米田 戸倉川月 7 限 193~21 西 5-19 応用数学 A 積分定理 Gaussの定理 divbd = B nds Stokesの定理 E bds = E dr Green の定理 g x f y dxdy = fdx + gdy = f e i + ge j dr Gauss の発散定理 S n FdS = Fd
1777-1855 ドイツ Johann arl Friedrich Gauss Gauss の磁場の単位 Gaussian 分布 1819-193 アイルランド Sir George Gabriel Stokes Navier Stokes equations Stokes 光
George Green 1793 ー 1841 Green theory Green function
1795 年 7 月 22 日 - 187 年 5 月 1 日 ラメ定数 ラメ関数 共立出版ロマルフスキー著応用数学の基礎 など
Gauss の定理 divbd = B nds r q + ds E Green の定理へ
Stokes の定理 E bds = E dr S b E(r) ds E(r) dr
Green の定理 面 境界線 ただし は左向き g x f y dxdy = fdx + gdy = f e i + ge j dr
Gauss の定理の証明 A d = A n ds Gauss の定理証明 1. 例えば A = φ(x, y) ψ (x, y) とする 左辺 = A d = φ(x, y) x ψ (x, y) y dxdydz = X Y φ(x, y) x ψ (x, y) y dxdy z S1 φ x ψ y dxdy = (φdy ψdx)
Gauss の定理の証明 1. A d = Gauss の定理 φ(x, y) A = ψ (x, y) A n ds = S1 A n ds A n ds + S2 A n ds + S3 A n ds = S3 (φ cos α ψ sin α) ds = Δz (φ cos α ψ sin α) ds = Δz (φdy ψdx) S1 φ x ψ y 2. 積分を以下の円筒と考える dxdy = dy dx (φdy ψdx) z S2(X-Y) S1(X-Y) y ds a a n2 = n1 = 1 S3(z) 1 n3 = x cos α sin α
Gauss の定理の証明 A d = Gauss の定理 1. 例えば A n ds A = とする 2. 積分を以下の円筒と考える φ(x, y) ψ (x, y) z S2(X-Y) n2 = 1 S3(z) 証明 A d = φ(x, y) x ψ (x, y) y dxdydz = X Y φ(x, y) x ψ (x, y) y S1(X-Y) dxdy z n1 = 1 n3 = cos α sin α A n ds = S1 A n ds + S2 A n ds + S3 A n ds = S3 (φ cos α ψ sin α) ds = Δz (φ cos α ψ sin α) ds = Δz (φdy ψdx) dy dx y ds a a x S1 φ x ψ y dxdy = (φdy ψdx)
ところで法線ベクトルとは case 1 ある曲面がg(x, y, z)=constantというように表されているならば 法線ベクトルnは n = g g case 2 曲面が r = r(u, v) で表される時 u d r du, d r dv をこの曲面に接している線として v n = ± r u r u r v r v を法線ベクトルとする
使い方 例題 1 Gauss の定理 A d = A n ds, を球 Aを x 2 + y 2 + z 2 = 1 F = 4xe x + 4ye y 2ze z とする z 法線ベクトル n を求める g x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 y g = 2xe x + 2ye y + 2ze z g = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 2 n = g g = (xe x + ye y + ze z ) x 面が決まる =>(x, y, z) が (x, y) になる r = xe x + ye y + ze z xe x + ye y + f(x, y)e z e z 面積分を x, y 平面に投影させる S F ds = F n 1 n e z dxdy 傾いている効果 ds F n dxdy ds
上半分 F ds = S 上 F n 1 n e z dxdy = (4xe x + 4ye y 2ze z ) (xe x + ye y + ze z ) 1 (xe x + ye y + ze z ) e z dxdy (4x 2 + 4y 2 2z 2 ) = 4x 2 + 4y 2 2 1 x 2 y 2 = 6x 2 + 6y 2 2 ( 1 x 2 y 2 ) x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 3x2 + 3y 2 1 1 x 2 y 2 dxdy = ξ = 1 r 2, dξ = 2rdr 2 3r2 2π 1 1 r dθrdr = 2 dθ 2 1 2p 1 3 1 r 2 + 1 rdr 1 r 2 3 ξ 2 ξ dξ = 3 2 3 ξ3 2 ξ 1 2 1 = 1 = 4p x 2 上下 = 8p F = 4xe x + 4ye y 2ze z div Fd = 4 + 4 2 d = 6 4π 3 = 8π 球の体積 これが Gauss の定理
演習問題 1 S:x 2 + y 2 + z 2 = 9, F = 6x e x + 6ye y z e z としたときに S F ds と div Fd を計算しなさい まず S F ds Step 1 Sの表面の法線ベクトルの関数を求める n = g g g = 2xe x + 2ye y + 2ze z g = (2x) 2 +(2y) 2 +(2z) 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 6 n = 1 3 (xe x + ye y + ze z ) Step 2 面積分を x, y 平面に投影させる S 上 F ds = F n 1 n e z dxdy (1) F n を計算 n e z を求める F n = 2x 2 + 2y 2 1 3 z2 = 1 3 6x2 + 6y 2 9 x 2 y 2 = 1 3 ( 9 + 7 x2 + y 2 ) n e z = 1 3 z = 1 3 9 (x 2 + y 2 )
Step 2 (2) S F ds = F n 1 n e z dxdy を計算する (x = r cos θ, y = r sin θ として r 2 = x 2 + y 2 を考えて ) F n 1 n e z dxdy = 9 + 7(x 2 + y 2 )) 9 (x 2 + y 2 dxdy F n = 1 3 ( 9 + 7 x2 + y 2 ) n e z = 1 3 9 (x 2 + y 2 ) dxdy rdθdr = 7r 2 9 9 r 2 dθrdr = 2π dθ 7r 2 9 9 r 2 rdr ξ = 9 r 2, dξ = 2rdr と置くと S の境界は r = -> 3 = π 7 9 ξ 9 ξ dξ = π 54 2ξ 1 2 7 2 3 ξ3 2 9 = 198π 上半分なので 全部の S 表面では 396π Step 3 div F d を計算する F = 6x e x + 6ye y z e z div F = 6 + 6 1 = 11 div F d = 11 4π 3 33 = 396π 球の
演習問題 2 やってみましょう S: x 2 + y 2 + z 2 = 1, F = ye x xe y + ze z としたときに S F ds と div Fd を計算 Step1: S の表面の法線ベクトルの関数を求める n = g g Step2: F n を計算する n e z を求める S 上 F ds = F n 1 n e z dxdy のため Step 3: S F ds = F n 1 n e z dxdy を計算する 途中 x = r cos θ, y = r sin θ として r 2 = x 2 + y 2 ξ = 1 r 2, dξ = 2rdr Step4: div F d を計算する
Step1: S の表面の法線ベクトルの関数を求める S: x 2 + y 2 + z 2 = 1, n = (xe x + ye y + ze z )
Step2: F n を計算する n e z を求める F n = xy xy + z 2 = (1 x 2 y 2 ) = (1 x 2 + y 2 ), n e z = z = 1 (x 2 + y 2 )
Step3: S F ds = F n 1 n e z dxdy を計算する 1 x 2 +y 2 dxdy = 1 r 2 dθrdr 1 (x 2 +y 2 ) 1 r 2 2π 1 r 2 = dθ 1 r rdr 2 = π ξξ dξ = π 2 1 3 ξ3/2 = 2 3 π ξ = 1 r 2, dξ = 2rdr
Step4: div F d を計算する div F = + + 1 = 1 div F d = 1 4π 3 = 4 3 π 4 3 π = S F ds = F n 1 n e z dxdy = 2 3 π 2
Gauss の発散定理の場合 S n FdS = Fd を S:x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部とする F = ye x xe y + ze z とする Fd = F = e x e y e z x y z y x z = 2e z 2e z d = 2e z 4π 3 23 = 64π 3 e z S n FdS = S1 F nds S2 F nds
法線ベクトル n を S:x 2 + y 2 + z 2 = 4 で囲まれる内部 g x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 g = 2xe x + 2ye y + 2ze z g = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 n = g g = 1 2 (xe x + ye y + ze z ) n e z = 1 2 xe x + ye y + ze z e z = z 2 F n = e x e y e z y x z x/2 y/2 z/2 = 1 2 zx yz e x + 1 2 zx yz e y + 1 2 (x2 + y 2 )e z S1 F nds = e x 2 S1 zx yz ds + e y 2 S1 zx yz ds + e z 2 S1 (x 2 + y 2 ds
e x 2 S zx yz ds = zx yz 1 n e z dxdy = 2 x + y dxdy = 2 2π (cos θ + sin θ)dθ 2 r 2 dr = e y 2 S zx yz ds = e z 2 S (x 2 + y 2 ds = x 2 + y 2 1 n e z dxdy = 2 x 2 + y 2 4 x 2 y 2 dxdy = 2 2π dθ 2 r 2 4 r 2 rdr ξ = 4 r 2, dξ = 2rdr 4p = 4 4 ξ ξ dξ = 4 4ξ 1/2 ξ 1/2 dξ = 4 2ξ 1/2 2 3 ξ3/2 4 = 16 3 = 64 3 π S1 F ds = 64 3 π e z 2 = 32π 3 e z S n FdS = Fd Gauss の発散定理