スペクトル 解 析 (Spectrum analysis) 5.1 フーリエ 級 数 Fourier series 5.2 フーリエ 変 換 Fourier Transform 5.3 パワースペクトル Power spectrum 5.4 離 散 データのフーリエ 展 開 For discrete time series ナイキスト 周 波 数 とエイリアジング Nyquist frequency and aliasing 5.5 ピリオドグラム 法 Periodogram method 5.6 スペクトルと 相 関 関 数 Spectrum and correlation function 5.7 クロススペクトルとコヒーレンス Cross-spectrum and coherency 5.8 スペクトルの 推 定 法 と 推 定 誤 差 Estimation of spectrum and its error 5.9 スペクトル 解 析 の 例 applications
5.1 フーリエ 級 数 Fourier series 周 期 性 を 持 った 波 は どんなに 複 雑 なもので も たくさんの 単 純 な 波 の 足 し 合 わせででき ている 単 純 な 波 に 分 解 できる 周 期 と 振 幅 が 異 なる 正 弦 波 と 余 弦 波
周 波 数 1 2 3 各 周 波 数 ごとの 波 の 振 幅 周 波 数 1 周 波 数 2 周 波 数 3 Sin 3 1 2 Cos 1 2 3 S C スペクトル フーリエ 級 数 による 表 現 は
フーリエ 級 数
例 題 ) 矩 形 波 をフーリエ 級 数 で 表 す -π π T = 2 πなので - πからπまで 積 分
f(x) は 奇 関 数 なので 奇 関 数 である sin の 項 のみで 表 現 される ( 和 達, 1982)
1 項 目 まで n 項 目 3 項 目 (n=5)まで この 係 数 が 大 きい 緑 が 再 現 波 形 6 項 目 (n=11)まで
第 1 項 から 第 10 項 までの 和 11 項 から100 項 までの 和 Contribution from high-frequency terms Gibbs 現 象 関 数 の 不 連 続 点 では 短 波 長 成 分 の 寄 与 が 顕 著 になる 塵 も 積 もれば 山 ( 崖 )となる Little strokes fell great oaks. Every little bit helps.
複 素 フーリエ 級 数
5.2 フーリエ 変 換 ( 積 分 ) Fourier transform (integral) 周 期 T が 無 限 大 という ことは 非 周 期 関 数 を 意 味 している C(f)
5.3 パワースペクトル power spectrum フーリエ 変 換 フーリエ 変 換 の 強 度 フーリエ 逆 変 換 波 に 分 解 それぞれの 振 幅 スペクトル!
周 期 信 号 周 期 無 限 大 非 周 期 信 号 フーリエ 級 数 展 開 フーリエ 変 換 ( 積 分 ) 離 散 スペクトル 連 続 スペクトル
パワースペクトル power spectrum エネルギースペクトル C(f) Power spectrum density 単 位 時 間 当 たり
5.4 離 散 データのフーリエ 変 換 Fourier transform for discrete data series フーリエ 変 換 ( 級 数 )は 連 続 的 な 関 数 を 対 象 にしているが 我 々が 扱 う データは 気 温 風 速 などの 離 散 データ 近 似 この 間 は 関 数 が 一 定 であるとして 積 分 を 和 で 置 き 換 える
エイリアジング aliasing 2 t 0 t t tのサンプリングで 表 現 できる 最 も 短 い 波 長 は2 t ナイキスト 振 動 数 (Nyquist frequency) f n = 1/ 2 t ω n =2πf n =π/ t
周 期 2の 波 を1.5 毎 にサンプル エイリアジング Nyquist frequency (ナイキスト 周 波 数 ) 実 際 にはこのような スペクトルが 得 られ てしまう
エイリアジング 周 期 上 記 の1 番 目 の 式 を 適 用 例 題 ) T 0 = 1.2の 波 をΔt = 1 でサンプルしたら? 上 記 の1 番 目 の 式 で n = 1 として T a = 6
エイリアジングの 例 11.97 199.5 海 洋 潮 汐 潮 汐 成 分 の 残 ったデータ を t=24hで 読 み 取 る 場 合 2 t=48h 以 下 の 周 期 の 信 号 はエイリア ジングを 起 こす 読 み 取 る 前 にフィルター をかけて 潮 汐 成 分 を 取 り 除 く 必 要 あり 小 樽 での2011 年 6 月 1 日 から 14 日 にかけての 潮 位 予 測 ( 気 象 庁 HPで 作 成 )
5.5 スペクトル(ピリオドグラム Periodogram) 伊 藤 見 延 (2010)
ピリオドグラムの 特 性 問 題 点
5.6 スペクトルと 相 関 関 数 ウィーナーヒンチンの 関 係 Wiener-Khinchin relation 自 己 共 分 散 関 数 Auto-correlation function Fourier transform フーリエ 変 換 スペクトル フーリエ 逆 変 換 spectrum
例 題 ) 白 色 雑 音 の 相 関 関 数 とパワースペクトルは?
日 野 (1977)
5.7 クロススペクトルとコヒーレンス cross-spectrum and coherence 自 己 共 分 散 関 数 相 互 共 分 散 関 数 フーリエ 変 換 スペクトル Auto-correlation spectrum クロス スペクトル Cross-correlation cross-spectrum
クロススペクトルと コヒーレンス
5.8 スペクトルの 推 定 法 と 推 定 誤 差 Estimation of spectrum 生 データ Raw data 相 関 自 己 相 関 correlation Blackman-Tukey 法 複 素 フーリエ 成 分 Fourier component 直 接 スペクトル spectrum 直 接 法 の 手 法 として Fast Fourier Transform (FFT)を 用 いる (Cooley-Tukey 法 ) Maximum Entropy Method : MEM スペクトルの 周 波 数 分 解 能 と 推 定 精 度 の 向 上 が 同 時 に 図 れる ( 直 接 法 や 相 関 法 では 不 可 能 ) 最 近 まで 標 準 的 な 有 意 性 検 定 方 法 が 提 案 されていなかった
直 接 法 (FFTを 用 いる)による スペクトル 解 析 の 手 順 ( 概 略 ) 1. データ 数 の 決 定 FFTを 用 いる 場 合 には 一 般 にデータ 数 を2のべき 乗 にし ければならない データの 一 部 を 削 るか 後 ろに 値 が0の データを 加 えるか(ゼロパッディング)する (ゼロパッディングにより 周 波 数 分 解 能 が 向 上 する ) 2. トレンドなどの 除 去 ( 必 要 なら) 3. データウインドウの 適 用 ( 必 要 なら) cos20 Hanning Hammingテーパーなど 4. FFTを 用 いて 生 のスペクトルを 計 算 5. 周 波 数 空 間 で 平 滑 化 最 終 的 なスペクトル ( 平 滑 化 を 分 割 平 均 で 行 う 場 合 は 2の 前 に 入 力 時 系 列 を 時 間 領 域 で 分 割 し そのそれぞれのスペクトルの 平 均 を 最 終 的 なスペクトルとする ) 6. スペクトルの 推 定 誤 差 を 評 価
Boxcarデータ ウインドウと そのスペクトル ウインドウ データ 数 : 32 main lobe side lobes Hは 最 大 値 を1に 規 格 化
データ ウインドウとテーパー Boxcarウインドウの 両 端 で 値 が 急 激 に 変 化 するので スペ クトルのピークの 周 波 数 から 他 の 周 波 数 にスペクトルの 漏 れが 発 生 データの 両 端 で 値 を 緩 やかに 減 衰 させるテーパーを 適 し スペクトルの 漏 れを 軽 減 ピークを 解 像 する 能 力 が 低 下 (スペクトルの 漏 れを 軽 減 するのは スペクトル 推 定 の 周 波 数 解 像 度 を 減 少 させると いう 犠 牲 の 下 でのみ 可 能 )
テーパー Cos20 Hanning Hamming 小 さな side lobe (Hamming) スペクトルの 漏 れを 抑 制 main lobe が 広 くなる
x(t)=cos(2πt/21)+0.2cos(2πt/9) テーパーの 効 果 スペクトルの 漏 れが 大 スペクトルの 漏 れが 小 あるスペクトル ピークの 信 頼 限 界 の 下 限 がその 前 後 の 周 波 数 での 信 頼 限 界 の 上 限 を 上 回 っている 場 合 に そのピーク は 統 計 的 に 有 意 テーパーによって 周 波 数 解 像 能 が 低 下 伊 藤 見 延 (2010)
平 滑 化 による 効 果 周 波 数 平 滑 化 の 強 化 精 度 の 向 上 周 波 数 分 解 の 低 下 生 平 均 数 : 平 均 数 : 平 均 数 : (Emery and Thomson, 2001)
スペクトルの 誤 差 推 定 アルファの 数 え 方 以 前 の 表 とは 逆
2 乗 コヒーレンスの 有 意 水 準
5.8 スペクトル 解 析 の 実 例 その1 スペクトルの 形 状 の 議 論 水 平 スケールの 違 いによ 海 面 水 温 の 空 間 スペクトル 解 析 スペクトルの 傾 きの 違 い 異 なったレジームを 示 唆 縦 軸 横 軸 ともに 対 数 座 標 (Toba et al., 1984)
5.8 スペクトル 解 析 の 実 例 その2 宗 谷 暖 流 の5-20 日 周 期 の 変 動 のメカニズム (Ebuchi et al., 2009) レーダーによる 表 層 の 流 速 ( 月 平 均 ) 表 層 の 流 速 と 稚 内 と 網 走 の 水 位 差
水 位 ( 水 位 差 )と 表 層 の 流 速 のスペクトル 縦 軸 横 軸 とも 対 数 でプロット 水 位 ( 特 に 稚 内 )では 13.66 日 の 潮 汐 の 周 期 が 卓 越 水 位 差 と 流 速 には5-20 日 周 期 の 広 いピークが 有 り
水 位 差 と 流 速 の2 乗 コヒーレンスと 位 相 有 意 水 準 点 線 は0.5, 1, 2 日 の 位 相 差 南 風 日 本 海 とオホーツク の 水 位 差 が 増 大 宗 谷 暖 流 の 強 化 5-20 日 の 周 期 で2 乗 コヒーレンスが 大 きい(13.66 日 の 周 期 では 値 が 小 さい) 負 の 位 相 は 水 位 差 が 流 速 をリード
まとめ 時 系 列 は 異 なる 周 期 を 持 つ 波 に 分 解 できる パワースペクトルを 計 算 することにより 周 波 数 空 間 での 変 動 の 強 弱 を 調 べることができる ナイキスト 周 波 数 より 高 周 波 の 信 号 は 折 りた たみ 効 果 により 低 周 波 スペクトルを 汚 染 する (エイリアジング) 相 関 関 数 とパワースペクトルは 等 価 である 相 互 相 関 関 数 とクロススペクトルは 等 価 であ る