Phase-field by T.Koyama
Phase-field da da a( ) a + { } a d + d δ (-) δ (-) eigen a a a ε ε δ δ (-) da ε (-4) a d ε ε + δε ( ) (-5) δε d (-6) V u ul δεl + l (-7) eigen el ε ε ε (-8) σ el C ε el C { ε ε } (-9) l l l l l σ el, j el σ ( ) (-) j (-9),(-)(-7) C u δ l Clεδ l j l j (-)
d d δ δ ex( i ) { δ ex( i ) ( π) ( π) (-) d d ui ui ex( i ) { ui ex( i ) ( π) ( π) (-) d d δε δε ex( i ) { δε ex( ) ( π) i ( π) (-4) (-) C u δ l Clεδ l j l j C u ic εδ δ l j l l l j C u ic εδ δ l j l l l j (-5) G ( ) C (-6) i l j l σ C ε δ (-7) l l u ig C εδ δ ig σ δ (-8) i l l j i j (-7) δε i { ui j + uj ( ) i} (-9) (-8) δεl i { u l + ul } iu l iig σδ G C εδ δ i j l i l j mn mn (-) δε l el el Est Clε εl { C { l ε + δε ε εl + δεl εl d (-) ε ε ε ε δε ε (-) el +
{ E }{ st } Cl ε + δε ε εl + δεl εl Clε εl + Clε δεl Clε εl Clδε εl Clδε δεl Clδε εl + + d Clε εl Clε δεl + Clε εl l l l l l l C ε ε d+ C ε δε C d ε ε + Clδε εld + Clδε δεl d Clδε εl d Clεi j εld Clε δεl + Clε εl l l l l l l C ε ε d+ C ε d C d δε ε ε + Clεl δε d + Clδε δεl d Cl δε ( ) εl d Clεl ε Clε δεl + l l C ε ε Clε εl d + Cl ε εl d Cl δε εl d + Clδε δεl V C lε εl + Clδδ lε { δ Cl δε εl (-) V V d Clε εl + Clδδlε { δ} niσω j σlnl δ n ( π ) n / δε d ε d δ ε δ d C δε ε d C δε δε d (-4) l l l l Phase-field eigen { } + ε ε δ δ ε (-) el + ε ε ε ε δε ε δ { δ } ε s ( ) (-)
σ el C ε el C { ε ε } (-) l l l l l d d δ δ ex( i ) { δ ex( i ) ( π) ( π) d d s { δs ex( i ) { δs ex( i ) ( π) ( π) d d δε δε ex( i ) { δε ex( i ) ( π) ( π) d d ui ui ex( i ) { u ex i i ( π) ( π) (-4) σ [ { ] el u εl Cl εl εl Cl Cl j j j l j u l δ l l lεδ l l εl j l j j j C C C + C C u ic εδ { δ} i C ε { s } l j l l l j s j l l s i lεδ l j{ δ } i j lεl { } u ig C ig C s i σ j{ δ } i j σ { } ig ig s (-5) δε i { u + u } iu l l l l i σ j l{ δ } i j l σ { } G + G s (-6) 4
el el el el Est Clε εl σ ε el el { { σ ε ε σ ε + δε ε el el el σ ε d + σ δε d σ ε d el el el el σ, ε d+ σ s ui s nj s ds σ j ui s d σ ε s el el d d σ ε σ ε el el Clεl ε d Clεl ε d Cl{ εl + δεl εl } ε d { Cl εl + δεl εl ε l l l l l l l l C ε ε d+ C δε ε d C d C d ε ε ε ε + Clε εl d Clε δεl d Clε εld Clε εl + Cl l d ε ε Clε δεl d (-7) Clε εld Clε εl + l l C ε ε Clε εld Clε εδl{ δ + εl d s s + εδ{ δ ε εδl{ δ εl ( + + ) d Clεεld Clεεδl{ δ d Clε εl d + { d { s d s s d + + εδδ l δ εδ l δ ε ε εl q, q (-8) (-7) 5
Clε δεl Cl { l d εδ δ + ε δε C d + C s d lεδ { δ } δεl l ε δεl d C + C lεδ { δ } δεl lε ( π ) d C C s + lεδ { δ } lε { δ } δεl π { δ δεl( ) π s s d σl{ δ + σl { δ Gi ( ) σjl{ δ + Gi ( ) jl σ { ( π ) s s d { { { { Gi jl σl δ + σl δ σ δ + σ ( π ) d G + G s } sq jσ i σl l{ δ } { δ } { { jσ i σl l δ ( π ) sq q, d + + jσ Gi σll{ δ} { } { { jσgi σl l δ δ ( π) ( π) d + sq jσgi σll{ δ { δ jσ Gi σl ( π ) q, s d s s l{ δ { q d ( π ) d ( π ) d + jσ Gi σll{ δ} { } ( π ) (-9) d d d δ δε d { δ} ex( i ) δε ex( i ) ( π) ( π) d d { δ δεl ex{ i( + ) } d ' ' ' ' ( π) ( π) l l d d' { δ} δεl ( ' ) δ( + ' ) ' ( π ) ( π ) d { δ} δεl π d (-) d { } ( ) (-) π ε δεl d ε δ δεl (-8)(-9)(-7) 6
Est Clε εld Clε εl + Cl l d Cl l d ε ε ε δε C d C d C s d lε εl lε εδl{ δ lε εl s + εδδ l{ δ d + ε δl{ δ} ε d + ε εl sq d jσgi σll{ δ { δ ( π ) jσ i σl l{ δ } { } G s sq jσ i σl l{ δ } { sq G s, q d ( π ) } lε εl ε lεl lεδδl ( δ ) sq lδε εl ( δ ) l ε εl q, q d ( π ) V V C V C s + C V + VC s + C s s d jσgi σll{ δ { δ ( π ) q, q, j σ G s i σl l{ δ { d ( π ) s d q jσ Gi σl l{ δ { sq ( π ) (-) ε (-) ε a ε ε a (-) 7
Est (-) (-) E st ε l εl lεl lεl VC V C s (-4) G E Vσ ε (-5) a st G (-6) (-5)(-) G VC V C s V a lεl lεl σ a l Cl l ε σ + ε (-7) C C S l l l hase-field hase-field (-8) [] el el Est Clε εl d Cl{ ε δε ε }{ εl δεl εl } + + (4-) [] 8
E C d C d C Cl{ ε ε { εl + δεl εl d el el el el st lε εl lεl ε lεl ε d (4-) (4-)δε hase-field (4-) δε hase-field δε hase-field (4-)δε hase-field (4-) (4-)(4-) E st C { ( l εl + δεl εl )} (4-) (4-) E δε { + + { st l C l εl δεl εl Cl ε ε C C + C l l{ εl εl } lδεl l{ ε ε } C ε ε C δε l{ l l l l δε { ( δεl l{ ε ε } ε ε + C { δε C C C { } l l{ εl εl } lδεl l{ ε ε } ε ε Cl{ εl εl } Clδεl Cl{ ε ( ε + δε ε C l { l l l } δε l ) ε } { ε ε } ε ε )} (4-4) δε { ε ε } l δε { ε ε } l δε ( ) δε { ε ε } l ε ε δε δε δε { ε ε } l l l l δε δε ε ε { ε ε } l l δε l { ε ε } δε l { ε ε } (4-5) 9
Est E st el Clε l C { { l εl + δεl εl Clε δ εl + δεl εl } E s s s st Est el C lε l ε C ε + δε ε l{ l l l } s s Clε { εl + δεl εl } (4-6) s εδ s ε s (4-7) d δε δε ex( i ) ( π ) G + G s i i σl j l{ δ } i j l σl { } ex( ) ( π ) G + s i d i j l σl { δ } σl { } ex( ) ( π ) s d Gi ( n) njnl σl { δ } + σ l { } ex( i ) ( π ) d (4-8) eigen eigen eigen eigen eigen (-)eigen σ
s σ Clεl Cl εδl{ δ} + εl (5-) lεδ l{ δ lεl σ{ δ σ ( C + C s + s ) σ { σ } { σ σ ex( i ) s σ{ δ} + σ ex( i ) d (5-) σ { δ}ex( i ) d+ σ s ex( i ) d { } { } σ δ + σ (4-8) d δε δε ex( i ) ( π ) G n n + s i d G n n n i i ( n) j l σl{ δ } σl { } ex( ) ( π ) i j l{ σ l ex π d (5-) (4-8) eigen (5-)