( ) Note 7 19 12 6 7 7.1 1922 1929 1947 WMAP 2003 1. > 100Mpc 2. 10 5 3. 1. [ ] dr ds 2 c 2 dt 2 a(t) 2 2 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) a(t) (r, θ, φ) * 1) a(t) 2. v H 0 dz v dz H 0 H(0){ H(t) ȧ(t)/a(t)} dη(t) dt a(t), l(r) Z r 0 dr 1 kr 2 η (conformal time) l(r) ( ) r ( ) ds 2 0 c{η(t 0 ) η(t)} l(r) (3) r r t t + δt r 0 t 0 t 0 + δt 0 (3) δη(t 0 ) δη(t) δt 0 a(t 0 ) δt a(t) (2) (4) * 1) a 1
λ ν δt 1/ν νa(t) ν 0 a(t 0 ) ν 0 a 0 (5) ν λ 0 ν 0 λ 1 + z a 0 (6) a(t) (peculiar velocity) (λ 0 > λ) (1+z) ( ) v << c v/c a 0 /a(0 dt) 1 + [da/dt t0 /a(0)]dt 1 + H 0 dt ( ) k * 2) 1 + v c 1 + H 0dt v H 0 (cdt) H 0 dz (7) k +1 k 0 k 1 1:, >, < π ( 7.8 ) dl 2 dx 2 + dy 2 + dz 2 dr 2 + r 2 [dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ] (8) 3 r 2 x 2 + y 2 + z 2 (x,y,z,u) ( ) k 0 ds 2 du 2 + dl 2 du0 dl 2 * 2) r r k (13) 2
k+1 r sinψ x Rsinψsinθcosφ y Rsinψsinθsinφ z Rsinψcosθ u Rcosψ dr2 1 r 2 dψ2 (9a) (9b) (9c) (9d) (9e) dx 2 + dy 2 + dz 2 + du 2 dr 2 + R 2 [dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )] x 2 + y 2 + z 2 + u 2 R 2 (10a) (10b) dr 2 0 4 a(t) R k-1 r sinhψ x Rsinhψsinθcosφ y Rsinhψsinθsinφ z Rsinhψcosθ u Rcoshψ dr2 1 + r 2 dψ2 (11a) (11b) (11c) (11d) (11e) dx 2 + dy 2 + dz 2 du 2 dr 2 + R 2 [dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )] u 2 x 2 y 2 z 2 R 2 (12a) (12b) 4 3 k ±1,0 r 1 a r a 0 a(0) 1 k R a(t) a (t)r, a (0) 1 Rr r a a r r [ ] dr ds 2 c 2 dt 2 a 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) a(0) R (13) [ c 2 dt 2 a 2 dr 2 ] (t) 1 k(r 2 /R 2 ) + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) a(0) 1 (14) a 0 1 k/r 2 k0 R a 0 1 k ±1, 0 a 0 1 r/r O(1) R (31) R c/h 0 140 3
7.2 G, k, Λ a(t), ρ, p 3 H 2 8π kc2 Gρ 3c2 a 2 + Λc2 3 ä a 4πG Λc2 (ρ + 3P) + 3c2 3 1/3 P wρ, w 0 * 3) 1 (15) (16) (17) G ρ ρ M +ρ r P Λ R µν 1 2 Rg µν Λg µν 8πG c 3 T µν (18) d 2 a dt 2 G M a 2, M 1 ) (ρ c 2 + 3P Λc4 4π 4πG 3 a3 (19) 1 ρ/c 2 ( ) ρ Λ Λc2 8πG (20) ρ ρ m ρ r ρ ρ m + ρ r + ρ Λ (21) (P ρ Λ ) Λ d(ρv ) + pdv 0 (22) 7.1. (P ρ Λ ) 7.2. (15) 1 (22) * 3) 4
(22) V a 3 (17) dρ dρ 3da 3(1 + w)da ρ + p ρ (23a) a 4 (w 1/3) ρ a 3 (w 0 ) constant (w 1) (23b) ρ rad T 4, ρ m T 3 T 1 1 + z a (24) 7.3 2: R R v P R M (4π/3)ρ m R 3 1 2 v2 4π 3 Gρ mr 3 R E (25) E > 0 E < 0 v HR R a r R ar H 2 8π 3 Gρ m + 2E/r2 a 2 (26) 2E/r 2 kc 2 E 0 (k 0) ρ c 3H2 8πG 5 (27)
ρ ρ c (k 0) { (23b) } ρ c 1.88 10 29 h 2 g/cm 3 10.5 h 2 kev /cm 3 (3meV ) 4 h 0.71 ± 0.1 (28) 1 Ω ρ/ρ c Ω (15) (16) Ω m + Ω r + Ω Λ 1 Ω k, Ω k c2 k H 2 a 2 (Note : k 1 R 2 ) (29) q 1 ( 1 + 3 p ) Ω m Ω Λ q 2 ρ ä/ȧ ȧ/a ä ah 2 (30) q Ω Ω m Ω Λ 1, Ω r 0 Ω k O(1) (29) Ω k (t 0) c2 R 2 H 2 0 1 Ω m Ω r Ω Λ O(1) R c H 0 13.8Glyr 4.2Gpc (31) Ω k 0.011 ± 0.012 R Ω Ω(t 0) H 2 8π kc2 Gρ 3c2 a 2, ρ ρ m + ρ r + ρ Λ (32) a 2 (23) ρ m a 3, ρ r a 4, ρ Λ const. (a 0) ρ m 1/a 3 H ȧ/a (32) a t 1/2 da dt A a a t 2/3 (33) a e H Λt, H Λ 8πG Λ 3 ρ Λ 3 a H ȧ/a a t 1/2 H 1 1 2 t a t 2/3 H 2 1 3 t a e H Λt H H Λ (34) (35a) (35b) (35c) H 1 6
物質と輻射の拮抗時期 物質エネルギー密度は ρm a 3 輻射密度は ρr a 4 であるから 過去にさかのぼれば 輻射優勢となる 両者が拮抗する時期 (z zeq ) の目安は とりあえず真空エネルギー項を無視すれば ρm ρr ( ρm0 a3 /a30 )( a4 /a40 ρr0 zeq 1 + zeq Ωm0 ) ρm0 (1 + z)3 Ωm ρr0 (1 + z)4 Ωr (1 + z) ρc 1.054 10 5 h2 GeV cm 3 0.128/h2 5180 ρr 0.2604 (T /2.725)4 ev cm 3 (36a) (36b) この時刻を概算すると a0 1 + zeq aeq ( t0 teq )2/3 teq 13.8Gyr t0 7.3 万年 (1 + zeq )3/2 (3300)2/3 (37) この時刻は宇宙の再結合 (晴れ上がり) 時点 (z 1100, t 40 万年) よりほんの少し前である 地平線 観測者に影響を及ぼすことのできる (因果関係にある) 事象位置の最大半径を (粒子) 地平線という 観測 可能な宇宙の最大半径と言っても良い これは r 方向に伝播する光の到達距離として与えられる 実際の距離は共 動座標系での距離にスケール因子 a(t) を掛けて得られるから 光の経路 ds2 0 を考慮すると Z r Z t 2ct ch 1 輻射優勢 dr cdt dh (t) a(t) a(t) 3ct 2H 1 物質優勢 0 0 a(t ) 1 kr2 (38) 輻射優勢時期はごく初期 時間にして 10 万年までであるから 宇宙年齢の大部分は物質優勢であったとすれば 現在の地平線の大きさは宇宙年齢に光速をかけた量のほぼ３倍の距離となる 7.4 宇宙の曲率決定 空間の曲率を決める原理図を図 3 に示す ３角測量を行い ３角形の内角の和が 180 より大きいか小さいかで判 断する 曲面の幾何学の大家ガウスはドイツの３つの山で３角測量をして 地球空間の曲率を決めようとしたが 距離が小さすぎてユークリッド幾何学からの差は見ることができなかった 現代の３角測量は D として晴れ上 がり当時の (音波) 地平線 ( 40 万光年) Ｌとして宇宙の差し渡し距離 138 億光年を使う 図 3: (左) 空間の曲率は３角測量をして内角の和が 180 より大きければ閉じた空間 小さければ開いた空間である 視差角は開いた空間であ ればユークリッド幾何で与えられるものより小さく 逆に閉じた空間であれば大きい 曲面の幾何学の先駆者ガウスはドイツの３つの山で３ 角測量をしたが 平坦空間からの差は見つけられなかった 現代の３角測量は D として晴れ上がり当時の (音波) 地平線 ( 40 万光年) Ｌ として 138 億光年を使う (右) 宇宙マイクロ波の温度ゆらぎは 音波による圧力の強弱を反映していて TV 画面のノイズに似ている ノイズのスペクトルを分析をす れば TV 画面のサイズをを D として λ 2D/n, n 1, 2, の波長の所に定常波ができるので強度が大きくなる すなわち TV のノイズ分 布より TV 画面サイズが判る 同様にマイクロ波の強弱から音波地平線の大きさが判る 7
晴れ上がり時の音波地平線は宇宙マイクロはのスペクトル分析より得られる 宇宙マイクロ波は圧力の強弱によ り音波を発生する 宇宙マイクロ波中のフォトン 電子 バリオンのプラズマはつながれたばねのように振動し 音速は 1/3c でほとんど光速に近い ビッグバン以降の音波の最長到達距離を音波の地平線 音速 宇宙時 刻 と言い 再結合時の音波の地平線長は ds 147 ± 4(Ωm h2 /0.13) 0.25 (Ωb h2 /0.024) 0.08 M pc と計算できる* 4) この長さを地球上から眺めて視角を測定すれば 再結合時点に発せられた宇宙マイクロ波の地球へ至る経路も既 知であり da 13.7 ± 0.4 Gpc と与えられるので 視角を測定してユークリッド幾何学公式からのずれを見れば 宇宙の曲率を定めることができる θa ds 147M pc 0.011 0.63 da 13.7Gpc (39) 音波は (音波) 地平線の長さを D として λ 2D, 2D/2, 2D/3 の波長の所に強い山を持つので ノイズ分布のス ペクトル解析をすれば D (より正確には視角 θa ) が判る これは TV の箱の大きさを知らなくても TV 画面のノ イズ分布解析より TV 画面サイズが判るのに似ている スペクトル分布を調和関数で展開したときの次数 ℓ は大体 見込み角 θa 180 /(ℓ + 1) に対応する* 5) 上記の音波地平線の見込み角 0.63 は ℓ 280 に相当し 観測 (図 4 右) と合っている すなわち平坦宇宙の幾何学が成立している WMAP の詳しい観測値からは Ωk 0.01 ± 0.012 (40) と決められた 図 4: (左) 空間の曲率により観測されるノイズ分布が変わる BOOMERANG による観測は平坦宇宙であることを示している (右) WMAP 観測の宇宙背景輻射強度を調和関数展開した強度分布 調和関数の次数 ℓ は 見込み角 θa と θ 180 /ℓ の関係にある 最初の 山の位置 ℓ 200 が音波の地平線サイズを表すので 理論値と比較して宇宙の曲率が決められる 7.5 宇宙の時間発展 宇宙の時間発展はフリードマン方程式に従うが 曲率やエネルギー密度の値により様々な形態がある ここでは 曲率や密度を自由なパラメターとしていろいろ変えた時 時間発展の様子がどのように変わるかを概観する ビッ グバンの無い解もある フリードマン方程式 H2 ( )2 k a 8πG ρ 2 a 3 a * 4) (41) 現時点での大きさ 再結合時の大きさは zdc 1100 で割る ルジャンドル関数で展開した場合 ℓ 次のルジャンドル関数は ℓ 個のゼロ点を持つので 0 θ π を ℓ + 1 分割した時の成分を取り出し て見ていることになる * 5) 8
( ) ρ c 3H 2 0 /8πG, Ω Λ k/a 2 0 H2 0 1 a 2 0 H2 0 ( ) da 2 ( a0 +U(a) Ω k, U(a) [ Ω m dt a ) ( a0 ) ( ) ] 2 a 2 + Ω r + ΩΛ a a 0 (42) dτ H 0 dt a 0 1 1 ( ) da 2 +U(a) Ω k, U(a) Ω m dτ a Ω a 2 Ω Λa 2, Ω k 1 Ω m Ω Λ (43) 5: Ω Λ < 0 Ω Λ 0 Ω k 0, Ω Λ > 0 a a 0 1 > a s (Ω Λ < 0) a a 0 ( 5 ) (Ω Λ 0) a U 0 k > 0 1:1 ( 5 ) (Ω Λ > 0) a 0, a a s U U s ( 5 ) 1. Ω k > U s k 0 Ω k > U s ȧ > 0 a > a s 2. Ω k < U s U 1 Ω m Ω Λ Ω Λ λ 1 > λ 2 a (Ω Λ > λ 1 ) a 0 (Ω Λ < λ 2 ) 3. Ω k U s (a) a 0 a a s a s (b) a a s (c) a a s (c) Ω k U s < 0 4 9
6: ( ) (E-L ) ( ) Ω Λ Ω m Ω m 0.25, Ω Λ 0.75, Ω k 0 a < a s a a s a 1 Ω Λ Ω r0 + Ω m0 /2 Ω k 0 Ω r 0 a s (Ω m /2Ω Λ ) 1/3 < 16 a t 2/3 1 a s 1 + z s ( t0 t s ) 2/3, t s t 0 Ωm 2Ω Λ 137 0.42 57.4 z s 0.79 (44) 7.6 ( ) 10
は光速の一定速度で拡がりつつある その少し内側では膨張速度が光速よりやや小さいが 加速膨張であるから しばらくすれば光速を越えるので地平線を追い越し 結果として地平線は内側に縮むのである ただし これは 膨張に相対的な話であって地平線そのものの大きさは ct で拡がってゆく この結果 見えていた遠くの銀河は 次々と地平線の彼方に消え去るので 1000 億年もすると見渡すかぎりの宇宙には 今は近傍にいる数個の銀河し か残らない (図 7) 宇宙の終末は寂しく しかも (文字通りの意味で) 暗い もっとも 50 億年先には 天の川銀河 はアンドロメダと衝突して混沌としていよう ただし 銀河は十分大きく星の分布密度は小さいので 星同志が 衝突する心配はする必要がない 図 7: 寂しき宇宙の終末 上段は減速膨張で地平線 (赤い球面) は参照面 (青い球面) より速い速度で拡がってゆくので 見える銀河の数は増え 続ける 下段は加速膨張で参照面は地平線より速く拡がり 見える銀河 (地平線内の銀河) の数は減少してゆく 1000 億年後には 広い宇宙に 近傍の銀河数個しか残らない しかし 暗黒エネルギーの正体まだ解明されていない もし 加速膨張の原因がスカラー場であるならば い ずれはポテンシャルの底に落ち着く もし このポテンシャルの最低値がゼロであるならば 宇宙は再び物質優勢 に戻り減速膨張に転じる もし ポテンシャルの最低値がマイナスであるならば これは負の宇宙項に相当する から いずれは物質エネルギーとポテンシャルエネルギーが相殺し収縮に転じることになる 最低値が正値であ るならばどんなに小さい値でも加速膨張が絶えることは無く 永遠に膨張し続ける 宇宙の行く末は暗黒エネル ギーの解明にかかっているのである 7.7 補 遺 補遺１ 真空エネルギーが負の圧力を持つことの証明 証明 7.1: 真空が断面積 S 体積 V の管の中に閉じ込められているとしよう エネルギーは E ρv V で与えられ る ここで 力 F を管壁に加えて x 動かした場合のエネルギー増加は E ρv xs となる (図を参照) 従って 圧力 P は P E F ρv S x 11 (45)
8: 2 1 du pdv, U ρv dρ dv p ρ (ρ + p) (46) 7.8 ( ) 2 2 2 2 ( ) ( 9) 9: : a y b x 7.3. 3 180 500 5 2000 5 19 5 12
( 1) 13