* abstract This paper attempts to show a method to estimate joint distribution for income and age with copula function. Further, we estimate the joint distribution from National Survey of Family Income and Expenditure in 2009. In that real data, there exists structural difference of income distribution between the people over sixty and the others. The difference is explained by changing the functional form of copula between those generations. 1 Singh-Maddala 2 n 2 C : [0, 1] [0, 1] [0, 1] [2] 1. C(u, v) u v キーワード: 所 得 分 布,コピュラ, 統 計 分 析 * 本 学 経 済 学 部 講 師 35
地 域 総 合 研 究 第 40 巻 第 1 号 (2012 年 ) 2. C(0, v) = C(u, 0) = 0, C(1, v) = v, C(u, 1) = u 3. C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0 ( u 1, u 2, v 1, v 2 [0, 1] u 1 u 2, v 1 v 2 ) 2 21 2 (x, y) (F(x), G(x)) C(F(x), G(x)) I(x) A(x) C(I(x), A(x)) I(x) 2 2 f (x θ) = ax ap 1 b ap B(p, q) {1 + (x/b) a p+q, x > 0 (1) } θ 2 θ = (α, β, p, q) L(θ) = p k (θ) = K N! k=1 K n n p k(θ) k (2) k! k=1 uk l k f (x θ)dx N K (n k, l k, u k ) k A(x) k m k = (l k + u k )/2 f (x) = 1 ( ) Nh x mk n k K (3) h k K( ) h [3] 36
コピュラによる 所 得 と 年 齢 の 同 時 分 布 の 推 定 1 2 α β p q 2.3079 632.9594 1.3998 1.747 101.2775 (0.0235) (1.532) (0.0233) (0.0311) F(a, b) = C(I(a), A(b)) = Φ 2 (Φ 1 (u), Φ 1 (v) ρ) (4) u = v = a b I(x)dx A(x)dx Φ 2 (x, y ρ) ρ *1 Φ 1 (x) i j (i, j) n i,j, (i, j) p i,j K I, K A n = (n 1,1,..., n 1,KA, n 2,1,..., n 2,KA,..., n KI,1,..., n KI,K A ) p(n) = N! K I i=1 K A j=1 n i,j! K I K A i=1 j=1 n p i,j i,j L(θ) = N! K I i=1 K A j=1 n ij! K I K A i=1 j=1 n p i,j(θ) ij (5) (i, j) p i,j (θ) p i,j (θ) = F(ui I, ua j ) F(uI i 1, ua j ) F(uI i, ua i 1 ) + F(uI i 1, ua i 1 ) (6) ρ 3 21 2 1 1 ( ) x mk K = 1 exp { (x m k) 2 } h 2π 2h 2 *1 Φ 2 (x, y ρ) [1] 37
地 域 総 合 研 究 第 40 巻 第 1 号 (2012 年 ) Density 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0 500 1000 1500 2000 2500 Income 1 2 Density 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0 20 40 60 80 100 Age 2 38
コピュラによる 所 得 と 年 齢 の 同 時 分 布 の 推 定 2 ) ρ 0.205 9828.54 (1.068 10 5 ) 3 4 4.5 2 21 ρ ˆρ = 0.205 2 3 p i,j 4 p i,j p i,j 60 60 39
地 域 総 合 研 究 第 40 巻 第 1 号 (2012 年 ) 5 ) ρ 1 ρ 2 0.018 0.373 8162.235 (2.595 10 5 ) (1.621 10 5 ) 6 ρ 60 60 (ρ 1, ρ 2 ) 60 I U60 ρ = ρ 1 p i,j (θ a < 60, ρ = ρ 1 ) = p i,j(θ ρ = ρ 1 )) i p i,j (θ ρ = ρ 1 ), i I U60 (7) 60 I O60 ρ = ρ 2 p i,j (θ a 60, ρ = ρ 2 ) = p i,j(θ ρ = ρ 2 )) i p i,j (θ ρ = ρ 2 ), i I O60 (8) p(ρ 1, ρ 2 ) = p 1 p i,j (θ a < 60, ρ = ρ 1 ) + p 2 p i,j (θ a 60, ρ = ρ 2 ) (9) p i,j (θ) p 1 60 p 2 60 *2 ( ˆρ 1, ˆρ 2 ) = ( 0.018, 0.373) ( 5 ) 6 p i,j 6 4 3 60 30 *2 60 60 (p 1, p 2 ) 40
コピュラによる 所 得 と 年 齢 の 同 時 分 布 の 推 定 3 6 4 21 30 [1] Genz, A. "Numerical Computation of Rectangular Bivariate and Trivariate Normal and t Probabilities", Statistics and Computing, Vol. 14, No. 3, pp. 251-260, 2004. [2] Jondeau, E., Ser-Huang Poon and Michael Rockinger, Financial Modeling under Non-Gaussian Distributions, Springer, 2007. [3] 3 2007 41