Microsoft Word - eviews2_20150526

2015/05/26 新 谷 元 嗣 藪 友 良 高 尾 庄 吾 2 章 : 定 常 時 系 列 モデル ここでは 教 科 書 2 章 ( 定 常 時 系 列 モデル)の 内 容 を 再 現 する 具 体 的 には ARMA モデルに おける 同 定 推 定 の 手 順 構 造 変 化 の 問 題 を 説 明 する 1 コレログラム Workfile を 新 規 作 成 し ホームページの SIM2.xls から データを 読 み 込 もう 系 列 Y1 は AR(1) 過 程 から 発 生 させたデータであるが ここでは DGP を 知 らないとして 分 析 を 進 めよ う( 詳 しくは 教 科 書 2 章 7 節 参 照 ) まず 自 己 相 関 や 偏 自 己 相 関 を 計 算 しよう 左 下 図 の 系 列 Y1 をダブルクリックし Y1 の Series ウィンドウを 表 示 する Series ウィンドウのメニューバーから View Correlogram を 選 択 すると( 右 下 図 ) Correlogram Specification ウィンドウが 表 示 される Correlogram Specification ウィンドウでは Correlogram of と Lags to include のボックスが ある( 下 図 参 照 ) Correlogram of では データの 変 換 方 法 を 選 択 し(Level: 水 準 のまま 1st difference: 1 階 の 階 差 2nd difference: 2 階 の 階 差 ) Lags to include では 何 次 のラグま で 考 慮 するかを 指 定 する ここで 次 数 は 36 としている OK を 押 すと 自 己 相 関 関 数 (autocorrelation function, ACF) 偏 自 己 相 関 (partial autocorrelation function, PACF)および Q 統 計 量 が 表 示 される( 下 図 参 照 ) 1

自 己 相 関 偏 自 己 相 関 修 正 Q 統 計 修 正 Q 統 計 量 の p 値 0 次 の 自 己 相 関 AC 偏 自 己 相 関 PAC はともに 1 なので ここでは 1 次 から 計 算 されてい る また 点 線 は 0 を 中 心 とした 2 標 準 偏 差 区 間 を 表 している(データの 個 数 を T とし ±2T 1/2 として 計 算 される) もしホワイトノイズであれば この 点 線 を 超 える 確 率 は 5%と なる ゆえに この 点 線 の 中 に 納 まっているかをみることで ホワイトノイズとみなせる かを 確 認 できる 自 己 相 関 偏 自 己 相 関 をみると やはり AR(1)モデルが 有 力 と 分 かる ただし 偏 自 己 相 関 は 12 次 で 高 い 値 (-0.204)をとっており 分 析 者 が 真 の DGP を 知 らなければ 12 次 の MA 項 ε t-12 を 含 める 必 要 があると 考 えるかもしれない Q 統 計 量 (Q-Stat)は リュン=ボックスの 修 正 Q 統 計 量 であり グループで 自 己 相 関 が すべて 0 であるかを 検 定 する たとえば 5 次 で Q(5)=143.98 であるが これは 5 次 までの 自 己 相 関 がすべて 0 という 帰 無 仮 説 を 検 定 するための 統 計 量 である 対 応 する p 値 は 0.000 であるため 有 意 水 準 1%で 帰 無 仮 説 は 棄 却 される つまり 系 列 相 関 があるといえる 2

2 ARMA モデル EViews における ARMA モデルの 推 定 の 手 順 を 確 認 する 変 数 X について AR(1)モデル X t =a 1 X t-1 +ε t を 推 定 するには ls X X(-1) とし ARMA(1,1)モデル X t =a 1 X t-1 +ε t +β 1 ε t-1 は ls X X(-1) ma(1) と 入 力 すればよい 同 様 に 定 数 項 を 含 んだ ARMA(3, 3) モデル X t = a 0 +a 1 X t-1 + a 2 X t-2 + a 3 X t-3 +ε t +β 1 ε t-1 +β 2 ε t-2 +β 3 ε t-3 なら ls X c X(-1) X(-2) X(-3) ma(1) ma(2) ma(3) もしくは ls X c X(-1 to -3) ma(1 to 3)とする Y1 のモデルを 考 えよう モデル 1 として 定 数 項 なしの AR(1)モデルを 推 定 する 1 ls y1 y1(-1) と 入 力 すると 下 図 のような 推 定 結 果 が 表 示 される 2 係 数 は 0.79 であり 1 を 下 回 る( 安 定 条 件 と 整 合 的 ) EViews では 情 報 量 基 準 は 教 科 書 の 定 義 と 異 なり AIC * =-2ln(L)/T+2n/T SBC * =-2ln(L)/T + nln(t)/t として 計 算 される( 教 科 書 2 章 の 練 習 問 題 7 参 照 ) 対 数 尤 度 (log likelihoood)は-132.9849 T=99( 有 用 なサンプルサイズ) 3 n=1(パラメータ 数 )から 以 下 となる AIC* = -2*(-132.9849)/99+2/99=2.706766, SBC * = -2*(-132.9849)/99 + ln(99)/99=2.732979 1 AR(1)の 推 計 式 を ar 項 を 使 って 表 すこともできる モデルが y t =μ+a 1 y t-1 +ε t なら ls y c y(-1)となるし モデルが y t =c+u t u t =a 1 u t-1 +ε t なら ls y c ar(1)となる どちらも 同 じモデルであるが 定 数 項 の 解 釈 が 異 なることに 気 を 付 けてもらいたい 2 先 の OLS と 同 様 に メニューバーの Quick Estimate Equation を 選 択 して Equation Estimation ウィンド ウを 開 き Equation specification に 被 説 明 変 数 説 明 変 数 1 説 明 変 数 2 と 入 力 し Method で LS を 選 択 して もよい 3 1 期 前 のラグを 説 明 変 数 に 含 めているため 推 定 には 2~100 番 目 までのデータが 用 いられる(Y11 に 対 応 する 説 明 変 数 は Y10 であるが これは 観 察 できないことに 注 意 ) 3

推 定 残 差 のコレログラムを 作 成 し モデルが 適 当 かどうか 診 断 しよう モデルを 推 定 し た 後 Equation ウィンドウの View Residual Diagnostics Correlogram-Qstatistics を 選 択 する すると Lag Specification ウィンドウが 表 示 される たとえば 次 数 を 36 とし OK を 押 すと 残 差 のコレログラムと 修 正 Q 統 計 量 が 表 示 される 残 差 の ACF と PACF はほぼ 0 となる 図 の 左 側 をみると 点 線 が 表 示 されている これ は 0 を 中 心 とした 2 標 準 偏 差 区 間 を 表 している(データの 個 数 を T とし ±2T 1/2 として 計 算 される) もしホワイトノイズであれば この 点 線 を 超 える 確 率 は 5%となる ゆえに この 点 線 の 中 に 納 まっているかを 調 べれば 系 列 がホワイトノイズかを 確 認 できる この 場 合 自 己 相 関 偏 自 己 相 関 ともに 区 間 内 に 収 まっていると 確 認 できる 修 正 Q 統 計 量 は 小 さな 値 を 取 っており どの 次 数 についても p 値 は 10%を 上 回 る 以 上 から 残 差 はホワイトノイズであり AR(1)は 適 切 なモデルといえる 4

次 に モデル 2 として AR(1)に 12 次 の MA 項 β 12 ε t 12 を 含 めたモデルを 考 えよう ls y1 y1(-1) ma(12) 推 定 結 果 は 以 下 の 通 りである β 12 の 推 定 値 は-0.034 と 小 さく また 有 意 でもない したが って モデル 1 から ε t 12 は 除 かれるべきである さらに AR(1)モデルの 方 が AIC と SBC は 小 さい 以 上 から AR(1)モデルの 方 が 望 ましいといえる 下 表 では これまでの 推 定 結 果 をまとめている この 結 果 を 教 科 書 2 章 の 表 2.2 と 比 較 してもらいたい 教 科 書 では 別 の 統 計 ソフト RATS を 用 いているため 推 定 結 果 は 多 少 異 なるが おおまかには 同 じ 結 果 となっている 4 モデル 1 モデル 2 y t = a 1 y t-1 +ε t y t = a 1 y t-1 +ε t +β 12 ε t-12 β 12 0.7905 0.7950 (0.0624) (0.0641) β 12-0.0335 (-0.1141) SSR 85.10 85.07 AIC 2.707 2.727 SBC 2.733 2.779 修 正 Q 統 計 量 Q(8)=6.14, Q(16)=15.74, Q(24)= 21.02 Q(8)=6.19, Q(16)=15.66, Q(24)= 20.88 *カッコ 内 は 標 準 誤 差 である * 教 科 書 では モデル 2 の AIC は T*ln(SSR)+2n=99*ln(85.06082)+2*2=443.9 EViews で は AIC*=-2*ln(L)/T+2*n/T=-2*(-132.9631)/99+2*2/99=2.727 となる 4 専 門 的 な 話 になるが RATS では Backcast をオフに( 誤 差 項 の 初 期 値 は 0) EViews では Backcast がオンになってい る したがって EViews で Backcaset をオフとすると RATS と 全 く 同 じ 結 果 がえられる この 点 については EViews の 3 章 の 補 足 を 参 照 してもらいたい 5

3 構 造 変 化 長 期 間 の 経 済 データを 扱 う 場 合 モデルのパラメータ 自 体 が 変 化 することは 少 なくない ここでは 教 科 書 2 章 で 学 習 した 構 造 変 化 の 検 定 について その 手 順 を 確 認 しよう バブル 崩 壊 前 後 など 構 造 変 化 があったと 考 えられる 時 点 が 明 らかである 場 合 チョウ 検 定 を 用 いることができる ここでは Ybreak.xls を 用 いて 確 認 しよう データは 1 系 列 からなり y_break と 名 前 がついている このデータは 次 のデータ 生 成 過 程 (DGP) y t = 1 + 0.5y t-1 + t (t 100) y t = 2.5 + 0.65y t-1 + t (t > 100) から 発 生 させたものである(t m =100) 100 期 までは 同 じシステムであるが 101 期 からは 新 しいシステムとなっている しかし ここでは DGP を 知 らないとして 分 析 を 進 めよう 3.1 ダミー 変 数 まずは 構 造 変 化 がないと 考 えて AR(1)モデル y t = a 0 + a 1 y t 1 + t を 推 定 する ls y_break c y_break (-1) を 入 力 すると 以 下 の 推 定 結 果 が 得 られる ここで 系 列 y_break のグラフを 図 示 してみよう 下 図 を 見 ると 100 期 前 後 から 系 列 の 値 が 上 昇 しており 構 造 変 化 の 可 能 性 が 疑 われる 6

構 造 変 化 が 存 在 したのか を 調 べるにはチョウ 検 定 を 行 えばよい まずは 定 数 項 だけ に 構 造 変 化 があったかを 調 べてみよう ここで t 100 の 範 囲 で 0 t > 100 の 範 囲 で 1 を とるダミー 変 数 を d100 として 定 義 する genr d100 = @date > @dateval("100") @date は 時 点 を 返 す 関 数 で 特 定 の 時 点 を 指 定 する @dateval と 一 緒 に 用 いることで 時 点 をもとにした 論 理 式 を 作 ることができる 5 定 数 項 の 変 化 を 調 べたい 場 合 先 の AR(1) にダミー 変 数 を 加 えて 推 定 し ダミー 変 数 の 係 数 が 有 意 かをみる コマンドとして ls y_break c y_break(-1) d100 を 入 力 すると 下 記 の 推 計 結 果 が 得 られる 5 通 常 の 時 系 列 データでは 時 間 によってデータが 記 録 される たとえば 四 半 期 データを 扱 っていて 1981 年 第 4 四 半 期 までは 0 1982 年 第 1 四 半 期 からは 1 というダミー 変 数 を 作 りたいなら genr d1982_1 = @date > @dateval("1981:4") もしくは genr d1982_1 = @date > @dateval("1981qiv") とすればよい 7

これを 見 ると d100 の t 値 は 高 く 1% 水 準 で 有 意 に 0 と 異 なる つまり 定 数 項 には 構 造 変 化 があったといえる この 推 定 結 果 から 定 数 項 は t 100 の 範 囲 で D100=0 となるた め 0.9254 であり t > 100 の 範 囲 で D100=1 となるため 2.8614(=0.9254+1.936)となる 定 数 だけでなく 係 数 の 変 化 も 調 べたい 場 合 は 係 数 ダミー( 定 数 ダミーと 変 数 の 交 差 項 )を 用 いる これを 用 いれば AR 係 数 の 変 化 を 捉 えることができる 先 の 例 で d100 と y_break の 交 差 項 を dy として 推 計 式 にくわえる 交 差 項 dy を genr dy= d100*y_break(-1) と 定 義 し ls y_break c y_break(-1) d100 dy として 推 定 する 推 計 結 果 を 見 ると 定 数 ダミーd100は10% 水 準 で 有 意 ではないが 係 数 ダミーdyは1% 水 準 で 有 意 な 結 果 となっている ここでAR 係 数 に 注 目 すると t 100の 範 囲 ではdyは0となるため AR 係 数 は0.254である が t > 100の 範 囲 ではdyの 係 数 は0.543となるため AR 係 数 は0.797(=0.254+0.543)となる 3.2 チョウ 検 定 ここでも AR(1)モデル y t = a 0 + a 1 y t 1 + t のパラメータ(a b)に 構 造 変 化 があったかを 調 べる 3.1 節 では ダミー 変 数 と 係 数 ダミーを 用 いて 検 定 したが ここでは EViews のコ マンドを 使 っておこなう チョウ 検 定 を 行 う 場 合 は Equation ウィンドウの View Stability Diagnostics Chow Breakpoint Test を 選 択 する( 左 下 図 ) そうする と Chow Test ウィンドウがでてくる( 右 下 図 ) 右 上 のボックスに 構 造 変 化 と 疑 われ る 時 点 として 101 を 入 力 して OK を 押 す(EViews では t m =100 ではなく t m +1=101 を 入 力 すること) 右 下 のボックスには 構 造 変 化 が 生 じたと 思 われる 変 数 を 入 力 します こ 8

こでは 定 数 だけでなく 係 数 の 変 化 した 可 能 性 があるとして c y_break(-1)とした(これは 定 数 ダミーと 係 数 ダミーを 含 めるということである) ここで 帰 無 仮 説 (Null hypothesis)は 構 造 変 化 がない(No breaks at specified breakpoints) である F 値 (F-statistic)は 29.56 と 高 く 帰 無 仮 説 は 有 意 水 準 1%で 棄 却 される Prob. F(2,145)は F 統 計 量 の p 値 であり これが 1%を 下 回 っていることが 確 認 で きる このことから 100 から 101 期 にかけて 構 造 変 化 があったといえる 構 造 変 化 が 未 知 の 場 合 の 構 造 変 化 の 検 定 分 析 の 際 には 構 造 変 化 時 点 があらかじめ 分 かっていないことも 多 い その 場 合 構 造 変 化 の 候 補 日 のすべての 時 点 でチョウ 検 定 を 行 い それぞれの F 統 計 量 を 算 出 したうで その 最 大 値 を 求 める これは SupF 検 定 と 呼 ばれる Eviews では 考 案 者 の 名 前 をとって Quandt-Andrews Test と 表 記 される 同 じデータを 用 いて SupF 検 定 を 行 ってみよう Equation ウィンドウの View Stability Diagnostics Quandt-Andrews Breakpoint Test を 選 択 する 9

Quandt-Andrews Test ウィンドウで Trimming で 刈 り 込 みの 割 合 を 15%に 指 定 し OK を 押 す( 他 にも 5% 10%などが 用 いられる) 帰 無 仮 説 は 構 造 変 化 が 存 在 しない(No break points within 15% trimmed data) で ある F 統 計 量 (Maximum LR F-statistic)をみるとその 値 は 29.56 となっている (SupF=29.56) また p 値 は 1%を 下 回 っているため 有 意 水 準 1%で 構 造 変 化 がないとい う 帰 無 仮 説 が 棄 却 される ここで (Obs.101)となっているが これは t m +1 = 101 というこ とである つまり 100 から 101 期 にかけて 構 造 変 化 が 起 きたことを 示 唆 している 10

構 造 変 化 が 複 数 の 場 合 これまで 構 造 変 化 の 数 が 1 つとしたが 構 造 変 化 が 複 数 回 ある 可 能 性 を 疑 っているなら バイ=ペロン 検 定 を 行 えばよい バイ=ペロン 検 定 では 帰 無 仮 説 は 構 造 変 化 は l 個 対 立 仮 説 は 構 造 変 化 は l+1 個 としている この 検 定 量 は 常 に 正 の 値 をとり 臨 界 値 を 上 回 ったとき 帰 無 仮 説 が 棄 却 される そして この 検 定 を l=0 から 始 めて 帰 無 仮 説 が 採 択 されるまで l の 数 を 増 やしながら 検 定 が 行 われる これまでと 同 じデータを 用 いてバイ=ペロン 検 定 を 行 ってみよう Equation ウィンドウ の View Stability Diagnostics Multiple Breakpoint Test を 選 択 する そうすると 下 図 のような Multiple Breakpoint Tests ウィンドウが 表 示 される ここで Maximum breaks では 最 大 で 何 個 の 構 造 変 化 までを 許 容 するかを 設 定 できる デフォルトは 5 となっている Significance level は 有 意 水 準 であり デフォルトは 5%と なっている また Trimming percentage では 最 初 と 最 後 の 何 %のデータを 構 造 変 化 の 11

候 補 日 から 除 くかを 設 定 できる たとえば デフォルトでは 15%となっており これは 最 初 の 15% 最 後 の 15%のデータが 候 補 日 から 除 かれることを 意 味 する(また 各 システム において 最 低 でも 15% 分 のデータが 含 まれなければならないことを 意 味 する) すべてデフォルトの 値 で OK を 押 すと 下 図 のような 推 定 結 果 が 表 れる まず O vs. 1 とは 帰 無 仮 説 は 構 造 変 化 なし とし 対 立 仮 説 は 構 造 変 化 は 1 つ とした 検 定 である 6 これをみると 検 定 統 計 量 は 59.13 であり これは 臨 界 値 (critical value)である 11.47 を 超 えている つまり 構 造 変 化 なし という 帰 無 仮 説 が 棄 却 される 次 に 1 vs 2 とは 帰 無 仮 説 は 構 造 変 化 は 1 つ とし 対 立 仮 説 は 構 造 変 化 は 2 つ とした 検 定 である 検 定 統 計 量 は 4.08 であり これは 臨 界 値 である 12.95 を 下 回 っている つまり 帰 無 仮 説 は 採 択 される 以 上 から 構 造 変 化 は 1 つだけと 分 かる また 構 造 変 化 日 Break dates は 101 となっており これは 100 期 から 101 期 にかけて 構 造 が 変 わった ことを 意 味 する 6 有 意 水 準 は 先 ほど 設 定 した 5%で 行 われる 有 意 水 準 を 10%とすると 帰 無 仮 説 が 棄 却 されやすいため 構 造 変 化 があ るという 結 果 が 得 られやすくなる 12

3.3 逐 次 推 定 逐 次 推 定 することで 係 数 の 安 定 性 を 確 認 できる 先 のデータを 用 いて 行 ってみよう まずコマンドを ls y_break c y_break(-1) と 入 力 し 推 計 結 果 の Equation ウィンドウを 表 示 する Equation ウィンドウの View Stability Diagnostics Recursive Estimates(OLS only) を 選 択 する 7 Recursive Estimation ウィンドウが 表 示 されるので Output で Recursive Coefficients を 選 択 する 次 に Coefficient display list で 表 示 する 係 数 を 指 定 する(EViews では 最 初 の 説 明 変 数 の 係 数 を c(1)と 表 し 2 番 目 の 説 明 変 数 の 係 数 を c(2)と 表 す) この 場 合 説 明 変 数 は 定 数 項 を 含 めて 2 つだけなので c(1) c(2) とする ここで c(1)は 定 数 項 c(2)は AR 係 数 に 該 当 する 7 逐 次 推 定 は OLS のみでしか 行 えないことに 注 意 しよう 13

OK を 押 すと 推 計 期 間 を 1 期 ずつ 延 長 していったときの 係 数 の 推 計 値 とその 信 頼 区 間 が Equation ウィンドウに 結 果 として 表 示 される 3.4 CUSUM 検 定 先 と 同 様 に Equation ウィンドウの View Stability Diagnostics Recursive Estimates(OLS only) を 選 択 し Recursive Estimation ウィンドウを 表 示 する Output で CUSUM Test を 選 択 して OK を 押 すと 以 下 のように 結 果 が 表 示 される 14