をイメ ー ジ で きる者 は い な い で あろ う.か つ て,数 学 の 先 生 と話 し て い た ときに (鈴木 先 生 は 図法 幾 何 学で 立 体 幾 何 学 を教 え る と言 うが,)立 体 幾 何学 を教 える に は解 析 幾 何 学(や 線 形 代 数)を 教 え るほ うが よい の で は な いか? とい わ れ たことが ある,そ の 際 は, 本 棚 をつ くろうと思 うときに,解 析 幾 何 学 で 構 想 で きます か? と申 し上 げ,も の づ くりに お ける 図 法 幾 何 学 の 有 用 性 を 理 解 いた だ い た(と思 う).解 析 幾何 学 は 極 め て有 用 で はあ るが,(解 析 幾 何 学 中 心 の 教 育 は)も の づ く りの 幾 何 学 教 育 として は 不 適 切 な もの と言 え よう.数 学 に お (a)2直 線 の 位 置 関係 ける幾 何学 教 育 と図 法 幾 何 学-も の づ くりの 幾何 学-教 とは一 線 を画 す べ きで あ ると考 え て い る.な お,点,直 育 線, 平 面 の解 析 幾 何 学 的 取 り扱 い は,か つ て,高 校 数 学 で そ の 一部 が 教 え られ て い たが,現 在 で は 教 え られ てい な い[8]. 以 上 述 べ てきた ように,言 葉 に よる記 述 は 不 十 分 で あ り, (b)考 察 課題 解 析 幾 何 学 による記 述 は 不 適 切 で ある.も の づ くりの 幾 何 学 教 育 の 手 段 として は 図 法 幾 何 学 が 最 も優 れ て い るもの と思 図2ね じれ2直 線 言葉(+ポ ンチ絵)による記 述 わ れ る. 3.2.相 貫 文 部 省 の 指 導 要 領 解 説 に は,こ の 単 元 で の 指 導 上 の 注 意 点 として,...形 式 的 な位 置 関 係 の分 類 の 結 果 を しらせ る だ けで は な く,...直 線 と平 面 の 位 置 関 係 の とらえ 方 が 生 か されるような具 体的 な空 間 図 形 の 考 察 場 面を 取 り入れ,実 るように配 慮 す る必 要 があ る.(下 線 筆 者) として い る.し か 体 をい くつ か 組 み 合 わ せ て 一相 貫 一 望 み の 形 状 を生 成 す 係 の応 用 に しか 過 ぎな い が,形 状 構 成 法 として重 要 で あ る. 図3bに,三 し,実 際 の 教 育 現 場で 立 体 を 作 った り観 察 した りす る教 育 が 角 柱 と三 角 柱 を例 に,図 法 幾 何 学 にお ける相 貫 の解 法 を示 す. どこまで 行 わ れ て い るか は 疑 問で あ り, 形 式 的 な 位 置 関 係 1)三 角柱(A)の 稜線 と三 角 柱(B)の 面(分)の 交 点 を求 め る. の 分 類 結 果 を しらせ る だ け に終 わ って しまって いるようにも 三 角 柱 を入 れ 替 えて 同 様 な 操 作 を行 う-す な わ ち ンチ,三 角 柱 (B)の稜 線 と三 角 柱(A)の 交 点 を求 め る 絵)に よる説 明 は 計 量 性 に欠 け,も の づ くりの 幾 何学 として ここで,図1の は 不 十 分 であ る. 例 で は,稜 線 と面 との 交 点(1,2,3,4)を 求 め るの に,三 角 柱Aの 次 に,解 析 幾 何 学(ベ クトル 解 析)に よる記 述 に つ い て 見 て み よう.解 析 幾 何 学 で は,ね じれ2直 ら出 発 して不 要 部 分 を取 り除 いた り一切 断 一,逆 に,基 本 立 る.切 断 と相 貫 は,幾 何 学 的 に は,点 直 線 平 面 の 相 互 関 際 に 立 体 を 作 っ た り観 察 した りす る活 動 を通 して 理 解 で き 思 わ れ る.い ず れ にせ よ,中 学 校 に お け る言 葉(+ポ わ れ わ れ が 何 らか の 形 状 を生 成 す る際 に は,基 本 立 体 か 側 面 が 平 面 図 で 直 線 視図 となって い る ことを利 用 して い る.ま た,交 点(5,6)を 求 め るの に,稜 線5-6 線 は 以 下 の ように記 を含 む 鉛 直 面 で 両 三 角 柱 を切 断 し,そ の 断 面 図 を利 用 して 述 され る. い る.な お,交 点(5,6)も 副 投 影 を作 成 す ることに より直 線 視 図 を利 用 して求 め ることもで きるが,切 断 に よって3次 元 の 137 空間にある2直線の位置関係には,次の3つの場合がある.図2aの(ウ)のように,2直線が交わらないが平行ではないとき,この2つの直線はねじれの位置にあるとい

た りせ ず に 作 成 す ることは で きな い ことを意 味 して い る.展 わ ざ複 雑 な 工 作 法 を採 用 す べ きで は な い.上 述 した双 曲 放 開 図 か らの 作 成 は,板 金 加 工 にお い て 多 用 され て お り,曲 物 面 を例 に 言 え ば,放 物 線 あ るい は,双 曲線 の エ レメン ト 面 の 可 展 非 可 展 開 性 は もの づ くりの 観 点 か らは 重 要 で あ をもつ(図5b)こ る. 状 の 部 材 を切 り出 し,これ を重 ね て も,原 理 的 に は 作 成 可 能 双 曲放 物 面 は 直線 エ レメン トを 有 して い る.こ の ことは,こ とか ら,板 か ら放 物 線 状,あ るい は,双 曲線 で ある.し か し,加 工 は 大 変で あり,わ ざわ ざこの ように製 作 の 曲 面 が 定 規 に よっ て作 図 で きる ことを 意 味 して い る.し す ることは なく,直線 部 材-材 か し,直 線 エ レメン トを有 す ることは,定 規 で 作 図 で きるだ け (図6) で な く,直 線 状 の部 材-例 木-を 用 い て 作 成 され て いる え ば,材 木-を 使 用 す ることに よ って製 作 で きることを意 味 して い る. 図 学 関係 者 の なか にも 図 法 幾 何 学 は 点 直 線 平 面 多 面 体 まで の 取 り扱 い に は 適 して い るが,曲 面 の 取 り扱 い は 苦 手 で あ り,(従 来 の 曲 面 に 関 す る図 法 幾 何 学 的 内 容 に つ い て教 える必 要 は な く,)コンピュー タで扱 った ほ うが よい と の 意 見 が 聞 か れ る. 図6双 曲 放 物 面 の 応 用 例[11] ここで は,紙 数 の 関 係 上,双 曲 放 物 面 に限 って 述 べ てきた が,歯 車 や 道 路 の 土盛 に 使 用 され てい るヘ リカル コンボ リ ュー ト面 な ど の 各 種 曲 面 や 曲 線 曲 面 に 関 す る基 礎 概 念, (a)直 線 エ レメン ト 分 類 な ど,図 法 幾 何 学 で 取 り扱 って きた 曲 面 教 育 の 重 要 性 は,3D-CAD/CGが 普 及 した現 在 に お い ても,い ささか も失 わ れ て い な い もの と考 え てい る. 4.ま とめ 本 稿 で は,図 法 幾 何 学 教 育 の 重 要性,お よび,技 法 中心 (b)双 曲 線 放 物 線 エ レメン ト 図5双 か ら幾 何 学 中 心 へ の 図 法 幾 何 学 教 育 の 転 換 の 必 要 陸 に つ い て,具 体 的 な 授 業 内 容 に 即 して述 べ て きた.紙 数 の 関 係 曲放物面[11] 上,限 られ た 具 体 例 に つ い て しか 触 れ られ な か っ た が,本 近 年,CADお よび 工作 技 術 の 発 達 により,自 由 曲面 の 設 稿 で 紹 介 した授 業 に つ い て は,全 授 業 をデ ジ タル ビ デ オ 計 や 加 工 が 可 能 にな り,自 動 車 や 航 空 機 の ボ デ ィー な どの に 収 録 してある.著 作権 上の 問題 もあり,Webで 製 作 に利 用 され るように な ってきた.し か し,実 際 に もの を作 は してい ない が,図 学 教 育 関係 者 に は 提 供す る用 意 が あ る る場 合 に は,よ り簡 単 な 工 作 法 で 作 成 可 能 で あれ ば,わ ざ の一般公開 -ご 興 味 が ある方 は 筆 者 にご連 絡 い ただ きた い 139