もろい石材の保管方法の最適なのはどれだろう

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1 第 7 話 力 のモーメントと 曲 げモーメントを 混 同 していませんか 2008 年 4 月 0 日 作 成 萩 原 芳 彦 はりの 曲 げや 軸 のねじりにおいて 登 場 する 曲 げモーメントやねじりモーメントについて なかなか 正 しく 理 解 できない 学 生 がおり 教 える 側 としても 苦 労 するところである これ もニュートンの 第 法 則 や 第 3 法 則 の 本 質 をおろそかにして 素 通 りするところと 関 係 し ていないだろうか 第 6 話 の 続 きの 内 容 となるが 注 意 点 をまとめてみよう モーメントという 用 語 は 力 学 関 係 では 力 のモーメント 慣 性 モーメント 断 面 2 次 モ ーメント 面 積 モーメントなど 様 々な 用 語 と 組 み 合 わせて 使 われている このことから モーメントは 力 に 直 接 関 係 するだけの 用 語 ではないことをまず 認 識 する 必 要 がある 力 とは 物 体 に 作 用 して 物 体 の 運 動 状 態 や 形 を 変 える 原 因 となる 働 き のことであり モーメント(oment)とは 辞 書 によれば 能 率 あるいは 能 力 の 意 味 があるので 力 のモー メントとは 物 体 の 運 動 状 態 や 形 を 変 える 原 因 となる 働 きである 力 の 何 らかの 能 力 を 表 す 量 ということになる 物 体 は 物 理 の 授 業 などにおいて 仮 定 する 質 点 のように 大 きさがないものではなく 現 実 の 場 合 には 必 ず 大 きさを 持 っている 大 きさを 有 する 物 体 の 運 動 ( 移 動 )は 第 2 話 などにおいても 説 明 したように 一 般 に 並 進 運 動 と 回 転 運 動 の 組 み 合 わせによって 表 現 す ることができる( よくわかる 工 業 力 学 p.94) 並 進 運 動 においては 力 の 作 用 によって 物 体 内 のどの 点 も 同 じ 動 きをする このような 場 合 物 体 は 大 きさのない 質 点 の 運 動 と 同 じように 力 そのものにより 表 わされる 運 動 と 考 えてよく = ma ( m は 質 量 a は 加 速 度 )を 並 進 運 動 する 物 体 の 運 動 方 程 式 として よい Δ Δ i 図 Δ n

2 このことは 図 のような 力 を 受 けて 並 進 運 動 する 物 体 の 運 動 を この 力 と 等 価 と なる 無 数 の 平 行 な 微 小 力 Δ i ( = Δi )に 分 け 物 体 中 の 無 数 の 質 点 Δm i ( m = Δmi )に 作 用 させている 図 の 状 態 と 同 じと 考 えれば 理 解 できるであろう 一 方 物 体 が 回 転 運 動 する 場 合 には 物 体 内 の 各 点 は 異 なる 動 きをする そのような 運 動 を 引 き 起 こす 力 の 場 合 力 の 大 きさや 方 向 だけではなく その 作 用 位 置 も 影 響 する この ような 回 転 運 動 の 運 動 方 程 式 は T = I α ( I は 慣 性 モーメント α は 角 加 速 度 )となる( よ くわかる 工 業 力 学 など 参 照 ) ここに 力 のモーメントT が 登 場 する なお 力 のモーメン トとは 物 体 を 回 転 させようとする 力 の 働 き であると 定 義 されている このように 並 進 運 動 における 力 の 働 きが 力 そのものによりもたらされるのに 対 し 回 転 運 動 における 力 の 働 きは 力 のモーメントの 形 で 物 体 にもたらされる 図 2a を 用 いて 物 体 を 回 転 させようとする 力 の 働 きである 力 のモーメントについて 説 明 すれば 以 下 のようになる 物 体 に 作 用 する 力 が 点 において 図 の 矢 印 の 方 向 にあるとし 物 体 の 回 転 が O を 通 り 紙 面 に 垂 直 な 軸 の 周 りで 生 ずるものとすれば O から 力 の 作 用 線 へ おろした 垂 線 の 長 さ r と 力 の 積 T = r が 物 体 を O の 周 りで 回 転 させようとするこの 力 の 働 きであり 力 のモーメントの 大 きさはこのようにして 求 められる その 正 負 は 一 般 に 回 転 軸 に 関 して 反 時 計 回 転 に 回 転 させる 場 合 を 正 と 約 束 している この 場 合 は に 作 用 した 図 の 向 きの 力 により O の 周 りで 物 体 は 赤 色 の 回 転 矢 印 で 示 した 回 転 方 向 すな わち 反 時 計 方 向 に 回 転 することになり このような 場 合 を 正 の 力 のモーメントと 約 束 する 力 が 同 じ 場 所 に 作 用 していても 例 えば 図 2b のように 点 を 中 心 にして 回 転 させる 場 合 には 時 計 回 転 に 回 転 することになり 負 の 力 のモーメントとなる このように 作 用 す る 力 並 びにその 作 用 点 が 同 じであっても 物 体 を 回 転 させようとする 力 の 働 きである 力 のモーメントは その 大 きさも 符 号 もT = r の 様 に 異 なってしまう O r m r O r m r 図 2

3 以 上 の 説 明 からわかるように 物 体 の 運 動 において 考 える 力 のモーメントは 回 転 方 向 によって 正 負 の 定 義 ができる このことは 第 6 話 において 外 力 の 正 負 は 座 標 軸 との 関 係 で 定 義 できるとしたことと 同 じ 状 況 にあるということである これに 対 して 材 料 力 学 に おいて はりの 曲 げ 応 力 やたわみなどの 計 算 の 中 に 登 場 する 曲 げモーメントは 上 記 の 力 のモーメントとはやや 違 う 意 味 を 持 つものである 第 6 話 において 外 力 と 内 力 の 違 い 作 用 反 作 用 の 力 の 関 係 などを 理 解 できた 読 者 はその 違 いをある 程 度 想 像 することができる であろう なお このことは 棒 をねじる 場 合 に 登 場 するねじりモーメントについても 同 じ である 結 論 を 先 に 言 えば 力 のモーメントは 外 力 に 対 応 し 曲 げモーメントは 内 力 に 対 応 する ものであることである 平 易 にその 違 いを 述 べれば 力 のモーメントは 物 体 に 作 用 するす べての 力 を 対 象 に 考 え それによる 物 体 の 回 転 運 動 を 明 らかにするのに 対 し 曲 げモーメ ントは 物 体 に 作 用 する 力 の 内 の 断 面 の 片 側 だけに 作 用 する 力 を 対 象 に 考 え それによる 物 体 の 曲 げ 応 力 や 曲 げひずみを 明 らかにするものである a b y はりに 作 用 する 外 力 はりが 支 点 に 及 ぼす 外 力 2 支 点 がはりに 及 ぼす 外 力 2 作 用 反 作 用 の 力 図 3

4 以 下 に 単 純 支 持 ばりに 集 中 力 が 作 用 している 図 3a を 例 に その 違 いを 説 明 しよう 図 3b は 図 3aを 第 6 話 において 行 ったこと 同 様 に 支 点 とはりに 分 解 して 示 したものである 図 3b において 赤 色 の 矢 印 ははりに 作 用 している 外 力 であり 青 色 で 示 した 矢 印 はこれらに 抗 してはりが 外 部 に 及 ぼしている 外 力 である 赤 枠 で 囲 まれた 一 対 の 矢 印 の 力 は 作 用 反 作 用 の 力 であり はり 支 点 床 を 含 めた 全 体 を 一 つの 物 体 とすれば 第 6 話 と 同 様 にこ れらの 一 対 の 力 は 内 力 とみなすことができる この 場 合 はりに 関 するつり 合 い 条 件 は + = 0 () 力 のつり 合 い 条 件 ( 並 進 移 動 しないための 条 件 ) ( a + b) b 0 (2) = 力 のモーメントのつり 合 い 条 件 ( 回 転 移 動 しないための 条 件 ) 2 2 となるので が 求 められ 作 用 反 作 用 の 関 係 から も 求 められ 以 下 のようになる b a = 2 = = 2 = (3) a + b a + b はりに 作 用 している 外 力 は となるが ここで はりの 左 端 から のとこ ろ におけるこれらの 外 力 による 力 のモーメント を 求 めると = a ) + ( a + b ) (4) ( となる 式 (4)に 式 (3)を 代 入 して 整 理 すれば = 0 となることはすぐにわかる すなわち つり 合 い 状 態 にある 物 体 に 作 用 している 力 のモーメントの 総 和 はどこで 考 え ても 零 となるのである このことが 納 得 できず 力 のモーメントのつり 合 い 条 件 式 をあち らこちらで 求 めて 式 の 数 を 増 やし 問 題 を 解 こうとする 学 生 が 多 いが それは 間 違 いであ る 力 のつり 合 い 条 件 式 の 代 わりとして 用 いる 場 合 もあるが 平 面 上 であれば 力 のモーメ ントのつり 合 い 条 件 式 は 基 本 的 には 一 つなのである はりの 曲 げを 考 えるときに 上 述 の のようにして 求 めた 式 を 用 いて 曲 げ 応 力 の 数 値 計 算 をする 学 生 はさすがに 少 ないが 文 字 式 の 過 程 ではこのような 過 ちを 犯 す 学 生 はしば しば 見 かける そこで 第 6 話 と 同 じように はりを 分 割 した 図 4 を 用 いて 曲 げモーメン トとは 何 かを 説 明 しよう 図 4は 図 3のはりを 右 端 から のところで 2 分 割 して 示 したものである 赤 色 で 示 した 矢 印 ははりに 作 用 している 外 力 であり はり 全 体 はこれら の 力 によってつり 合 い 状 態 にあり 静 止 している 分 割 した 部 分 も 当 然 それぞれ 静 止 して いることになるが 赤 色 の 外 力 だけではつり 合 いをとれず 動 いてしまうことも 明 らかで ある

5 作 用 反 作 用 の 力 のモーメント 一 対 で 曲 げモーメントである ただし 単 独 で 考 えた 場 合 ははり に 作 用 する 力 のモー メントである 両 者 の 正 負 の 判 別 は 異 なる 図 4 例 えば 左 側 の 部 分 は だけでは 上 の 方 へ 動 いてしまう このため 静 止 させるに は とつり 合 う 力 が 必 要 であり それが において 部 分 から 作 用 している である + = と は つり 合 いの 関 係 にならなけ ればならず 0 の 関 係 が 成 り 立 つ こ こで と は 方 向 は 同 じであるが 向 きが 逆 の 力 となり かつ作 用 線 も 異 なるので 偶 力 である これらの 力 によって 部 分 には なる 力 のモーメントが 生 じ このままではどこか 遠 くに 移 動 することはないものの この 場 所 で 時 計 方 向 に 回 転 することになる 静 止 させ るには = なる 反 時 計 回 転 の 力 のモーメントが 側 から 加 えられていなければ ならない 右 側 のはり は これらの 力 や 力 のモーメント の 反 作 用 の 力 や 反 作 用 の 力 のモーメント を 受 ける

6 このように はりの 断 面 には 作 用 反 作 用 の力 や 力 のモーメン トが生 じている なお や は 考 えている 断 面 の 片 側 に 作 用 している 力 だけで 決 まっており 両 側 の 力 を組 み込 ん でいないことも 確 認 できるであろう ここで 示 した 一 対 の 力 ははりの 横 断 面 に 沿 う 形 で 生 じているのでせん 断 力 と 呼 び 第 6 話 で 説 明 した 力 N 内 力 である また N 2 と 同 じく は 内 力 モーメント の一 種 であり この 一 対 のものがはりの 曲 げ 作 用 を 起 こすので 曲 げモーメントと 呼 ばれ る 曲 げモーメントについてもう 少 し 詳 しく 説 明 すれば 以 下 のようになる 図 4b は の 近 傍 において 緑 色 で 示 した 微 小 な 部 分 を 切 り 出 し 力 や 力 のモーメントを 示 したものである 内 力 モーメントとして 存 在 する 緑 色 で 示 した 回 転 矢 印 のモーメントに よってこの 部 分 は 下 に 凸 に 曲 げられる 力 のモーメントは 微 小 部 分 の 左 右 でわずかに 異 な ることになるが ここではそのことは 無 視 して 表 示 してある 詳 しくは よくわかる 材 料 力 学 の 図 3 7 などを 参 照 してもらいたい 正 負 d 図 5 図 の 緑 色 の 部 分 を 取 り 出 して 拡 大 したものが 図 5a である また 外 力 の 作 用 が 異 なれば 図 5b の 状 況 にもなる いずれにしても 曲 げモーメントは 内 力 モーメントの 一 種 であり 曲 げモーメントの 大 小 ではりの 曲 げ 応 力 やたわみは 決 まるのである 第 6 話 において 説 明 したことと 同 じように 外 力 はここでも 間 接 的 に 関 与 していること が 分 かるであろう また 内 力 や 内 力 モーメントに 関 与 しているのはその 場 所 の 片 側 に 作 用 している 外 力 だけである 両 側 の 外 力 を 混 同 にしてはならない 力 のモーメントの 正 負 はそれによる 回 転 が 時 計 回 転 か 反 時 計 回 転 かで 判 断 できるが 曲 げモーメントの 正 負 は 結 果 として 生 ずる 変 形 がどちら 向 きになるかで 判 断 する 例 えば 図 5a において は 負 の 力 のモーメントであり は 正 の 力 のモーメントである この 状 態 における 曲 げモーメ ントは はりを 下 向 きに 凸 に 変 形 させており 正 の 曲 げモーメントである 図 5b の 場 合 は と の 正 負 が 逆 転 し 曲 げモーメントは 負 となる