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NAIST-IS-MT0051071 2002 2 8

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3 2,,,, 3, NAIST-IS- MT0051071, 2002 2 8. i

Automation of the Soccer Game Analysis 3 Yasushi Nakagawa Abstract Recently it has become popular to deliver the video data on the Internet, and become necessary to add commentary information to the video stream at low cost. In this paper, I use such image processing techniques as binarization, compactness, Hough transform, ane transformation, and optical ow, so that the players, the ball, and the lines on the eld can be recognized automatically. The numerical values from the recognition are managed in the scorebook. Furthermore the ball holding time and the locus of the ball are derived from this scorebook. The experiment shows this system is useful enough to analyze the soccer game. Keywords: Image Processing, Soccer, Game Analysis, Automatic, Scorebook 3 Master's Thesis, Department of Information Systems, Graduate School of Information Science, Nara Institute of Science and Technology, NAIST-IS-MT0051071, February 8, 2002. ii

1. 1 2. 3 2.1 INET2000 : : : : : : : : : : : 3 2.2 : : : : : : : : 4 2.3 : : : : : : : : 5 2.4 WIDE Project : : : : : : : : : 6 2.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2.7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3. 10 3.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 3.1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 3.1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 3.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 3.2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 3.2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.3.1 : : : : : : : : : : : 16 3.3.2 : : : : : : : : : : : 18 3.3.3 : : : : : : : : : : : : : : 21 3.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 4. 23 5. 24 5.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 5.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 iii

5.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 5.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 6. 31 6.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 6.1.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 6.1.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 6.1.3 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 6.1.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 6.1.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 6.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 6.2.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 6.2.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 6.2.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 6.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 6.3.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 6.3.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 6.3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 6.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 6.4.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 6.4.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 6.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 6.5.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 6.5.2 : : : : : : : : : : : : : : : : 47 6.5.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 6.5.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50 6.6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 6.6.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 6.6.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 6.6.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 iv

7. 55 7.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55 7.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55 7.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 8. 57 8.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 8.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 8.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 8.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 8.4.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 8.4.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 8.5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 9. 65 9.1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 9.2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 10. 67 69 70 74 A. 74 v

1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4 Spider : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 9 XY : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 10 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 11 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 12 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 13 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 14 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 15 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 16 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 17 : : : : : : : : : : : : : : : 33 18 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 19 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 20 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 21 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 22 x-y - : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 23 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 24 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 25 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 26 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 27 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 28 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 vi

29 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 30 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 31 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 32 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 33 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 34 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 35 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 36 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50 37 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50 38 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 39 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 40 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 41 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 42 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 43 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 44 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 45 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 46 scene 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 47 scene 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 48 scene 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 49 scene 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 50 scene 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 51 scene 6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 52 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 53 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 54 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 55 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 56 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 57 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 vii

58 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 59 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 60 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 10 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 11 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 12 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 13 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 viii

1. CM 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

2. 4 2.1 INET2000 2000 7 18 21 4 INET2000 igrid2000 1 [30] 6 11Mbps 1 6,000km 3

1 2.2 2001 1 14 17km 600 4 6 [15] 6 56kbps 2 4

2 2.3 GPS (Global Positioning System) GPS 3 2 5

3 2.4 WIDE Project WIDE(Widely Integrated Distributed Environments) Project icars (Internet Creating Augmented Real Space) 500 RF Code [7] Spider (RF-ID) 6

Spider 4 1 2 (60mmx30mm) Spider ID 2002 3 4 7 WIDE 4 Spider 10m 100m 50 1 50 2.5 7

1 GPS RF-ID 2.6 [42] 1994 15 359 321 1 5 14 10 9 8

9 10 6 2.7 5 5 9

3. 3.1 3.1.1 1 11 [11] 105m ( )68m ( ) 9.15m 17.62m x 5.5m 40.32m x 16.5m 9.15m 6 22cm 11 2 1 10

6 45 15 PK( ) [43] [19] 1954 1 5.4 1986 2.5 85% 5 2 3 14% 17% 1 13 7 1 1 10 86% 52% 46% [42] 11

3.1.2 [46] 3 [24] 12

3.2 3.2.1 ORAD [6] Tactical Replay QuickMode Tactical Replay Quick Mode [12] 3 2 3 [27] [21] 13

[28][29] 1 [14] [32] Kalman 14

[9] CG J [38] [10] [37] 3 15

3.2.2 [2] OPTA[5] 300 Analyze Football[1] ( ) Java 3 3.3 3.3.1 [41] [23] 16

4 360 [20] MPEG DCT [45] GPS [36] DCT 98.6% [26] 17

[48] [22] DVE(Digital Video Eect) 2 DVE 3.3.2 [16] 24 15 CM KL (Karhunen-Loeve Expansion) ( ) 18

[13] MPEG [35] [39] 2 4 8 [40] KL HMM( ) [47] MPEG No MC Coded DCT [25] DCT 19

MPEG I P 70% 90% MPEG Video Browser [31] 90% [18] [17] ( ) 1 KDDI [4] Preview Navigator SMIL Scenario Creator 20

Preview Navigator SMIL Scenario Creator CM [33] 3.3.3 J-Ole![3] J ( ) ( )NHK (Real,Windows MediaPlayer,MPEG1) J1 J2 J ( 10 ) [8] J-Ole J 2001 J MPEG4 ADSL 21

3.4 GPS 22

4. 1 1 23

5. 5.1 7 7 2 24

5.2 [46] 15 2 2 1 2 3 ( ) 4 (1 1 ) 5 ( ) 6 7 8 ( ) 9 10 11 12 13 14 ( ) 15 ( ) 25

6 5.3 3 3 id, time, x, y, team, play, le 1, 18.6, 103.0, 0.0, unknown, 1, 0558.bmp 2, 20.3, 80.4, 7.5, away, 1, 0608.bmp 3, 22.8, 100.3, 7.8, away, 1, 0685.bmp 4, 23.7, 105.0, 7.5, away, 0, 0712.bmp 5, 46.0, 100.0, 30.2, home, 1, 1380.bmp... 90, 250.4, 26.4, 30.7, away, 1, 7512.bmp 91, 251.4, 26.8, 30.7, away, 2, 7543.bmp 92, 253.7, 42.2, 62.3, away, 3, 7611.bmp 93, 254.1, 49.4, 62.5, away, 1, 7672.bmp 94, 258.9, 91.3, 28.4, away, 1, 7766.bmp 95, 260.1, 100.3, 29.7, away, 1, 7804.bmp 96, 260.8, 105.1, 37.8, away, 0, 7823.bmp 1 26

id (time) ( ) (x,y) x y (m) (team) (home) (away) unknown (play) 1 2 3 2 le 3 FIFA 2001 vs ( ) 5 5 1m 1m 5.4 XY ( ) 3 8 9 XY 27

8 9 XY 1 2 3 4 30 4 5 8 XY X Y X Y home X Y away X Y 9 10 12 11 12 12 10 28

10 11 10 3 4 1 11 12 13 1 1 3 2 3 4 1 12 [42] [19] 4 1point 29

12 13 4point 80% 80% 1 80% 2 46% 4 1 30

6. 4 4 PC IBM ThinkPad X20 CPU Intel Pentium III 600MHz Memory 192MB Disk 20GB OS Microsoft Windows 2000 + Service Pack 1 Microsoft Visual C++ 6.0 6.1 6.1.1 1 MPEG AVI BMP 360x240 5 4 720x480 256 (8 ) 31

1,677 (32 ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 360x240 8(2x4) 16(4x4) 180(18x10) 544(34x16) 720x480 50(10x5) 90(9x10) 702(39x18) 2176(68x32) (R) (G) (B) RGB R G B R+G+B R-B 2 RGB 2 RGB (Y ) (H) (S) 14 14 15 32

RGB YHS Y =0:3R +0:59G +0:11B (1) H =tan 01 R 0 Y (2) B 0 Y q S = (R 0 Y ) 2 +(B 0 Y ) 2 (3) 15 6.1.2 YHS 16 (Y ) 80 170 16 17 16 17 33

6.1.3 2 2 6 6 45.0 113.2 173.0 225.0 293.2 353.0 2 18 3 18 2 19 6.1.4 2 72x36 72x36 5 34

4 1 1 1 (100 ) 19 2 2 1 3 6.1.5 4 19 8.4 35

6.2 2 6.2.1 ( ) ( ) 2 6.2.2 G(x; y) S l e G(x; y) =( 1 n01 X x i ; 1 n01 X y i ) (4) n i=0 n i=0 p 2 e = 4S l 2 (5) 1 20 G(x; y) 1 G(4,4) S 1 37 36

l 1 p 2 (3 21:41 2 4) + (3 2 4) = 29:0 e 5 (4 2 3:14 2 37) 4 (29:0) 2 =0:553 ( 15) 2 30 100 21 8 20 21 100 7 7 75% 2% 11% 12% 37

1 2 6.6 6.2.3 3 1 1 2 1 6.3 6.3.1 38

x-y y = ax + b (6) x = x sin + y cos (7) 22 22 x-y - n - n - y = 0 x tan + (8) cos 39

23 2 24 2 7-25 20 120 180 8 x-y 26 ( 15) 6.3.2 3 5 5 40

23 24 2 25 26 6.3.3 100 0.1 17 18 41

6.4 6.4.1 3 27 27 2-2 - 2 [34] (x; y); (x+1;y); (x; y+ 42

1); (x +1;y+1) 4 (x + p; y + q) (x; y) =(10q)f(10p)(x; y)+p(x+1; y)g+qf(10p)(x; y +1)+p(x+1; y +1)g (9) ( ) (x; y) (X; Y ) AX + BY + C x = (10) PX + QY + R DX + EY + F y = (11) PX + QY + R 28 ( 15) 29 28 29 (E 0 Qy)(C 0 Rx) 0 (B 0 Qx)(F 0 Ry) X = 0 (12) (E 0 Qy)(A 0 Px) 0 (B 0 Qx)(D 0 Py) 43

(D 0 Py)(C 0 Rx) 0 (A 0 Px)(F 0 Ry) Y = 0 (D 0 Py)(B 0 Qx) 0 (A 0 Px)(E 0 Qy) A F P R 9 4 A 4 4 (13) 6.4.2 3 4 4 4 1m 44

6.5 4 6.5.1 2 - - 2 - - [34] 45

2 2 8x8 30 1 32x32 31 30 31 32 ( 15) 32 [34] 8x8 32x32 8 32x32 64x64 8 8x8 32x32 8x8 64x64 16x16 64x64 32x32 64x64 46

6.5.2 32 ( ) 4 10 1 4 2 2 10 4 1 10 10 33 33 34 10 34 1 2 1m 47

4 4 1 2 6.5.3 ( ) FIFA 2001 vs vs vs 3 4 5 9 35 9 vs 172 (57%) 7 (2%) 121 (40%) vs 131 (44%) 12 (4%) 157 (52%) vs (1) 197 (66%) 15 (5%) 88 (29%) vs (2) 191 (64%) 15 (5%) 94 (31%) 173 (58%) 12 (4%) 115 (38%) 48

35 62% 38% [46] 94% 49

36 37 36 37 (x y 1/3 2/3 ) 6.5.4 3 50

2 3 6.6 6.6.1 5.3 1 2 3 38 39 40 38 1 39 2 40 3 51

[46] [42] 8.5m/s 34.0m/s 1 10 x 12 y 2 x 50 y 8 10 8.5m/s 34m/s 0.283m/ame 1.13m/ame (x ) 12pix/ame 50pix/ame (y ) 2pix/ame 8pix/ame 1 1 1 41 42 39 2 41 42 6.6.2 2 52

43 40 1 ( ) ( ) 2 43 3 2 44 38 44 45 8 45 53

6.6.3 8.4 54

7. 2 7.1 2 ( ) ( ) YHS 4 2 1 4 (x; y) (X; Y ) 640x480 8 2 9.2 7.2 1 1 RGB YHS 2 55

1 2 1 4 2 7.3 1 56

8. 8.1 [23] 76 135 85 233 4 [32] 180 120 2 [41] 172 97 2 1 100 2 6 FIFA 2001 vs vs 46 51 1 46 scene 1 47 scene 2 57

48 scene 3 49 scene 4 50 scene 5 51 scene 6 scene1 - scene2 - scene3 - scene4-2 scene5 - scene6-58

11 OS Microsoft Windows 2000 + Service Pack 1 11 CPU Memory Hard Disk SONY VAIO RX Intel Pentium III 1GHz 384MB 120GB IBM ThinkPad X20 Intel Pentium III 600MHz 192MB 20GB IBM ThinkPad X20 Intel Celeron 500MHz 192MB 20GB 8.2 5.3 (unknown) (R) ( ) (P) ( ) 12 59

12 time place team play(r) play(p) scene 1 100% 100% 100% 100% 100% scene 2 100% 100% 0% 86% 60% scene 3 100% 100% 40% 67% 100% scene 4 100% 100% 52% 80% 67% scene 5 100% 100% 33% 83% 71% scene 6 100% 100% 88% 75% 82% 100% 100% 52% 82% 80% 8.3 100% 80% 52% [25] 95% 8.4 8.4.1 2 60

4 47 scene 2 2 52 53 54 55 61

52 53 54 55 8.4.2 4 56 2001 vs ( ) 0 57 FIFA 2001 vs ( / ) 2 58 FIFA 2001 vs ( ) 1 2 1 62

56 57 58 59 59 FIFA 2001 vs ( ) 3 GPS RF-ID 3 1 2 63

1 8.5 60 scene 1 60 9.1 5.1 64

9. 9.1 3 90 1 CPU 13 13 CPU SONY VAIO RX Intel Pentium III 1GHz 90 IBM ThinkPad X20 Intel Pentium III 600MHz 120 IBM ThinkPad X20 Intel Celeron 500MHz 170 5 5 5 136 27.2 65

CPU CPU Intel CPU Image Processing Library Open Source Conputer Vision Library 9.2 1 4 2 ( ) ( ) 4 2 66

10. 2 1 1 6.3 1 84% 38% 67

1 68

INET2000 WIDE Project 2 69

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A. A F P R 9 4 (x; y) (X; Y ) 4 (x1;y1); (x2;y2); (x3;y3); (x4;x4); (X1;Y1); (X2;Y2); (X3;Y3); (X4;Y4) 10 1 5 (0,0) 4 X1A + Y 1B + C 0 x1x1p 0 x1y 1Q 0 x1r =0 (14) X1D + Y 1E + F 0 y1x1p 0 y1y 1Q 0 y1r =0 (15) X2A + Y 2B + C 0 x2x2p 0 x2y 2Q 0 x2r =0 (16) X2D + Y 2E + F 0 y2x2p 0 y2y 2Q 0 y2r =0 (17) X3A + Y 3B + C 0 x3x3p 0 x3y 3Q 0 x3r =0 (18) X3D + Y 3E + F 0 y3x3p 0 y3y 3Q 0 y3r =0 (19) X4A + Y 4B + C 0 x4x4p 0 x4y 4Q 0 x4r =0 (20) X4D + Y 4E + F 0 y4x4p 0 y4y 4Q 0 y4r =0 (21) 8 1 a h m t 16 a =(X2 0 X3)(Y 1 0 Y 2) 0 (X1 0 X2)(Y 2 0 Y 3) (22) b =(X2 0 X3)(x1X1 0 x2x2) 0 (X1 0 X2)(x2X2 0 x3x3) (23) c =(X2 0 X3)(x1Y 1 0 x2y 2) 0 (X1 0 X2)(x2Y 2 0 x3y 3) (24) 74

d =(X2 0 X3)(x1 0 x2) 0 (X1 0 X3)(x2 0 x3) (25) e =(X3 0 X4)(Y 2 0 Y 3) 0 (X2 0 X3)(Y 3 0 Y 4) (26) f =(X3 0 X4)(x2X2 0 x3x3) 0 (X2 0 X3)(x4X3 0 x4x4) (27) g =(X3 0 X4)(x2Y 2 0 x3y 3) 0 (X2 0 X3)(x4Y 3 0 x4y 4) (28) h =(X3 0 X4)(x2 0 x3) 0 (X2 0 X3)(x3 0 x4) (29) m =(X2 0 X3)(Y 1 0 Y 2) 0 (X1 0 X2)(Y 2 0 Y 3) (30) n =(X2 0 X3)(y1X1 0 y2x2) 0 (X1 0 X2)(y2X2 0 y3x3) (31) o =(X2 0 X3)(y1Y 1 0 y2y 2) 0 (X1 0 X2)(y2Y 2 0 y3y 3) (32) p =(X2 0 X3)(y1 0 y2) 0 (X1 0 X3)(y2 0 y3) (33) q =(X3 0 X4)(Y 2 0 Y 3) 0 (X2 0 X3)(Y 3 0 Y 4) (34) r =(X3 0 X4)(y2X2 0 y3x3) 0 (X2 0 X3)(y4X3 0 y4x4) (35) s =(X3 0 X4)(y2Y 2 0 y3y 3) 0 (X2 0 X3)(y4Y 3 0 y4y 4) (36) t =(X3 0 X4)(y2 0 y3) 0 (X2 0 X3)(y3 0 y4) (37) A = D = 0(Y 1 0 Y 2)B +(x1x1 0 x2x2)p +(x1y 1 0 x2y 2)Q +(x1 0 x2)r X1 0 X2 (38) bp + cq + dr B = a (39) C = 0X1A 0 Y 1B + x1x1p + x1y 1Q + x1r (40) 0(Y 1 0 Y 2)E +(y1x1 0 y2x2)p +(y1y 1 0 y2y 2)Q +(y1 0 y2)r X1 0 X2 (41) np + oq + pr E = m (42) F = 0X1D 0 Y 1E + y1x1p + y1y 1Q + y1r (43) Q = P = 0f(ce 0 ag)q +(de 0 ah)rg be 0 af 0f(fi 0 ej)(de 0 ah) 0 (be 0 af)(hi 0 el)gr (fi 0 ej)(ce 0 ag) 0 (be 0 af)(gi 0 ek) (44) (45) R = (1 ) (46) 75