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4- 第 4 章 柱 に 部 材 荷 重 を 有 する 骨 組 の 解 析 ポイント: 変 数 変 換 を 行 い たわみ 角 法 を 使 い 易 くする 境 界 条 件 と 有 効 剛 比 たわみ 角 法 の 基 本 式 に 使 用 されている 変 位 は 実 際 の 回 転 角 や 部 材 角 であり その 値 は 非 常 に 小 さい そのため 手 計 算 では 桁 を 間 違 い 易 く 扱 いが 難 しい そこで 本 章 では 変 数 を 変 換 して 新 しいパラメータと 変 位 を 導 入 し 扱 い 易 いたわみ 角 法 を 誘 導 する 新 しいパラメータとして 曲 げ 剛 性 の 比 率 である 剛 比 が 定 義 され その 剛 比 を 用 いることで 釣 合 式 がより 簡 潔 に 表 現 される ここでは 新 たなたわみ 角 法 を 用 いて 少 し 複 雑 な 骨 組 を 解 いてみよう 4. はじめに キーワード 変 数 変 換 新 しいたわみ 角 法 境 界 条 件 と 有 効 剛 比 柱 に 部 材 荷 重 新 しいたわみ 角 法 を 導 くに 当 たって 実 際 の 変 位 によるたわみ 角 法 の 基 本 式 を 再 度 記 述 する 4. 変 数 変 換 EI ij = (θi + θ j R) ij EI = (θ + θ R) + ji j i ji (4.) i 端 がピン 接 合 で j 端 が 剛 接 合 の 場 合 上 式 は 次 のようになる ij = 0 EI = (.5θ.5 R) + + ji j ji ij (4.) 新 しいパラメータを 導 入 して 上 記 の 式 (4.)と(4.)を 変 換 する 骨 組 の 中 で 代 表 的 な 部 材 を 一 つ 取 り 出 し その 部 材 の 曲 げ 剛 性 を 次 式 で 定 義 する K 0 EI = 0 (4.) このパラメータ K 0 を 標 準 剛 度 と 呼 ぶ SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- たわみ 角 法 の 基 本 式 (4.)の 右 辺 に K 0 / K 0 を 掛 け 整 理 すると EI / = (θ K + θ K RK ) ij i 0 j 0 0 ij K0 EI / = (θ K + θ K RK ) + ji j 0 i 0 0 ji K0 (4.4) となる ここで 次 のような 新 しいパラメータと 変 位 を 定 義 する K EI k = ; K = K 0 ϕ = θ K ; ψ = RK i i 0 0 (4.5) 特 に 新 しいパラメータとして 定 義 した k は 剛 比 と 呼 ばれ 標 準 部 材 の 曲 げ 剛 性 に 対 するその 部 材 の 曲 げ 剛 性 の 比 を 表 す 上 のパラメータを 使 用 すると つのたわみ 角 法 の 基 本 式 は 次 式 のように 変 換 される = k( ϕ + ϕ + ψ) ij i j ij = k( ϕ + ϕ + ψ) + ji j i ji (4.6) 式 (4.)の i 端 ピン 接 合 j 端 剛 接 合 の 基 本 式 は 次 式 となる ij = 0 = k(.5ϕ + 0.5 ψ) + + ji j ji ij (4.7) 例 題 4- 新 しく 変 数 変 換 して 求 めたたわみ 角 法 の 基 本 式 を 用 いて 図 4- に 示 す 構 造 物 の 応 力 解 析 を 行 い 曲 げモーメント 図 せ ん 断 力 図 軸 力 図 を 求 めよ 例 題 - で 扱 った 問 題 を 再 度 解 析 する ただし 標 準 部 材 を 部 材 として 標 準 剛 度 K0 を k = K 0 = EI (4.8) k = k = h とする ここで I, Ic は 各 々 梁 と 柱 の 断 面 二 次 モーメント である また 柱 の 剛 比 kc は とする そのため ここで は 柱 の 断 面 二 次 モーメントは 自 由 に 設 定 することはできず 次 式 で 与 えられる 4 図 4- 例 題 4- の 骨 組 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- EIc h k = h = ; I = I c c K0 (4.9) たわみ 角 法 の 基 本 式 は 節 点 と 4 が 固 定 であり 従 って ϕ = ϕ 4 = 0 で あることを 考 慮 すると = ( ϕ + ψ) = ( ϕ + ψ) = ( ϕ + ϕ ) = ( ϕ + ϕ ) = ( ϕ + ψ) 4 = ( ϕ + ψ) 4 (4.0) さらに 逆 対 称 の 条 件 ϕ = ϕを 用 いると 梁 の 基 本 式 は 次 式 となる = ϕ = ϕ (4.) 節 点 のモーメントの 釣 合 と 式 (.0)より 層 モーメントの 釣 合 は + = 0 ( ϕ + ψ) + ϕ = 0 ( + ) = h/ ( ϕ + ψ) + ( ϕ + ψ) = h / (4.) として 与 えられる 式 (4.)の 下 式 を で 割 り 整 理 すると 7ϕ + ψ = 0 4 h ϕ + ψ = 6 (4.) として 骨 組 全 体 の 釣 合 式 が 得 られる 次 に 上 式 を 解 くと h 7 ϕ = ψ = h 6 (4.4) 無 論 実 際 の 変 位 は 式 (4.5)を 用 いると 次 式 となる θ ϕ h h K 6 EI EI = = = 0 ψ 7h 7h R = = = K EI 9EI 0 (4.5) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-4 次 に 部 材 の 材 端 モーメントは 変 位 の 式 (4.4)を 式 (4.0)に 代 入 す ると 次 式 となる 7 5 = ( ϕ + ψ) = ( ) h= h 6 6 7 = ( ϕ + ψ) = ( ) h = h 6 6 h = = h 6 6 (4.6) 得 られた 材 端 モーメントを 利 用 して 曲 げモーメント 図 を 以 下 のように 描 く また 曲 げモーメント 図 より せん 断 力 図 を 続 いて 軸 力 図 と 反 力 を 求 める 6 h h 8-5 6 h + + 図 4.(a) 曲 げモーメント 図 4.() せん 断 力 図 - + h - 8 図 4.(c) 軸 力 図 5 6 h 5 h 6 h h 8 8 図 4.(d) 外 力 と 反 力 h 次 に 外 力 と 反 力 による 釣 合 を 検 討 しよう 上 下 及 び 水 平 方 向 の 釣 合 は 図 4-(d)から 容 易 に 分 かる さらに モーメントの 釣 合 を 求 める 節 点 におけるモーメントを 次 のように 計 算 する SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-5 5 5 h = h h h 0 6 6 8 (4.7) 上 のように モーメントの 釣 合 も 得 られていることが 分 かる 例 題 4- ピン 支 持 境 界 の 門 型 骨 組 に 対 し 梁 の 中 央 に 集 中 荷 重 が 加 わ る 場 合 の 応 力 解 析 を 行 い 曲 げモーメント 図 せん 断 力 図 軸 力 図 を 求 めよ 最 初 に 図 4- に 示 すように 構 造 物 の 節 点 番 号 部 材 番 号 を 割 り 振 る 次 に 部 材 の 部 材 荷 重 による 基 本 応 力 を 求 める = 8 0 = 4 Q = 各 部 材 の 基 本 式 は ピン 支 持 境 界 ( 式 (4.7))を 考 慮 して = 0 = (.5ϕ + 0.5 ψ) = k ( ϕ + ϕ) = k ( ϕ + ϕ) + 4 = (.5ϕ + 0.5 ψ) = 0 4 (4.8) (4.9) となる ここでの 固 定 端 モーメントの 符 号 は 中 間 荷 重 のある 部 材 の 反 力 であるモーメントの 方 向 で 正 負 を 決 めれば 良 い 節 点 と でのモーメントの 釣 合 及 び 層 モーメントの 釣 合 は k h k = k = 図 4- 例 題 4- の 骨 組 / / 図 4-4 梁 の 基 本 応 力 4 + = 0 + = 0 4 + + + = 0 4 4 となり 上 式 に 式 (4.9)を 代 入 すると (4.0) (k +.5) ϕ + k ϕ + 0.5ψ = 0 k ϕ + (k +.5) ϕ + 0.5ψ + = 0.5ϕ + 0.5ψ +.5ϕ + 0.5ψ = 0 (4.) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-6 以 上 をまとめ 行 列 形 式 で 表 すと k +.5 k 0.5 ϕ k k +.5 0.5 ϕ = ψ 0 0.5 0.5 (4.) ただし 層 モーメントの 釣 合 式 (4.)の 第 式 を/ することで 剛 性 行 列 が 対 称 となっていることに 注 意 しよう 式 (4.)を 解 くために まず 次 の 計 算 を 行 う ここで などは 式 (4.)の 中 の 式 番 号 である +-(k +.5) (4.) 上 式 で + は 次 式 となる (k +.5) ϕ + (k +.5) ϕ + ψ = 0 (4.4) 次 に (k +.5) は (k +.5) 0.5ϕ + 0.5ϕ + ψ= 0 (4.5) となり 最 後 に 全 てを 計 算 すると (k +.5) ψ = 0 (.6) が 得 られる 上 式 では 係 数 はゼロとならないから ψ = 0 (4.7) となり 部 材 角 は 生 じないことになる さらに 式 (4.4)にψ = 0 を 適 用 すると が 得 られる ϕ = ϕ (4.8) 実 は この 骨 組 は 対 称 構 造 で 荷 重 も 対 称 であるため 応 力 状 態 変 形 状 態 は 対 称 であることが 分 かる 従 って 対 称 条 件 として 下 式 が 与 えら れることになる ψ = 0 ϕ = ϕ (4.9) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-7 骨 組 と 荷 重 の 状 態 が 対 称 であると 上 式 が 最 初 から 得 られており この 条 件 を 用 いれば 未 知 数 が 少 なく より 効 率 的 な 釣 合 式 となる 次 に 式 (4.9)を 用 いると 式 (4.)の 第 式 より 回 転 角 ϕ は 次 式 となる ϕ = (4.0) ( k +.5) 得 られた 回 転 角 ϕ を 式 (4.9)の 基 本 式 に 代 入 すると 次 のように 材 端 モーメントが 得 られる =.5 k +.5 = k ( ϕ ϕ ) +.5 = k = k +.5 k +.5 (4.) また 梁 中 央 の 曲 げモーメントは 次 のように 求 められる c = 0 0.5( ji ij).5.5 = 0.5( + ) k +.5 k +.5 (k +.5) = k +.5 (4.) 以 上 より 曲 げモーメント 図 せん 断 力 図 軸 力 図 が 以 下 のように 表 さ れる.5 k +.5.5 k +.5 +.5 ( k +.5)8h (k +.5) k +.5 -.5 ( k +.5)8h + - - 図 4-5(a) 曲 げモーメント 図 図 4-5() せん 断 力 図 図 4-5(c) 軸 力 図 次 に 得 られた 結 果 を 用 いて 梁 の 剛 性 を 変 化 させ 骨 組 に 生 じる 曲 げモーメントの 分 布 状 態 が 如 何 に 変 化 するかについて 検 討 しよう 最 初 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-8 に 梁 の 曲 げ 剛 性 に 比 較 して 柱 の 曲 げ 剛 性 が 非 常 に 大 きい 場 合 につい て 分 析 する この 場 合 柱 頭 の 曲 げモーメントと 梁 の 中 央 の 曲 げモーメ ントは 式 (4.)と(4.)の 中 で 剛 比 k をゼロに 近 づけると c = = (4.) となり 梁 は 両 端 固 定 の 状 態 と 同 じとなる 逆 に 梁 の 曲 げ 剛 性 が 柱 に 比 較 して 極 端 に 大 きい 場 合 は 剛 比 k を 無 限 大 にすることで 柱 頭 の 曲 げモーメントと 梁 の 中 央 の 曲 げモーメント が 得 られる この 場 合 図 4-6(a) 両 端 固 定 に 近 いモーメント 図 0 0 c = = (4.4) となり 梁 の 応 力 は 両 端 ピン 支 持 の 状 態 となる 実 際 に 設 計 される 梁 と 柱 の 曲 げ 剛 性 の 比 はその 中 間 であり 従 って 曲 げモーメントも 図 4-6(a)と 4-6()の 中 間 の 状 態 となる 図 4-6() 両 端 ピン 支 持 に 近 いモーメント 図 本 節 では 柱 に 中 間 荷 重 ( 部 材 荷 重 )が 加 わる 場 合 の 層 せん 断 力 の 釣 合 について 検 討 する 前 節 では 柱 に 中 間 荷 重 のない 場 合 の 層 せん 断 力 の 釣 合 式 を 各 層 の 柱 頭 で 仮 想 的 に 切 断 し それより 上 層 の 水 平 力 と 切 断 面 の 柱 のせん 断 力 との 力 の 釣 合 から 求 めた ここでも 同 様 の 方 法 を 用 いるが 柱 に 加 わる 中 間 荷 重 をどのように 扱 うかが 問 題 となる 梁 の 部 材 荷 重 と 同 様 に まず 図 4-7(a)のように 両 端 固 定 とした 状 態 の 応 力 反 力 を 求 める 次 に この 反 力 に 釣 合 う 節 点 外 力 を 骨 組 に 加 え たわみ 角 法 を 用 いて 応 力 解 析 を 行 う 後 は 解 析 結 果 の 部 材 応 力 に 先 に 求 めておいた 両 端 固 定 の 応 力 状 態 を 足 すことで 実 際 に 生 じる 応 力 状 態 が 得 られる この 手 続 きを 行 う 際 理 解 しにくいのは 次 の 点 であ ろう ひとつは 層 せん 断 力 に 関 する 釣 合 式 の 立 て 方 二 つ 目 は 最 終 的 に 求 める 柱 のせん 断 力 である この 点 についてさらに 検 討 しよう 最 初 に 層 せん 断 力 と 外 力 との 釣 合 について 考 える 層 せん 断 力 と 外 力 の 釣 合 は 図 4-7()を 参 考 にすると 柱 頭 において Qj Qj + i = 0 (4.5) 4. 柱 に 部 材 荷 重 が ある 場 合 で 両 端 剛 接 合 部 材 の 層 せ ん 断 力 の 釣 合 - + Q d Q u 図 4-7(a) 部 材 荷 重 による 曲 げモーメント せん 断 力 と 反 力 となる 上 式 の 左 辺 第 項 は 切 断 面 における 全 柱 のせん 断 力 の 和 であ SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-9 り また 第 項 では 柱 に 加 わる 部 材 荷 重 によって 生 じる 節 点 外 力 を 切 断 面 にある 柱 全 てについて 和 を 取 っている 第 項 は 切 断 面 より 上 層 の 4 水 平 荷 重 の 和 である ただし 上 層 の 柱 に 中 間 荷 重 がある 場 合 は それ らの 総 和 をこの 値 に 加 えている つまり この 切 断 面 より 上 の 水 平 外 力 の 総 和 を 表 す 部 材 荷 重 のない 場 合 のたわみ 角 法 の 基 本 式 は Q u Q jq i Qu = k( ϕ + ϕ + ψ) ij i j = k( ϕ + ϕ + ψ) ji j i (4.6) 図 4-7() 柱 に 部 材 荷 重 が ある 場 合 の 層 方 程 式 であるため 式 (4.6)の 第 項 の 柱 のせん 断 力 は Q = ( + )/ h j ij ji (4.7) であり 従 って 上 式 を 式 (4.5)に 代 入 することで 層 せん 断 力 の 釣 合 式 が 以 下 のように 与 えられる ( ij + ji ) = Qj i h (4.8) また 層 モーメントの 釣 合 は 両 辺 に 当 該 層 の 高 さ h をかけることで 次 式 となる ( + ) = Q h h ij ji j i (4.9) 部 材 の 中 間 に 荷 重 がある 場 合 は 両 端 固 定 の 応 力 状 態 と 節 点 荷 重 によ る 部 材 の 応 力 状 態 を 重 ね 合 わせることで 断 面 力 を 求 めることができる ただし 次 式 で 示 す 材 端 モーメントの 基 本 式 を 用 いれば 部 材 端 部 の 応 力 は 自 動 的 に 得 られる この 場 合 部 材 内 部 の 応 力 は 基 本 式 から 得 た 応 力 状 態 に 単 純 梁 の 応 力 状 態 を 重 ねることに 相 当 する = k( ϕ + ϕ + ψ) ij i j ij = k( ϕ + ϕ + ψ) + ji j i ji (4.40) 同 様 に せん 断 力 は 解 析 から 得 られた 応 力 に 両 端 固 定 として 得 た 基 本 応 力 のせん 断 力 を 足 すことで 得 られる Q= Q + Q j j (4.4) ここで Q は 骨 組 の 解 析 で 得 た 応 力 であることから せん 断 力 は 式 j SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-0 (4.6)の, を 用 いると ij j ji Q = ji + h ij (4.4) として 与 えられる また Q は 両 端 固 定 梁 のせん 断 力 である j 例 題 4- 柱 に 中 間 荷 重 がある 構 造 物 の 応 力 解 析 を 行 い 曲 げモーメン ト 図 せん 断 力 図 軸 力 図 を 求 めよ 図 4-8 に 示 す 骨 組 の 応 力 解 析 を 行 う 最 初 に 部 材 と に 加 わる 水 平 荷 重 に 対 する 基 本 応 力 を 求 める 部 材 部 材 h h = = = = 8 8 0 = 0 = Qi = Qj = Qi = (4.4) 次 に 各 部 材 に 対 し たわみ 角 法 の 基 本 式 を 用 いる k = k = k = 4 図 4-8 例 題 4- の 骨 組 h h = ( ϕ + ϕ + ψ) = ( ϕ + ϕ + ψ) + = ( ϕ + ϕ ) = ( ϕ + ϕ ) = ( ϕ + ϕ + ψ) = ( ϕ + ϕ + ψ) + 4 4 4 4 (4.44) 骨 組 は 節 点 と 4 で 固 定 また 対 称 構 造 物 で 対 称 荷 重 であるため 変 形 応 力 状 態 は 対 称 となる 従 って 次 の 境 界 条 件 と 対 称 条 件 が 与 えら れる 図 4-9(a) 柱 の 基 本 応 力 ϕ = ϕ = 0 4 ψ = 0 ; ϕ = ϕ (4.45) 上 式 を 式 (4.44)に 適 用 すると 基 本 式 は 以 下 のようになる = ϕ = 4 = ϕ + = 4 = ϕ = (4.46) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- 上 式 から 分 かるように 未 知 数 は ϕ のひとつであり 方 程 式 はひと つあれば 良 い そこで 節 点 でのモーメントの 釣 合 を 考 えると + = 0 ϕ + + ϕ = 0 (4.47) が 得 られる 上 の 釣 合 式 を 解 くと 回 転 角 ϕ は ϕ = 4 (4.48) となる 上 式 を 材 端 モーメントに 代 入 すると 5 = = 4 4 = + = = (4.49) となる 部 材 の 中 央 位 置 ( 荷 重 点 )の 曲 げモーメントは 図 4-9() を 参 考 にして 5 c = 0 ( + ) 4 7 9 = = 8 8 (4.50) となる 実 際 の 柱 内 部 の 応 力 状 態 は 図 4-9(c)で 示 されるよ うに 両 端 固 定 の 応 力 状 態 に 解 析 結 果 による 応 力 を 重 ね 合 わ せた 断 面 力 分 布 となる 曲 げモーメント 図 とせん 断 力 図 は 式 (4.49)と(4.50)より 図 4-0(a) 図 4-0()のように 表 される 9 8 5 4 QU = + QL 5 5 4 4 図 4-9() 柱 の 曲 げモーメント 9 = - 8 4 4 98 54 5 4 図 4-9(c) 柱 の 曲 げモーメント + 9 8 9 8 図 4-0(a) モーメント 図 図 4-0() せん 断 力 図 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- 次 に 柱 のせん 断 力 は 次 式 より 得 られる 9 5 h 9 h 9 QL = ( + )/ = = 8 4 8 h 8 9 h h QU = ( + )/ = = 8 8 h 8 (4.5) せん 断 力 図 を 元 に 節 点 での 力 の 釣 合 を 利 用 すると 軸 力 図 が 次 のよう に 得 られる 図 4-0(c) 軸 力 図 例 題 4-4 荷 重 が 逆 対 称 となっている 骨 組 の 応 力 解 析 を 行 い 曲 げ モーメント 図 せん 断 力 図 軸 力 図 を 求 めよ 図 4- に 示 す 骨 組 の 応 力 解 析 を 行 う 最 初 に 中 間 荷 重 のある と 部 材 の 基 本 応 力 を 求 める この 基 本 応 力 を 以 下 に 示 すが 特 に 部 材 の 固 定 端 モーメントが 例 題 4- と 逆 になっていることに 注 意 されたい h = = 8 = Qi = Qj = 0 0 次 に 固 定 境 界 及 び 逆 対 称 条 件 は = = Qi = (4.5) k = h k = k = 4 図 4- 例 題 4-4 の 骨 組 h ϕ = ϕ4 = 0 ϕ = ϕ (4.5) として 与 えられる 境 界 条 件 を 考 慮 すると たわみ 角 法 の 基 本 式 は 次 の ようになる この 時 変 形 と 応 力 状 態 は 逆 対 称 であるため つの 柱 の 応 力 は 同 じとなる Q 図 4- 柱 の 基 本 応 力 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- = ϕ + ψ = 4 = ϕ + ψ + = 4 = 6ϕ = (4.54) 次 に 釣 合 式 を 求 めよう まず 節 点 でのモーメントの 釣 合 は + = 0 8ϕ + ψ + = 0 (4.55) 柱 のせん 断 力 / 両 端 固 定 柱 のせん 断 力 / となる Q Q 層 せん 断 力 の 釣 合 は ( Q + Q + Q + Q ) = 0 (4.56) となり 層 モーメントの 釣 合 は + + 4 + 4 = h h h ( ϕ + ψ + ϕ + ψ) = ( ) 図 4- 層 せん 断 力 の 釣 合 (4.57) となる 再 度 式 (4.55)と(4.57)より つの 釣 合 式 を 整 理 すると 8ϕ + ψ = h 4 ϕ + ψ = = 6 (4.58) として 釣 合 式 が 得 られる 上 式 を 解 くと 骨 組 の 変 位 が 次 のように 得 られる ϕ = 9 ψ = (4.59) 得 られた 回 転 角 ϕ と 部 材 角 ψ をたわみ 角 法 の 基 本 式 (4.54)に 代 入 する と 各 部 材 の 材 端 モーメントが 以 下 のように 求 められる 9 40 = = 4 9 = + = = (4.60) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-4 部 材 の 中 央 の 曲 げモーメントは 40 = ( + ) = 0 部 材 のせん 断 力 は 次 式 となる (4.6) 0 = c c c Q Q L U 40 8 h = ( + ) = = h h 8 = 0 h Q = ( + ) = (4.6) 40 図 4-4 求 めた 応 力 と 基 本 応 力 を 重 ね 合 わせる 以 上 をまとめると 曲 げモーメント 図 せん 断 力 図 軸 力 図 は 次 の ように 得 られる 40 + + h h + - 図 4-5(a) 曲 げモーメント 図 図 4-5() せん 断 力 図 図 4-5(c) 軸 力 図 反 力 と 外 力 との 力 の 釣 合 は 図 4-5(d)より 上 下 及 び 水 平 方 向 共 に 満 足 していることが 分 かる また 節 点 におけるモーメントの 釣 合 は 40 40 h h = + 0 (4.6) となり 釣 合 がとれていることが 分 かる 40 40 h h 図 4-5(d) 外 力 と 反 力 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

本 節 では 例 題 4-4 を 実 際 に SAE を 用 いて 数 値 解 析 を 実 施 し た わみ 角 法 で 求 めた 結 果 と 比 較 してみよう まず 例 題 4-4 を 以 下 に 示 す ただし ここでは 鋼 材 は SS400 を 使 用 し 部 材 断 面 は 全 て H-400x00x8x を 使 用 するものとする また スパンは 6m とし 階 高 は m とする 使 用 する 部 材 の 断 面 二 次 モーメントは 500 cm 4 であり ヤング 係 数 は 0500kN/cm とする ただし これらの 値 は SAE のデ ータベースより 求 めた 値 である 4-5 4.4 課 題 k = 00kN k = k = 00kN.5m 4.5m 6m 図 4-6 例 題 4-4 の 門 型 ラーメン 例 題 4-4 では 部 材 の 曲 げ 剛 性 は 剛 比 で 与 えられており 梁 の 剛 比 は 柱 の 倍 となっている 上 記 のように 同 一 断 面 を 使 用 して 解 析 すると 梁 長 さが 柱 の 長 さの 倍 となっているため 梁 の 剛 比 は 0.5 となる そ こで 例 題 4-4 の 曲 げ 剛 性 と 同 一 とするため 梁 の 断 面 二 次 モーメント を 4 倍 に 変 更 する また 部 材 の 断 面 積 も 前 章 の 課 題 のように 部 材 の 軸 方 向 変 位 を 無 視 するために 000 倍 の 値 とする たわみ 角 法 で 求 めた 断 面 力 の 分 布 は 図 4-5 で 与 えられている こ こで 各 断 面 力 の 値 を 求 めておこう まず 固 定 端 モーメントは h 00 = = = 7.5kNm 8 8 (4.64) となり また 材 端 モーメントは 式 (4.60)より 次 式 のように 計 算 される 40 40 7.5 = = = 5.8kNm 7.5 = = = 4.6kNm 7.5 = = = 4.6kNm (4.65) 同 じく 柱 中 央 の 曲 げモーメントは 式 (4.6)より SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-6 7.5 = = = 4.6kNm (4.66) 部 材 のせん 断 力 は 式 (4.6)より 次 式 で 与 えられる c c 8 h QL = = = 00kN h 8 Q = 0 U h 00 Q = = =.54 kn 6 (4.67) 得 られた 結 果 を 元 に 図 4-5(a)と 4-5() 及 び 4-5(c)より 曲 げ モーメント 図 せん 断 力 図 及 び 軸 力 図 が 次 にように 求 められる 4.6kNm.5kN 5.4kNm + 00kN + 00kN 図 4-7(a) 曲 げモーメント 図 図 4-7() せん 断 力 図 +.5kN.5kN 図 4-7(c) 軸 力 図 柱 頭 の 水 平 変 位 は 式 (4.59)の 下 より 次 式 で 与 えられる EI 0500 500 6 K0 = = =. 0 h 00 ψ h 9 7.5 00 00 δ. 0 = Rh = = 6 K0 8 0.65 0 = = 0.60cm 8.568 0 (4.68) (4.69) 次 に SAE を 用 いて 数 値 計 算 を 実 施 する まず SAE を 起 動 す SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-7 る この SAE の ファイル 新 規 作 成 メニューを 用 いて た わみ 角 法 演 習 解 析 モデル - 第 4 章 フォルダ 内 の 課 題 フォル ダ 中 にコントロールファイルを 作 成 する コントロールファイルの 名 前 を 門 型 ラーメン.ct としよう その 後 各 種 のコントロール 情 報 を 設 定 した 後 モデラーを 起 動 する モデラーによる 骨 組 の 設 定 は 前 章 とほぼ 同 じであり 異 なる 部 分 のみ 説 明 することになる 最 初 は 初 期 設 定 ウイザードが 自 動 的 にダイアログを 表 示 させるので これに 従 ってデータを 入 力 すれば 良 い まず タイトルを 入 力 し 次 に 平 面 フレームを 選 択 し 構 造 物 の 規 模 として スパン 数 を に 階 数 は にセットする 次 に スパン 長 を 600cm に 階 高 を 00cm にセッ トする さらに 使 用 する 部 材 断 面 を 作 成 登 録 する まず 鉄 骨 を 選 択 し 材 料 は SS400 を また 部 材 モデルは 弾 性 とする 断 面 は H-400x00x8x とし DB 値 を 採 用 する 梁 用 の 断 面 を G として 設 定 し また 柱 用 は 同 じ 断 面 で 設 定 し 記 号 を とする 要 素 データを 設 定 した 後 OK ボ タンを 押 して AD 画 面 に 戻 る 図 4-8 のように AD 画 面 を 使 用 して 柱 と 梁 を 設 定 する その 際 柱 は 分 割 に 梁 は 分 割 とする また 柱 の 部 材 回 転 は 0 とする 骨 組 の 形 状 が 設 定 されると 次 に 境 界 と 荷 重 を 割 り 付 ける 図 4-8 AD 画 面 で 骨 組 モデルを 割 り 付 ける 図 4-8 の 右 下 の 子 ウインドウで 右 クリックしてプルダウンメニュ ーを 表 示 させ 透 視 図 表 示 項 目 選 択 を 選 択 する 当 該 ダイアログが 表 示 されるので 境 界 と 静 的 荷 重 _ にチェックマークを 入 れ OK ボタ ンを 押 すと 上 図 のように 荷 重 と 境 界 が 表 示 され 設 定 を 確 認 する SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-8 図 4-8 の 左 下 の 子 ウインドウで 節 点 情 報 を 表 示 させるために ツ ールチップで 実 節 点 と 集 団 による 設 定 に 変 更 し マウスをド ラッグして 骨 組 全 体 を 囲 む この 操 作 で 図 4-9 の 節 点 情 報 が 得 られ 設 定 状 況 を 確 認 する 図 4-9(a) 節 点 情 報 を 表 示 させ 境 界 条 件 を 確 認 する 図 4-9() 節 点 情 報 を 表 示 させ 荷 重 を 確 認 する 再 度 要 素 データ 登 録 チップを 押 して 要 素 データ 登 録 ダイア ログを 表 示 させ 変 更 削 除 復 帰 ボタンを 押 す 図 4-0(a)に 示 される 断 面 に 関 する 情 報 の 中 で 柱 梁 共 に 断 面 積 の 値 を 000 倍 にし て 軸 方 向 の 剛 性 を 上 昇 させ 見 かけ 上 部 材 の 軸 方 向 変 位 が 生 じないよ うにする さらに 梁 の 断 面 二 次 モーメントを 4 倍 に 変 更 する 変 更 後 は 図 4-0()に 示 される 図 4-0(a) 変 更 前 ( 解 析 モデルに 合 わせるために 断 面 特 性 を 変 更 する) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-9 図 4-0() 変 更 後 ( 解 析 モデルに 合 わせるために 断 面 特 性 を 変 更 する) 解 析 モデルを 全 て 設 定 した 後 メニューの ファイル フ ァイルへの 出 力 を 選 択 すると 図 4- のダイアログが 表 示 される ここで 構 造 ファイル と 静 的 荷 重 ファイル_ 情 報 ファイ ル を 指 定 し OK ボタンを 押 して 解 析 モデルを 出 力 する 解 析 を 実 施 する 前 に 解 析 用 パラメータを 設 定 する まず SAE のメニューより 図 4- に 示 す 静 的 解 析 用 コントロール ダイ アログを 表 示 させ 図 のように 設 定 する 線 形 解 析 であるため 回 の 解 析 で 良 いわけであるが ここでは アニメーションなどの 表 示 の 都 合 上 図 のように 荷 重 増 分 法 を 用 い 0 回 に 分 けて 計 算 する 次 に 静 的 解 析 の 出 力 解 析 制 御 に 関 するコントロールデ ータ ダイアログを 表 示 させ 図 4- のように 設 定 する ここで は 特 に せん 断 変 形 を 考 慮 しない と 応 力 出 力 にチェックマ ークを 入 れ OK ボタンを 押 して 次 に 進 む 図 4- 解 析 モデルのファイ ル 出 力 ダイアログ 図 4- 静 的 解 析 用 コントロール ダイアログ SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ 図 4- 静 的 解 析 の 出 力 解 析 制 御 に 関 する コントロールデータ ダイアログ SAE

4-0 解 析 パラメータを 設 定 した 後 静 的 ソルバーを 起 動 し 線 形 解 析 を 実 施 する 解 析 が 正 常 終 了 した 後 解 析 結 果 を 出 力 表 示 で 確 認 する SAE のメ ニューより 表 示 静 的 解 析 の 途 中 経 過 の 表 示 を 選 択 し 解 析 経 過 と 結 果 を 表 示 させる ファイルの 最 後 に 出 力 されている 0 回 目 の 解 析 結 果 を 図 -4 に 示 す 図 に 見 られるように 両 者 の 断 面 力 は 良 い 一 致 を 示 している 図 4-4 課 題 の 静 的 解 析 結 果 である 部 材 断 面 力 次 に 静 的 プレゼンターを 起 動 し 図 4-5 に 示 すように せん 断 力 図 と 曲 げモーメント 図 を 表 示 さ せる 下 図 とたわみ 角 法 で 求 め た 図 4-7 の 曲 げモーメント 分 布 とせん 断 力 分 布 は 一 致 して いる さらに 図 4-5 の 柱 頭 位 置 で tr キィとマウス 右 ボタ ンを 同 時 にクリックすること で 図 4-6 のダイアログを 表 示 させ その 節 点 の 解 析 結 果 の 情 報 を 観 察 する このダイアロ グから 分 かるように 当 該 節 点 の 水 平 変 位 は 式 (4.69)に 示 さ れる 節 点 変 位 と 同 じ 値 となっ ている 図 4-5 課 題 のせん 断 力 分 布 と 曲 げモーメント 分 布 SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4- 図 4-6 骨 組 柱 頭 の 水 平 方 向 変 位 本 章 では 柱 に 部 材 荷 重 がある 場 合 に 対 して たわみ 角 法 による 解 析 方 法 を 学 んだ さらに たわみ 角 法 の 基 本 式 を 新 しいパラメータを 導 入 することで 変 換 し 扱 いやすいたわみ 角 法 を 導 いた この 新 たなパラ メータである 剛 比 を 用 いることで 容 易 に 応 力 解 析 が 実 施 されることを 例 題 を 通 して 確 認 した また SAE を 用 いて 課 題 を 数 値 計 算 し その 結 果 とたわみ 角 法 で 解 析 した 結 果 とを 比 較 検 証 した 4.5 まとめ 問 題 4- 次 の 骨 組 の 応 力 解 析 を たわみ 角 法 で 行 い 曲 げモーメント 図 せん 断 力 図 及 び 軸 力 図 を 描 き さらに 反 力 を 求 めて 外 力 と 反 力 の 力 の 釣 合 を 確 認 せよ なお 鋼 材 は SS400 を 使 用 し 部 材 断 面 は 全 て H-400x00x8x を 使 用 するもの とする また SAE を 用 いて 同 上 の 解 析 を 実 施 し 互 い の 結 果 を 比 較 することで たわみ 角 法 の 結 果 を 検 証 しなさい 4.6 問 題 00kN 00kN 00kN 00kN 4m 4m m m m m 問 4- 問 4- SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE

4-40kN m 40kN m 40kN m 40kN m m m 6m 6m 問 4- 問 4-4 柱 の 基 本 応 力 は 次 式 で 与 えられる = 9 0 = =.5 Q= (4.70) SAE で 学 ぶ 構 造 力 学 入 門 骨 組 編 Ⅰ SAE